高一數(shù)學(xué)下冊(cè)期末考點(diǎn)大串講(人教A版)第2講正弦定理和余弦定理的應(yīng)用(專題測(cè)試)特訓(xùn)（學(xué)生版+解析）

必修5第2講正弦定理和余弦定理的應(yīng)用（專題測(cè)試）第Ⅰ卷（選擇題）一．選擇題（共10小題）1．（2020?長(zhǎng)春二模）在△ABC中，C＝30°，cosA＝﹣，AC＝﹣2，則AC邊上的高為（）A． B．2 C． D．2．（2020?南昌一模）臺(tái)球是一項(xiàng)國(guó)際上廣泛流行的高雅室內(nèi)體育運(yùn)動(dòng)，也叫桌球（中國(guó)粵港澳地區(qū)的叫法）、撞球（中國(guó)臺(tái)灣地區(qū)的叫法）．控制撞球點(diǎn)、球的旋轉(zhuǎn)等控制母球走位是擊球的一項(xiàng)重要技術(shù)，一次臺(tái)球技術(shù)表演節(jié)目中，在臺(tái)球桌上，畫出如圖正方形ABCD，在點(diǎn)E，F(xiàn)處各放一個(gè)目標(biāo)球，表演者先將母球放在點(diǎn)A處，通過擊打母球，使其依次撞擊點(diǎn)E，F(xiàn)處的目標(biāo)球，最后停在點(diǎn)C處，若AE＝30cm，EF＝40cm，F(xiàn)C＝30cm，∠AEF＝∠CFE＝60°，則該正方形的邊長(zhǎng)為（）A．40cm B．15cm C．20cm D．10cm3．（2019秋?濮陽(yáng)期末）某船從A處向東偏北30°方向航行千米后到達(dá)B處，然后朝西偏南60°的方向航行6千米到達(dá)C處，則A處與C處之間的距離為（）A．千米 B．千米 C．3千米 D．6千米4．（2020?漳州模擬）如圖，在△ABC中，D是邊AC上的點(diǎn)，且AB＝AD，2AB＝BD，BC＝2BD，則sinC的值為（）A． B． C． D．5．（2019春?瓊山區(qū)校級(jí)期中）在銳角三角形△ABC中，A、B、C成等差數(shù)列，b＝1，則a+c的取值范圍（）A．（1，2] B．（0，1） C． D．6．（2020?南充模擬）如圖，《九章算術(shù)》中記載了一個(gè)“折竹抵地”問題：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，問折者高幾何？意思是：有一根竹子，原高一丈（1丈＝10尺），蟲傷有病，一陣風(fēng)將竹子折斷，其竹梢恰好抵地，抵地處離原竹子三尺遠(yuǎn)，問折斷處離地面的高？（）A．4.55尺 B．5.45尺 C．4.2尺 D．5.8尺7．（2020?襄城區(qū)校級(jí)模擬）在△ABC中，|AC|＝2，|AB|＝2，∠BAC＝120°，＝λ，＝μ，M為線段EF的中點(diǎn)，若||＝1，則λ+μ的最大值為（）A． B． C．2 D．8．（2019秋?湖北期末）2002年8月在北京召開的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)標(biāo)取材于我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的《勾股圓方圖》，它是由四個(gè)全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個(gè)大正方形（如圖所示）．已知大正方形邊長(zhǎng)為10，小正方形邊長(zhǎng)為2．設(shè)較小直角邊a所對(duì)的角為α，則tanα的值為（）A． B． C． D．9．（2020?遼寧一模）如圖所示，為了測(cè)量A，B處島嶼的距離，小明在D處觀測(cè)，A，B分別在D處的北偏西15°、北偏東45°方向，再往正東方向行駛40海里至C處，觀測(cè)B在C處的正北方向，A在C處的北偏西60°方向，則A，B兩處島嶼間的距離為（）A．海里 B．海里 C．海里 D．40海里10．（2020春?臨淄區(qū)校級(jí)月考）某觀測(cè)站C在目標(biāo)A的南偏西25°方向，從A出發(fā)有一條南偏東35°走向的公路，在C處測(cè)得與C相距31km的公路B處有一個(gè)人正沿著此公路向A走去，走20km到達(dá)D，此時(shí)測(cè)得CD距離為21km，若此人必須在20分鐘內(nèi)從D處到達(dá)A處，則此人的最小速度為（）A．30km/h B．45km/h C．14km/h D．15km/h

第Ⅱ卷（非選擇題）二．填空題（共4小題）11．（2019秋?張家口月考）如圖，為了測(cè)量?jī)缮巾擠，C間的距離，飛機(jī)沿水平方向在A，B兩點(diǎn)進(jìn)行測(cè)量，在A位置時(shí)，觀察D點(diǎn)的俯角為75°，觀察C點(diǎn)的俯角為30°；在B位置時(shí)，觀察D點(diǎn)的俯角為45°，觀察C點(diǎn)的俯角為60°，且AB＝km，則C，D之間的距離為km．12．（2020?大武口區(qū)校級(jí)一模）《九章算術(shù)》“勾股”章有一題：“今有二人同立．甲行率七，乙行率三，乙東行，甲南行十步而斜東北與乙會(huì)，問甲乙各行幾何?”大意是說：“已知甲、乙二人同時(shí)從同一地點(diǎn)出發(fā)，甲的速度為7，乙的速度為3，乙一直向東走，甲先向南走10步，后又斜向北偏東方向走了一段后與乙相遇．甲、乙各走了多少步?”請(qǐng)問乙走的步數(shù)是13．（2020?海安市模擬）如圖，已知兩座建筑物AB，CD的高度分別為15m和9m，且AB＞BC＞CD，從建筑物AB的項(xiàng)部A看建筑物CD的張角為∠CAD，測(cè)得tan∠CAD＝，則B，C間的距離m．14．（2020?貴州模擬）如圖所示，在山腳A測(cè)得山頂P的仰角為∠QAP＝45°，沿傾斜角為∠QAB＝15°的斜坡向上走146.4米到達(dá)B，在B測(cè)得山頂P的仰角為∠CBP＝60°，則山高PQ＝米．（＝1.414，＝1.732，結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后1位）三．解答題（共3小題）15．（2020?淮陰區(qū)模擬）如圖，某森林公園有一直角梯形區(qū)域ABCD，其四條邊均為道路，AD∥BC，∠ADC＝90°，AB＝5千米，BC＝8千米，CD＝3千米．現(xiàn)甲、乙兩管理員同時(shí)從A地出發(fā)勻速前往D地，甲的路線是AD，速度為6千米/小時(shí)，乙的路線是ABCD，速度為v千米/小時(shí)．（1）若甲、乙兩管理員到達(dá)D的時(shí)間相差不超過15分鐘，求乙的速度v的取值范圍；（2）已知對(duì)講機(jī)有效通話的最大距離是5千米．若乙先到達(dá)D，且乙從A到D的過程中始終能用對(duì)講機(jī)與甲保持有效通話，求乙的速度v的取值范圍．16．（2019秋?黃浦區(qū)校級(jí)月考）如圖，有一碼頭P和三個(gè)島嶼A，B，C，PC＝30nmile，PB＝90nmile，AB＝30nmile，∠PCB＝120°，∠ABC＝90°．（1）求B，C兩個(gè)島嶼間的距離；（2）某游船擬載游客從碼頭P前往這三個(gè)島嶼游玩，然后返回碼頭P，問該游船應(yīng)按何路線航行，才能使得總航程最短？求出最短航程．17．（2020春?啟東市校級(jí)月考）某大型商場(chǎng)為迎接新年的到來，在自動(dòng)扶梯AC（AC＞5米）的C點(diǎn)的上方懸掛豎直高度為5米的廣告牌DE．如圖所示，廣告牌底部點(diǎn)E正好為DC的中點(diǎn)，電梯AC的坡度∠CAB＝30°．某人在扶梯上點(diǎn)P處（異于點(diǎn)C）觀察廣告牌的視角∠DPE＝θ．當(dāng)人在A點(diǎn)時(shí)，觀測(cè)到視角∠DAE的正切值為．（1）求扶梯AC的長(zhǎng)；（2）當(dāng)某人在扶梯上觀察廣告牌的視角θ最大時(shí)，求CP的長(zhǎng)．必修5第2講正弦定理和余弦定理的應(yīng)用（專題測(cè)試）參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）1．（2020?長(zhǎng)春二模）在△ABC中，C＝30°，cosA＝﹣，AC＝﹣2，則AC邊上的高為（）A． B．2 C． D．【解析】解：∵，∴，∴，由正弦定理有，，即，解得AB＝3，∴，即，∴，即AC邊上的高為．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查三角恒等變換與解三角形的綜合運(yùn)用，涉及了正弦定理，三角形的面積公式等知識(shí)點(diǎn)，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．2．（2020?南昌一模）臺(tái)球是一項(xiàng)國(guó)際上廣泛流行的高雅室內(nèi)體育運(yùn)動(dòng)，也叫桌球（中國(guó)粵港澳地區(qū)的叫法）、撞球（中國(guó)臺(tái)灣地區(qū)的叫法）．控制撞球點(diǎn)、球的旋轉(zhuǎn)等控制母球走位是擊球的一項(xiàng)重要技術(shù)，一次臺(tái)球技術(shù)表演節(jié)目中，在臺(tái)球桌上，畫出如圖正方形ABCD，在點(diǎn)E，F(xiàn)處各放一個(gè)目標(biāo)球，表演者先將母球放在點(diǎn)A處，通過擊打母球，使其依次撞擊點(diǎn)E，F(xiàn)處的目標(biāo)球，最后停在點(diǎn)C處，若AE＝30cm，EF＝40cm，F(xiàn)C＝30cm，∠AEF＝∠CFE＝60°，則該正方形的邊長(zhǎng)為（）A．40cm B．15cm C．20cm D．10cm【解析】解：如圖，連接AC交EF于點(diǎn)G，由對(duì)稱性可知，，在△AEG中，由余弦定理有，AG2＝AE2+EG2﹣2AE?EG?cos∠AEG＝，∴，∴，∴．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查余弦定理在解三角形中的運(yùn)用，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．3．（2019秋?濮陽(yáng)期末）某船從A處向東偏北30°方向航行千米后到達(dá)B處，然后朝西偏南60°的方向航行6千米到達(dá)C處，則A處與C處之間的距離為（）A．千米 B．千米 C．3千米 D．6千米【解析】解：設(shè)A處與C處之間的距離為x千米，由余弦定理可得，則．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的解法，實(shí)際問題的解題方法，考查計(jì)算能力．4．（2020?漳州模擬）如圖，在△ABC中，D是邊AC上的點(diǎn)，且AB＝AD，2AB＝BD，BC＝2BD，則sinC的值為（）A． B． C． D．【解析】解：設(shè)BD＝a，則由題意可得：BC＝2a，AB＝AD＝a，在△ABD中，由余弦定理得：cosA＝＝＝，∴sinA＝＝，在△ABC中，由正弦定理得，＝，即＝，解得：sinC＝，故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查了正弦、余弦定理，以及同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，熟練掌握定理是解本題的關(guān)鍵．5．（2019春?瓊山區(qū)校級(jí)期中）在銳角三角形△ABC中，A、B、C成等差數(shù)列，b＝1，則a+c的取值范圍（）A．（1，2] B．（0，1） C． D．【解析】解：根據(jù)題意，銳角三角形△ABC中，A、B、C成等差數(shù)列，即A+C＝2B，則有B＝，又由b＝1，則＝＝，則＝＝，則a＝sinA，c＝sinC，則有a+c＝（sinA+sinC）＝[sinA+sin（﹣A）]＝[sinA+sincosA+cossinA）]＝×[sinA+cosA]＝2sin（A+），又由＜A＜，則＜A+＜，則有＜a+c≤2，即a+c的取值范圍為（，2]；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理的應(yīng)用以及三角函數(shù)的恒等變形，涉及等差數(shù)列的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．6．（2020?南充模擬）如圖，《九章算術(shù)》中記載了一個(gè)“折竹抵地”問題：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，問折者高幾何？意思是：有一根竹子，原高一丈（1丈＝10尺），蟲傷有病，一陣風(fēng)將竹子折斷，其竹梢恰好抵地，抵地處離原竹子三尺遠(yuǎn)，問折斷處離地面的高？（）A．4.55尺 B．5.45尺 C．4.2尺 D．5.8尺【解析】解：如圖，已知AC+AB＝10（尺），BC＝3（尺），AB2﹣AC2＝BC2＝9，所以（AB+AC）（AB﹣AC）＝9，解得AB﹣AC＝0.9，因此，解得，故折斷后的竹干高為4.55尺，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的勾股定理的運(yùn)用，考查方程思想和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．7．（2020?襄城區(qū)校級(jí)模擬）在△ABC中，|AC|＝2，|AB|＝2，∠BAC＝120°，＝λ，＝μ，M為線段EF的中點(diǎn)，若||＝1，則λ+μ的最大值為（）A． B． C．2 D．【解析】解：建立如圖所示坐標(biāo)系；則A（0，0），C（2，0），B（﹣1，）；∵＝λ，＝μ，∴E（﹣λ，λ），F(xiàn)（2μ，0）；∴M（μ﹣，λ）；∴||＝1?（μ﹣）2+＝1?μ2﹣λμ+λ2＝1；①令λ+μ＝t，則λ＝t﹣μ代入①整理可得：3μ2﹣3μt+t2﹣1＝0；△＝（﹣3t）2﹣4×3×（t2﹣1）≥0?﹣2≤t≤2；∴λ+μ的最大值為2．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考察三角形中的有關(guān)數(shù)據(jù)的求解，本題建立坐標(biāo)系把問題給坐標(biāo)化，屬于中檔題目．8．（2019秋?湖北期末）2002年8月在北京召開的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)標(biāo)取材于我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的《勾股圓方圖》，它是由四個(gè)全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個(gè)大正方形（如圖所示）．已知大正方形邊長(zhǎng)為10，小正方形邊長(zhǎng)為2．設(shè)較小直角邊a所對(duì)的角為α，則tanα的值為（）A． B． C． D．【解析】解：由題意可得：a+2＝b，a2+b2＝102，解得a＝6，b＝8．∴tanα＝＝＝．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理、三角函數(shù)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．9．（2020?遼寧一模）如圖所示，為了測(cè)量A，B處島嶼的距離，小明在D處觀測(cè)，A，B分別在D處的北偏西15°、北偏東45°方向，再往正東方向行駛40海里至C處，觀測(cè)B在C處的正北方向，A在C處的北偏西60°方向，則A，B兩處島嶼間的距離為（）A．海里 B．海里 C．海里 D．40海里【解析】解：連接AB，由題意可知CD＝40，∠ADC＝105°，∠BDC＝45°，∠BCD＝90°，∠ACD＝30°，∴∠CAD＝45°，∠ADB＝60°，在△ACD中，由正弦定理得，∴AD＝20，在Rt△BCD中，∵∠BDC＝45°，∠BCD＝90°，∴BD＝CD＝40．在△ABD中，由余弦定理得AB＝＝20．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了解三角形的應(yīng)用，合理選擇三角形，利用正余弦定理計(jì)算是關(guān)鍵，屬于中檔題．10．（2020春?臨淄區(qū)校級(jí)月考）某觀測(cè)站C在目標(biāo)A的南偏西25°方向，從A出發(fā)有一條南偏東35°走向的公路，在C處測(cè)得與C相距31km的公路B處有一個(gè)人正沿著此公路向A走去，走20km到達(dá)D，此時(shí)測(cè)得CD距離為21km，若此人必須在20分鐘內(nèi)從D處到達(dá)A處，則此人的最小速度為（）A．30km/h B．45km/h C．14km/h D．15km/h【解析】解：如圖，易知∠CAD＝25°+35°＝60°，BC＝31，BD＝20，CD＝21，由余弦定理可得cosB＝＝，∴sinB＝．又在△ABC中，由正弦定理得：AC＝＝24．由余弦定理得BC2＝AC2+AB2﹣2AC?ABcosA，即312＝AB2+242﹣2×AB×24cos60°，∴AB2﹣24AB﹣385＝0，解得：AB＝35或AB＝﹣11（舍去），∴AD＝AB﹣BD＝35﹣20＝15（km）．此人必須在20分鐘內(nèi)從D處到達(dá)A處，則此人的最小速度為45km/小時(shí)．故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查了余弦定理，正弦定理，以及同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，熟練掌握正弦、余弦定理的解本題的關(guān)鍵．二．填空題（共4小題）11．（2019秋?張家口月考）如圖，為了測(cè)量?jī)缮巾擠，C間的距離，飛機(jī)沿水平方向在A，B兩點(diǎn)進(jìn)行測(cè)量，在A位置時(shí)，觀察D點(diǎn)的俯角為75°，觀察C點(diǎn)的俯角為30°；在B位置時(shí)，觀察D點(diǎn)的俯角為45°，觀察C點(diǎn)的俯角為60°，且AB＝km，則C，D之間的距離為km．【解析】解：如上圖所示：在A位置時(shí)，觀察D點(diǎn)的俯角為75°，觀察C點(diǎn)的俯角為30°；在B位置時(shí)，觀察D點(diǎn)的俯角為45°，觀察C點(diǎn)的俯角為60°，所以∠DAC＝45°，∠CAB＝30°，∠ABD＝45°，∠DBC＝75°，所以在△ABC中，利用三角形內(nèi)角和定理解得∠ACB＝30°，所以△ABC為等腰三角形，故AB＝BC＝，∠ABC＝120°，所以在△ABC中，利用余弦定理AC2＝AB2+BC2﹣2?AB?BC?cos∠ABC，解得．在△ABD中，利用正弦定理，解得AD＝2，在△ADC中利用余弦定理DC2＝AD2+AC2﹣2?AD?AC?cos∠DAC，所以．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：正弦定理余弦定理和三角形面積公式的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于基礎(chǔ)題型．12．（2020?大武口區(qū)校級(jí)一模）《九章算術(shù)》“勾股”章有一題：“今有二人同立．甲行率七，乙行率三，乙東行，甲南行十步而斜東北與乙會(huì)，問甲乙各行幾何?”大意是說：“已知甲、乙二人同時(shí)從同一地點(diǎn)出發(fā)，甲的速度為7，乙的速度為3，乙一直向東走，甲先向南走10步，后又斜向北偏東方向走了一段后與乙相遇．甲、乙各走了多少步?”請(qǐng)問乙走的步數(shù)是【解析】解：設(shè)甲、乙相遇經(jīng)過的時(shí)間為x，如圖：則AC＝3x，AB＝10，BC＝7x﹣10，∵A＝90°，∴BC2＝AB2+AC2，即（7x﹣10）2＝102+（3x）2，解得x＝或x＝0（舍去），∴AC＝3x＝，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的實(shí)際應(yīng)用，畫出圖象是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．13．（2020?海安市模擬）如圖，已知兩座建筑物AB，CD的高度分別為15m和9m，且AB＞BC＞CD，從建筑物AB的項(xiàng)部A看建筑物CD的張角為∠CAD，測(cè)得tan∠CAD＝，則B，C間的距離12m．【解析】解：過A作AE∥BC，交CD的延長(zhǎng)線于E，設(shè)∠EAD＝α，∠CAD＝β，由題意可得，AB＝15，CD＝9，DE＝6，tanβ＝，AE＝BC＝x，Rt△ADE中，tan，tanβ＝，Rt△ABC中，∠BCD＝α+β，tan（α+β）＝＝，整理可得，2x2﹣39x+180＝0，解可得x＝12或x＝，因?yàn)锽C＞CD＝9，故BC＝12，故答案為：12．【點(diǎn)睛】考查了解三角形的實(shí)際應(yīng)用．解這類題的關(guān)鍵是建立數(shù)學(xué)模型，設(shè)出恰當(dāng)?shù)慕牵疾閮山呛团c差的三角函數(shù)，考查計(jì)算能力．14．（2020?貴州模擬）如圖所示，在山腳A測(cè)得山頂P的仰角為∠QAP＝45°，沿傾斜角為∠QAB＝15°的斜坡向上走146.4米到達(dá)B，在B測(cè)得山頂P的仰角為∠CBP＝60°，則山高PQ＝282.8米．（＝1.414，＝1.732，結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后1位）【解析】解：∠PAB＝∠PAQ﹣∠BAQ＝45°﹣15°＝30°，∠APB＝∠QPA﹣∠CPA＝45°﹣（90°﹣60°）＝15°．∠ABP＝180°﹣（∠PAB+∠APB）＝135°，在△PAB中，由正弦定理得＝，即AP＝＝＝＝＝，PQ＝APsin∠PAQ＝×＝282.8（米）．故答案為：282.8．【點(diǎn)睛】本題考查解三角形，考查正弦定理的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想與運(yùn)算能力，屬于中檔題．三．解答題（共3小題）15．（2020?淮陰區(qū)模擬）如圖，某森林公園有一直角梯形區(qū)域ABCD，其四條邊均為道路，AD∥BC，∠ADC＝90°，AB＝5千米，BC＝8千米，CD＝3千米．現(xiàn)甲、乙兩管理員同時(shí)從A地出發(fā)勻速前往D地，甲的路線是AD，速度為6千米/小時(shí)，乙的路線是ABCD，速度為v千米/小時(shí)．（1）若甲、乙兩管理員到達(dá)D的時(shí)間相差不超過15分鐘，求乙的速度v的取值范圍；（2）已知對(duì)講機(jī)有效通話的最大距離是5千米．若乙先到達(dá)D，且乙從A到D的過程中始終能用對(duì)講機(jī)與甲保持有效通話，求乙的速度v的取值范圍．【解析】解：（1）由題意，可得AD＝12千米．由題可知|﹣|≤，解得≤v≤．（2）經(jīng)過t小時(shí)，甲、乙之間的距離的平方為f（t）．由于先乙到達(dá)D地，故＜2，即v＞8．①當(dāng)0＜vt≤5，即0＜t≤時(shí)，f（t）＝（6t）2+（vt）2﹣2×6t×vt×cos∠DAB＝（v2﹣v+36）t2．因?yàn)関2﹣v+36＞0，所以當(dāng)t＝時(shí)，f（t）取最大值，所以（v2﹣v+36）×（）2≤25，解得v≥．②當(dāng)5＜vt≤13，即＜t≤時(shí)，f（t）＝（vt﹣1﹣6t）2+9＝（v﹣6）2（t﹣）2+9．因?yàn)関＞8，所以＜，（v﹣6）2＞0，所以當(dāng)t＝時(shí)，f（t）取最大值，所以（v﹣6）2（﹣））2+9≤25，解得≤v≤．③當(dāng)13≤vt≤16，≤t≤時(shí)，f（t）＝（12﹣6t）2+（16﹣vt）2，因?yàn)?2﹣6t＞0，16﹣vt＞0，所以當(dāng)f（t）在（，）遞減，所以當(dāng)t＝時(shí)，f（t）取最大值，（12﹣6×）2+（16﹣v×）2≤25，解得≤v≤．因?yàn)関＞8，所以8＜v≤．【點(diǎn)睛】本