高一數(shù)學(xué)下冊(cè)期末考點(diǎn)大串講(人教A版)第3講等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和(專題測(cè)試)特訓(xùn)（學(xué)生版+解析）

必修5第3講等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和（專題測(cè)試）第Ⅰ卷（選擇題）一．選擇題（共10小題）1．（2020?宜昌模擬）我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》有如下問題：“今有金箠，長(zhǎng)五尺，斬本一尺，重四斤，斬末一尺，重二斤．問次一尺各重幾何？”意思是：“現(xiàn)有一根金杖，長(zhǎng)5尺，一頭粗，一頭細(xì)．在粗的一端截下1尺，重4斤，在細(xì)的一端截下1尺，重2斤．問依次每一尺各重多少斤？”假定該金杖被截成長(zhǎng)度相等的若干段時(shí)，其重量從粗到細(xì)構(gòu)成等差數(shù)列．若將該金杖截成長(zhǎng)度相等的20段，則中間兩段的重量和為（）A．斤 B．斤 C．斤 D．斤2．（2020?大連一模）設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若a4+a5＝12，則S8的值為（）A．14 B．28 C．36 D．483．（2020春?靜海區(qū)校級(jí)期中）在公比q為整數(shù)的等比數(shù)列{an}中，Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若a1+a4＝18，a2+a3＝12，則下列說法錯(cuò)誤的是（）A．q＝2 B．?dāng)?shù)列{Sn+2}是等比數(shù)列 C．S8＝510 D．?dāng)?shù)列B＝{x|x∈A且x﹣2?A}是公差為2的等差數(shù)列4．（2020?廣州模擬）已知{an}是等差數(shù)列，a3＝5，a2﹣a4+a6＝7，則數(shù)列{an}的公差為（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．25．（2020?興寧區(qū)校級(jí)模擬）設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a4＝4，S9＝45，a10＝（）A．20 B．10 C．44 D．556．（2020?丹東一模）中國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》有如下問題：“今有女子善織，日增等尺，七日織二十八尺，第二日、第五日、第八日所織之和為一十五尺”，則該女子第六日所織（）A．5尺 B．6尺 C．7尺 D．8尺7．（2020?廣西模擬）等差數(shù)列{an}中，已知a1+a9＝10，則a3+a4+a5+a6+a7＝（）A．5 B．10 C．15 D．258．（2020?深圳二模）在等差數(shù)列{an}中，Sn為其前n項(xiàng)的和，已知3a8＝5a13，且a1＞0，若Sn取得最大值，則n為（）A．20 B．21 C．22 D．239．（2019春?武漢期中）已知等差數(shù)列{an}、{bn}的前n項(xiàng)和分別為Sn、Tn，若，則的值為（）A． B． C． D．10．（2020?茅箭區(qū)校級(jí)模擬）記等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若Sk﹣1＝0，Sk＝5，Sk+1＝12（k≥2），則S2k＝（）A．67 B．77 C．60 D．50

第Ⅱ卷（非選擇題）二．填空題（共4小題）11．（2020?吳興區(qū)校級(jí)模擬）已知等差數(shù)列{an}滿足：a1＞0，a4，a5是方程x2+mx﹣1＝0（m∈R）的兩根，數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，于是當(dāng)Sn最大時(shí)，n＝，的取值范圍是．12．（2020?茂名一模）已知數(shù)列{an}滿足an＞0，且lgan，lgan+1，lgan+2成等差數(shù)列，若a3a4a6a7＝4，則a5＝．13．（2019秋?安徽期末）《周髀算經(jīng)》中有這樣一個(gè)問題，從冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個(gè)節(jié)氣的日影子長(zhǎng)依次成等差數(shù)列，若冬至、立春、春分的日影子長(zhǎng)的和是37.5尺，芒種的日影子長(zhǎng)為4.5尺，則冬至的日影子長(zhǎng)為．14．（2019春?興寧區(qū)校級(jí)期中）等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a2＝6，a3+a6＝27，設(shè)Tn＝，若對(duì)于一切正整數(shù)n，總有Tn≤t成立，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是．三．解答題（共3小題）15．（2019?西湖區(qū)校級(jí)模擬）設(shè){an}是首項(xiàng)為a1，公比為q的等比數(shù)列，且a1＝1．（Ⅰ）若a1，a2，a3成等差數(shù)列，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，當(dāng)q＝2時(shí)，令bn＝log2（Sn+1），求證：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列．16．（2019?新課標(biāo)Ⅰ）記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．已知S9＝﹣a5．（1）若a3＝4，求{an}的通項(xiàng)公式；（2）若a1＞0，求使得Sn≥an的n的取值范圍．17．（2020?肥城市模擬）已知公差不為零的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a12＝a92，S6＝18．（1）求{an}的通項(xiàng)公式；（2）求Sn的最大值及對(duì)應(yīng)n的大?。匦?第3講等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和（專題測(cè)試）參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）1．（2020?宜昌模擬）我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》有如下問題：“今有金箠，長(zhǎng)五尺，斬本一尺，重四斤，斬末一尺，重二斤．問次一尺各重幾何？”意思是：“現(xiàn)有一根金杖，長(zhǎng)5尺，一頭粗，一頭細(xì)．在粗的一端截下1尺，重4斤，在細(xì)的一端截下1尺，重2斤．問依次每一尺各重多少斤？”假定該金杖被截成長(zhǎng)度相等的若干段時(shí)，其重量從粗到細(xì)構(gòu)成等差數(shù)列．若將該金杖截成長(zhǎng)度相等的20段，則中間兩段的重量和為（）A．斤 B．斤 C．斤 D．斤【解析】解：現(xiàn)有一根金杖，長(zhǎng)5尺，一頭粗，一頭細(xì)．在粗的一端截下1尺，重4斤，在細(xì)的一端截下1尺，重2斤．假定該金杖被截成長(zhǎng)度相等的20段時(shí)，其重量從粗到細(xì)構(gòu)成等差數(shù)列．則等差數(shù)列{an}中，S4＝4，S20﹣S16＝2，∴，解得，d＝﹣，則中間兩段的重量和為：a10+a11＝2a1+19d＝2×+19×（﹣）＝（斤）．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的兩項(xiàng)和的求法，考查等差數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．2．（2020?大連一模）設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若a4+a5＝12，則S8的值為（）A．14 B．28 C．36 D．48【解析】解：∵Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，a4+a5＝12，∴S8＝＝＝4×12＝48．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查直角三角形三邊長(zhǎng)的比的求法，考查等差數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．3．（2020春?靜海區(qū)校級(jí)期中）在公比q為整數(shù)的等比數(shù)列{an}中，Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若a1+a4＝18，a2+a3＝12，則下列說法錯(cuò)誤的是（）A．q＝2 B．?dāng)?shù)列{Sn+2}是等比數(shù)列 C．S8＝510 D．?dāng)?shù)列B＝{x|x∈A且x﹣2?A}是公差為2的等差數(shù)列【解析】解：由題設(shè)條件知：，解得：或．∵q為整數(shù)，∴，故選項(xiàng)A說法正確；∵S＝2n+1﹣2，∴Sn+2＝2n+1．∴，∴數(shù)列{Sn+2}是等比數(shù)列，故選項(xiàng)B說法正確；又S8＝29﹣2＝510，故選項(xiàng)C說法正確；故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列基本量的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．4．（2020?廣州模擬）已知{an}是等差數(shù)列，a3＝5，a2﹣a4+a6＝7，則數(shù)列{an}的公差為（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【解析】解：∵{an}是等差數(shù)列，a3＝5，a2﹣a4+a6＝7，∴，解得a1＝1，d＝2．∴數(shù)列{an}的公差為2．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的公差的求法，考查等差數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．5．（2020?興寧區(qū)校級(jí)模擬）設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a4＝4，S9＝45，a10＝（）A．20 B．10 C．44 D．55【解析】解：∵等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a4＝4，S9＝45，∴，解得a1＝1，d＝1，∴a10＝1+9＝10．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的第10項(xiàng)的求法，考查等差數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．6．（2020?丹東一模）中國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》有如下問題：“今有女子善織，日增等尺，七日織二十八尺，第二日、第五日、第八日所織之和為一十五尺”，則該女子第六日所織（）A．5尺 B．6尺 C．7尺 D．8尺【解析】解：由題意可得，7a1+21d＝28且a1+d+a1+4d+a1+7d＝15，解可得，a1＝d＝1，∴a6＝a1+5d＝6．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及求和公式在實(shí)際問題中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)試題．7．（2020?廣西模擬）等差數(shù)列{an}中，已知a1+a9＝10，則a3+a4+a5+a6+a7＝（）A．5 B．10 C．15 D．25【解析】解：等差數(shù)列{an}中，已知a1+a9＝10＝2a5，∴a5＝5，則a3+a4+a5+a6+a7＝5a5＝25，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．8．（2020?深圳二模）在等差數(shù)列{an}中，Sn為其前n項(xiàng)的和，已知3a8＝5a13，且a1＞0，若Sn取得最大值，則n為（）A．20 B．21 C．22 D．23【解析】解：由題意3a8＝5a13，化簡(jiǎn)得：3（a1+7d）＝5（a1+12d），又a1＞0，∴a1＝﹣d，d＜0，∴Sn＝na1+d＝dn2﹣20dn∴n＝20為對(duì)稱軸，即n＝20時(shí)，Sn有最大值．故選：A．【點(diǎn)睛】本題是一個(gè)最大值的問題，主要是利用等差數(shù)列的性質(zhì)與等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式以及結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)來解題．9．（2019春?武漢期中）已知等差數(shù)列{an}、{bn}的前n項(xiàng)和分別為Sn、Tn，若，則的值為（）A． B． C． D．【解析】解：依題意，數(shù)列{an}、{bn}是等差數(shù)列，，設(shè)Sn＝kn（n+2），（k≠0），則Tn＝kn（n+1），所以＝＝＝．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的前n項(xiàng)和與二次函數(shù)的關(guān)系、等差數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和的關(guān)系．屬于中檔題．10．（2020?茅箭區(qū)校級(jí)模擬）記等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若Sk﹣1＝0，Sk＝5，Sk+1＝12（k≥2），則S2k＝（）A．67 B．77 C．60 D．50【解析】解：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，若Sk﹣1＝0，Sk＝5，Sk+1＝12（k≥2），∴（k﹣1）a1+d＝0，ka1+d＝5，（k+1）a1+d＝12，化為：k＝，a1＝2d﹣7，代入ka1+d＝5，解得：k＝5，a1＝﹣3，d＝2，則S2k＝S10＝10×（﹣3）+×2＝60．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．二．填空題（共4小題）11．（2020?吳興區(qū)校級(jí)模擬）已知等差數(shù)列{an}滿足：a1＞0，a4，a5是方程x2+mx﹣1＝0（m∈R）的兩根，數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，于是當(dāng)Sn最大時(shí)，n＝4，的取值范圍是（，1）．【解析】解：a4，a5是方程x2+mx﹣1＝0（m∈R）的兩根，∴a4+a5＝﹣m，a4?a5＝﹣1＜0，于是當(dāng)Sn最大時(shí)，則有首項(xiàng)a1大于0，公差d小于0，{an}為遞減的等差數(shù)列，所以a4＞0，a5＜0所以n＝4時(shí)Sn最大，即a1+3d＞0，a1+4d＜0，所以﹣3d＜a1＜﹣4d，所以﹣4＜＜﹣3，＝＝，設(shè)x＝，﹣4＜x＜﹣3，所以＝＝＝+，y＝+單調(diào)遞減，所以y∈（，1），所以的取值范圍是（，1）．故答案分別為：4，（，1）．【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求和公式及其性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．12．（2020?茂名一模）已知數(shù)列{an}滿足an＞0，且lgan，lgan+1，lgan+2成等差數(shù)列，若a3a4a6a7＝4，則a5＝．【解析】解：由題意可得，lgan+lgan+2＝2lgan+1，即，即數(shù)列{an}為等比數(shù)列，由等比數(shù)列的性質(zhì)可得，a3a4a6a7＝＝4，∵an＞0，則a5＝．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等比數(shù)列的性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)試題．13．（2019秋?安徽期末）《周髀算經(jīng)》中有這樣一個(gè)問題，從冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個(gè)節(jié)氣的日影子長(zhǎng)依次成等差數(shù)列，若冬至、立春、春分的日影子長(zhǎng)的和是37.5尺，芒種的日影子長(zhǎng)為4.5尺，則冬至的日影子長(zhǎng)為15.5尺．【解析】解：∵從冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個(gè)節(jié)氣的日影子長(zhǎng)依次成等差數(shù)列{an}，冬至、立春、春分的日影子長(zhǎng)的和是37.5尺，芒種的日影子長(zhǎng)為4.5尺，∴，解得d＝﹣1，a1＝15.5．∴冬至的日影子長(zhǎng)為15.5尺．故答案為：15.5尺．【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的首項(xiàng)的求法，考查等差數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．14．（2019春?興寧區(qū)校級(jí)期中）等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a2＝6，a3+a6＝27，設(shè)Tn＝，若對(duì)于一切正整數(shù)n，總有Tn≤t成立，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是[）．【解析】解：設(shè)公差為d，由題意得：，聯(lián)立解得a1＝3，d＝3．∴an＝3+3（n﹣1）＝3n．∴Sn＝＝．∴Tn＝＝，∴Tn+1﹣Tn＝﹣＝，∴當(dāng)n≥3時(shí)，Tn＞Tn+1，且T1＝1＜T2＝T3＝．∴Tn的最大值為．若對(duì)于一切正整數(shù)n，總有Tn≤t成立，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式及其性質(zhì)、不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．三．解答題（共3小題）15．（2019?西湖區(qū)校級(jí)模擬）設(shè){an}是首項(xiàng)為a1，公比為q的等比數(shù)列，且a1＝1．（Ⅰ）若a1，a2，a3成等差數(shù)列，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，當(dāng)q＝2時(shí)，令bn＝log2（Sn+1），求證：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列．【解析】解：（Ⅰ）∵{an}是首項(xiàng)為a1，公比為q的等比數(shù)列，且a1＝1．a(chǎn)1，a2，a3成等差數(shù)列，∴2a2＝a1+a3，∴2q＝1+q2，解得q＝1，∴數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝1．（Ⅱ）∵Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，當(dāng)q＝2時(shí)，∴＝2n﹣1，∵bn＝log2（Sn+1）＝＝n，∴bn+1﹣bn＝n+1﹣n＝1．∴數(shù)列{bn}是等差數(shù)列．【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查等差數(shù)列的證明，考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是基礎(chǔ)題．16．（2019?新課標(biāo)Ⅰ）記Sn為等差數(shù)列{