2024-2025高中數(shù)學第三章概率3.3模擬方法-概率的應(yīng)用課時作業(yè)含解析北師大版必修3

PAGE課時作業(yè)18模擬方法——概率的應(yīng)用|基礎(chǔ)鞏固|(25分鐘，60分)一、選擇題(每小題5分，共25分)1．當你到一個紅綠燈路口時，紅燈的時間為30秒，黃燈的時間為5秒，綠燈的時間為45秒，那么你看到黃燈的概率是()A.eq\f(1,12)B.eq\f(3,8)C.eq\f(1,16)D.eq\f(5,6)解析：由題意可知，在80秒內(nèi)路口的紅、黃、綠燈是隨機出現(xiàn)的，可以認為是無限次等可能出現(xiàn)的，符合幾何概型的條件．事務(wù)“看到黃燈”的時間長度為5秒，而整個燈的變換時間長度為80秒，據(jù)幾何概型概率計算公式，得看到黃燈的概率為P＝eq\f(5,80)＝eq\f(1,16).答案：C2．在半徑為2的球O內(nèi)任取一點P，則|OP|>1的概率為()A.eq\f(7,8)B.eq\f(5,6)C.eq\f(3,4)D.eq\f(1,2)解析：問題相當于在以O(shè)為球心，1為半徑的球外，且在以O(shè)為球心，2為半徑的球內(nèi)任取一點，所以P＝eq\f(\f(4,3)π×23－\f(4,3)π×13,\f(4,3)π×23)＝eq\f(7,8).答案：A3．已知事務(wù)“在矩形ABCD的邊CD上隨機取一點P，使△APB的最大邊是AB”發(fā)生的概率為eq\f(1,2)，則eq\f(AD,AB)＝()A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,4)C.eq\f(\r(3),2)D.eq\f(\r(7),4)解析：如圖，在矩形ABCD中，以B，A為圓心，以AB為半徑作圓交CD分別于E，F(xiàn)，當點P在線段EF上運動時滿意題設(shè)要求，所以E，F(xiàn)為CD的四等分點，設(shè)AB＝4，則DF＝3，AF＝AB＝4，在直角三角形ADF中，AD＝eq\r(AF2－DF2)＝eq\r(7)，所以eq\f(AD,AB)＝eq\f(\r(7),4).答案：D4．如圖，邊長為2的正方形中有一封閉曲線圍成的陰影區(qū)域．在正方形中隨機撒一粒豆子，它落在陰影區(qū)域內(nèi)的概率是eq\f(1,3)，則陰影區(qū)域的面積是()A.eq\f(1,3)B.eq\f(2,3)C.eq\f(4,3)D．無法計算解析：在正方形中隨機撒一粒豆子，其結(jié)果有無限個，屬于幾何概型．設(shè)“落在陰影區(qū)域內(nèi)”為事務(wù)A，則事務(wù)A構(gòu)成的區(qū)域是陰影部分．設(shè)陰影區(qū)域的面積為S，全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域面積是正方形的面積，則有P(A)＝eq\f(S,22)＝eq\f(S,4)＝eq\f(1,3)，解得S＝eq\f(4,3).答案：C5．已知方程x2＋3x＋eq\f(p,4)＋1＝0，若p在[0,10]中隨機取值，則方程有實數(shù)根的概率為()A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,3)C.eq\f(2,5)D.eq\f(2,3)解析：因為總的基本領(lǐng)件是[0,10]內(nèi)的全部實數(shù)，所以基本領(lǐng)件總數(shù)為無限個，符合幾何概型的條件，事務(wù)對應(yīng)的測度為區(qū)間的長度，總的基本領(lǐng)件對應(yīng)區(qū)間[0,10]，長度為10，而事務(wù)“方程有實數(shù)根”應(yīng)滿意Δ≥0，即9－4×1×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,4)＋1))≥0，得p≤5，所以對應(yīng)區(qū)間[0,5]，長度為5，所以所求概率為eq\f(5,10)＝eq\f(1,2).答案：A二、填空題(每小題5分，共15分)6．在區(qū)間[－1,2]上隨機取一個數(shù)x，則x∈[0,1]的概率為________．解析：[－1,2]的長度為3，[0,1]的長度為1，所以概率是eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)7．在平面直角坐標系xOy中，設(shè)D是橫坐標與縱坐標的肯定值均不大于2的點構(gòu)成的區(qū)域，E是到原點的距離不大于1的點構(gòu)成的區(qū)域，向D中隨機投一點，則落入E中的概率為________．解析：如圖，區(qū)域D表示邊長為4的正方形的內(nèi)部(含邊界)，區(qū)域E表示單位圓及其內(nèi)部，因此P＝eq\f(π×12,4×4)＝eq\f(π,16).答案：eq\f(π,16)8．一個球形容器的半徑為3cm，里面裝有純凈水，因不當心混入了1個感冒病毒，從中任取1mL水(體積為1cm3)，含有感冒病毒的概率為________．解析：水的體積為eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)π·33＝36π(cm3)＝36π(mL)，則含感冒病毒的概率為P＝eq\f(1,36π).答案：eq\f(1,36π)三、解答題(每小題10分，共20分)9．一個路口的紅燈亮的時間為30秒，黃燈亮的時間為5秒，綠燈亮的時間為40秒，當你到達路口時，望見下列三種狀況的概率各是多少？(1)紅燈亮；(2)黃燈亮；(3)不是紅燈亮．解析：在75秒內(nèi)，每一時刻到達路口亮燈的時間是等可能的，屬于幾何概型．(1)P＝eq\f(紅燈亮的時間,全部時間)＝eq\f(30,30＋40＋5)＝eq\f(2,5)；(2)P＝eq\f(黃燈亮的時間,全部時間)＝eq\f(5,75)＝eq\f(1,15)；(3)P＝eq\f(不是紅燈亮的時間,全部時間)＝eq\f(黃燈亮或綠燈亮的時間,全部時間)＝eq\f(45,75)＝eq\f(3,5).10．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，棱長為1，在正方體內(nèi)隨機取一點M，求使M－ABCD的體積小于eq\f(1,6)的概率．解析：設(shè)點M到面ABCD的距離為h，則VM－ABCD＝eq\f(1,3)S底ABCD·h＝eq\f(1,6)，即h＝eq\f(1,2).所以只要點M到面ABCD的距離小于eq\f(1,2)時，即滿意條件．全部滿意點M到面ABCD的距離小于eq\f(1,2)的點組成以面ABCD為底，高為eq\f(1,2)的長方體，其體積為eq\f(1,2).又因為正方體體積為1，所以使四棱錐M－ABCD的體積小于eq\f(1,6)的概率為P＝eq\f(\f(1,2),1)＝eq\f(1,2).|實力提升|(20分鐘，40分)11．一只小蜜蜂在一個棱長為3的正方體內(nèi)自由飛行，若蜜蜂在飛行過程中始終保持與正方體6個表面的距離均大于1，稱其為“平安飛行”，則蜜蜂“平安飛行”的概率為()A.eq\f(8,27)B.eq\f(1,27)C.eq\f(26,27)D.eq\f(15,27)解析：依據(jù)題意：平安飛行的區(qū)域為棱長為1的正方體，∴P＝eq\f(構(gòu)成事務(wù)A的區(qū)域體積,試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域體積)＝eq\f(1,27).故選B.答案：B12．在區(qū)間[0,2]上隨機地取一個數(shù)x，則事務(wù)“－1≤logeq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))≤1”發(fā)生的概率為________．解析：由－1≤logeq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))≤1得eq\f(1,2)≤x＋eq\f(1,2)≤2，即0≤x≤eq\f(3,2)，故所求概率為eq\f(\f(3,2),2)＝eq\f(3,4).答案：eq\f(3,4)13．甲、乙兩人約定晚上6點到7點之間在某地見面，并約定先到者要等候另一人一刻鐘，過時即可離開．求甲、乙能見面的概率．解析：如圖所示：以x軸和y軸分別表示甲、乙兩人到達約定地點的時間，則兩人能夠會面的等價條件是|x－y|≤15.在平面直角坐標系內(nèi)，(x，y)的全部可能結(jié)果是邊長為60的正方形，而事務(wù)A“兩人能夠見面”的可能結(jié)果是陰影部分所表示的平面區(qū)域，由幾何概型的概率公式得：P(A)＝eq\f(SA,S)＝eq\f(602－452,602)＝eq\f(3600－2025,3600)＝eq\f(7,16).所以兩人能會面的概率是eq\f(7,16).14．已知函數(shù)f(x)＝－x2＋ax－b.(1)若a，b都是從0,1,2,3,4五個數(shù)中任取的一個數(shù)，求上述函數(shù)有零點的概率．(2)若a，b都是從區(qū)間[0,4]任取的一個數(shù)，求f(1)>0成立時的概率．解析：(1)a，b都是從0,1,2,3,4五個數(shù)中任取的一個數(shù)的基本領(lǐng)件總數(shù)為N＝5×5＝25(個)．函數(shù)有零點的條件為Δ＝a2－4b≥0，即a2≥4b.因為事務(wù)“a2≥4b”包含(0,0)，(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3