數(shù)學(xué)同步優(yōu)化訓(xùn)練：平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2.4平面向量的數(shù)量積2。4。1平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義5分鐘訓(xùn)練(預(yù)習(xí)類訓(xùn)練,可用于課前)1。若e1、e2是兩個互相平行的單位向量，則下列判斷正確的是（)A.e1·e2=1B.e1·e2=—1C.e1·e2=±1D。|e1·e2｜＜1解析：兩個平行的單位向量,當它們的方向相同時，數(shù)量積為1，當它們的方向相反時,數(shù)量積為-1。答案：C2.判斷正誤，并簡要說明理由.①a·0=0;②0·a=0;③0-=；④|a·b｜=|a｜｜b｜；⑤若a≠0，則對任一非零向量b有a·b≠0；⑥a·b=0,則a與b中至少有一個為0;⑦a與b是兩個單位向量，則a2=b2.解:上述7個命題中只有③⑦正確：對于①:兩個向量的數(shù)量積是一個實數(shù)，應(yīng)有0·a=0；對于②：應(yīng)有0·a=0；對于④：由數(shù)量積定義有|a·b｜=|a|｜b｜·|cosθ|≤｜a｜｜b｜，這里θ是a與b的夾角，只有θ=0或θ=π時，才有｜a·b｜=|a｜｜b｜；對于⑤：若非零向量a、b垂直，則有a·b=0；對于⑥：由a·b=0可知a⊥b，可以都非零.3。已知|a｜=3,｜b｜=6，當：①a∥b；②a⊥b；③a與b的夾角為60°時，分別求a·b。解：①當a∥b時，若a與b同向，則它們的夾角θ=0°,∴a·b=｜a｜|b｜cos0°=3×6×1=18；若a與b反向,則它們的夾角θ=180°，∴a·b=|a|｜b｜cos180°=3×6×(-1）=—18。②當a⊥b時，它們的夾角θ=90°，∴a·b=0.③當a與b的夾角是60°時，有a·b=｜a|｜b｜cos60°=3×6×=9。4。已知｜a｜=10，｜b｜=12,a與b的夾角為120°，求a·b。解：由定義，a·b=｜a｜｜b｜cosθ=10×12×cos120°=-60.10分鐘訓(xùn)練（強化類訓(xùn)練，可用于課中）1。(2006高考四川卷，理7)如圖2-4—1,已知正六邊形P1P2P3P4P5P6,下列向量的數(shù)量積中最大的是(）圖2A。，B。，C.，D.,解析：在正六邊形中｜P1P2|的長度設(shè)為1，則｜P1P3|=，｜P1P4｜=2，｜P1P5|=，|P1P6｜=1。由數(shù)量積的計算公式,得=1×cos30°=，=1×2cos60°=1，=1×2cos90°=0,=1×1cos120°=，∴為最大.答案：A2.(2006高考福建卷,理11)已知｜｜=1，｜｜=，·=0,點C在∠AOB內(nèi)，且∠AOC=30°。設(shè)=m+n（m，n∈R)，則等于(）A。B。3C.D.解析：設(shè)的模長為a，則由向量加法的幾何意義得兩式相除得=3。答案：B3.給出下列命題：①在△ABC中,若·＜0，則△ABC是銳角三角形;②在△ABC中,若·＞0，則△ABC是鈍角三角形；③△ABC是直角三角形·=0；④△ABC是斜三角形的必要不充分條件是·≠0.其中，正確命題的序號是______________________。解析：利用數(shù)量積的符號，可以判斷向量的夾角是銳角、直角，還是鈍角。①∵·＜0，∴·=-·＞0,∴∠B是銳角，但并不能斷定其余的兩個角也是銳角。所以推不出△ABC是銳角三角形。故命題①是假命題。②∵·＞0，∴·=-·＜0。∠A是鈍角，因而△ABC是鈍角三角形.故命題②是真命題。③△ABC是直角三角形，則直角可以是∠A，也可以是∠B，∠C。而·=0僅能保證∠B是直角.故命題③是假命題.④一方面，當△ABC是斜三角形時，其三個內(nèi)角均不是直角，故·≠0；另一方面,由·≠0只能得出∠B不是直角，但∠A或∠C中可能有一個直角。故命題④是真命題。答案:②④4.若向量a，b,c滿足a+b+c=0，且|a|=3，｜b|=1，｜c|=4，則a·b+b·c+a·c=_____________。解法一：∵a+b+c=0，∴(a+b+c)2=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2a·∴2（a·b+b·c+a·c)=-（a2+b2+c2）=—(|a|2+|b｜2+|c｜2）=-（32+12+42)=-26.∴a·b+b·c+a·c=-13。解法二：根據(jù)已知條件可知|c|=|a｜+|b｜，c=—a-b，所以a與b同向，c與a+b反向。所以有a·b+b·c+a·c=3cos0°+4cos180°+12cos180°=3-4—12=-13.答案:—135。已知a,b是兩個非零向量,同時滿足｜a｜=|b|=｜a-b｜，求a與a+b的夾角。解法一：根據(jù)｜a|=｜b｜，有|a｜2=｜b|2，又由|b｜=｜a—b｜，得｜b|2=｜a｜2—2a·b+｜b|2∴a·b=|a|2。而|a+b｜2=|a｜2+2a·b+｜b|2=3|a｜2∴｜a+b|=.設(shè)a與a+b的夾角為θ，則cosθ=,∴θ=30°。解法二：設(shè)向量a=（x1,y1)，b=(x2，y2），∵｜a|=｜b|，∴.由|b|=|a-b|，得x1x2+y1y2=(),即a·b=（)。由｜a+b｜2=2(）+2×（）=3（)，得|a+b|=(）。設(shè)a與a+b的夾角為θ，則cosθ=，∴θ=30°。解法三：根據(jù)向量加法的幾何意義，在平面內(nèi)任取一點O，作=a,OB=b，以O(shè)A、OB為鄰邊作平行四邊形OACB.∵｜a｜=|b|，即||=|｜，∴OACB為菱形，OC平分∠AOB，這時=a+b,=a—b.而｜a｜=｜b｜=|a-b|，即|｜=｜|=｜|?！唷鰽OB為正三角形，則∠AOB=60°，于是∠AOC=30°，即a與a+b的夾角為30°。6.若(a+b)⊥(2a—b），(a-2b)⊥(2a+b），試求a,解：由(a+b)⊥（2a—b)，(a-2b)⊥(2a+即∴a2=b2，｜a|2=|b|2,｜a｜=|b|。由2a2+a·b-b2a·b=b2—2a2=|b|2-2|a｜2=｜b|2—2×｜b|2=—|b｜2，∴cosθ=?！郺,b的夾角的余弦值為。30分鐘訓(xùn)練(鞏固類訓(xùn)練，可用于課后)1.已知向量a，b，a·b=—40，｜a｜=10，｜b｜=8，則向量a,b的夾角為（)A.60°B.—60°C.120°D。-120°解析：根據(jù)公式a·b=|a|｜b|cosθ，得cosθ=，由此可求兩向量的夾角為120°.答案：C2.下列命題中真命題的個數(shù)是(）①｜a·b｜=｜a｜·｜b｜②a·b=0a=0或b=0③|λa|=｜λ｜·｜a｜④λa=0λ=0或a=0A.1B。2C解析：由向量數(shù)量積的定義,可知①②錯誤，③④正確.答案：B3.(2006高考陜西卷，理9)已知非零向量與滿足（）·=0且·=，則△ABC為（）A.三邊均不相等的三角形B。直角三角形C。等腰非等邊三角形D。等邊三角形解析：由（）·=0可知∠A的平分線與邊BC垂直。又cosA==，所以∠A=。所以△ABC為等邊三角形。答案:D4.如圖2-4—2所示,在平行四邊形ABCD中，｜求:（1）·；（2）·；(3）·。圖2解:（1）·=9;（2)·=—16；(3）·=—6。5。設(shè)n和m是兩個單位向量,其夾角是60°，求向量a=2m+n與b=2n—3解：｜m｜=1,|n|=1,由夾角是60°，得m·n=。則有|a|=|2m+n|=。|b|=|2n-3m|=.所以a·b=（2m+n）·（2n—3m)=m·n—6m2+2n2=所以a，b的夾角為120°.6.已知向量=a，=b，∠AOB=60°,且|a|=｜b｜=4。(1)求｜a+b｜,|a—b｜；(2)求a+b與a的夾角及a—b與a的夾角.解法一：（1）|a+b|2=(a+b）2=a2+2a·b+b2=｜a｜2+2｜a｜｜b｜cos60°+|b|2=42+2×4×4cos60°+42=16+16+16=48，∴|a+b｜a-b|2=(a-b）2=a2—2a·b+b2=｜a|2-2｜a|｜b|cos60°+|b｜2=42-2×4×4cos60°+42=16—16+16=16,∴｜a—b（2)記a+b與a的夾角為α，a—b與a的夾角為β，則cosα=，∴α=30°。cosβ=.∴α=60°。解法二:如圖，以O(shè)A，OB為鄰邊作平行四邊形OACB?！遼a|=|b｜=4，∴四邊形OACB為菱形.（1）a+b=，a-b=,又∠AOB=60°，∴｜a+b｜=||=2｜|=2××4=，a-b=|｜=4.(2）在△OAC中，∠OAC=120°，∴∠COA=∠OCA=30°。a+b與a的夾角即∠COA=30°，a—b與a的夾角即與所成的角為60°。7。已知｜a｜=5,｜b｜=12，當且僅當m為何值時，向量a+mb與a-mb互相垂直?解：若向量a+mb與a—mb互相垂直，則有（a+mb)·（a—mb）=0，∴a2-m2b2=0?！撸黙｜=5，｜b|=12,∴a2=25，b2=144?！?5-144m2∴m=±?！喈斍覂H當m