第01講相似形比例線段相似三角形（3大考點(diǎn)12種解題方法）

第01講相似形、比例線段、相似三角形（3大考點(diǎn)12種解題方法）考點(diǎn)考點(diǎn)考向一．比例的性質(zhì)（1）比例的基本性質(zhì)：組成比例的四個(gè)數(shù)，叫做比例的項(xiàng)．兩端的兩項(xiàng)叫做比例的外項(xiàng)，中間的兩項(xiàng)叫做比例的內(nèi)項(xiàng)．（2）常用的性質(zhì)有：①內(nèi)項(xiàng)之積等于外項(xiàng)之積．若＝，則ad＝bc．②合比性質(zhì)．若＝，則＝．③分比性質(zhì)．若＝，則＝．④合分比性質(zhì)．若＝，則＝．⑤等比性質(zhì)．若＝＝…＝（b+d+…+n≠0），則＝．二．比例線段（1）對(duì)于四條線段a、b、c、d，如果其中兩條線段的比（即它們的長(zhǎng)度比）與另兩條線段的比相等，如ab＝cd（即ad＝bc），我們就說(shuō)這四條線段是成比例線段，簡(jiǎn)稱比例線段．（2）判定四條線段是否成比例，只要把四條線段按大小順序排列好，判斷前兩條線段之比與后兩條線段之比是否相等即可，求線段之比時(shí)，要先統(tǒng)一線段的長(zhǎng)度單位，最后的結(jié)果與所選取的單位無(wú)關(guān)系．三．黃金分割（1）黃金分割的定義：如圖所示，把線段AB分成兩條線段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中項(xiàng)（即AB：AC＝AC：BC），叫做把線段AB黃金分割，點(diǎn)C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn)．其中AC＝AB≈0.618AB，并且線段AB的黃金分割點(diǎn)有兩個(gè)．（2）黃金三角形：黃金三角形是一個(gè)等腰三角形，其腰與底的長(zhǎng)度比為黃金比值．黃金三角形分兩種：①等腰三角形，兩個(gè)底角為72°，頂角為36°．這樣的三角形的底與一腰之長(zhǎng)之比為黃金比：；②等腰三角形，兩個(gè)底角為36°，頂角為108°；這種三角形一腰與底邊之長(zhǎng)之比為黃金比：．（3）黃金矩形：黃金矩形的寬與長(zhǎng)之比確切值為．四．平行線分線段成比例（1）定理1：三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例．推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線），所得的對(duì)應(yīng)線段成比例．（2）推論1：如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊．（3）推論2：平行于三角形的一邊，并且和其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）相交的直線，所截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對(duì)應(yīng)成比例．五．相似圖形（1）相似圖形我們把形狀相同的圖形稱為相似圖形．（2）相似圖形在現(xiàn)實(shí)生活中應(yīng)用非常廣泛，對(duì)于相似圖形，應(yīng)注意：①相似圖形的形狀必須完全相同；②相似圖形的大小不一定相同；③兩個(gè)物體形狀相同、大小相同時(shí)它們是全等的，全等是相似的一種特殊情況．（3）相似三角形對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的三角形，叫做相似三角形．六．相似多邊形的性質(zhì)（1）如果兩個(gè)多邊形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等，則這兩個(gè)多邊形是相似多邊形．（2）相似多邊形對(duì)應(yīng)邊的比叫做相似比．（3）全等多邊形的相似比為1或相似比為1的相似多邊形是全等形．（4）相似多邊形的性質(zhì)為：①對(duì)應(yīng)角相等；②對(duì)應(yīng)邊的比相等．七．相似三角形的性質(zhì)相似三角形的定義：如果兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等，對(duì)應(yīng)角相等，那么這兩個(gè)三角形相似．（1）相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等．（2）相似三角形（多邊形）的周長(zhǎng)的比等于相似比；相似三角形的對(duì)應(yīng)線段（對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線、對(duì)應(yīng)邊上的高）的比也等于相似比．（3）相似三角形的面積的比等于相似比的平方．由三角形的面積公式和相似三角形對(duì)應(yīng)線段的比等于相似比可以推出相似三角形面積的比等于相似比的平方．八．相似三角形的判定（1）平行線法：平行于三角形的一邊的直線與其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似；這是判定三角形相似的一種基本方法．相似的基本圖形可分別記為“A”型和“X”型，如圖所示在應(yīng)用時(shí)要善于從復(fù)雜的圖形中抽象出這些基本圖形．（2）三邊法：三組對(duì)應(yīng)邊的比相等的兩個(gè)三角形相似；（3）兩邊及其夾角法：兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等且夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似；（4）兩角法：有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似．九．相似三角形的判定與性質(zhì)（1）相似三角形是相似多邊形的特殊情形，它沿襲相似多邊形的定義，從對(duì)應(yīng)邊的比相等和對(duì)應(yīng)角相等兩方面下定義；反過(guò)來(lái)，兩個(gè)三角形相似也有對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等．（2）三角形相似的判定一直是中考考查的熱點(diǎn)之一，在判定兩個(gè)三角形相似時(shí)，應(yīng)注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的一般方法是通過(guò)作平行線構(gòu)造相似三角形；或依據(jù)基本圖形對(duì)圖形進(jìn)行分解、組合；或作輔助線構(gòu)造相似三角形，判定三角形相似的方法有事可單獨(dú)使用，有時(shí)需要綜合運(yùn)用，無(wú)論是單獨(dú)使用還是綜合運(yùn)用，都要具備應(yīng)有的條件方可．十．相似三角形的應(yīng)用（1）利用影長(zhǎng)測(cè)量物體的高度．①測(cè)量原理：測(cè)量不能到達(dá)頂部的物體的高度，通常利用相似三角形的性質(zhì)即相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等和“在同一時(shí)刻物高與影長(zhǎng)的比相等”的原理解決．②測(cè)量方法：在同一時(shí)刻測(cè)量出參照物和被測(cè)量物體的影長(zhǎng)來(lái)，再計(jì)算出被測(cè)量物的長(zhǎng)度．（2）利用相似測(cè)量河的寬度（測(cè)量距離）．①測(cè)量原理：測(cè)量不能直接到達(dá)的兩點(diǎn)間的距離，常常構(gòu)造“A”型或“X”型相似圖，三點(diǎn)應(yīng)在一條直線上．必須保證在一條直線上，為了使問(wèn)題簡(jiǎn)便，盡量構(gòu)造直角三角形．②測(cè)量方法：通過(guò)測(cè)量便于測(cè)量的線段，利用三角形相似，對(duì)應(yīng)邊成比例可求出河的寬度．（3）借助標(biāo)桿或直尺測(cè)量物體的高度．利用桿或直尺測(cè)量物體的高度就是利用桿或直尺的高（長(zhǎng)）作為三角形的邊，利用視點(diǎn)和盲區(qū)的知識(shí)構(gòu)建相似三角形，用相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比相等的性質(zhì)求物體的高度．十一．直角三角形相似Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜邊BC上的高，則有：①AD2＝BD?DC；②AB2＝BD?BC；AC2＝CD?BC．考點(diǎn)精講考點(diǎn)精講一．比例的性質(zhì)（共3小題）1．已知＝，那么下列等式中成立的是（）A．2a＝3b B．＝ C．＝ D．＝【分析】利用比例的基本性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：A．因?yàn)椋?，所?a＝2b，故A不符合題意；B．因?yàn)椋剑浴伲蔅不符合題意；C．因?yàn)椋?，所以＝，故C符合題意；D．因?yàn)椋?，所以＝﹣故D不符合題意；故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了比例的性質(zhì)，熟練掌握比例的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．已知x：y＝2：3，那么（x+y）：y＝5：3．【分析】利用設(shè)k法進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：∵x：y＝2：3，∴設(shè)x＝2k，y＝3k，∴＝＝＝，故答案為：5：3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了比例的性質(zhì)，熟練掌握設(shè)k法是解題的關(guān)鍵．3．已知＝，那么＝．【分析】利用設(shè)k法解答即可．【解答】解：∵＝，∴設(shè)x＝4k，y＝3k，∴＝＝＝，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了比例的性質(zhì)，熟練掌握設(shè)k法是解題的關(guān)鍵．二．比例線段（共5小題）4．下列各組的四條線段a，b，c，d是成比例線段的是（）A．a(chǎn)＝4，b＝6，c＝5，d＝10 B．a(chǎn)＝1，b＝2，c＝3，d＝4 C．，b＝3，c＝2， D．a(chǎn)＝2，，，【分析】根據(jù)比例線段的定義即如果其中兩條線段的乘積等于另外兩條線段的乘積，則四條線段叫成比例線段，對(duì)選項(xiàng)一一分析，即可得出答案．【解答】解：A.4×10≠6×5，故不符合題意，B.1×4≠2×3，故不符合題意，C.≠2×3，故不符合題意，D.，故符合題意，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了比例線段，根據(jù)成比例線段的概念，注意在相乘的時(shí)候，最小的和最大的相乘，另外兩個(gè)相乘，看它們的積是否相等．同時(shí)注意單位要統(tǒng)一．5．在比例尺為1：50的圖紙上，長(zhǎng)度為10cm的線段實(shí)際長(zhǎng)為（）A．50cm B．500cm C． D．【分析】根據(jù)比例尺＝圖上距離：實(shí)際距離，列比例式，根據(jù)比例的基本性質(zhì)即可求得結(jié)果．【解答】解：設(shè)長(zhǎng)度為10cm的線段實(shí)際長(zhǎng)為xcm，則：＝，解得，x＝500．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了比例線段，能夠根據(jù)比例尺定義列出方程是解題的關(guān)鍵．6．在比例尺為1：5000的地圖上，如果A、B兩地的距離是10厘米，那么這兩地的實(shí)際距離是（）A．50000米 B．5000米 C．500米 D．50米【分析】根據(jù)比例尺＝圖上距離：實(shí)際距離，列比例式即可求得甲乙兩地的實(shí)際距離．要注意統(tǒng)一單位．【解答】解：設(shè)甲乙兩地的實(shí)際距離為x厘米，根據(jù)題意得，1：5000＝10：x，解得x＝50000，50000厘米＝500米．即甲乙兩地的實(shí)際距離為500米．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了比例線段，熟練運(yùn)用比例尺進(jìn)行計(jì)算，注意單位的轉(zhuǎn)換．7．如果，且b是a和c的比例中項(xiàng)，那么等于（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)比例中項(xiàng)的概念可得a：b＝b：c，則可求得b：c值．【解答】解：∵，b是a和c的比例中項(xiàng)，即a：b＝b：c，∴＝．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了比例線段，熟練掌握在線段a，b，c中，若b2＝ac，則b是a，c的比例中項(xiàng)是解題的關(guān)鍵．8．已知點(diǎn)B在線段AC上，AB＝2BC，那么AC：AB的比值是．【分析】設(shè)BC＝k，則AB＝2BC＝2k，根據(jù)線段和的定義得出AC＝AB+BC＝3k，即可求出AC：AB的比值．【解答】解：如圖，設(shè)BC＝k，則AB＝2BC＝2k，∵點(diǎn)B在線段AC上，∴AC＝AB+BC＝2k+k＝3k，∴AC：AB＝3k：2k＝．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了比例線段，熟知各線段之間的和、差及倍數(shù)關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵．三．黃金分割（共5小題）9．已知線段AB的長(zhǎng)為2厘米，點(diǎn)P是線段AB的黃金分割點(diǎn)，那么較長(zhǎng)線段AP的長(zhǎng)是（﹣1）厘米．【分析】根據(jù)黃金分割點(diǎn)的定義，知AP是較長(zhǎng)線段；則AP＝AB，代入數(shù)據(jù)即可得出AP的長(zhǎng)度．【解答】解：由于P為線段AB的黃金分割點(diǎn)，且AP是較長(zhǎng)線段，則AP＝2×＝（﹣1）厘米．故答案為：（﹣1）．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了理解黃金分割點(diǎn)的概念，熟記黃金比的值進(jìn)行計(jì)算，難度適中．10．如果點(diǎn)P是線段AB的黃金分割點(diǎn)，且AP＜BP，那么的值等于（）A．+1 B．﹣1 C． D．【分析】由黃金分割的定義得＝，即可得出答案．【解答】解：∵點(diǎn)P是線段AB的黃金分割點(diǎn)（AP＜BP），∴＝＝＝，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了黃金分割的定義，熟練掌握黃金分割的定義及黃金比值是解題的關(guān)鍵．11．我們知道，兩條鄰邊之比等于黃金分割數(shù)的矩形叫做黃金矩形．如圖，已知矩形ABCD是黃金矩形，點(diǎn)E在邊BC上，將這個(gè)矩形沿直線AE折疊，使點(diǎn)B落在邊AD上的點(diǎn)F處，那么EF與CE的比值等于．【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)以及矩形的性質(zhì)可證四邊形ABEF是正方形，可得EF＝BE，進(jìn)一步即可求出EF與CE的比值．【解答】解：根據(jù)折疊，可知AB＝AF，BE＝FE，∠BAE＝∠FAE，在矩形ABCD中，∠BAF＝∠B＝90°，∴∠BAE＝∠FAE＝45°，∴∠AEB＝45°，∴BA＝BE，∴AB＝BE＝EF＝FA，又∵∠B＝90°，∴四邊形ABEF是正方形，∴EF＝BE＝AB，∵矩形ABCD是黃金矩形，∴＝，∴＝＝，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了黃金分割，矩形的性質(zhì)，正方形的判定和性質(zhì)，熟練掌握黃金分割是解題的關(guān)鍵．12．如圖，某人跳芭蕾舞，踮起腳尖時(shí)顯得下半身比上半身更修長(zhǎng)．若以裙子腰節(jié)為分界點(diǎn)，身材比例正好符合黃金分割，已知從腳尖到頭頂高度為176cm，那么裙子的腰節(jié)到腳尖的距離為（88﹣88）cm．（結(jié)果保留根號(hào)）【分析】設(shè)裙子的腰節(jié)到腳尖的距離為xcm，根據(jù)黃金分割的定義得＝，再計(jì)算即可．【解答】解：設(shè)裙子的腰節(jié)到腳尖的距離為xcm，∵以裙子腰節(jié)為分界點(diǎn)，身材比例正好符合黃金分割，已知從腳尖到頭頂高度為176cm，∴＝，∴x＝88﹣88，即裙子的腰節(jié)到腳尖的距離為（88﹣88）cm，故答案為：（88﹣88）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了黃金分割的定義，熟記黃金分割的比值是解題的關(guān)鍵．13．已知點(diǎn)P是線段AB上的一點(diǎn)，線段AP是PB和AB的比例中項(xiàng)，下列結(jié)論中，正確的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)黃金分割的定義判斷即可．【解答】解：∵點(diǎn)P是線段AB上的一點(diǎn)，線段AP是PB和AB的比例中項(xiàng)，∴AP2＝PB?AB，∴點(diǎn)P是AB的黃金分割點(diǎn)，∴＝，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了黃金分割，熟練掌握黃金分割的定義，找出黃金分割中成比例的對(duì)應(yīng)線段是解題的關(guān)鍵．四．平行線分線段成比例（共7小題）14．如圖，已知AB∥CD∥EF，它們依次交直線l1、l2于點(diǎn)A、C、E和點(diǎn)B、D、F．如果AC：CE＝2：3，BD＝4，那么BF等于（）A．6 B．8 C．10 D．12【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理即可得到結(jié)論．【解答】解：∵AC：CE＝2：3，∴AC：AE＝2：5，∵AB∥CD∥EF，∴，∴BF＝＝×4＝10，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平行線分線段成比例定理，關(guān)鍵是找出對(duì)應(yīng)的比例線段，寫出比例式，用到的知識(shí)點(diǎn)是平行線分線段成比例定理．15．如圖，AD∥EF∥BC，AE＝2BE，AD＝2，EF＝4，那么BC＝5．【分析】作AM∥CD交BC于M，交EF于N．得出AD＝NF＝CM＝2，再證明△AEN∽△ABM，利用相似三角形的性質(zhì)求出BM，代入BC＝BM+CM即可解決問(wèn)題．【解答】解：如圖，作AM∥CD交BC于M，交EF于N．∵AD∥EF∥BC，∴四邊形ADCM是平行四邊形，四邊形ADFN是平行四邊形，∴AD＝NF＝CM＝2，∵EF＝4，∴EN＝EF﹣FN＝4﹣2＝2，∵EN∥BM，∴△AEN∽△ABM，∴＝＝，∴＝，∴BM＝3，∴BC＝BM+CM＝3+2＝5．故答案為：5．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及平行線分線段成比例定理．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．16．如圖，AD是△ABC的中線，E是AD的中點(diǎn)，BE的延長(zhǎng)線交AC于點(diǎn)F，那么＝．【分析】作DH∥BF交AC于H，根據(jù)平行線分線段成比例定理得到AF＝FH＝HC，得到答案．【解答】解：作DH∥BF交AC于H，∵DH∥BF，AD是△ABC的中線，∴CH＝HF，∵DH∥BF，E是AD中點(diǎn)，∴AF＝FH，∴AF＝FH＝HC，∴AF：CF＝1：2，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是平行線分線段成比例定理，靈活運(yùn)用定理、找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．17．如圖，已知AB∥CD∥EF，它們依次交直線l1、l2于點(diǎn)A，D，F(xiàn)和點(diǎn)B，C，E．如果，BE＝20，那么線段BC的長(zhǎng)是8．【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理解答即可．【解答】解：∵AB∥CD∥EF，∴，∴，∴BC＝8，故答案為：8．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平行線分線段成比例，掌握平行線分線段所得線段對(duì)應(yīng)成比例是解題的關(guān)鍵．18．已知：如圖，點(diǎn)D、E、F分別在△ABC的邊AB、AC、BC上，DF∥AC，BD＝2AD，AE＝2EC．（1）如果AB＝2AC，求證：四邊形ADFE是菱形；（2）如果AB＝AC，且BC＝1，聯(lián)結(jié)DE，求DE的長(zhǎng)．【分析】（1）根據(jù)菱形的判定方法解答即可；（2）根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)解答即可．【解答】（1）證明：∵BD＝2AD，AE＝2EC，∴＝，∵DF∥AC，∴＝，∴＝，∴EF∥AB，又∵DF∥AC，∴四邊形ADFE是平行四邊形，∵AB＝2AC，AE＝AC，∴AE＝AB，∴AD＝AE，∵四邊形ADFE是平行四邊形，∴四邊形ADFE是菱形；（2）如圖，在△ADE和△ACB中，∠A是公共角，＝＝＝，＝＝＝，∴△ADE∽△ACB，∵BC＝1，∴DE＝．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了菱形的判定和相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握這些判定定理和性質(zhì)定理是解答本題的關(guān)鍵．19．如圖，點(diǎn)D、E分別在△ABC的邊AB、BC上，下列條件中一定能判定DE∥AC的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)平行線分線段成比例判斷即可．【解答】解：A．因?yàn)椋剑訢E∥AC，故A不符合題意；B．因?yàn)椋?，所以DE∥AC，故B符合題意；C．因?yàn)椋?，所以DE∥AC，故C不符合題意；D．因?yàn)椋?，所以DE∥AC，故D不符合題意；故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線分線段成比例，根據(jù)題目的已知并結(jié)合圖形去分析是解題的關(guān)鍵．20．如圖，已知點(diǎn)F在AB上，且AF：BF＝1：2，點(diǎn)D是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，BC：CD＝2：1，連接FD與AC交于點(diǎn)N，求FN：ND的值．【分析】過(guò)點(diǎn)F作FE∥BD，交AC于點(diǎn)E，求出＝，得出FE＝BC，根據(jù)已知推出CD＝BC，根據(jù)平行線分線段成比例定理推出＝，代入化簡(jiǎn)即可．【解答】解：過(guò)點(diǎn)F作FE∥BD，交AC于點(diǎn)E，∴＝，∵AF：BF＝1：2，∴＝，∴＝，即FE＝BC，∵BC：CD＝2：1，∴CD＝BC，∵FE∥BD，∴＝＝＝．即FN：ND＝2：3．證法二、連接CF、AD，∵AF：BF＝1：2，BC：CD＝2：1，∴＝＝，∵∠B＝∠B，∴△BCF∽△BDA，∴＝＝，∠BCF＝∠BDA，∴FC∥AD，∴△CNF∽△AND，∴＝＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線分線段成比例定理的應(yīng)用，注意：平行線分的線段對(duì)應(yīng)成比例，此題具有一定的代表性，但是一定比較容易出錯(cuò)的題目．五．相似圖形（共2小題）21．下列圖形，一定相似的是（）A．兩個(gè)直角三角形 B．兩個(gè)等腰三角形 C．兩個(gè)等邊三角形 D．兩個(gè)菱形【分析】根據(jù)相似圖形的定義：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)圖形一定相似，結(jié)合選項(xiàng)，用排除法求解．【解答】解：A．兩個(gè)直角三角形，對(duì)應(yīng)角不一定相等，對(duì)應(yīng)邊不一定成比例，不符合相似的定義，故A選項(xiàng)不符合題意；B．兩個(gè)等腰三角形的對(duì)應(yīng)角不一定相等，對(duì)應(yīng)邊不一定成比例，不符合相似的定義，故B選項(xiàng)不符合題意；C．兩個(gè)等邊三角形的對(duì)應(yīng)角一定相等，對(duì)應(yīng)邊一定成比例，符合相似的定義，故C選項(xiàng)符合題意；D．兩個(gè)菱形，對(duì)應(yīng)邊成比例，對(duì)應(yīng)角不一定相等，不符合相似的定義，故D選項(xiàng)不符合題意；故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似圖形，熟悉各種圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．22．下列各組圖形中，不一定相似的是（）A．兩個(gè)矩形 B．兩個(gè)等腰直角三角形 C．各有一個(gè)角是50°的兩個(gè)直角三角形 D．各有一個(gè)角是100°的兩個(gè)等腰三角形【分析】根據(jù)相似圖形的定義，對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例對(duì)各選項(xiàng)分析判斷利用排除法求解．【解答】解：A、兩個(gè)矩形四個(gè)角都是直角，但對(duì)應(yīng)邊不一定成比例，不一定相似，故本選項(xiàng)符合題意；B、兩個(gè)等腰直角三角形，兩腰成比例，夾角都是直角相等，一定相似，故本選項(xiàng)不符合題意；C、各有一個(gè)角是50°的兩個(gè)直角三角形，還有一個(gè)直角相等，一定相似，故本選項(xiàng)不符合題意；D、兩腰成比例，夾角100°相等，一定相似，故本選項(xiàng)不符合題意．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似圖形，要注意從對(duì)應(yīng)角和對(duì)應(yīng)邊兩個(gè)方面考慮求解．六．相似多邊形的性質(zhì)（共4小題）23．下列說(shuō)法正確的是（）A．所有的矩形都相似 B．所有的菱形都相似 C．所有的正方形都相似 D．對(duì)應(yīng)角分別相等的兩個(gè)四邊形相似【分析】相似形就是形狀相同的兩個(gè)圖形，即對(duì)應(yīng)邊的比相等，對(duì)應(yīng)角相等的兩個(gè)圖形，依據(jù)定義即可進(jìn)行判斷．【解答】解：A．所有的矩形對(duì)應(yīng)邊比值不一定相等，所以不一定相似，此選項(xiàng)錯(cuò)誤；B．所有的菱形對(duì)應(yīng)邊的比相等，但對(duì)應(yīng)角不一定相等，故錯(cuò)誤；C．所有的正方形都相似，故此選項(xiàng)正確；D．對(duì)應(yīng)角相等的兩個(gè)多邊形，對(duì)應(yīng)邊比值不一定相等，所以不一定相似，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了相似多邊形的識(shí)別．判定兩個(gè)圖形相似的依據(jù)是：對(duì)應(yīng)邊的比相等，對(duì)應(yīng)角相等．兩個(gè)條件必須同時(shí)具備．24．我們知道：四個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，四條邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)四邊形是相似四邊形．如圖，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝1，BC＝2，E、F分別是邊AB、CD上的點(diǎn)，且EF∥BC，如果四邊AEFD與四邊形EBCF相似，那么的值是．【分析】根據(jù)相似多邊形的性質(zhì)得出＝，把AD＝1和BC＝2代入求出EF，再根據(jù)相似多邊形的性質(zhì)得出＝，再求出答案即可．【解答】解：∵四邊AEFD與四邊形EBCF相似，∴＝，∵AD＝1，BC＝2，∴＝，解得：EF＝，∵四邊AEFD與四邊形EBCF相似，∴＝＝＝，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了梯形和相似多邊形的性質(zhì)，能根據(jù)相似多邊形的性質(zhì)得出比例式是解此題的關(guān)鍵．25．如圖，已知矩形ABCD中，AB＝1，在BC上取一點(diǎn)E，沿AE將△ABE向上折疊，使B點(diǎn)落在AD上的F點(diǎn)．若四邊形EFDC與矩形ABCD相似，則AD＝．【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)得到AB＝AF＝1，根據(jù)相似多邊形的性質(zhì)列出比例式，計(jì)算即可．【解答】解：由折疊的性質(zhì)可知，AB＝AF＝1，∵矩形EFDC與矩形ABCD相似，∴＝，即＝，整理得，AD2﹣AD﹣1＝0，AD＝，由題意得，AD＝，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是相似多邊形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)，掌握相似多邊形的對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊的比相等是解題的關(guān)鍵．26．已知四邊形ABCD與四邊形A1B1C1D1相似，并且點(diǎn)A與點(diǎn)A1、點(diǎn)B與點(diǎn)B1、點(diǎn)C與點(diǎn)C1、點(diǎn)D與點(diǎn)D1對(duì)應(yīng)．（1）已知∠A＝40°，∠B＝110°，∠C1＝90°，求∠D的度數(shù)；（2）已知AB＝9，CD＝15，A1B1＝6，A1D1＝4，B1C1＝8，求四邊形ABCD的周長(zhǎng)．【分析】（1）根據(jù)相似多邊形的對(duì)應(yīng)角相等解決問(wèn)題即可．（2）根據(jù)相似多邊形的對(duì)應(yīng)邊成比例，解決問(wèn)題即可．【解答】解：（1）∵四邊形ABCD∽四邊形A1B1C1D1，∴∠C＝∠C1＝90°，∴∠D＝360°﹣∠A﹣∠B﹣∠C＝360°﹣40°﹣110°﹣90°＝120°．（2）∵四邊形ABCD∽四邊形A1B1C1D1，∴＝＝，∴＝＝，∴BC＝12，AD＝6，∴四邊形ABCD的周長(zhǎng)＝AB+BC+CD+AD＝9+12+15+6＝42．【點(diǎn)評(píng)】本題考查相似多邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握相似多邊形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例．七．相似三角形的性質(zhì)（共6小題）27．如果兩個(gè)相似三角形的周長(zhǎng)比為2：3，那么它們的對(duì)應(yīng)高的比為2：3．【分析】根據(jù)相似三角形的周長(zhǎng)比等于相似比可求得其相似比，再根據(jù)對(duì)應(yīng)高線的比等于相似比可得到答案．【解答】解：∵兩個(gè)相似三角形的周長(zhǎng)比為2：3，∴這兩個(gè)相似三角形的相似比為2：3，∴它們的對(duì)應(yīng)高的比為：2：3，故答案為：2：3．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查相似三角形的性質(zhì)，掌握相似三角形的周長(zhǎng)比、對(duì)應(yīng)高線比等于相似比是解題的關(guān)鍵．28．如果兩個(gè)相似三角形的周長(zhǎng)比為1：4，那么這兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)中線的比為（）A．1：2 B．1：4 C．1：8 D．1：16【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)判斷即可．【解答】解：因?yàn)閮蓚€(gè)相似三角形的周長(zhǎng)比等于相似比，兩個(gè)相似三角形的對(duì)應(yīng)中線的比也等于相似比，所以：如果兩個(gè)相似三角形的周長(zhǎng)比為1：4，那么這兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)中線的比為1：4，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．29．如果兩個(gè)相似三角形的周長(zhǎng)比為1：4，那么它們的對(duì)應(yīng)角平分線的比為（）A．1：4 B．1：2 C．1：16 D．【分析】利用相似三角形的性質(zhì)：相似三角形的對(duì)應(yīng)周長(zhǎng)的比等于相似比，對(duì)應(yīng)角平分線的比等于相似比，據(jù)此作答即可．【解答】解：∵兩個(gè)相似三角形的周長(zhǎng)比為1：4，∴兩個(gè)相似三角形的相似比為1：4，∴它們的對(duì)應(yīng)角平分線的比為1：4．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查相似三角形的性質(zhì)，解答的關(guān)鍵是熟記相似三角形的性質(zhì)并靈活運(yùn)用．30．如圖，點(diǎn)A（1，7），B（1，1），C（4，1），D（6，1），若△CDE與△ABC相似，那么在下列選項(xiàng)中，點(diǎn)E的坐標(biāo)不可能是（）A．（6，2） B．（6，3） C．（6，5） D．（4，2）【分析】根據(jù)相似三角形的判定：兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等的兩三角形相似即可判斷．【解答】解：△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝3，AB：BC＝2．A．當(dāng)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（6，2）時(shí)，∠ECD＝90°，CD＝2，DE＝1，則AB：BC＝CD：DE，△CDE∽△ABC，故本選項(xiàng)不符合題意；B．當(dāng)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（6，3）時(shí)，∠CDE＝90°，CD＝2，DE＝2，則AB：BC≠CD：DE，△CDE與△ABC不相似，故本選項(xiàng)符合題意；C．當(dāng)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（6，5）時(shí)，∠CDE＝90°，CD＝2，DE＝4，則AB：BC＝DE：CD，△EDC∽△ABC，故本選項(xiàng)不符合題意；D．當(dāng)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（4，2）時(shí)，∠CDE＝90°，CD＝2，CE＝1，則AB：BC≠CD：CE，△DCE∽△ABC，故本選項(xiàng)不符合題意．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定，難度中等．牢記判定定理是解題的關(guān)鍵31．如果兩個(gè)相似三角形的面積比為1：4，其中較大三角形的周長(zhǎng)為18，那么較小三角形的周長(zhǎng)是9．【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)：相似三角形的周長(zhǎng)的比等于相似比，面積的比等于相似比的平方，據(jù)此即可求解．【解答】解：設(shè)較小三角形的周長(zhǎng)是x，則x：18＝，解得：x＝9．故較小三角形的周長(zhǎng)是9，故答案為：9．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是相似三角形的性質(zhì)，掌握相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比，相似三角形面積的比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵．32．如果兩個(gè)相似三角形對(duì)應(yīng)邊之比是4：9，那么它們的周長(zhǎng)之比等于4：9．【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出即可．【解答】解：∵兩個(gè)相似三角形對(duì)應(yīng)邊之比是4：9，∴它們的周長(zhǎng)之比等于4：9，故答案為：4：9．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，能熟記相似三角形的周長(zhǎng)之比等于相似比是解此題的關(guān)鍵．八．相似三角形的判定（共4小題）33．如圖，已知△ABC與△BDE都是等邊三角形，點(diǎn)D在邊AC上（不與點(diǎn)A、C重合），DE與AB相交于點(diǎn)F，那么與△BFD相似的三角形是（）A．△BFE B．△BDA C．△BDC D．△AFD【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和相似三角形的判定定理即可得到結(jié)論．【解答】解：∵△ABC與△BDE都是等邊三角形，∴∠A＝∠BDF＝60°，∵∠ABD＝∠DBF，∴△BFD∽△BDA，∴與△BFD相似的三角形是△BDA，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定，等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．34．下列格點(diǎn)三角形中，與已知格點(diǎn)△ABC相似的是（）A． B． C． D．【分析】設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)是1，先求出△ABC的三邊長(zhǎng)，再分別求出每個(gè)選項(xiàng)中三角形的三邊的長(zhǎng)度，求出對(duì)應(yīng)的邊的比值，看看是否相等，再根據(jù)相似三角形的判定定理判定即可．【解答】解：設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)是1，由勾股定理得：AB＝＝，AC＝＝2，BC＝＝，A．三角形的三邊的長(zhǎng)度分別為：＝2，2，4，∵＝，＝，＝，∴＝＝，所以與格點(diǎn)△ABC相似，故本選項(xiàng)符合題意；B．三角形的三邊的長(zhǎng)度分別為：2，＝，＝3，∵＝1，＝，＝，∴≠≠，所以與格點(diǎn)△ABC不相似，故本選項(xiàng)不符合題意；C．三角形的三邊的長(zhǎng)度分別為：＝，＝，3，∵＝1，＝，＝，∴≠≠，所以與格點(diǎn)△ABC不相似，故本選項(xiàng)不符合題意；D．三角形的三邊的長(zhǎng)度分別為：＝，＝3，＝2，∵＝1，＝，＝，∴≠≠，所以與格點(diǎn)△ABC不相似，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定，能熟記相似三角形的判定定理是解此題的關(guān)鍵．35．如圖，已知△ABC與△BDE都是等邊三角形，點(diǎn)D在邊AC上（不與點(diǎn)A、C重合），DE與AB相交于點(diǎn)F，那么與△BFD相似的三角形是（）A．△BFE B．△BDC C．△BDA D．△AFD【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和相似三角形的判定定理即可得到結(jié)論．【解答】解：∵△ABC與△BDE都是等邊三角形，∴∠A＝∠BDF＝60°，∵∠ABD＝∠DBF，∴△BFD∽△BDA，∴與△BFD相似的三角形是△BDA，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定，等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．36．如圖，M是平行四邊形ABCD的對(duì)角線BD上一點(diǎn)，AM的延長(zhǎng)線交BC于點(diǎn)E，交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，圖中相似三角形有（）A．6對(duì) B．5對(duì) C．4對(duì) D．3對(duì)【分析】由四邊形ABCD是平行四邊形，得AD∥BC，AB∥CD，從而得到△AMD∽△EMB，△EFC≌△AFD，△ABE∽△FCE，△ABM∽△FDM，則△AME∽△FDA，可得答案．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠ABD＝∠BDC，∠ADB＝∠DBC，∴△ABD∽△CDB，∵AD∥BC，∴△AMD∽△EMB，△EFC≌△AFD，∵AB∥CD，∴△ABE∽△FCE，△ABM∽△FDM，∴△AME∽△FDA，∴相似三角形共有6對(duì)，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握相似三角形的判定，注意相似的傳遞性是解題的關(guān)鍵．九．相似三角形的判定與性質(zhì)（共4小題）37．如圖，四邊形ABCD中，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，AO＝2，AD＝4，OC＝6，BC＝8，如果∠DAO＝∠CBO，那么AB：CD的值是2：3．【分析】由∠DAO＝∠CBO，∠AOD＝∠BOC，得出△AOD∽△BOC，得出，根據(jù)已知得出OB＝4，OD＝3，進(jìn)而得出，再證明△AOB∽△DOC，得出，即可得出答案．【解答】解：∵∠DAO＝∠CBO，∠AOD＝∠BOC，∴△AOD∽△BOC，∴，∵AO＝2，AD＝4，OC＝6，BC＝8，∴，∴OB＝4，OD＝3，∴，∵∠AOB＝∠DOC，∴△AOB∽△DOC，∴，故答案為：2：3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定方法是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．38．如圖，已知：△ABC和△ADE都是等邊三角形，其中點(diǎn)D在邊BC上，點(diǎn)F是AB邊上一點(diǎn)，且BF＝CD．（1）求證：DE∥CF；（2）聯(lián)結(jié)DF，設(shè)AD、CF的交點(diǎn)為M，如果DF2＝FM?FC，求證：DF∥AC．【分析】（1）由等邊三角形的性質(zhì)證明△ACD≌△CBF，得出∠CAD＝∠BCF，由等邊三角形的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)得出∠BDE＝∠CAD，進(jìn)而得出∠BDE＝∠BCF，即可證明DE∥CF；（2）先證明△DFM∽△CFD，得出∠FDM＝∠FCD，由∠CAD＝∠BCF，得出∠FDM＝∠CAD，即可證明DF∥AC．【解答】證明：（1）如圖1，∵△ABC是等邊三角形，∴AC＝BC，∠ACB＝∠B＝60°，在△ACD和△CBF中，，∴△ACD≌△CBF（SAS），∴∠CAD＝∠BCF，∵△ADE是等邊三角形，∴∠ADE＝∠ACB＝60°，∵∠ADE+∠BDE＝∠ACB+∠CAD，∴∠BDE＝∠CAD，∴∠BDE＝∠BCF，∴DE∥CF；（2）如圖2，∵DF2＝FM?FC，∴，∵∠DFM＝∠CFD，∴△DFM∽△CFD，∴∠FDM＝∠FCD，∵∠CAD＝∠BCF，∴∠FDM＝∠CAD，∴DF∥AC．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線的判斷，相似三角形的判定與性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．39．已知：如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，點(diǎn)E、F分別在邊AB、AD上，DE與CF相交于點(diǎn)G．CD2＝CG?CF，∠AED＝∠CFD．（1）求證：AB＝CD；（2）延長(zhǎng)AD至點(diǎn)M，聯(lián)結(jié)CM，當(dāng)CF＝CM時(shí)，求證：EA?AB＝AD?MD．【分析】（1）根據(jù)已知可得＝，從而可得△CDG∽△CFD，然后利用相似三角形的性質(zhì)可得∠CDG＝∠CFD，從而可得∠CDG＝∠AED，進(jìn)而可得AB∥CD，最后證明四邊形ABCD是平行四邊形，從而利用平行四邊形的性質(zhì)即可解答；（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠CFD＝∠M，從而可得∠AED＝∠M，然后利用平行線的性質(zhì)可得∠A＝∠CDM，從而可證△AED∽△DMC，進(jìn)而利用相似三角形的性質(zhì)即可解答．【解答】證明：（1）∵CD2＝CG?CF，∴＝，∵∠DCG＝∠DCF，∴△CDG∽△CFD，∴∠CDG＝∠CFD，∵∠AED＝∠CFD，∴∠CDG＝∠AED，∴AB∥CD，∵AD∥BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD；（2）如圖：∵CF＝CM，∴∠CFD＝∠M，∵∠AED＝∠CFD，∴∠AED＝∠M，∵AB∥CD，∴∠A＝∠CDM，∴△AED∽△DMC，∴＝，∴AE?DC＝AD?DM，∵AB＝DC，∴EA?AB＝AD?MD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)，以及平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．40．如圖，已知點(diǎn)D、E、F、G、H、I分別在△ABC的三邊上，如果六邊形DEFGHI是正六邊形，下列結(jié)論中不正確的是（）A．∠A＝60° B． C．＝ D．＝【分析】根據(jù)六邊形DEFGHI是正六邊形，得出△ABC是正三角形，然后判斷各個(gè)選項(xiàng)即可．【解答】解：∵六邊形DEFGHI是正六邊形，∴∠ADE＝∠AED＝60°，即△ADE是等邊三角形，∴∠A＝60°，故A選項(xiàng)結(jié)論正確，不符合題意；同理得出∠B＝∠C＝60°，即△ABC是等邊三角形，∴AD＝DI＝BI，即，∵DE∥BC，∴＝，故B選項(xiàng)結(jié)論正確，不符合題意；＝＝，故C選項(xiàng)結(jié)論不正確，符合題意；＝＝，故D選項(xiàng)結(jié)論正確，不符合題意；故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查正多邊形和圓的知識(shí)，熟練掌握正六邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．一十．相似三角形的應(yīng)用（共6小題）41．在某一時(shí)刻，直立地面的一根竹竿的影長(zhǎng)為3米，一根旗桿的影長(zhǎng)為25米，已知這根竹竿的長(zhǎng)度為1.8米，那么這根旗桿的高度為15米．【分析】根據(jù)同一時(shí)刻，物高與影長(zhǎng)成正比即可列出等式．【解答】解：根據(jù)同一時(shí)刻，物高與影長(zhǎng)成正比得，旗桿的高度：1.8＝25：3，∴旗桿的高度為15米，故答案為：15．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了相似三角形的應(yīng)用，熟練掌握平行投影的基本特征：物高與影長(zhǎng)成正比是解題的關(guān)鍵．42．冬日暖陽(yáng)，下午4點(diǎn)時(shí)分，小明在學(xué)恔操場(chǎng)曬太陽(yáng)，身高1.5米的他，在地面上的影長(zhǎng)為2米，則此時(shí)高度為9米的旗桿在地面的影長(zhǎng)為12米．【分析】在同一時(shí)刻物高和影長(zhǎng)成正比，即在同一時(shí)刻的兩個(gè)問(wèn)題物體，影子，經(jīng)過(guò)物體頂部的太陽(yáng)光線三者構(gòu)成的兩個(gè)直角三角形相似．【解答】解：設(shè)旗桿的高度為x米，根據(jù)題意得：＝，解得：x＝12．故答案為：12．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，只要是把實(shí)際問(wèn)題抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通解方程求出樹的高度，體現(xiàn)了方程的思想．43．如圖所示，用手電來(lái)測(cè)量古城墻高度，將水平的平面鏡放置在點(diǎn)P處，光線從點(diǎn)A出發(fā)，經(jīng)過(guò)平面鏡反射后，光線剛好照到古城墻CD的頂端C處．如果AB⊥BD，CD⊥BD，AB＝1.5米，BP＝1.8米，PD＝12米，那么該古城墻的高度是10米．【分析】根據(jù)題意，可以得到△ABP∽△CDP，從而可以得到，再根據(jù)AB＝1.5米，BP＝1.8米，PD＝12米，即可求得CD的長(zhǎng)．【解答】解：由題意可得，∠APB＝∠CPD，∠ABP＝∠CDP，∴△ABP∽△CDP，∴，∵AB＝1.5米，BP＝1.8米，PD＝12米，∴，解得CD＝10，即該古城墻的高度是10米，故答案為：10．【點(diǎn)評(píng)】本題考查相似三角形的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是求出△ABP∽△CDP．44．《九章算術(shù)》是我國(guó)古代的數(shù)學(xué)名著，書中有這樣一個(gè)問(wèn)題：“今有邑方不知大小，各中開門，出北門一百步立一表，出西門二百二十五步適可見之，問(wèn)邑方幾何？”它的意思是：如圖，M、N分別是正方形ABCD的邊AD，AB的中點(diǎn)，ME⊥AD，NF⊥AB，EF過(guò)點(diǎn)A，且ME＝100步，NF＝225步，那么該正方形城邑邊長(zhǎng)AD約為300步．【分析】根據(jù)題意，可知Rt△AEM∽R(shí)t△FAN，從而可以得到對(duì)應(yīng)邊的比相等，從而可以求得正方形的邊長(zhǎng)．【解答】解：∵點(diǎn)M、點(diǎn)N分別是正方形ABCD的邊AD、AB的中點(diǎn)，∴AM＝AD，AN＝AB，∴AM＝AN，由題意可得，Rt△AEM∽R(shí)t△FAN，∴，即AM2＝100×225＝22500，解得：AM＝150（步），∴AD＝2AM＝300（步）；故答案為：300．【點(diǎn)評(píng)】本題考查相似三角形的應(yīng)用、數(shù)學(xué)常識(shí)、正方形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意．利用相似三角形的性質(zhì)和數(shù)形結(jié)合的思想解答．45．如圖，某時(shí)刻陽(yáng)光通過(guò)窗口AB照射到室內(nèi)，在地面上留下4米寬的“亮區(qū)”DE，光線與地面所成的角（如∠BEC）的正切值是，那么窗口的高AB等于2米．【分析】由題意知CE＝2BC，CD＝2AC，進(jìn)而得到CD＝DE+CE＝4+2BC，由BE∥AD得到△BCE∽△ACD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到＝＝，化簡(jiǎn)即可求出AB．【解答】解：由題意知tan∠BEC＝＝＝，DE＝4，∴CE＝2BC，CD＝2AC，∴CD＝DE+CE＝4+2BC，∵AD∥BE，∴△BCE∽△ACD，∴＝，∴＝＝，∴BC+AB＝2+BC，∴AB＝2，故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是相似三角形的應(yīng)用，熟知相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例是解答此題的關(guān)鍵．46．學(xué)習(xí)了相似三角形相關(guān)知識(shí)后，小明和同學(xué)們想利用“標(biāo)桿”測(cè)量大樓的高度．如圖，小明站立在地面點(diǎn)F處，他的同學(xué)在點(diǎn)B處豎立“標(biāo)桿”AB，使得小明的頭頂點(diǎn)E、桿頂點(diǎn)A、樓頂點(diǎn)C在一條直線上（點(diǎn)F、B、D也在一條直線上）．已知小明的身高EF＝1.5米，“標(biāo)桿”AB＝2.5米，又BD＝23米，F(xiàn)B＝2米．（1）求大樓的高度CD為多少米（CD垂直地面BD）？（2）小明站在原來(lái)的位置，同學(xué)們通過(guò)移動(dòng)標(biāo)桿，可以用同樣的方法測(cè)得樓CD上點(diǎn)G的高度GD＝11.5米，那么相對(duì)于第一次測(cè)量，標(biāo)桿AB應(yīng)該向大樓方向移動(dòng)多少米？【分析】（1）如圖1中，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥CD于點(diǎn)H，交AB于點(diǎn)J．則四邊形EFBJ，四邊形EFDH都是矩形．利用相似三角形的性質(zhì)求出CH，可得結(jié)論．（2）如圖2中，過(guò)點(diǎn)E作ET⊥CD于點(diǎn)T交AB于點(diǎn)R．設(shè)BF＝x米，利用相似三角形的性質(zhì)求解即可．【解答】解：（1）如圖1中，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥CD于點(diǎn)H，交AB于點(diǎn)J．則四邊形EFBJ，四邊形EFDH都是矩形．∴EF＝BJ＝DH＝1.5米，BF＝EJ＝2米，DB＝JH＝23米，∵AB＝2.5米．∴AJ＝AB﹣BJ＝2.5﹣1.5＝1（米），∵AJ∥CH，∴△EAJ∽△ECH，∴＝，∴＝，∴CH＝12.5（米），∴CD＝CH+DH＝12.5+1.5＝14（米）．（2）如圖2中，過(guò)點(diǎn)E作ET⊥CD于點(diǎn)T交AB于點(diǎn)R．設(shè)BF＝x米，∵AR∥GT，∴＝，∴＝，∴x＝2.5，∵2.5﹣2＝0.5（米），∴標(biāo)桿AB應(yīng)該向大樓方向移動(dòng)0.5米．【點(diǎn)評(píng)】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造相似三角形解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．一十一．射影定理（共2小題）47．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，若AD＝4，BD＝9，則CD＝6．【分析】根據(jù)兩角相等證明△ACD∽△CBD，列比例式代入可得結(jié)論．【解答】解：∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠BCD＝90°，∵CD⊥AB，∴∠ADC＝∠BDC＝90°，∴∠ACD+∠A＝90°，∴∠BCD＝∠A，∴△ACD∽△CBD，∴，∵AD＝4，BD＝9，∴CD2＝4×9＝36，∴CD＝6，故答案為：6．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)，明確同角的余角相等，為證明三角形相似打基礎(chǔ)，這在三角形相似證明角相等時(shí)經(jīng)常運(yùn)用，要熟練掌握．48．如圖，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD是斜邊AB上的高，如果AD＝2，BD＝6，那么AC的長(zhǎng)為（）A．4 B．5 C．6 D．7【分析】根據(jù)射影定理計(jì)算即可．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD是斜邊AB上的高，則AC2＝AD?AB，∵AD＝2，BD＝6，∴AC2＝2×（2+6）＝16，∴AC＝4，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是射影定理的應(yīng)用，在直角三角形中，每一條直角邊是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項(xiàng)．十二、重心49.如圖，在中，，是的重心，過(guò)作邊的平行線交于 點(diǎn)，求的長(zhǎng)．【難度】★★【答案】2．【解析】連結(jié)并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，根據(jù)重心的定義， 可知為中點(diǎn)，則， 根據(jù)重心的性質(zhì)，又，可得：，求得．【總結(jié)】考查三角形重心的性質(zhì)．鞏固鞏固提升一．選擇題（共12小題）1．下列圖形中不一定是相似圖形的是（）A．兩個(gè)等邊三角形 B．兩個(gè)頂角相等的等腰三角形 C．兩個(gè)等腰直角三角形 D．兩個(gè)矩形【分析】根據(jù)相似圖形的定義對(duì)各選項(xiàng)分析判斷后利用排除法求解．【解答】解：A、兩個(gè)等邊三角形對(duì)應(yīng)邊成比例，對(duì)應(yīng)角相等，一定相似，故此選項(xiàng)不合題意；B、兩個(gè)頂角相等的等腰三角形，對(duì)應(yīng)角相等，一定相似，故此選項(xiàng)不合題意；C、兩個(gè)等腰直角三角形，頂角都是直角相等，夾邊成比例，一定相似，故此選項(xiàng)不合題意；D、兩個(gè)長(zhǎng)方形，四個(gè)角都是直角相等，但對(duì)應(yīng)邊不一定成比例，不一定相似，故此選項(xiàng)符合題意．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似圖形的概念，注意從對(duì)應(yīng)邊成比例，對(duì)應(yīng)角相等兩個(gè)方面考慮．2．在比例尺是1：200000的地圖上，兩地的距離是6cm，那么這兩地的實(shí)際距離為（）A．1.2km B．12km C．120km D．1200km【分析】設(shè)這兩地的實(shí)際距離為xcm，根據(jù)比例尺的定義列出方程，然后求解即可得出答案．【解答】解：設(shè)這兩地的實(shí)際距離為xcm．由題意得：＝，解得x＝1200000，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝1200000是分式方程的解，1200000cm＝12km，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查比例線段，比例尺的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握比例尺性質(zhì)，屬于中考常考題型．3．如果＝，那么下列四個(gè)選項(xiàng)中，不正確的是（）A．＝ B．a(chǎn)d＝bc C．a(chǎn)：b＝c：d D．a(chǎn)：d＝c：b【分析】直接利用比例的性質(zhì)分析得出答案．【解答】解：∵＝，∴＝，ad＝bc，a：b＝c：d，則選項(xiàng)A，B，C都正確，無(wú)法得出：a：d＝c：b，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤，符合題意．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了比例的性質(zhì)，正確將比例式變形是解題關(guān)鍵．4．已知數(shù)字4是數(shù)字2和另外一個(gè)數(shù)的比例中項(xiàng)，這個(gè)數(shù)是（）A．8 B．1 C．2 D．【分析】設(shè)這個(gè)數(shù)是x，根據(jù)比例中項(xiàng)的概念，可得x：4＝4：2，則可求得x的值．【解答】解：設(shè)這個(gè)數(shù)是x，根據(jù)題意得，x：4＝4：2，解得x＝8．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了比例中項(xiàng)的概念，根據(jù)兩條數(shù)的比例中項(xiàng)的平方是這兩個(gè)數(shù)的乘積，可得出方程求解．5．如果兩個(gè)相似三角形對(duì)應(yīng)邊之比1：9，那么它們的對(duì)應(yīng)中線之比是（）A．1：2 B．1：3 C．1：9 D．1：81【分析】根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)中線的比等于相似比解答即可．【解答】解：∵兩個(gè)相似三角形對(duì)應(yīng)邊之比1：9，∴兩個(gè)相似三角形的相似比為1：9，∴它們的對(duì)應(yīng)中線之比是1：9，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是相似三角形的性質(zhì)，掌握相似三角形的對(duì)應(yīng)中線的比等于相似比是解題的關(guān)鍵．6．已知△ABC與△A′B′C′相似，點(diǎn)A與A′，點(diǎn)B與B′對(duì)應(yīng)，若＝，且△ABC的中線AD的長(zhǎng)為5，則AD的對(duì)應(yīng)中線A′D′的長(zhǎng)為（）A．10 B．20 C．80 D．【分析】根據(jù)相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比、對(duì)應(yīng)中線的比等于相似比解答．【解答】解：∵△ABC∽△A′B′C′，＝，∴＝＝，∵AD的長(zhǎng)為5，∴A′D′＝20，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，掌握相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比、相似三角形對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)中線的比、對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比是解題的關(guān)鍵．7．如圖，已知在△ABC中，點(diǎn)D在邊AB上，那么下列條件中不能判定△ABC～△ACD的是（）A． B．AC2＝AD?AB C．∠B＝∠ACD D．∠ADC＝∠ACB【分析】△ABC和△ACD有公共角，然后根據(jù)相似三角形的判定方法對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷．【解答】解：∵∠DAC＝∠CAB，∴當(dāng)∠ACD＝∠B或∠ADC＝∠ACB，可根據(jù)有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似可判斷△ACD∽△ABC；當(dāng)，即AC2＝AD?AB時(shí)，可根據(jù)兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等且夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似可判斷△ACD∽△ABC．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定：兩邊及其夾角法：兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等且夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似；有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似．8．如圖所示，某校數(shù)學(xué)興趣小組利用標(biāo)桿BE測(cè)量建筑物的高度，已知標(biāo)桿BE高1.2m，測(cè)得AB＝1.5m，BC＝12.5m，則建筑物CD的高是（）A．10m B．11.2m C．12m D．12.2m【分析】根據(jù)題意和圖形，利用三角形相似，可以計(jì)算出CD的長(zhǎng)，從而可以解答本題．【解答】解：∵EB⊥AC，DC⊥AC，∴EB∥DC，∴△ABE∽△ACD，∴，∵BE＝1.5m，AB＝1.2m，BC＝12.5m，∴AC＝AB+BC＝14m，∴＝，解得DC＝11.2，即建筑物CD的高是11.2m，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查相似三角形的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．9．如圖，直線l1∥l2∥l3，直線AC分別交l1，l2，l3于點(diǎn)A，B，C；直線DF分別交l1，l2，l3于點(diǎn)D，E，F(xiàn)；AC與DF相交于點(diǎn)H，且AB＝2，BC＝3，EF＝4．則DF的值為（）A．10 B． C． D．6【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理解答即可．【解答】解：∵直線l1∥l2∥l3，∴，∵AB＝2，BC＝3，EF＝4，∴，解得：DF＝，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線分線段成比例定理，能根據(jù)平行線分線段成比例定理得出正確的比例式是解此題的關(guān)鍵．10．如圖，在△ABC中，AD是∠BAC的平分線，CE與AD交于點(diǎn)M，∠ACE＝∠B，下列結(jié)論中不正確的是（）A．△ACM∽△ABD B．△ACE∽△ABC C．△AEM∽△CDM D．△AEM∽△ACD【分析】利用相似三角形的判定依次判斷可得結(jié)論．【解答】解：∵AD是∠BAC的平分線，∴∠BAD＝∠CAD，且∠ACE＝∠B，∴△ACM∽△ABD，故A不符合題意；∵∠ACE＝∠B，∠CAE＝∠CAB，∴△ACE∽△ABC，故B不符合題意；∵△ACE∽△ABC，∴∠ACD＝∠AEC，且∠DAC＝∠BAD，∴△AEM∽△ACD，故D不符合題意；由條件無(wú)法證明△AEM與△CDM相似，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定是本題的關(guān)鍵．11．將兩個(gè)完全相同的等腰直角三角形△ABC與△AFG擺成如圖的樣子，兩個(gè)三角形的重疊部分為△ADE，那么圖中一定相似的三角形是（）A．△ABC與△ADE B．△ABD與△AEC C．△ABE與△ACD D．△AEC與△ADC【分析】△ABE∽△DCA，根據(jù)兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似證明即可．【解答】解：△ABE∽△DCA理由：∵△ABC與△AFG都為等腰直角三角形，∴∠DAE＝∠B＝∠C＝45°，∵∠AEB＝∠C+∠CAE＝45°+∠CAE＝∠CAD∴△ABE∽△DCA，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)∠AEB＝∠CAD，∠ADC＝∠BAE．12．如圖，已知每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，△ABC與△DEF的頂點(diǎn)都在小正方形的頂點(diǎn)上，那么△DEF與△ABC相似的是（）A． B． C． D．【分析】首先由勾股定理求得各三角形的三邊長(zhǎng)，然后根據(jù)三組對(duì)應(yīng)邊的比相等的兩個(gè)三角形相似，即可求得答案．注意排除法在解選擇題中的應(yīng)用．【解答】解：AB＝，BC＝，AC＝3，A、∵ED＝，EF＝2，DF＝3，∴＝＝，∴△DEF與△ABC相似；B、∵DE＝，EF＝1，DF＝2，∴≠≠，∴△DEF與△ABC不相似；C、∵DE＝，EF＝1，DF＝，∴≠≠，∴△DEF與△ABC不相似；D、∵DE＝，EF＝2，DF＝，∴≠≠，∴△DEF與△ABC不相似．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了相似三角形的判定與勾股定理．此題難度適中，注意掌握三組對(duì)應(yīng)邊的比相等的兩個(gè)三角形相似定理的應(yīng)用．二．填空題（共11小題）13．如果x：y＝5：2，那么（x+y）：y的值為．【分析】利用設(shè)k法解答即可．【解答】解：∵x：y＝5：2，∴設(shè)x＝5k，y＝2k，∴（x+y）：y＝（5k+2k）：（2k）＝（7k）：（2k）＝7：2，∴（x+y）：y的值為，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了比例的性質(zhì)，熟練掌握設(shè)k法是解題的關(guān)鍵．14．如圖，∠DAB＝∠CAE，請(qǐng)你再添加一個(gè)條件∠D＝∠B或∠AED＝∠C或AD：AB＝AE：AC或AD?AC＝AB?AE（任意一個(gè)即可），使得△ADE∽△ABC．【分析】由∠DAB＝∠CAE，可證得∠BAC＝∠DAE，然后由相似三角形的判定定理，可添加∠B＝∠D或∠C＝∠DEA或AB：AD＝AC：AE或AD?AC＝AB?AE等．【解答】解：根據(jù)相似三角形的判定：兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似；兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似．已知∠DAB＝∠CAE，則∠DAE＝∠BAC，要使△ADE∽△ABC，則補(bǔ)充的一個(gè)條件可以是∠D＝∠B或∠AED＝∠C或AD：AB＝AE：AC或AD?AC＝AB?AE．故答案為：∠D＝∠B或∠AED＝∠C或AD：AB＝AE：AC或AD?AC＝AB?AE（任意一個(gè)即可）．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了相似三角形的判定．熟練掌握相似三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．15．已知在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，DE∥BC，如果△ADE和四邊形BCED的面積分別為4和5，DE＝4，那么BC＝6．【分析】由DE∥BC，△AED∽△ABC，利用相似三角形的性質(zhì)結(jié)合△ADE和四邊形BCED的面積分別為4和5，可得出＝，結(jié)合DE＝4，即可求出BC的值，經(jīng)檢驗(yàn)后即可得出結(jié)論．【解答】解：依照題意畫出圖形，如圖所示.∵DE∥BC，∴△AED∽△ABC．又∵＝，∴＝＝，∴＝，即＝，∴BC＝6，經(jīng)檢驗(yàn)，BC＝6是原方程的解，且符合題意．故答案為：6．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，牢記相似三角形的面積比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵．16．兩個(gè)相似三角形的面積之比是9：25，其中較大的三角形一邊上的高是5厘米，那么另一個(gè)三角形對(duì)應(yīng)邊上的高為3厘米．【分析】設(shè)另一個(gè)三角形對(duì)應(yīng)邊上的高為x厘米，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出＝，再求出x即可．【解答】解：設(shè)另一個(gè)三角形對(duì)應(yīng)邊上的高為x厘米，∵兩個(gè)相似三角形的面積之比是9：25，其中較大的三角形一邊上的高是5厘米，∴＝，解得：x＝3，∴另一個(gè)三角形對(duì)應(yīng)邊上的高為3厘米，故答案為：3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，能熟記相似三角形的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵，注意：①相似三角形的面積之比等于相似比的平方，②相似三角形的對(duì)應(yīng)高之比等于相似比．17．如果一條直線把一個(gè)平面圖形的面積分成相等的兩部分，我們把這條直線稱作為這個(gè)平面圖形的一條面積等分線．已知△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，點(diǎn)D在邊BC上，且BD＝4，過(guò)點(diǎn)D的面積等分線交△ABC的邊于點(diǎn)E，那么線段AE的長(zhǎng)等于．【分析】過(guò)點(diǎn)A作AG⊥BC于G，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥BC于F，根據(jù)三角形的面積列出方程可得BC?AG＝2×DC?EF，就可以求出EF的值，證明△CEF∽△CAG，由相似三角形的性質(zhì)得出，求出CE的值從而得出結(jié)論．【解答】解：過(guò)點(diǎn)A作AG⊥BC于G，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥BC于F，∴∠AGB＝∠AGC＝∠EFC＝90°，∴EF∥AG．∵AB＝AC＝10，∴BG＝CG＝BC＝6．在Rt△ABG中，由勾股定理，得AG＝＝8．∵DC＝BC﹣BD，∴DC＝12﹣4＝8．∵S△ABC＝2S△EDC，∴BC?AG＝2×DC?EF，∴×12×8＝2××8?EF，即EF＝6．∵EF∥AG，∴△CEF∽△CAG，∴，∴，即EC＝，∴AE＝10﹣＝．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，勾股定理的運(yùn)用，三角形的面積公式的運(yùn)用，相似三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，解答時(shí)正確作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵，證明△CEF∽△CAG是解題的關(guān)鍵．18．我們把兩個(gè)三角形的重心之間的距離叫做重心距．如圖，在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝30°，CD是△ABC中邊AB上的高，如果BC＝6，那么△ADC和△BCD的重心距是1+．【分析】設(shè)△ADC和△BCD的重心分別為M、N，連接CM、CN交AB于E、F點(diǎn)，首先解直角三角形，可得AB的長(zhǎng)，再根據(jù)重心的性質(zhì)說(shuō)明△MCN∽△ECF，得MN＝EF＝1+．【解答】解：如圖，設(shè)△ADC和△BCD的重心分別為M、N，連接CM、CN交AB于E、F點(diǎn)，在Rt△CBD中，∵∠B＝30°，∴CD＝BC＝3，BD＝CD＝3，在Rt△ACD中，∵A＝45°，∴AD＝CD＝3，∴AB＝AD+BD＝3+3，∴EF＝AB＝，∵△ADC和△BCD的重心分別為M、N，∴，∵∠MCN＝∠ECF，∴△MCN∽△ECF，∴MN＝EF＝1+，故答案為：1+．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了重心的性質(zhì)，三角形相似的判定與性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)，熟練掌握重心的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．19．已知△ABC的兩條中線BD、CE相交于點(diǎn)P，PE＝2，那么CP的長(zhǎng)為4．【分析】根據(jù)三角形中線的交點(diǎn)可知點(diǎn)P為ABC的重心，根據(jù)重心的性質(zhì)重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對(duì)邊中點(diǎn)的距離之比為2：1即答．【解答】解：如下圖所示，∵BD、CE是ABC的兩條中線，且相交于點(diǎn)P，∴點(diǎn)P為△ABC的重心，∴．又∵PE＝2，∴CP＝4．故答案為：4．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角形重心的性質(zhì)，明確重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對(duì)邊中點(diǎn)的距離之比為2：1是解題的關(guān)鍵．20．已知點(diǎn)P是線段AB的黃金分割點(diǎn)，且AP＞BP，如果BP＝﹣1，那么AP＝2．【分析】設(shè)AB＝m，根據(jù)黃金分割點(diǎn)的定義，知AP是較長(zhǎng)線段；則AP＝AB，構(gòu)建方程求出m即可．【解答】解：設(shè)AB＝m．由于P為線段AB的黃金分割點(diǎn)，且AP是較長(zhǎng)線段；則AP＝AB＝m，∴m﹣m＝﹣1，解得m＝+1，∴AP＝×（+1）＝2，故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了黃金分割的概念．應(yīng)該識(shí)記黃金分割的公式：較短的線段＝原線段的，較長(zhǎng)的線段＝原線段的．21．如圖，直線a∥b∥c，它們依次交直線m、n于點(diǎn)A、C、E和B、D、F，已知AC＝4，CE＝6，BD＝3，那么BF等于7.5．【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理得出比例式＝，再代入求出DF，再求出BF即可．【解答】解：∵直線a∥b∥c，∴＝，∵AC＝4，CE＝6，BD＝3，∴＝，解得：DF＝4.5，∵BD＝3，∴BF＝BD+DF＝3+4.5＝7.5，故答案為：7.5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線分線段成比例定理，能正確根據(jù)平行線分線段成比例定理得出比例式是解此題的關(guān)鍵．22．如圖，小杰同學(xué)跳起來(lái)把一個(gè)排球打在離他2米（即CO＝2米）遠(yuǎn)的地上，排球反彈碰到墻上，如果他跳起擊球時(shí)的高度是1.8米（即AC＝1.8米），排球落地點(diǎn)離墻的距離是6米（即OD＝6米），假設(shè)排球一直沿直線運(yùn)動(dòng)，那么排球能碰到墻面離地的高度BD的長(zhǎng)是5.4米．【分析】依據(jù)題意可得∠AOC＝∠BOD，通過(guò)說(shuō)明△ACO∽△BDO，得出比例式可求得結(jié)論．【解答】解：由題意得：∠AOC＝∠BOD．∵AC⊥CD，BD⊥CD，∴∠ACO＝∠BDO＝90°．∴△ACO∽△BDO．∴．即．∴BD＝5.4（米）．故答案為：5.4．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了相似三角形的應(yīng)用，根據(jù)已知條件得出相似三角形是解題的關(guān)鍵．23．從三角形（不是等腰三角形）一個(gè)頂點(diǎn)引出一條射線與對(duì)邊相交，頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段把這個(gè)三角形分割成兩個(gè)小三角形，如果分得的兩個(gè)小三角形中一個(gè)為等腰三角形，另一個(gè)與原三角形相似，我們把這條線段叫做這個(gè)三角形的最美分割線．在△ABC中，∠A＝50°，CD是△ABC的最美分割線．若△ACD為等腰三角形，則∠ACB的度數(shù)為100°或115°．【分析】根據(jù)△ACD為等腰三角形，需要分三種情況討論：①當(dāng)AD＝CD時(shí)，②如當(dāng)AD＝AC，③當(dāng)AC＝CD，然后結(jié)合最美分割線的定義，可得△BDC∽△BCA，可以分別求出∠ACB的度數(shù)．【解答】解：①當(dāng)AD＝AC時(shí)，如圖1，∴∠ACD＝∠ADC＝（180°﹣50°）＝65°，∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD＝∠A＝50°，∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝65°+50°＝115°．②當(dāng)AD＝CD時(shí)，如圖2，∠ACD＝∠A＝50°，∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD＝∠A＝50°，∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝50°+50°＝100°．③當(dāng)AC＝CD時(shí)，如圖3，∠ADC＝∠A＝50°，∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD＝∠A＝50°，∴∠ADC＝∠BCD（不合題意）．綜上所述，∠ACB＝100°或115°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)，理解最美分割線的定義是解決本題的關(guān)鍵．三．解答題（共10小題）24．已知：如圖，在△ABC中，D是邊BC上一點(diǎn)，G是線段AD上一點(diǎn)，且AG＝2GD，聯(lián)結(jié)BG并延長(zhǎng)，交邊AC于點(diǎn)E．（1）求證：＝；（2）如果D是邊BC的中點(diǎn)，P是邊BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且CP＝BC，延長(zhǎng)線段BE，交線段AP于點(diǎn)F，聯(lián)結(jié)CF、CG，求證：四邊形AGCF是平行四邊形．【分析】（1）通過(guò)證明△DHG∽△AEG，由相似三角形的性質(zhì)可得DH＝AE，通過(guò)證明△BDH∽△BCE，可得結(jié)論；（2）通過(guò)證明△DGC∽△DAP，可得∠DGC＝∠DAP，可證GC∥AP，可證GE＝EF，可得結(jié)論．【解答】（1）證明：如圖，過(guò)點(diǎn)D作DH∥AC，交BE于H，∵DH∥AC，∴△DHG∽△AEG，∴，∵AG＝2GD，∴DH＝AE，∵DH∥AC，∴△BDH∽△BCE，∴＝，∴；（2）證明：如圖，∵D是邊BC的中點(diǎn)，∴BC＝2BD＝2CD，∴＝1，∴AE＝CE，∵CP＝BC＝2CD，∴＝，∵AG＝2GD，∴＝，∴，又∵∠ADP＝∠GDC，∴△DGC∽△DAP，∴∠DGC＝∠DAP，∴GC∥AP，∴△GEC∽△FEA，∴，∴GE＝EF，∴四邊形AGCF是平行四邊形．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，掌握相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．25．如圖，將矩形ABCD繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)A落到對(duì)角線AC上的點(diǎn)E處，點(diǎn)C、D分別落在點(diǎn)F、G處．（1）聯(lián)結(jié)BG、CG，求證：四邊形ABGC是平行四邊形；（2）聯(lián)結(jié)GE并延長(zhǎng)交邊AD于點(diǎn)H，求證：AB2＝AD?AH．【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)證明△ABC≌△BEG，得出∠ACB＝∠BGE，AC＝BG，再證明AC∥BG，即可證明四邊形ABGC是平行四邊形；（2）先證明Rt△BAH≌Rt△BEH，得出∠ABH＝∠EBH，利用等腰三角形的性質(zhì)得出BH⊥AE，進(jìn)而證明∠ABH＝∠DAC，證明△BAH∽△ADC，再利用相似三角形的性質(zhì)即可得出AB2＝AD?AH．【解答】證明：（1）如圖1，∵矩形BFGE是由矩形BCDA旋轉(zhuǎn)得到，∴AB＝BE，∠ABC＝∠BEG＝90°，BC＝EC，∴△ABC≌△BEG（SAS），∴∠ACB＝∠BGE，AC＝BG，∵AB＝BE，∠ABC＝∠BEG＝90°，∴∠BAE＝∠BEA，∠BAE+∠ACB＝90°，∠BEG+∠CEG＝90°，∴∠CEG＝∠ACB，∴∠BGE＝∠CEG，∴AC∥BG，∴四邊形ABGC是平行四邊形；（2）如圖2，連接BH，在Rt△BAH和Rt△BEH中，，∴Rt△BAH≌Rt△BEH（HL），∴∠ABH＝∠EBH，∵BA＝BE，∴BH⊥AE，∴∠ABH+∠BAC＝90°，∵∠BAC+∠CAD＝90°，∴∠ABH＝∠DAC，∵∠BAH＝∠ADC＝90°，∴△BAH∽△ADC，∴，∵AB＝CD，∴，∴AB2＝AD?AH．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．26．已知：如圖，正方形ABCD中，E、F分別是邊CD、AD上的點(diǎn)，AE⊥BF．（1）求證：AE＝BF；（2）聯(lián)結(jié)BE、EF，如果∠DEF＝∠ABE，求證：DF2＝AF?AD．【分析】（1）設(shè)BF與AE交于O點(diǎn)，根據(jù)同角的余角相等得∠ABF＝∠DAE，再利用ASA證明△ABF≌△DAE，得AE＝BF；（2）根據(jù)兩個(gè)角相等證明△DEF∽△CEB，得，由（1）得，△ABF≌△DAE，則AF＝DE，等量代換即可．【解答】證明：（1）設(shè)BF與AE交于O點(diǎn)，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAF＝∠D＝90°，∵AE⊥BF．∴∠AOB＝90°，∴∠ABO+∠BAO＝90°，∠BAO+∠DAE＝90°，∴∠ABF＝∠DAE，在△ABF和△DAE中，，∴△ABF≌△DAE（ASA），∴AE＝BF；（2）∵AB∥CD，∴∠ABE＝∠BEC，∵∠DEF＝∠ABE，∴∠DEF＝∠BEC，∵∠D＝∠C，∴△DEF∽△CEB，∴，由（1）得，△ABF≌△DAE，∴AF＝DE，∴CE＝DF，∴DF2＝AF?AD．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，證明△DEF∽△CEB是解題的關(guān)鍵．27．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AC＝6，AD平分∠BAC，交邊BC于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作CA的平行線，交邊AB于點(diǎn)E．（1）求線段DE的長(zhǎng)；（2）取線段AD的中點(diǎn)M，聯(lián)結(jié)BM，交線段DE于點(diǎn)F，延長(zhǎng)線段BM交邊AC于點(diǎn)G，求的值．【分析】（1）根據(jù)平行線分線段成比例定理，列出比例式求解即可；（2）根據(jù)平行線分線段成比例定理，列出比例式求解即可．【解答】解：（1）∵AD平分∠BAC，∠BAC＝60°，∴∠DAC＝30°，在Rt△ACD中，∠ACD＝90°，∠DAC＝30°，AC＝6，∴CD＝2，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AC＝6，∴BC＝6，∴BD＝BC﹣CD＝4，∵DE∥CA，∴，∴DE＝4；（2）如圖，∵點(diǎn)M是線段AD的中點(diǎn)，∴DM＝AM，∵DE∥CA，∴，∴DF＝AG，∵DE∥CA，∴，∴，∵BD＝4，BC＝6，DF＝AG，∴．【點(diǎn)評(píng)】考查了平行線分線段成比例定理，注意線段之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系．28．如圖，已知：正方形ABCD中，一個(gè)以點(diǎn)A為頂點(diǎn)的∠EAF＝45°繞著點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，角的兩邊分別與邊BC、DC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E、F，聯(lián)結(jié)EF．（1）如圖（1），若∠EAF被對(duì)角線AC平分時(shí)，求證：CE＝CF．（2）如圖（2），求證：CE?CF＝2AB2．【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)可得∠BCA＝∠DCA＝45°，再利用對(duì)頂角相等可得∠ACF＝∠ACE，然后根據(jù)角平分線的定義可得∠EAC＝∠FAC，從而證明△ACE≌△ACF，利用全等三角形的性質(zhì)即可解答；（2）根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AC＝AB，再利用三角形的外角和已知∠EAF＝45°，可得∠E＝∠FAC，然后再利用（1）的結(jié)論可證明△ECA∽△ACF，利用相似三角形的性質(zhì)即可解答．【解答】證明：（1）∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BCA＝∠DCA＝45°，∵∠BCF＝∠DCE，∴∠BCF+∠ACB＝∠DCE+∠DCA，∴∠ACF＝∠ACE，∴AC平分∠EAF，∴∠EAC＝∠FAC，∵AC＝AC，∴△ACE≌△ACF（ASA），∴CE＝CF；（2）∵四邊形ABCD是正方形，∴AC＝AB，∵∠EAF＝45°，∴∠FAC+∠EAC＝45°，∵∠ACB是△ACE的一個(gè)外角，∴∠ACB＝∠CAE+∠E＝45°，∴∠E＝∠FAC，由（1）得：∠ACF＝∠ACE，∴△ECA∽△ACF，∴＝，∴AC2＝CE?CF，∴（AB）2＝CE?CF，∴CE?CF＝2