滬教版（上海）數(shù)學(xué)高二下冊-TI創(chuàng)新數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)：橢圓內(nèi)接三角形面積的最大值（教案）

滬教版（上海）數(shù)學(xué)高二下冊-TI創(chuàng)新數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)：橢圓內(nèi)接三角形面積的最大值（教案）課題：科目：班級：課時(shí)：計(jì)劃1課時(shí)教師：單位：一、課程基本信息1.課程名稱：滬教版（上海）數(shù)學(xué)高二下冊-TI創(chuàng)新數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)：橢圓內(nèi)接三角形面積的最大值

2.教學(xué)年級和班級：高二年級某班

3.授課時(shí)間：第10周，星期三，第2節(jié)

4.教學(xué)時(shí)數(shù)：45分鐘或1課時(shí)二、核心素養(yǎng)目標(biāo)1.培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題的能力，特別是在橢圓幾何性質(zhì)的應(yīng)用上。

2.強(qiáng)化學(xué)生邏輯推理和數(shù)學(xué)抽象思維，通過橢圓內(nèi)接三角形面積最大值的探索，提升空間想象和推理能力。

3.激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)探究興趣，培養(yǎng)數(shù)據(jù)分析與數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)，使學(xué)生能夠理解數(shù)學(xué)在自然科學(xué)中的應(yīng)用價(jià)值。三、重點(diǎn)難點(diǎn)及解決辦法重點(diǎn)：橢圓內(nèi)接三角形面積的計(jì)算方法，橢圓幾何性質(zhì)的應(yīng)用。

難點(diǎn)：理解橢圓內(nèi)接三角形面積最大值的原理，運(yùn)用數(shù)學(xué)推導(dǎo)解決實(shí)際問題。

解決辦法：

1.通過動畫演示和實(shí)際操作，幫助學(xué)生形象理解橢圓內(nèi)接三角形的構(gòu)造，引入橢圓的幾何性質(zhì)。

2.引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)公式推導(dǎo)橢圓內(nèi)接三角形面積的表達(dá)式，采用直觀的圖形和實(shí)際例題輔助理解。

3.設(shè)計(jì)小組討論環(huán)節(jié)，讓學(xué)生合作探究面積最大值的條件，提供提示和引導(dǎo)，幫助學(xué)生突破難點(diǎn)。

4.利用數(shù)學(xué)軟件或圖形計(jì)算器，讓學(xué)生親自動手實(shí)驗(yàn)，觀察數(shù)據(jù)變化，從而加深對面積最大值原理的理解。四、教學(xué)方法與手段1.教學(xué)方法：

(1)講授法：系統(tǒng)講解橢圓內(nèi)接三角形的基本概念和面積計(jì)算公式，為學(xué)生提供理論基礎(chǔ)。

(2)討論法：鼓勵學(xué)生分組討論橢圓內(nèi)接三角形面積最大值的條件和推導(dǎo)過程，促進(jìn)思維碰撞。

(3)實(shí)驗(yàn)法：利用TI圖形計(jì)算器或數(shù)學(xué)軟件進(jìn)行橢圓內(nèi)接三角形面積實(shí)驗(yàn)，讓學(xué)生在實(shí)踐中探索發(fā)現(xiàn)。

2.教學(xué)手段：

(1)多媒體教學(xué)：通過PPT展示橢圓圖形和動態(tài)演示，增強(qiáng)學(xué)生對幾何圖形的理解。

(2)教學(xué)軟件應(yīng)用：運(yùn)用數(shù)學(xué)軟件進(jìn)行實(shí)時(shí)數(shù)據(jù)分析，提高學(xué)生對數(shù)學(xué)模型的直觀感受。

(3)圖形計(jì)算器操作：指導(dǎo)學(xué)生操作圖形計(jì)算器，直觀展示橢圓內(nèi)接三角形面積的變化，提升學(xué)習(xí)效率。五、教學(xué)過程1.導(dǎo)入（約5分鐘）

-激發(fā)興趣：通過提出問題“如何在給定的橢圓內(nèi)找到面積最大的三角形？”來引發(fā)學(xué)生的思考。

-回顧舊知：簡要回顧橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)以及三角形面積的計(jì)算方法。

2.新課呈現(xiàn)（約20分鐘）

-講解新知：詳細(xì)講解橢圓內(nèi)接三角形的定義，推導(dǎo)面積計(jì)算公式，并介紹橢圓內(nèi)接三角形面積最大值的原理。

-舉例說明：通過具體例子，如特定橢圓的圖形展示，說明如何應(yīng)用面積公式和尋找面積最大值的三角形。

-互動探究：組織學(xué)生分組討論，探究橢圓內(nèi)接三角形面積最大值的條件，并嘗試用數(shù)學(xué)推導(dǎo)證明。

3.鞏固練習(xí)（約15分鐘）

-學(xué)生活動：學(xué)生利用TI圖形計(jì)算器或數(shù)學(xué)軟件進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，嘗試找到不同橢圓內(nèi)接三角形的面積最大值，并記錄數(shù)據(jù)。

-教師指導(dǎo)：教師在學(xué)生實(shí)驗(yàn)過程中進(jìn)行巡回指導(dǎo)，解答學(xué)生的疑問，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并對實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行分析。

4.總結(jié)提升（約5分鐘）

-學(xué)生分享：邀請幾組學(xué)生分享他們的實(shí)驗(yàn)過程和發(fā)現(xiàn)，總結(jié)橢圓內(nèi)接三角形面積最大值的條件。

-教師點(diǎn)評：對學(xué)生的分享進(jìn)行點(diǎn)評，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)思想方法和幾何直觀在解決問題中的應(yīng)用。

5.作業(yè)布置（約5分鐘）

-布置與橢圓內(nèi)接三角形面積相關(guān)的作業(yè)題，要求學(xué)生運(yùn)用課堂所學(xué)的知識和方法解決問題。六、知識點(diǎn)梳理1.橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程

-橢圓是平面上到兩個定點(diǎn)（焦點(diǎn)）距離之和為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡。

-橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（其中$a$為半長軸，$b$為半短軸）。

2.橢圓的幾何性質(zhì)

-橢圓有兩個焦點(diǎn)，兩個頂點(diǎn)，兩條準(zhǔn)線。

-橢圓上任意一點(diǎn)到兩個焦點(diǎn)的距離之和等于橢圓的長軸長度，即$2a$。

3.三角形面積計(jì)算方法

-三角形的面積可以通過底和高的乘積的一半來計(jì)算。

-對于一般三角形，面積$S=\frac{1}{2}ab\sinC$，其中$a$、$b$為兩邊，$C$為這兩邊的夾角。

4.橢圓內(nèi)接三角形的面積計(jì)算

-橢圓內(nèi)接三角形的三個頂點(diǎn)均位于橢圓上。

-橢圓內(nèi)接三角形的面積可以通過解三角形（海倫公式或向量叉乘方法）或直接利用橢圓方程和頂點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算。

5.橢圓內(nèi)接三角形面積最大值的條件

-面積最大值出現(xiàn)在橢圓的直徑所形成的三角形。

-對于橢圓內(nèi)接三角形，當(dāng)且僅當(dāng)三角形的一邊為橢圓的長軸時(shí)，面積達(dá)到最大。

6.數(shù)學(xué)推導(dǎo)與證明

-利用微積分或解析幾何的方法推導(dǎo)橢圓內(nèi)接三角形面積的最大值。

-通過數(shù)學(xué)證明，展示橢圓內(nèi)接三角形面積最大值條件的成立。

7.實(shí)踐應(yīng)用

-利用數(shù)學(xué)軟件或圖形計(jì)算器進(jìn)行橢圓內(nèi)接三角形面積的實(shí)驗(yàn)。

-將數(shù)學(xué)知識應(yīng)用于解決實(shí)際問題，如工程設(shè)計(jì)、天體物理等領(lǐng)域。七、課堂1.課堂評價(jià)

-在課堂教學(xué)中，通過以下方式對學(xué)生的學(xué)習(xí)情況進(jìn)行評價(jià)：

-提問：針對本節(jié)課的重點(diǎn)和難點(diǎn)內(nèi)容，對學(xué)生進(jìn)行個別提問，了解學(xué)生對橢圓內(nèi)接三角形面積計(jì)算方法和最大值條件的掌握程度。

-觀察：觀察學(xué)生在小組討論和實(shí)驗(yàn)操作中的表現(xiàn)，了解學(xué)生的合作能力和動手操作能力。

-測試：進(jìn)行隨堂測試，檢測學(xué)生對課堂所學(xué)知識點(diǎn)的掌握情況，及時(shí)發(fā)現(xiàn)并解決學(xué)生在理解上可能存在的問題。

-針對學(xué)生的反饋，及時(shí)調(diào)整教學(xué)方法和策略，以確保學(xué)生能夠更好地理解和掌握知識。

2.作業(yè)評價(jià)

-對學(xué)生的作業(yè)進(jìn)行認(rèn)真批改和點(diǎn)評，重點(diǎn)關(guān)注以下幾個方面：

-知識點(diǎn)掌握：檢查學(xué)生對橢圓內(nèi)接三角形面積計(jì)算公式和最大值條件的運(yùn)用是否正確。

-思維過程：觀察學(xué)生在解決問題時(shí)的思考過程，鼓勵學(xué)生展示清晰的推導(dǎo)步驟和邏輯推理。

-創(chuàng)新能力：關(guān)注學(xué)生在解決問題時(shí)是否有獨(dú)特的見解和創(chuàng)造性思維。

-及時(shí)向?qū)W生反饋?zhàn)鳂I(yè)評價(jià)結(jié)果，肯定學(xué)生的進(jìn)步，指出需要改進(jìn)的地方，并鼓勵學(xué)生繼續(xù)努力。

-鼓勵學(xué)生主動參與課堂討論和提問，培養(yǎng)他們自主學(xué)習(xí)的能力，同時(shí)通過作業(yè)評價(jià)促進(jìn)學(xué)生對課堂所學(xué)知識的鞏固和應(yīng)用。八、典型例題講解例題1：

已知橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$，求橢圓內(nèi)接三角形面積的最大值。

解答：

橢圓的長軸為$2a=4$，短軸為$2b=2\sqrt{3}$。面積最大的橢圓內(nèi)接三角形為長軸所對的直角三角形，此時(shí)面積$S_{\max}=\frac{1}{2}\times2a\timesb=\frac{1}{2}\times4\times\sqrt{3}=2\sqrt{3}$。

例題2：

設(shè)橢圓$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1$上三點(diǎn)$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，$C(x_3,y_3)$，若$\triangleABC$為橢圓內(nèi)接三角形，求證$\triangleABC$面積的最大值為$8$。

解答：

當(dāng)$A$、$B$為橢圓的左右頂點(diǎn)時(shí)，$\triangleABC$面積取最大值。設(shè)$A(-4,0)$，$B(4,0)$，則$C$點(diǎn)的縱坐標(biāo)$y_3$必須滿足$\frac{4^2}{16}+\frac{y_3^2}{12}=1$，解得$y_3=\pm3$。此時(shí)$\triangleABC$的面積$S_{\max}=\frac{1}{2}\times8\times3=12$，但題目要求的是橢圓內(nèi)接三角形，故$S_{\max}=8$。

例題3：

橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$上任意一點(diǎn)$P(x,y)$，若$\triangleAPB$為橢圓內(nèi)接三角形，其中$A(-a,0)$，$B(a,0)$，求$\triangleAPB$面積的最大值。

解答：

$\triangleAPB$的面積$S=\frac{1}{2}\times2a\timesy$，因?yàn)?-b\leqy\leqb$，所以$S_{\max}=\frac{1}{2}\times2a\timesb=ab$，當(dāng)$y=b$時(shí)取得。

例題4：

已知橢圓$\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{4}=1$，點(diǎn)$M(x,y)$在橢圓上，求$\triangleOAB$面積的最大值，其中$O$為原點(diǎn)，$A$、$B$為橢圓的左右頂點(diǎn)。

解答：

$\triangleOAB$的面積$S=\frac{1}{2}\times|x|\timesy$。由于$x$的取值范圍為$-\sqrt{5}\leqx\leq\sqrt{5}$，$y$的取值范圍為$-2\leqy\leq2$，所以$S_{\max}=\frac{1}{2}\times\sqrt{5}\times2=\sqrt{5}$，當(dāng)$x=\pm\sqrt{5}$，$y=\pm2$時(shí)取得。

例題5：

橢圓$\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{20}=1$上有三點(diǎn)$A$、$B$、$C$，若$\triangleABC$的周長為$12\sqrt{2}$，求$\triangleABC$面積的最大值。

解答：

由橢圓的對稱性，不妨設(shè)$A(-6,0)$，$B(6,0)$，設(shè)$C(x,y)$，則$|AC|+|BC|+|AB|=12\sqrt{2}$。由于$|AB|=12$，所以$|AC|+|BC|=12\sqrt{2}-12$。根據(jù)橢圓的性質(zhì)，$|AC|+|BC|$的最小值為$2a-2b=2\sqrt{a^2-b^2}$，此時(shí)$C$點(diǎn)在橢圓的短軸端點(diǎn)上。由于$a^2=36$，$b^2=20$，所以$|AC|+|BC|$的最小值為$4\sqrt{6}$，但周長已知，故$C$點(diǎn)不在短軸端點(diǎn)上。$\triangleABC$面積的最大值出現(xiàn)在$C$點(diǎn)在橢圓的長軸上，此時(shí)$y=\pm\sqrt{b^2-\frac{b^4}{a^2}}=\pm\sqrt{16}$，所以$S_{\max}=\frac{1}{2}\times12\times4=24$。板書設(shè)計(jì)①重點(diǎn)知識點(diǎn)：

-橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)

-橢圓內(nèi)接三角形的面積計(jì)算

-橢圓內(nèi)接三角形面積最大值的條件

②關(guān)鍵詞：

-橢圓

-內(nèi)接三角形

-面積計(jì)算

-最大值

-幾何性質(zhì)

③重點(diǎn)句：

-橢圓內(nèi)接三角形的面積可以通過底和高的乘積的一半來計(jì)算。

-面積最大值出現(xiàn)在橢圓的直徑所形成的三角形。

-對于橢圓內(nèi)接三角形，當(dāng)且僅當(dāng)三角形的一邊為橢圓的長軸時(shí)，面積達(dá)到最大。教學(xué)反思與總結(jié)回顧本節(jié)課的教學(xué)過程，我深刻體會到了教學(xué)相長的真諦。在教學(xué)方法上，我嘗試了講授、討論、實(shí)驗(yàn)等多種形式，力求激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高他們的參與度。通過生動的案例和直觀的演示，我努力幫助學(xué)生理解橢圓內(nèi)接三角形面積的計(jì)算方法和最大值原理。在管理方面，我注重課堂紀(jì)律的維護(hù)