2025屆高三數(shù)學一輪總復習 第六章 第五講 直線、平面垂直的判定與性質(zhì)配套課件

第五講直線、平面垂直的判定與性質(zhì)2025年高考一輪總復習第六章

立體幾何1.直線與平面垂直(1)定義

如果直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，則直線l與平面α互相垂直，記作l⊥α，直線l叫做平面α的垂線，平面α叫做直線l的垂面.定理文字語言圖形語言符號語言判定定理如果一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直

?l⊥α(2)判定定理與性質(zhì)定理定理文字語言圖形語言符號語言性質(zhì)定理垂直于同一個平面的兩條直線平行

?a∥b(續(xù)表)

2.直線和平面所成的角

(1)定義

平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角，叫做這條直線和這個平面所成的角.若一條直線垂直于平面，它們所成的角是直角，若一條直線和平面平行，或在平面內(nèi)，它們所成的角是0°的角.(2)范圍：3.平面與平面垂直(1)二面角的有關(guān)概念①二面角：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角；

②二面角的平面角：在二面角的棱上任取一點，以該點為垂足，在兩個半平面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所構(gòu)成的角叫做二面角的平面角.(2)平面和平面垂直的定義兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直.定理文字語言圖形語言符號語言判定定理如果一個平面過另一個平面的垂線，那么這兩個平面垂直

?α⊥β(3)平面與平面垂直的判定定理與性質(zhì)定理定理文字語言圖形語言符號語言性質(zhì)定理兩個平面垂直，如果一個平面內(nèi)有一直線垂直于這兩個平面的交線，那么這條直線與另一個平面垂直?l⊥α(續(xù)表)提醒：兩平面垂直的性質(zhì)定理是把面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直的依據(jù)，運用時要注意“平面內(nèi)的直線”這一條件.【名師點睛】直線與平面垂直的五個結(jié)論(1)若一條直線垂直于一個平面，則這條直線垂直于這個平面內(nèi)的任意直線.(2)若兩條平行線中的一條垂直于一個平面，則另一條也垂直于這個平面.(3)垂直于同一條直線的兩個平面平行.(4)一條直線垂直于兩平行平面中的一個，則這條直線與另一個平面也垂直.(5)兩個相交平面同時垂直于第三個平面，他們的交線也垂直于第三個平面.

考點一線面垂直的判定與性質(zhì)

[例1]如圖6-5-1，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中點.求證： (1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.圖6-5-1證明：(1)在四棱錐P-ABCD中，∵PA⊥底面ABCD，CD?平面ABCD，∴PA⊥CD.又∵AC⊥CD，且PA?平面PAC，AC?平面PAC，PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC.又AE?平面PAC，∴CD⊥AE.(2)由PA＝AB＝BC，且∠ABC＝60°，得△ABC為正三角形，所以AC＝PA.∵E是PC的中點，∴AE⊥PC.由(1)知AE⊥CD，且PC?平面PCD，CD?平面PCD，PC∩CD＝C，∴AE⊥平面PCD.又PD?平面PCD.∴AE⊥PD.∵PA⊥底面ABCD，AB?平面ABCD，∴PA⊥AB.又∵AB⊥AD，PA?平面PAD，AD?平面PAD，且PA∩AD＝A，∴AB⊥平面PAD.又PD?平面PAD，∴AB⊥PD.又∵AE?平面ABE，AB?平面ABE，且AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE.【題后反思】證明線面垂直的常用方法及關(guān)鍵

【變式訓練】

如圖6-5-2，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，D是A1B1的中點，F(xiàn)在BB1上. (1)求證：C1D⊥平面AA1B1B； (2)在下列給出的三個條件中選取兩個條件，并根圖6-5-2據(jù)所選條件證明：AB1⊥平面C1DF.證明：(1)∵ABC-A1B1C1是直三棱柱，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，∴A1C1＝B1C1＝1，且∠A1C1B1＝90°.又D是A1B1的中點，∴C1D⊥A1B1.∵AA1⊥平面A1B1C1，C1D?平面A1B1C1，∴AA1⊥C1D.又A1B1?平面AA1B1B，AA1?平面AA1B1B，且A1B1∩AA1＝A1，∴C1D⊥平面AA1B1B.(2)選①和③能證明AB1⊥平面C1DF.以下是證明過程.如圖D49，連接DF，A1B.圖D49∵D，F(xiàn)為A1B1，BB1

中點，∴DF∥A1B.在△ABC中，AC＝BC＝1，AC⊥BC，∴側(cè)面AA1B1B為正方形.∴A1B⊥AB1，DF⊥AB1.∵C1D⊥平面AA1B1B，AB1?平面AA1B1B，∴C1D⊥AB1.∵DF?平面C1DF，C1D?平面C1DF，且DF∩C1D＝D，∴AB1⊥平面C1DF.考點二面面垂直的判定與性質(zhì)

[例2]

如圖6-5-3所示，在四棱錐P-ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分別是CD和PC的中點，求證：(1)PA⊥底面ABCD；(2)BE∥平面PAD；(3)平面BEF⊥平面PCD.圖6-5-3證明：(1)∵平面PAD⊥底面ABCD，且PA垂直于這兩個平面的交線AD，PA?平面PAD，∴PA⊥底面ABCD.(2)∵AB∥CD，CD＝2AB，E為CD的中點，∴AB∥DE，且AB＝DE.∴四邊形ABED為平行四邊形.∴BE∥AD.又∵BE

平面PAD，AD?平面PAD，∴BE∥平面PAD.(3)∵AB⊥AD，而且ABED為平行四邊形.∴BE⊥CD，AD⊥CD，由(1)知PA⊥底面ABCD，CD?平面ABCD，∴PA⊥CD，且PA∩AD＝A，PA，AD?平面PAD，∴CD⊥平面PAD.又∵PD?平面PAD，∴CD⊥PD.∵E和F分別是CD和PC的中點，∴PD∥EF.∴CD⊥EF，又BE⊥CD且EF∩BE＝E，∴CD⊥平面BEF，又CD?平面PCD，∴平面BEF⊥平面PCD.【題后反思】證明面面垂直的兩種方法【變式訓練】(1)求證：平面MOC⊥平面VAB；(2)求三棱錐B-VAC的高.圖6-5-4(1)證明：∵AC＝BC，O為AB的中點，∴OC⊥AB.∵平面VAB⊥平面ABC，平面VAB∩平面ABC＝AB，OC?平面ABC，∴OC⊥平面VAB.∵OC?平面MOC,∴平面MOC⊥平面VAB.

考點三垂直關(guān)系的綜合應(yīng)用

[例3]如圖6-5-5，AB是⊙O

的直徑，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圓周上不同于A，B的一動點. (1)證明：△PBC是直角三角形； (2)若PA＝AB＝2，且當直線PC與平面ABC所成角的正切值為

時，求直線AB與平面PBC所成角的正弦值.圖6-5-5(1)證明：∵AB

是⊙O的直徑，C是圓周上不同于A，B的一動點.∴BC⊥AC， ∵PA⊥平面ABC， ∴BC⊥PA.又PA∩AC＝A，PA，AC?平面PAC，∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥PC，∴△BPC是直角三角形.(2)解：如圖

6-5-6，過點A作AH⊥PC于點H，圖6-5-6∵BC⊥平面PAC，∴BC⊥AH.又PC∩BC＝C，PC，BC?平面PBC，∴AH⊥平面PBC，∴∠ABH是直線AB與平面PBC所成的角.∵PA⊥平面ABC，∴∠PCA就是PC與平面ABC所成的角.【題后反思】(1)證明垂直關(guān)系時，要充分利用定義、判定和性質(zhì)實現(xiàn)線線垂直、線面垂直、面面垂直關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化.(2)線面角的計算，首先要利用定義和題目中的線面垂直作出所求角，然后在一個直角三角形中求解.

【變式訓練】

在四棱錐P-ABCD中，△PAD是等邊三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，AD＝2AB＝2BC，∠BAD＝∠ABC＝90°. (1)在AD上是否存在一點M，使得平面PCM⊥平面ABCD，若存在，請證明；若不存在，請說明理由；(2)若△PCD的面積為8，求四棱錐P-ABCD的體積.解：(1)當M為AD的中點時，使得平面PCM⊥平面ABCD.證明如下：如圖D50，連接CM，PM，圖D50由△PAD是等邊三角形，可得PM⊥AD，而平面PAD⊥平面ABCD，PM?平面PAD，AD為平面PAD和平面ABCD的交線，可得PM⊥平面ABCD，又因為PM?平面PCM，可得平面PCM⊥平面ABCD.

考點四平行關(guān)系與垂直關(guān)系的綜合應(yīng)用

[例4]如圖6-5-7，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，E，F(xiàn)分別為AD，PB的中點.求證： (1)PE⊥BC； (2)平面PAB⊥平面PCD；(3)EF∥平面PCD.圖6-5-7證明：(1)因為PA＝PD，E為AD的中點，所以PE⊥AD.因為底面ABCD為矩形，所以BC∥AD.所以PE⊥BC.(2)因為底面ABCD為矩形，所以AB⊥AD.因為平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB?平面ABCD，所以AB⊥平面PAD.又PD?平面PAD，所以AB⊥PD.又因為PA⊥PD，AB?平面PAB，PA?平面PAB，且PA∩AB＝A，所以PD⊥平面PAB.又PD?平面PCD，所以平面PAB⊥平面PCD.(3)如圖6-5-8，取PC中點G，連接FG，DG.圖6-5-8因為F，G分別為PB，PC的中點，因為底面ABCD為矩形，且E為AD的中點，所以DE∥FG，DE＝FG.所以四邊形DEFG為平行四邊形.所以EF∥DG.又因為EF

平面PCD，DG?平面PCD，所以EF∥平面PCD.【題后反思】

求解垂直與平行的綜合問題時，應(yīng)注意平行、垂直的性質(zhì)及判定的綜合應(yīng)用.如果有面面垂直的條件時，一般要用其性質(zhì)定理，即在一個平面內(nèi)作交線的垂線，使之轉(zhuǎn)化為線面垂直，然后進一步轉(zhuǎn)化為線線垂直.【變式訓練】1.如圖6-5-9，在底面為菱形的四棱錐P-ABCD中，PA⊥AD，PA⊥CD，E為側(cè)棱PC上一點.(1)若BE⊥PC，求證：PC⊥平面BDE；(2)若PA∥平面BDE，求平面BDE把四棱錐P-ABCD分成兩部分的體積之比.圖6-5-9(1)證明：如圖

D51，連接AC，因為四邊形ABCD為菱形，所以AC⊥BD.因為PA⊥AD，PA⊥CD，且AD∩CD＝D，所以PA⊥底面ABCD，所以PA⊥BD.又因為PA∩AC＝A，所以BD⊥平面PAC，圖D51所以BD⊥PC.又因為BE⊥PC，BD∩BE＝B，所以PC⊥平面BDE.(2)解：設(shè)

AC∩BD＝O，如圖D51，連接OE，因為四邊形ABCD為菱形，所以AO＝OC.

因為PA∥平面BDE，平面PAC∩平面BDE＝OE，

所以平面BDE把四棱錐P-ABCD分成兩部分的體積比為1∶3(或3∶1).2.如圖6-5-10，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面A1B1C1，D是AB中點.(1)證明：AC1∥平面B1CD；(2)若∠ACB＝90°，AA1＝BC，證明：平面A1C1B⊥