數(shù)學(xué)同步訓(xùn)練：指數(shù)函數(shù)

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精3.1.2指數(shù)函數(shù)5分鐘訓(xùn)練1.下列關(guān)于自變量x的函數(shù)中,是指數(shù)函數(shù)的是(）A.y=(a+1)x(a＞-1且a≠0）B.y=(-3）xC.y=-（-3）xD。y=3x+1答案：A解析：∵a＞-1且a≠0，∴a+1＞0且a+1≠1,∴y=(a+1）x(a＞—1且a≠0）為指數(shù)函數(shù)。2.函數(shù)y=a|x|(a＞1)的圖象是（）答案:B解析：函數(shù)f(｜x|）是偶函數(shù),應(yīng)先畫(huà)出x≥0時(shí)f（x)的圖象,然后沿y軸翻折過(guò)去,得到x＜0時(shí)函數(shù)的圖象。當(dāng)x≥0時(shí)，y=a|x|=ax的圖象過(guò)（0，1）點(diǎn),在第一象限,圖象下凸，是增函數(shù)，故選B。3.已知f（x）=3-ax+1的圖象恒過(guò)定點(diǎn)P，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為(）A。（0，3）B.(-1，2）C。（-1，3)D.（3，—1）答案:B解析：由y=ax的圖象恒過(guò)（0，1)點(diǎn)，可知當(dāng)本題中的x+1=0即x=—1時(shí)，y=2,與a的取值無(wú)關(guān).由x=—1時(shí)，y=3-a0=2得定點(diǎn)P(—1,2），故選B。4。函數(shù)y=2x的圖象與函數(shù)y=0。5x的圖象關(guān)于____________對(duì)稱(chēng);函數(shù)y=2x的圖象與函數(shù)y=—2x的圖象關(guān)于____________對(duì)稱(chēng).答案：y軸x軸10分鐘訓(xùn)練1。已知鐳經(jīng)過(guò)100年剩留原來(lái)質(zhì)量的95.76％,設(shè)質(zhì)量為1的鐳經(jīng)過(guò)x年后剩余量為y，則x、y之間的函數(shù)關(guān)系式是()A.y=0。9576xB.y=0。9576x—1C.y=D。y=答案：C解析：依題意有：100年后質(zhì)量為1的鐳剩余量y1=1×95.76%，200年后質(zhì)量為1的鐳剩余量為y2=1×95.76％×95.76％,…,∴x年后，y=，故選C。2。函數(shù)f(x)=ax—b的圖象如圖所示，其中a、b為常數(shù),則下列結(jié)論正確的是(）A.a＞1,b＜0B。a＞1,b＞0C。0＜a＜1，b＞0D。0＜a＜1,b＜0答案:D解析：由題圖可知,函數(shù)f（x）=ax-b是單調(diào)遞減的，∴0＜a＜1.又由于函數(shù)圖象與y軸的交點(diǎn)在點(diǎn)（0，1）的下方,即函數(shù)f（x)=ax—b的圖象是由函數(shù)f（x)=ax的圖象向左平移得到的，∴—b＞0,即b＜0.3.函數(shù)y=的定義域是（）A。［0，+∞)B.（-∞，0］C。[1，+∞）D.(-∞，+∞)答案：B解析：要使函數(shù)有意義,必須1—3x≥0,即3x≤1,3x≤30，∴x≤0,∴函數(shù)的定義域是（-∞,0］。4.（2007山東日照實(shí)驗(yàn)高中《函數(shù)》過(guò)關(guān)測(cè)試，12）下列說(shuō)法不正確的是（）A.函數(shù)y=（a＞0，a≠1）是奇函數(shù)B。函數(shù)f(x)=（a＞0，a≠1)是偶函數(shù)C。若f（x)=3x，則f(x+y）=f(x）f(y）D。若f(x）=ax（a＞0，a≠1），且x1≠x2，則[f（x1)+f（x2)］＜f（)答案:D解析：由函數(shù)的凹凸性可知D不成立。5。已知函數(shù)y=a2x+2ax-1（a＞0,a≠1)在區(qū)間［—1，1］上的最大值是14，則a的值為_(kāi)___________。答案:3或解析：y=a2x+2ax-1=(ax+1）2—2，∵函數(shù)y=a2x+2ax—1在［-1,1］上的最大值是14，∴(ax+1）2的最大值為16.當(dāng)a＞1,x=1時(shí),（a+1)2=16，得a=3;當(dāng)0＜a＜1，x=—1時(shí)，（+1）2=16,得a=.6.求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和值域.(1)y=；（2)y=a2x—2ax—1（a＞0,a≠1）。解：(1)設(shè)y=3u，u=-x2—x。則y隨u的增大而增大，隨u的減小而減小,u的增區(qū)間即是y的增區(qū)間,u的減區(qū)間即為y的減區(qū)間.u=-x2—x=-（x+）2+在(-∞，］上遞增，在（,+∞)上遞減?！鄖=的增區(qū)間為（—∞，］,減區(qū)間為(,+∞)?！遳=—x2-x≤,∴0＜y=≤,即函數(shù)y=的值域?yàn)?0，].(2)y=(ax—1)2-2（a＞0，a≠1）,設(shè)u=ax?！遹=（u-1)2—2在u∈[1，+∞）時(shí)是關(guān)于u的增函數(shù),在u∈（—∞,1）時(shí)是關(guān)于u的減函數(shù)，∴當(dāng)ax≥1時(shí),原函數(shù)的單調(diào)性與u=ax的單調(diào)性相同；當(dāng)ax＜1時(shí),原函數(shù)的單調(diào)性與u=ax的單調(diào)性相反.若a＞1,ax≥1x≥0,ax＜1x＜0，∴在［0，+∞)上,函數(shù)y=a2x-2ax—1是增函數(shù)；在(-∞，0）上,函數(shù)y=a2x—2ax-1是減函數(shù)?！遖x＞0，∴函數(shù)值域是［-2，+∞）。30分鐘訓(xùn)練1。已知＜（)b＜（)a＜1，則(）A。a＞b＞1B.0＜b＜a＜1C。b＞a＞1D.0＜a＜b＜1答案：D解析：不等式＜（）b＜(）a＜1即為＜(）b＜(）a＜（)0，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得指數(shù)a、b、0、1的大小關(guān)系.根據(jù)指數(shù)函數(shù)y=()x在R上是減函數(shù)，得0＜a＜b＜1。選D.2。若函數(shù)y=ax—（b+1)（a＞0,a≠1)的圖象在第一、三、四象限，則有（)A。a＞1且b＜1B。a＞1且b＞0C.0＜a＜1且b＞0D.0＜a＜1且b＜0答案:B解析：指數(shù)函數(shù)y=ax的圖象如圖所示。由圖象可以看出a＞1，-(b+1）＜-1（向下平移一個(gè)單位)，即b＞0。故選B.3.函數(shù)y=（0＜a＜1)的圖象的大致形狀是（）答案:D解析:y=4.一種單細(xì)胞生物以一分為二的方式進(jìn)行繁殖,每三分鐘分裂一次，假設(shè)將一個(gè)這種細(xì)胞放在一個(gè)盛有營(yíng)養(yǎng)液的容器中,恰好一小時(shí)這種細(xì)胞充滿(mǎn)容器，假設(shè)開(kāi)始將兩個(gè)細(xì)胞放入容器,同樣充滿(mǎn)容器時(shí)間是（）A.27分鐘B。30分鐘C.45分鐘D。57分鐘答案:D解析:設(shè)要經(jīng)過(guò)時(shí)間為x,由2×=220，得x=57.5。若函數(shù)f(x）=是R上的單調(diào)遞增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A。(1，+∞）B。(1，8）C。(4，8）D。［4，8)答案：D解析:由f(x)在R上是單調(diào)遞增函數(shù)知a＞1，4—＞0，a1≥4-+2同時(shí)成立，解不等式組得a∈［4，8)。6.（探究題）指數(shù)函數(shù)①f（x）=mx，②g(x）=nx滿(mǎn)足不等式0＜m＜n＜1,則它們的圖象是（）答案：C解析：令x=1,①②對(duì)應(yīng)的函數(shù)值分別為m和n，由0＜m＜n＜1,可知應(yīng)選C。7。若x1、x2為方程2x=的兩個(gè)實(shí)數(shù)解,則x1+x2=_______________。答案：-1解析：由題意得2x=,即x=,化簡(jiǎn)得x2+x—1=0.由韋達(dá)定理可知x1+x2=-1。8。已知集合An={x|2n＜x＜2n+1，且x=7m+1,m、n∈N*｝,則A6中各元素之和為_(kāi)______________。答案:891解析：當(dāng)n=6時(shí)，64＜x＜128,A6中的各元素為:71，78,85，92,99,106，113,120,127，其和為891。9。（創(chuàng)新題）已知f(x）=x（+)。(1)求函數(shù)的定義域;(2)判斷函數(shù)f(x）的奇偶性；（3)求證:f(x）>0.答案:（1）解:由2x-1≠0,得x≠0，∴函數(shù)定義域?yàn)閧x|x∈R,且x≠0}.(2）解：在定義域內(nèi)任取x，則-x在定義域內(nèi),則有f（—x)==，而f（x）=,∴f（—x）=f（x）.∴函數(shù)f（x）為偶函數(shù)。(3)證明：當(dāng)x＜0時(shí),由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知0＜2x＜1,-1＜2x—1＜0?！啵?1?！?。又x＜0,∴f(x)=（+)x＞0.由f（x）為偶函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)＞0?？傊?，x∈R且x≠0時(shí)，函數(shù)f（x)＞0。10.設(shè)函數(shù)f（x)是定義在R上的增函數(shù),且f（x）≠0,對(duì)于任意x1、x2∈R，都有f(x1+x2）=f（x1）·f（x2).（1）求證:f(x1-x2)=；（2）若f（1）=2，解不等式f（3x）〉4f（x）。答案:（1)證明：∵f（x1）=f（x1-x2+x2)=f（x1—x2)·f(x2