數(shù)學(xué)同步訓(xùn)練：函數(shù)的奇偶性用計(jì)算機(jī)作函數(shù)的圖象（選學(xué)）

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2。1.4函數(shù)的奇偶性2.1.5用計(jì)算機(jī)作函數(shù)的圖象(選學(xué)）5分鐘訓(xùn)練1。下列命題正確的是（）A.偶函數(shù)的圖象一定與y軸相交B.奇函數(shù)的圖象一定通過原點(diǎn)C。不存在既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)D.偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱答案:D解析：偶函數(shù)的圖象不一定與y軸相交,如函數(shù)y=x2,x∈［—4,-3］∪［3,4］，排除A;奇函數(shù)的圖象不一定過原點(diǎn)，如函數(shù)y=，排除B;函數(shù)f（x)=0(x∈R）既是奇函數(shù)又是偶函數(shù),排除C.2.下列函數(shù)圖象中所表示的函數(shù)是奇函數(shù)的是（)答案：D解析：由奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，可得D項(xiàng)中的函數(shù)為奇函數(shù)。3。對定義域?yàn)镽的任何奇函數(shù)f（x），都有()A。f(x)-f(-x）>0B。f(x）-f(—x)≤0C。f（x）·f(-x)≤0D.f(x)·f(—x）>0答案:C解析：∵函數(shù)f（x)是R上的奇函數(shù),∴f（0）=0。故A、D錯(cuò)誤.對于B恒有f（x)≤0，這與奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱相矛盾.4。（1）一次函數(shù)y=kx+b(k≠0）是奇函數(shù)，則b=___________；（2)二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）是偶函數(shù)，則b=___________。答案：(1)0(2)0解析：（1）由-kx+b=-（kx+b），得b=0。（2)因?yàn)閍(—x)2+b(-x）+c=ax2+bx+c，所以—bx=bx，故b=0。10分鐘訓(xùn)練1。函數(shù)y=x｜x|的圖象大致是()答案：C解析:∵y=x｜x｜是奇函數(shù)，∴A、B錯(cuò)誤。又∵x〉0時(shí),y=x2，∴D錯(cuò)誤.2。已知函數(shù)f(x)=（m-1)x2+2mx+3為偶函數(shù)，則f(x）在(—5,—2)上是()A。增函數(shù)B。減函數(shù)C。非單調(diào)函數(shù)D?？赡苁窃龊瘮?shù)，也可能是減函數(shù)答案：A解析:∵f（x)為偶函數(shù)，∴f(—x）=f(x),即（m-1)x2+2m(-x)+3=（m-1)x2+2mx+3。∴—2mx=2mx?！鄊=0?！鄁（x)=—x2+3.∴f(x)在（-5，—2)上是增函數(shù)。3.如果奇函數(shù)f(x)在區(qū)間［—5,-3]上是增函數(shù)，且最大值是—4,那么f（x）在x∈［3,5］上是（）A.增函數(shù)且最大值是4B。增函數(shù)且最小值是4C.減函數(shù)且最大值是4D。減函數(shù)且最小值是4答案：B解析:作一個(gè)符合條件的函數(shù)的簡圖。觀察圖形，可知f(x)在[3,5］上是增函數(shù),且最小值為4.4。函數(shù)y=f（x）在（0，2)上是增函數(shù)，函數(shù)y=f（x+2）是偶函數(shù).下列結(jié)論中正確的是（)A。f(1）＜f()＜f(）B。f（）＜f(1）＜f（）C。f(）＜f(）＜f（1）D。f（）＜f（1）＜f（）答案：B解析：y=f(x）的圖象關(guān)于直線x=2對稱，且在（0，2）上是增函數(shù)，(2，3）上是減函數(shù)，∴.又f（3）=f（1），∴.5。已知奇函數(shù)f（x）在x<0時(shí)，f(x)=x（x—1),則當(dāng)x〉0時(shí)，f(x)=____________.答案：—x(x+1）解析:設(shè)x〉0，則—x〈0.由條件,得f（—x）=—x(-x—1）.∵函數(shù)為奇函數(shù)，f（—x）=—f(x）,∴-f（x）=-x(—x—1).∴f(x)=-x(x+1）.6.已知f(x)是奇函數(shù)，在（-1，1)上是減函數(shù)，且滿足f（1—a)+f（1—a2）＜0,求實(shí)數(shù)a的范圍。解：由f（1-a）+f（1-a2）＜0，得f(1-a）＜—f（1-a2）。∵f（x)是奇函數(shù),∴-f（1-a2)=f（a2-1）。于是f（1-a)＜f（a2-1）.又由于f（x）在（—1,1)上是減函數(shù)，因此，解得0＜a＜1.30分鐘訓(xùn)練1.設(shè)f(x)是R上的偶函數(shù),且在(0,+∞)上是減函數(shù)，若x1〈0且x1+x2〉0，則（）A.f(-x1)〉f(-x2）B。f（-x1）=f(-x2)C。f(-x1）〈f(—x2）D.f(—x1）與f(-x2)大小不確定答案：A解析：x2〉-x1〉0，f(x)是R上的偶函數(shù),∴f（-x1）=f（x1）.又f(x)在（0，+∞）上是減函數(shù)，∴f（-x2）=f（x2）〈f（-x1）。2.(探究題)已知函數(shù)y=f（x）與y=g（x）的圖象如圖(1)和(2）:則y=f（x）·g(x）的大致圖象為（）答案：B解析：由圖象可知,y=f（x)是偶函數(shù)，y=g（x）是奇函數(shù),∴y=f(x)·g(x)是奇函數(shù),故A、C錯(cuò)誤.又∵當(dāng)0<x〈1時(shí),f(x）〉0,g(x）<0，∴f（x)·g(x)<0.故D錯(cuò)誤.3。已知函數(shù)f（x)在［-5,5］上是偶函數(shù),f（x）在［0,5］上是單調(diào)函數(shù)，且f（-3）〈f（1)，則下列不等式中一定成立的是（）A。f（-1）<f（-3)B。f(2）〈f（3)C.f（-3)<f(5)D。f(0)>f（1）答案：D解析：∵f（—3）=f(3)?！鄁(3）<f(1）。∴函數(shù)f（x）在x∈(0，5］上是減函數(shù)。4.設(shè)f(x)是（—∞，+∞)上的奇函數(shù)，f（x+2）=—f（x），當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f（x）=x，則f(7.5）等于（)A。0.5B.—0.5C答案：B解析:f(7.5）=f（6+1.5）=—f（1。5）=—f(2—0。5）=f（—0。5)=—f（0。5）=-0.5.5.若奇函數(shù)f（x)在(0，+∞）上是增函數(shù),又f（—3）=0，則{x｜x·f(x)〈0｝等于(）A。｛x｜x>3或—3〈x<0}B.{x｜0〈x〈3或x〈—3}C。｛x|x>3或x〈—3}D.{x｜0〈x〈3或-3〈x〈0}答案：D解析：依題意，當(dāng)x∈（-∞,3)∪(0,3）時(shí),f（x）〈0;當(dāng)x∈（-3，0)∪(3，+∞)時(shí),f(x）〉0。由x·f(x)<0,知x與f(x)異號.6。（創(chuàng)新題）已知函數(shù)f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函數(shù)，其定義域是［a—1,2a］，則a=____________,b=____________.答案:0解析:由偶函數(shù)不含奇次冪項(xiàng)，可得b=0.根據(jù)具有奇偶性的函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱,可得1-a=2a.7.已知函數(shù)f（x）=,若f（x)為奇函數(shù)，則a=____________.答案:解析：方法一:f(x）為奇函數(shù),則有f（-x）=—f(x），即-a.解得2a=1,a=。方法二：定義域?yàn)镽的奇函數(shù)滿足f(0）=0,即f(0)==0?！郺=。8。設(shè)函數(shù)y=f（x)是奇函數(shù)。若f（—2)+f(—1）-3=f（1）+f(2)+3,則f（1)+f(2）=____________.答案：-3解析：依題意,得-f（2）-f（1）-3=f(1）+f(2）+3，∴f（1）+f（2)=-3。9.設(shè)函數(shù)f(x）=（a、b、c∈Z）為奇函數(shù)，又f（1）=2，f（2）＜3，且f（x)在[1，+∞）上遞增.（1）求a、b、c的值；（2）當(dāng)x＜0時(shí),討論f（x）的單調(diào)性.解：（1）∵f（x)為奇函數(shù),∴f（—x）=—f(x）?！??！?0.∵ax2+1≠0，∴c=0.又∵f（1)=2，f（2)＜3，∴a+1=2b且＜3。將2b=a+1代入上式得-1＜a＜2?！遖∈Z，∴a=0或a=1。而a=0時(shí)，b=，與b∈Z矛盾,∴a=1,b=1,c=0。（2)由（1）f（x）=,設(shè)x1＜x2＜0，f（x2）-f（x1）=(x2-x1)，當(dāng)x1＜x2＜—1時(shí)，x1x2＞1，x1x2-1＞0.又x2—x1＞0,∴f（x2）＞f（x1），即當(dāng)x＜-1時(shí)，f(x）為增函數(shù)。同理，當(dāng)-1＜x＜0時(shí)為減函數(shù).10.已知y=f（x)是定義在（—∞,+∞)上的奇函數(shù),且在[0，+∞）上為增函數(shù).（1）求證：函數(shù)在(-∞,0]上也是增函數(shù);(2）如果f（）=1,解不等式-1<f(2x+1）≤0.答案：(1）證明:設(shè)x1、x2是(—∞，0］上任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)，且x1〈x2，則-x1，—x2∈［0，+∞),且-x1〉—x2，Δx=x2-x1〉0.Δy=f（x2)-f(x1).∵f（x）是奇函數(shù)，且在[0，+∞）上是增函數(shù)，—x1〉-x2，∴f(—x1）>f(-x2）.又∵f（x）為奇函數(shù)，∴f（-x1）=-f(x1），f(—x2）=—f(x2）.∴—f（x1）〉—f(x2）,即f（x1)〈f(x2），即Δy=f（x2）-f（