53模擬試卷初中數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)09專項(xiàng)素養(yǎng)綜合全練(九)

專項(xiàng)素養(yǎng)綜合全練(九)新定義型試題類型一函數(shù)新定義1.新定義:[a,b]為一次函數(shù)y=ax+b(a≠0,a,b為實(shí)數(shù))的“關(guān)聯(lián)數(shù)”.若“關(guān)聯(lián)數(shù)”為[3,m-2]的一次函數(shù)是正比例函數(shù),則點(diǎn)(1-m,1+m)在第象限內(nèi).

2.定義:一次函數(shù)y=ax+b和一次函數(shù)y=-bx-a為“逆反函數(shù)”,如y=3x+2和y=-2x-3為“逆反函數(shù)”.若點(diǎn)A(a,3)在y=x+2的“逆反函數(shù)”的圖象上,則a=.

類型二三角形新定義3.我們新定義一種三角形:兩邊平方和等于第三邊平方的4倍的三角形叫常態(tài)三角形.例如:一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別是5,6和8,因?yàn)?2+82=4×52=100,所以這個(gè)三角形是常態(tài)三角形.(1)若△ABC的三邊長(zhǎng)分別是2,5和4,則此三角形常態(tài)三角形(填“是”或“不是”);

(2)若Rt△ABC是常態(tài)三角形,則此三角形的三邊長(zhǎng)之比為(從小到大排列);

(3)如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=6,CD=AD=DB,若△BCD是常態(tài)三角形,求△ABC的面積.類型三四邊形新定義4.定義:有兩個(gè)相鄰內(nèi)角互余的四邊形稱為鄰余四邊形,這兩個(gè)角的夾邊稱為鄰余線.(1)如圖①,在△ABC中,AB=AC,AD是△ABC的角平分線,E,F分別是BD,AD上的點(diǎn),求證:四邊形ABEF是鄰余四邊形;(2)在如圖②所示的方格紙中,A,B在格點(diǎn)上,請(qǐng)畫出一個(gè)符合條件的鄰余四邊形ABEF,使AB是鄰余線,E,F在格點(diǎn)上.5.如圖①,對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形.(1)概念理解:如圖②,在四邊形ABCD中,AB=AD,CB=CD,問四邊形ABCD是垂美四邊形嗎?請(qǐng)說明理由.(2)性質(zhì)探究:如圖①,四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O,AC⊥BD,試證明:AB2+CD2=AD2+BC2.(3)解決問題:如圖③,分別以Rt△ACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE,連接CE、BG、GE,已知AC=4,AB=5,求GE的長(zhǎng).圖③6.定義:如果四邊形的一條對(duì)角線的中點(diǎn)到另外兩個(gè)頂點(diǎn)的距離都等于這條對(duì)角線長(zhǎng)的一半,那么我們稱這樣的四邊形為“等距四邊形”.(1)在等腰梯形、矩形、菱形中,是“等距四邊形”的是;

(2)如圖①,在菱形ABCD中,AB=4,∠A=60°,BE⊥CD于點(diǎn)E,點(diǎn)F是菱形ABCD邊上的一點(diǎn),順次連接B、E、D、F,若四邊形BEDF為“等距四邊形”,求線段EF的長(zhǎng);(3)如圖②,已知等邊△ABC的邊長(zhǎng)為4,點(diǎn)P是△ABC內(nèi)一點(diǎn),若過點(diǎn)P可將△ABC恰好分割成三個(gè)“等距四邊形”,求這三個(gè)“等距四邊形”的周長(zhǎng)和.

答案全解全析1.答案二解析∵“關(guān)聯(lián)數(shù)”為[3,m-2]的一次函數(shù)是正比例函數(shù),∴y=3x+m-2是正比例函數(shù),∴m-2=0,解得m=2,則1-m=-1,1+m=3,故點(diǎn)(1-m,1+m)在第二象限內(nèi).2.答案-2解析根據(jù)題意可知y=x+2的“逆反函數(shù)”為y=-2x-1.∵點(diǎn)A(a,3)在y=x+2的“逆反函數(shù)”的圖象上,∴3=-2a-1,∴a=-2.3.解析(1)是.(2)2∶3∶5.(3)設(shè)CD=x(x>0),則AB=2x,∵△BCD是常態(tài)三角形,∴有以下兩種可能.①當(dāng)x2+x2=4BC2=4×62=144時(shí),x2=72,∴x=62,∴AB=122,由勾股定理得AC=AB2-BC2=288?36=67,則S△ABC=12AC·②當(dāng)x2+62=4x2時(shí),x2=12,∴x=23,∴AB=43,由勾股定理得AC=(43)2-62=12=23,則S△ABC=12AC·綜上,△ABC的面積為63或187.4.解析(1)證明:∵AB=AC,AD是△ABC的角平分線,∴AD⊥BC,∴∠ADB=90°,∴∠DAB+∠DBA=90°,∴∠FAB與∠EBA互余,∴四邊形ABEF是鄰余四邊形.(2)如圖所示,四邊形ABEF即為所求.(答案不唯一)5.解析(1)四邊形ABCD是垂美四邊形.理由:∵AB=AD,∴點(diǎn)A在線段BD的垂直平分線上.∵CB=CD,∴點(diǎn)C在線段BD的垂直平分線上,∴直線AC是線段BD的垂直平分線,∴AC⊥BD,∴四邊形ABCD是垂美四邊形.(2)證明:∵AC⊥BD,∴在Rt△ABO中,OA2+OB2=AB2,在Rt△OBC中,OB2+OC2=BC2,在Rt△OCD中,OC2+OD2=CD2,在Rt△ODA中,OD2+OA2=AD2,∴AB2+CD2=OA2+OB2+OC2+OD2,AD2+BC2=OD2+OA2+OB2+OC2,∴AB2+CD2=AD2+BC2.(3)如圖,連接CG,BE,設(shè)CE交BG于點(diǎn)N,交AB于點(diǎn)M.∵∠CAG=∠BAE=90°,∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC,即∠GAB=∠CAE.在△GAB和△CAE中,AG=AC,∠GAB=∠CAE,AB∵∠AEC+∠AME=90°,∴∠ABG+∠AME=90°,∴∠ABG+∠BMN=90°,∴∠BNM=90°,∴CE⊥BG,∴四邊形CGEB是垂美四邊形.由(2)可得CG2+BE2=CB2+GE2,∵AC=4,AB=5,∴BC=3,CG=42,BE=52,∴GE2=CG2+BE2-CB2=73,∴GE=73.6.解析(1)等腰梯形的對(duì)角線相等,但一條對(duì)角線的中點(diǎn)到另外兩個(gè)頂點(diǎn)的距離之和大于另一條對(duì)角線的長(zhǎng),不符合題意.矩形的對(duì)角線相等且互相平分,一條對(duì)角線的中點(diǎn)到另外兩個(gè)頂點(diǎn)的距離等于這條對(duì)角線長(zhǎng)的一半,符合題意.菱形的對(duì)角線互相平分,對(duì)角線不一定相等,因此一條對(duì)角線的中點(diǎn)到另外兩個(gè)頂點(diǎn)的距離不一定等于這條對(duì)角線長(zhǎng)的一半,不符合題意.故填矩形.(2)根據(jù)“等距四邊形”的定義可知,當(dāng)點(diǎn)F在AD上,且BF⊥AD時(shí),四邊形BEDF是“等距四邊形”,如圖,取BD的中點(diǎn)O,連接OF,OE,EF.∵BF⊥AD,BE⊥DC,∴∠BFD=90°,∠BED=90°,∴OF=OE=12BD,∴四邊形BEDF是“等距四邊形”.在菱形ABCD中,∠A=60°,AD∥BC,∴∠C=∠A=60°,∠ABC=180°-∠A=120°,∴∠ABF=∠CBE=30°,∴∠EBF=∠ABC-∠ABF-∠CBE=60°,根據(jù)菱形是軸對(duì)稱圖形,易證BF=BE,∴△BEF是等邊三角形,∴EF=BF.在Rt△ABF中,∠ABF=30°,AB=4,∴AF=2,由勾股定理得BF=23,∴EF=BF=23當(dāng)點(diǎn)F在AB上,且DF⊥AB時(shí),四邊形BEDF是“等距四邊形”,如圖,連接BD,EF交于點(diǎn)O.∵DF⊥AB,BE⊥DC,∴∠BFD=∠BED=90°.∵AB∥CD,∴∠FBE=180°-∠BED=90°,∴∠BFD=∠BED=∠FBE=90°,∴四邊形BEDF是矩形,∴BD=EF,在菱形ABCD中,AD=AB=4,∠A=60°,∴△ABD為等邊三角形,∴BD=AB=4,∴EF=4.綜上,EF=23或4.(3)過點(diǎn)P分別作PD⊥AB,PE⊥BC,PF⊥AC,垂足分別為D,E,F,如圖,由(2)易證四邊形ADPF,四邊形BEPD,四邊形ECFP是“等距四邊形”,過點(diǎn)A作AG⊥BC于G,連接AP,BP,CP,則S△ABC=12BC·AG,S△ABC=S△APB+S△BPC+S△APC,在Rt△ABG中,∠ABC=60°,則∠BAG=30°.又∵AB=4,∴BG=2.在Rt△ABG中,由勾股定理,得AG=23,∴S△ABC