第7講分式與分式方程（原卷版）

第7講分式與分式方程考法一：分式的有關(guān)概念及性質(zhì)1．（2021·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考中考真題）不論x取何值，下列代數(shù)式的值不可能為0的是（

）A． B． C． D．2．（2022·江蘇南通·統(tǒng)考中考真題）分式有意義，則x應(yīng)滿足的條件是___________．3．（2020·江蘇南京·統(tǒng)考中考真題）若式子在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是__________．4．（2020·江蘇宿遷·統(tǒng)考中考真題）使分式有意義的x的取值范圍是_________．5．（2015·江蘇鎮(zhèn)江·統(tǒng)考中考真題）當(dāng)_______時(shí)，分式的值為0；1．分式:設(shè)A、B表示兩個(gè)整式．如果B中含有字母，式子就叫做分式．注意分母B的值不能為零，否則分式?jīng)]有意義.

2.分式的基本性質(zhì)

，（M為不等于零的整式）.

3．最簡(jiǎn)分式：分子與分母沒(méi)有公因式的分式叫做最簡(jiǎn)分式．如果分子分母有公因式，要進(jìn)行約分化簡(jiǎn).

注意：分式的概念需注意的問(wèn)題：

(1)分式是兩個(gè)整式相除的商，其中分母是除式，分子是被除式，而分?jǐn)?shù)線則可以理解為除號(hào)，還含有括號(hào)的作用；

（2）分式中，A和B均為整式，A可含字母，也可不含字母，但B中必須含有字母且不為0；

（3）判斷一個(gè)代數(shù)式是否是分式，不要把原式約分變形，只根據(jù)它的原有形式進(jìn)行判斷．

（4）分式有無(wú)意義的條件：在分式中，

①當(dāng)B≠0時(shí)，分式有意義；當(dāng)分式有意義時(shí)，B≠0．

②當(dāng)B=0時(shí)，分式無(wú)意義；當(dāng)分式無(wú)意義時(shí)，B=0．

③當(dāng)B≠0且A=0時(shí)，分式的值為零．1．（2022·江蘇南京·統(tǒng)考二模）若式子在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．（2022·江蘇蘇州·統(tǒng)考一模）若分式的值為0，則x的值為（）A．0 B．2 C．±2 D．﹣23．（2022·江蘇無(wú)錫·無(wú)錫市天一實(shí)驗(yàn)學(xué)校校考模擬預(yù)測(cè)）如果把分式中、的值都變?yōu)樵瓉?lái)的3倍，則分式的值（）A．變?yōu)樵瓉?lái)的9倍 B．變?yōu)樵瓉?lái)的3倍 C．不變 D．變?yōu)樵瓉?lái)的4．（2022·江蘇揚(yáng)州·校考一模）化簡(jiǎn)：=____．5．（2022·江蘇鹽城·濱?？h第一初級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知，則______.考法二：分式的運(yùn)算1．（2022·江蘇蘇州·統(tǒng)考中考真題）化簡(jiǎn)的結(jié)果是______．2．（2022·江蘇連云港·統(tǒng)考中考真題）化簡(jiǎn)：．3．（2021·江蘇淮安·統(tǒng)考中考真題）先化簡(jiǎn)，再求值：（＋1）÷，其中a＝﹣4．4．（2021·江蘇鹽城·統(tǒng)考中考真題）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．5．（2021·江蘇南京·統(tǒng)考中考真題）計(jì)算．1.分式加減運(yùn)算：同分母的分式相加減，分母不變，把分子相加減（）；異分母的分式相加減，先通分，化為同分母的分式，然后再按同分母分式的加減法則進(jìn)行計(jì)算（）。2.乘法運(yùn)算：兩個(gè)分式相乘，把分子相乘的積作為積的分子，把分母相乘的積作為積的分母（）。3.除法運(yùn)算：兩個(gè)分式相除，把除式的分子和分母顛倒位置后再與被除式相乘（）.

4.分式乘方運(yùn)算：分式的乘方，把分子分母分別乘方（）5.．零指數(shù)：。

6．負(fù)整數(shù)指數(shù)：。

7．分式的混合運(yùn)算順序：先算乘方，再算乘除，最后加減，有括號(hào)先算括號(hào)里面的．

8．約分：把一個(gè)分式的分子和分母的公因式約去，這種變形稱為分式的約分．

9．通分：根據(jù)分式的基本性質(zhì)，異分母的分式可以化為同分母的分式，這一過(guò)程稱為分式的通分．

約分需明確的問(wèn)題：(1)對(duì)于一個(gè)分式來(lái)說(shuō)，約分就是要把分子與分母都除以同一個(gè)因式，使約分前后分式的值相等；

(2)約分的關(guān)鍵是確定分式的分子和分母的公因式，其思考過(guò)程與分解因式中提取公因式時(shí)確定公因式的思考過(guò)程相似；在此，公因式是分子、分母系數(shù)的最大公約數(shù)和相同字母最低次冪的積．通分注意事項(xiàng)：

(1)通分的關(guān)鍵是確定最簡(jiǎn)公分母；最簡(jiǎn)公分母應(yīng)為各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)與所有因式的最高次冪的積．

(2)不要把通分與去分母混淆，本是通分，卻成了去分母，把分式中的分母丟掉．

(3)確定最簡(jiǎn)公分母的方法：最簡(jiǎn)公分母的系數(shù)，取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)；最簡(jiǎn)公分母的字母，取各分母所有字母因式的最高次冪的積。1．（2022·江蘇宿遷·統(tǒng)考二模）計(jì)算的結(jié)果為_(kāi)_____．2．（2022·江蘇宿遷·統(tǒng)考三模）化簡(jiǎn)：________．3．（2022·江蘇無(wú)錫·模擬預(yù)測(cè)）化簡(jiǎn)結(jié)果為_(kāi)_____．4．（2022·江蘇淮安·模擬預(yù)測(cè)）先化簡(jiǎn)再求值：，其中．5．（2022·江蘇南京·統(tǒng)考二模）計(jì)算考法三：分式方程1．（2022·江蘇無(wú)錫·統(tǒng)考中考真題）方程的解是（）．A． B． C． D．2．（2022·江蘇淮安·統(tǒng)考中考真題）方程的解是______．3．（2022·江蘇鹽城·統(tǒng)考中考真題）分式方程的解為_(kāi)_________．4．（2022·江蘇蘇州·統(tǒng)考中考真題）解方程：．5．（2022·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考中考真題）某中學(xué)為準(zhǔn)備十四歲青春儀式，原計(jì)劃由八年級(jí)（1）班的4個(gè)小組制作360面彩旗，后因1個(gè)小組另有任務(wù)，其余3個(gè)小組的每名學(xué)生要比原計(jì)劃多做3面彩旗才能完成任務(wù)．如果這4個(gè)小組的人數(shù)相等，那么每個(gè)小組有學(xué)生多少名？1.分式方程的定義:分母中含有未知數(shù)的有理方程，叫做分式方程．（1）分式方程的三個(gè)重要特征：①是方程；②含有分母；③分母里含有未知量.

（2）分式方程與整式方程的區(qū)別就在于分母中是否含有未知數(shù)(不是一般的字母系數(shù))，分母中含有未知數(shù)的方程是分式方程，不含有未知數(shù)的方程是整式方程。2.解分式方程的一般步驟

(1)去分母，即在方程的兩邊都乘以最簡(jiǎn)公分母，把原方程化為整式方程；

(2)解這個(gè)整式方程；

(3)驗(yàn)根：把整式方程的根代入最簡(jiǎn)公分母，使最簡(jiǎn)公分母不等于零的根是原方程的根，使最簡(jiǎn)公分母等于零的根是原方程的增根.注意：解分式方程時(shí)，有可能產(chǎn)生增根，增根一定適合分式方程轉(zhuǎn)化后的整式方程，但增根不適合原方程，可使原方程的分母為零，因此必須驗(yàn)根．3．應(yīng)用問(wèn)題中常用的數(shù)量關(guān)系及題型(1)數(shù)字問(wèn)題(包括日歷中的數(shù)字規(guī)律)：關(guān)鍵會(huì)表示一個(gè)兩位數(shù)或三位數(shù)，對(duì)于日歷中的數(shù)字問(wèn)題關(guān)鍵是弄清日歷中的數(shù)字規(guī)律．(2)體積變化問(wèn)題：關(guān)鍵是尋找其中的不變量作為等量關(guān)系.(3)打折銷售問(wèn)題：其中的幾個(gè)關(guān)系式：利潤(rùn)＝售價(jià)成本價(jià)(進(jìn)價(jià))，利潤(rùn)率＝×100%．明確這幾個(gè)關(guān)系式是解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵．(4)關(guān)于兩個(gè)或多個(gè)未知量的問(wèn)題：重點(diǎn)是尋找到多個(gè)等量關(guān)系，能夠設(shè)出未知數(shù)，并且能夠根據(jù)所設(shè)的未知數(shù)列出方程.(5)行程問(wèn)題：對(duì)于相遇問(wèn)題和追及問(wèn)題是列方程解應(yīng)用題的重點(diǎn)問(wèn)題，也是易出錯(cuò)的問(wèn)題，一定要分析其中的特點(diǎn)，同向而行一般是追及問(wèn)題，相向而行一般是相遇問(wèn)題．注意：追及和相遇的綜合題目，要分析出哪一部分是追及，哪一部分是相遇.(6)和、差、倍、分問(wèn)題：增長(zhǎng)量＝原有量×增長(zhǎng)率；現(xiàn)有量＝原有量+增長(zhǎng)量；現(xiàn)有量＝原有量降低量．4．解應(yīng)用題的步驟(1)分析題意，找到題中未知數(shù)和題給條件的相等關(guān)系；(2)設(shè)未知數(shù)，并用所設(shè)的未知數(shù)的代數(shù)式表示其余的未知數(shù)；(3)找出相等關(guān)系，并用它列出方程；(4)解方程求出題中未知數(shù)的值；(5)檢驗(yàn)所求的答數(shù)是否符合題意，并做答．注意：①設(shè)列必須統(tǒng)一，即設(shè)的未知量要與方程中出現(xiàn)的未知量相同；②未知數(shù)設(shè)出后不要漏棹單位；③列方程時(shí)，兩邊單位要統(tǒng)一；④求出解后要雙檢，既檢驗(yàn)是否適合方程，還要檢驗(yàn)是否符合題意．1．（2022·江蘇無(wú)錫·統(tǒng)考一模）若關(guān)于的方程有增根，則的值為（

）A． B．0 C．1 D．22．（2022·江蘇無(wú)錫·統(tǒng)考二模）方程的解為_(kāi)_____________．3．（2022·江蘇無(wú)錫·?？家荒＃╆P(guān)于x的方程的根為負(fù)數(shù)，則a的值為_(kāi)_________．4．（2022·江蘇鹽城·鹽城市第四中學(xué)（鹽城市藝術(shù)高級(jí)中學(xué)、鹽城市逸夫中學(xué)）?？级＃┙夥质椒匠蹋?．5．（2022·江蘇南京·統(tǒng)考二模）小明去圖書(shū)館借書(shū)，到達(dá)后發(fā)現(xiàn)借書(shū)卡沒(méi)帶，于是他跑步回家，拿到借書(shū)卡后騎車返回圖書(shū)館．已知圖書(shū)館離小明家1650m，小明騎車時(shí)間比跑步時(shí)間少5.5min，且騎車的平均速度是跑步的平均速度的1.5倍，求小明跑步的平均速度．一、單選題1．（2022·江蘇南通·統(tǒng)考二模）若，則代數(shù)式的值為（

）A． B． C．2 D．－22．（2022·江蘇南京·模擬預(yù)測(cè)）已知關(guān)于x的方程解是正數(shù)，那么m的取值范圍為（

）A．m>﹣6且m≠2 B．m<6C．m>﹣6且m≠﹣4 D．m<6且m≠﹣23．若整數(shù)a使得關(guān)于x的分式方程解的取值范圍為，則符合條件的a值可以為（

）A．5 B．4 C．1 D．04．（2022·江蘇鹽城·校考一模）若，則的值為（

）A． B． C． D．5．方程的解是（

）A．－3 B．3 C．4 D．－46．（2022秋·江蘇淮安·九年級(jí)?？迹┤绻阎械膞，y都擴(kuò)大3倍，那么分式的值一定(

)A．?dāng)U大3倍 B．縮小3倍 C．?dāng)U大15倍 D．不變二、填空題7．（2022秋·江蘇·九年級(jí)開(kāi)學(xué)考試）已知，則分式的值為_(kāi)_________．8．化簡(jiǎn)的結(jié)果是______．9．若，且m≠0，則的值為_(kāi)_____．10．（2022·江蘇蘇州·統(tǒng)考一模）若關(guān)于x的分式方程有增根，則a的值為_(kāi)_________．11．（2022·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考一模）若，且ab≠0，則的值為_(kāi)_____．12．（2022·江蘇揚(yáng)州·?？家荒＃┮阎P(guān)于x的方程的解大于1，則m的取值范圍為_(kāi)_______．三、解答題13．解方程：．14．解方程：．15．（2022秋·江蘇·九年級(jí)開(kāi)學(xué)考試）解分式方程：(1)；(2)．16．（2022秋·江蘇蘇州·九年級(jí)?？迹┙夥质椒匠蹋海?7．（2022秋·江蘇泰州·九年級(jí)校聯(lián)考）先化簡(jiǎn)，再求值，，其中．18．（2022秋·江蘇揚(yáng)州·九年級(jí)?？迹┫然?jiǎn)，再求值：，其中．19．（2022·江蘇南京·統(tǒng)考二模）計(jì)算．20．（2022·江蘇南京·統(tǒng)考二模）計(jì)算．21．（2022·江蘇蘇州·統(tǒng)考二模）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．22．（2022·江蘇鹽城·統(tǒng)考二模）化簡(jiǎn)：．23．（2022秋·江蘇·九年級(jí)開(kāi)學(xué)考試）解答：(1)計(jì)算：；(2)解分式方程：．24．計(jì)算：(1)(2)(3)先化簡(jiǎn)，再求值：，其中，．25．（2022秋·江蘇·九年級(jí)開(kāi)學(xué)考試）為防控“新型冠狀病毒”，某藥店分別用1600元、6000元購(gòu)進(jìn)兩批防護(hù)口罩，第二批防護(hù)口罩的數(shù)量是第一批的3倍，但單價(jià)比第一批多2元，請(qǐng)問(wèn)藥店第一批防護(hù)口罩購(gòu)進(jìn)了多少只？26．（2022秋·江蘇·九年級(jí)開(kāi)學(xué)考試）掃地機(jī)器人具備敏捷的轉(zhuǎn)彎、制動(dòng)能力和強(qiáng)大的自主感知、規(guī)劃能力，深受人們喜愛(ài)．某商場(chǎng)根據(jù)市場(chǎng)需求，采購(gòu)了A，B兩種型號(hào)掃地機(jī)器人．已知B型每個(gè)進(jìn)價(jià)比A型的2倍少400元．采購(gòu)相同數(shù)量的A，B兩種型號(hào)掃地機(jī)器人，分別用了96000元和168000元．請(qǐng)問(wèn)A，B兩種型號(hào)掃地機(jī)器人每個(gè)進(jìn)價(jià)分別為多少元？27．（2022·江蘇徐州·徐州市第十三中學(xué)?？既＃?022年北京冬奧會(huì)吉祥物“冰墩墩”萬(wàn)眾矚目，硅膠是生產(chǎn)“冰墩墩”外殼的主要原材料．某硅膠制品的兩個(gè)車間負(fù)責(zé)生產(chǎn)“冰墩墩”硅膠外殼，甲車間每天生產(chǎn)的硅膠外殼數(shù)量是乙車間的兩倍，甲車間生產(chǎn)8000個(gè)所用的時(shí)間比乙車間生產(chǎn)2000個(gè)所用的時(shí)間多一天．求乙車間每天生產(chǎn)硅膠外殼個(gè)數(shù)．28．（2022·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考二模）為支持農(nóng)民工創(chuàng)業(yè)，某街道擬發(fā)展“地?cái)偨?jīng)濟(jì)”來(lái)緩解農(nóng)民工就業(yè)．現(xiàn)有一塊空地用于建甲或乙兩類攤位，每個(gè)甲類攤位的占地面積比每個(gè)乙類攤位的占地面積多2平方米，若用60平方米的空地建甲類攤位的個(gè)數(shù)恰好是用同樣面積的空地建乙類攤位個(gè)數(shù)的．求每個(gè)甲、乙類攤位占地面積各為多少平方米？29．（2022春·江蘇蘇州·九年級(jí)校聯(lián)考期中）某市教育部門(mén)為了落實(shí)中共中央《關(guān)于全面加強(qiáng)和改進(jìn)新時(shí)代學(xué)校體育工作的意見(jiàn)》，確定初中生的體育考試成績(jī)計(jì)入畢業(yè)升學(xué)成績(jī)，考試項(xiàng)目可由學(xué)生自行選擇．據(jù)統(tǒng)計(jì)：市內(nèi)某校九年級(jí)選考籃球的學(xué)生有350人，選考足球的學(xué)生有480人．學(xué)校為了保證九年級(jí)畢業(yè)生有足夠的訓(xùn)練器材，計(jì)劃選購(gòu)一批籃球與足球，保證每30人不少于一個(gè)足球，每15人不少于一個(gè)籃球．已知每個(gè)籃球的價(jià)格比每個(gè)足球的價(jià)格高20元，用480元單獨(dú)購(gòu)進(jìn)籃球的件數(shù)與320元單獨(dú)購(gòu)進(jìn)足球的件數(shù)相同．(1)足