專題5.5分式方程（教師版）

專題5.5分式方程掌握分式方程的有關(guān)概念；掌握分式方程的解法；掌握分式方程的增根與無解的情況；掌握分式方程的應(yīng)用，注意分式方程的結(jié)果需要檢驗(yàn)；【知識點(diǎn)】1.分式方程的有關(guān)概念(1)分式方程：分母里含有未知數(shù)的方程叫做分式方程．(2)分式方程的增根:分式方程化成整式方程解得的未知數(shù)的值，如果這個(gè)值令最簡公分母為零則為增根．基本方法歸納：判斷分式方程時(shí)只需看分母中必須有未知數(shù)；分式方程的解只需帶入方程看等式是否成立即可．2：分式方程的解法解分式方程的步驟：解分式方程的思想是將“分式方程”轉(zhuǎn)化為“整式方程”．它的一般解法是：（1）去分母，方程兩邊都乘以最簡公分母（2）解所得的整式方程（3）驗(yàn)根：將所得的根代入最簡公分母，若等于零，就是增根，應(yīng)該舍去；若不等于零，就是原方程的根．基本方法歸納：分式方程首要是方程兩邊同乘以分母最簡公分母、去掉分母，轉(zhuǎn)化為整式方程求解，其次注意一定要驗(yàn)根．歸納：分式方程首要是方程兩邊同乘以分母最小公倍數(shù)、去掉分母，轉(zhuǎn)化為整式方程求解，其次注意一定要驗(yàn)根．3.分式方程的應(yīng)用(1)分式方程解應(yīng)用題的一般步驟：（1）審題，分析題中已知什么，未知什么，明確各量之間的關(guān)系，尋找等量關(guān)系．（2）設(shè)未知數(shù)，一般求什么就設(shè)什么為x，但有時(shí)也可以間接設(shè)未知數(shù)．（3）列方程，把相等關(guān)系左右兩邊的量用含有未知數(shù)的代數(shù)式表示出來，列出方程．（4）解方程．（5）檢驗(yàn)，看方程的解是否符合題意．（6）寫出答案．(2)解應(yīng)用題的書寫格式：設(shè)→根據(jù)題意→解這個(gè)方程→答．基本方法歸納：解題時(shí)先理解題意找到等量關(guān)系列出方程再解方程最后檢驗(yàn)即可．注意問題歸納：找對等量關(guān)系最后一定要檢驗(yàn)．知識點(diǎn)01分式方程的定義【典型例題】例1．（2023春·上海·八年級專題練習(xí)）已知方程：①，②，③，④．這四個(gè)方程中，分式方程的個(gè)數(shù)是（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【分析】分母中含有未知數(shù)的方程叫分式方程，根據(jù)定義判斷即可．【詳解】解：①，是分式方程；②，是整式方程；③，是分式方程；④，是整式方程，則分式方程的個(gè)數(shù)是2．故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查了分式方程的定義，熟練掌握分式方程的定義是解本題的關(guān)鍵．例2．（2021·全國·九年級專題練習(xí)）下列方程是關(guān)于x的方程，其中是分式方程的是_______（只填序號）①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨．【答案】④⑤⑥⑦⑨【分析】根據(jù)分式方程的定義：分母里含有未知數(shù)的方程叫做分式方程進(jìn)行判斷．【詳解】①是整式方程，故①不符合題意；②是整式方程，故②不符合題意；③是整式方程，故③不符合題意；④是分式方程，故④符合題意；⑤是分式方程，故⑤符合題意；⑥是分式方程，故⑥符合題意；⑦是分式方程，故⑦符合題意；⑧是整式方程，故⑧不符合題意；⑨是分式方程，故⑨符合題意；故答案為：④⑤⑥⑦⑨．【點(diǎn)睛】本題考查分式方程的定義，充分理解分式方程的定義是解答本題的關(guān)鍵．例3．（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）在下列方程：①、②、③、④、⑤⑥，⑦，⑧，⑨中，哪些是分式方程，并說明理由．【答案】③④⑤⑦,詳見解析【分析】根據(jù)分式方程的定義：分母里含有字母的方程叫做分式方程進(jìn)行判斷．【詳解】解：方程①②⑥⑧分母中不含未知數(shù)，故①②⑥⑧不是分式方程；方程③④⑤⑦分母中含表示未知數(shù)的字母，故是分式方程；方程⑨屬于無理方程．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的定義．判斷一個(gè)方程是否為分式方程，主要是依據(jù)分式方程的定義，也就是看分母中是否含有未知數(shù)（注意：僅僅是字母不行，必須是表示未知數(shù)的字母）．【即學(xué)即練】1．（2023春·八年級課時(shí)練習(xí)）下列是分式方程的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程，對每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷，找出是等式，且分母含有未知數(shù)方程，即可得解．【詳解】解：A、是一個(gè)代數(shù)式，不是方程，所以A不是分式方程；B、是一元一次方程，是整式方程，所以B不是分式方程；C、是一元一次方程，是整式方程，所以C不是分式方程；D、分母含有未知數(shù)x，所以D是分式方程．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查分式方程的定義，正確理解分式方程的形式是本題關(guān)鍵．2．（2023春·江蘇·八年級專題練習(xí)）給出以下方程：，，，，其中分式方程的個(gè)數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】利用分式方程的定義：分母中含有未知數(shù)的方程，進(jìn)行逐一判斷即可．【詳解】解：中分母不含未知數(shù)，不是分式方程；中分母含有未知數(shù)，是分式方程；中分母含有未知數(shù)，是分式方程；中分母不含未知數(shù)，不是分式方程，共有兩個(gè)是分式方程，故B正確．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是分式方程的定義，掌握定義并進(jìn)行準(zhǔn)確判斷是解題的關(guān)鍵．3．（2023春·八年級課時(shí)練習(xí)）請寫出一個(gè)只含有未知數(shù)且根是的分式方程__________．【答案】【分析】根據(jù)分式方程的定義即可得出結(jié)論．【詳解】解：根據(jù)題意，得．故答案為：（答案不唯一）．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的定義，掌握分式方程的定義是解答此題的關(guān)鍵．4．（2023春·七年級單元測試）在方程中，分式方程有______個(gè)．【答案】3【分析】根據(jù)分式方程的定義：分母里含有字母的方程叫做分式方程進(jìn)行判斷．【詳解】解：在方程中，分式方程有，一共3個(gè)．故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的定義．判斷一個(gè)方程是否為分式方程，主要是依據(jù)分式方程的定義，也就是看分母中是否含有未知數(shù)（注意：僅僅是字母不行，必須是表示未知數(shù)的字母）．5．（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）下列方程哪些是分式方程？（1）；（2）；（3）；（4）（a是常數(shù)）．【答案】（1）（2）是分式方程【分析】根據(jù)分式方程的定義：分母里含有未知數(shù)的字母的方程叫做分式方程即可判斷．【詳解】解：（1）是分式方程；（2）是分式方程；（3）不是分式方程；（4）（a是常數(shù)）不是分式方程，故（1）（2）是分式方程．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的定義，解題的關(guān)鍵是：會(huì)利用定義去判斷是否為分式方程．知識點(diǎn)02解分式方程【典型例題】例1．（2023·河南南陽·統(tǒng)考一模）方程解為（）A． B． C． D．無解【答案】D【分析】將分式方程化為整式方程，求解后，進(jìn)行檢驗(yàn)后，即可得出結(jié)論．【詳解】解：方程兩邊同乘，得：，解得：，檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，，∴是原方程的增根，∴原方程無解；故選D．【點(diǎn)睛】本題考查解分式方程．熟練掌握解分式方程的步驟，是解題的關(guān)鍵．例2．（2023年北京市通州區(qū)中考一模數(shù)學(xué)試卷）方程的解是__________．【答案】【分析】先去分母變?yōu)檎椒匠?，然后解整式方程，得出x的值，最后檢驗(yàn)即可．【詳解】解：，去分母得：，解整式方程得：，經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的解，所以方程的解為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解分式方程，解題的關(guān)鍵是熟練掌握解分式方程的一般步驟準(zhǔn)確計(jì)算，注意解分式方程要進(jìn)行檢驗(yàn)．例3．（2023秋·四川綿陽·八年級統(tǒng)考期末）解分式方程：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）方程兩邊同時(shí)乘以，化為整式方程，解方程即可求解；（2）方程兩邊同時(shí)乘以，化為整式方程，解方程即可求解；【詳解】（1）解：方程兩邊同時(shí)乘以，得：，解得．檢驗(yàn)：把代入，是原方程的解．（2）解：，方程兩邊同時(shí)乘以，得，解得：，檢驗(yàn)：把代入，∴是原方程的解．【點(diǎn)睛】本題考查了解分式方程，熟練掌握解分式方程的步驟是解題的關(guān)鍵．【即學(xué)即練】1．（2023·北京門頭溝·統(tǒng)考一模）方程的解為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】去分母，化為整式方程，解出方程，并進(jìn)行檢驗(yàn)，即可求解．【詳解】解：方程兩邊同時(shí)乘以得：，解得：，檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，，原方程的根為．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的解法，掌握分式方程的解法是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·浙江·七年級專題練習(xí)）對于實(shí)數(shù)和，定義一種新運(yùn)算“”為：，這里等式右邊是實(shí)數(shù)運(yùn)算．例如：．則方程的解是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)新定義列出方程，然后解方程即可．【詳解】解：根據(jù)題中新定義列方程得：，解得：，把代入得：，∴是方程的解，故D正確．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了新定義運(yùn)算，解分式方程，解題的關(guān)鍵是理解題意，列出關(guān)于x的方程，注意分式方程要進(jìn)行檢驗(yàn)．3．（2023春·浙江·七年級專題練習(xí)）分式方程的解為______________．【答案】【分析】方程兩邊同時(shí)乘以，化為整式方程，解方程即可求解，最后要檢驗(yàn)．【詳解】解：方程兩邊同時(shí)乘以，得即解得：，經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了解分式方程，熟練掌握分式方程的解法是解題的關(guān)鍵．4．（2023·浙江寧波·統(tǒng)考一模）對于實(shí)數(shù)，我們定義運(yùn)算，如：．則方程的解為__________．【答案】【分析】根據(jù)題目中給出的信息，列出方程，解方程即可．【詳解】解：∵，∴，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的根據(jù)，∴原方程的解為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了新定義運(yùn)算，解分式方程，解題的關(guān)鍵是理解題意，列出方程，準(zhǔn)確計(jì)算．5．（2023春·江蘇揚(yáng)州·八年級校聯(lián)考期中）解分式方程：(1)(2)【答案】(1)(2)無解【分析】（1）方程兩邊都乘以得，，解得，，檢驗(yàn)后即可得到答案；（2）方程兩邊都乘以得，，解得，檢驗(yàn)后即可得到答案．【詳解】（1）方程兩邊都乘以得，，解得，，檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，，∴是原分式方程的解；（2）方程兩邊都乘以得，，解得，，檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，，∴是增根，∴原分式方程無解．【點(diǎn)睛】此題考查了解分式方程，熟練掌握分式方程的解法是解題的關(guān)鍵．知識點(diǎn)03根據(jù)分式方程解的情況求值【典型例題】例1．（2023·河南駐馬店·校聯(lián)考二模）若關(guān)于的分式方程的解是，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】把代入方程得出m的方程，然后解關(guān)于m的方程即可．【詳解】解：∵分式方程的解是，∴，解得，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的解，解一元一次方程等知識，把代入原方程中進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．例2．（2023·湖北荊州·統(tǒng)考一模）已知關(guān)于x的分式方程的解是負(fù)數(shù)，則m的取值范圍是_______．【答案】且【分析】直接解分式方程，然后根據(jù)分式方程的解為負(fù)數(shù)，結(jié)合求出答案．【詳解】解：，去分母得：，解得：，∵分式方程的解是負(fù)數(shù)，∴且，即且，解得：且．故答案為：且【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的解，正確解分式方程是解題的關(guān)鍵．例3．（2023春·江蘇南京·八年級南京外國語學(xué)校?？计谥校┮阎P(guān)于x的分式方程．(1)當(dāng)時(shí)，求方程的解；(2)若關(guān)于x的分式方程的解為非負(fù)數(shù)，則m的取值范圍是______．【答案】(1)(2)且．【分析】（1）將代入分式方程，解分式方程的即可求解；（2）先解分式方程，然后依據(jù)分式方程有解且解為非負(fù)數(shù)，建立不等式，解不等式即可．【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，∴，∴，∴，∴，去分母得：，解得：，檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，故方程的解為：；（2）解：，∴，∴，∴，去分母得：，解得：，由分式方程有解且解為非負(fù)數(shù)，且，即：且，即：且．故答案為：且．【點(diǎn)睛】此題主要考查了解分式方程及不等式的解法；掌握解分式方程要進(jìn)行檢驗(yàn)及分式方程有解且解為非負(fù)數(shù)的條件是解題關(guān)鍵．【即學(xué)即練】1．（2023·黑龍江雞西·?？家荒＃┮阎P(guān)于的分式方程的解是非負(fù)數(shù)，則的取值范圍是（

）A． B． C．且 D．且【答案】C【分析】用a表示出該分式方程的解，再結(jié)合該分式方程的解為非負(fù)數(shù)和分式方程有意義的條件，即得出關(guān)于a的不等式，解出a的解集即可．【詳解】解：，方程兩邊同時(shí)乘以，得：，去括號，得：，移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，得：，系數(shù)化為1，得：．∵該分式方程的解為非負(fù)數(shù)，且，∴，且，∴，且，∴，且．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)分式方程解的情況求值，分式有意義的條件．能夠正確把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程是解題關(guān)鍵．2．（2023春·江蘇·八年級期中）已知關(guān)于x的方程的解是負(fù)數(shù)，那么m的取值范圍是（

）A． B． C．且 D．且【答案】D【分析】首先去分母化分式方程為整式方程，然后求出整式方程的解，結(jié)合題目條件即可求出m的取值范圍．【詳解】解：去分母得：，去括號得：，移項(xiàng)得：，合并同類項(xiàng)得：，系數(shù)化為1得：，∵原方程的解是負(fù)數(shù)，∴，且，∴且．故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)分式方程解的情況求參數(shù)，解題的關(guān)鍵在于利用分式方程的解是負(fù)數(shù)的條件，同時(shí)考慮整式方程的解不能使分式方程的分母為0．3．（2023春·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習(xí)）在去分母解關(guān)于x的分式方程的過程中產(chǎn)生增根，則_____．【答案】【分析】根據(jù)題意可得，然后把的值代入整式方程中進(jìn)行計(jì)算即可解答．【詳解】解：，，解得：，∵分式方程產(chǎn)生增根，∴，把代入中，，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的增根，根據(jù)題意求出x的值后代入整式方程中進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．4．（2023春·江蘇·八年級專題練習(xí)）若關(guān)于的分式方程的解為負(fù)數(shù)，則的取值范圍是______．【答案】且【分析】首先求出關(guān)于的分式方程的解，然后根據(jù)解為負(fù)數(shù)，求出的取值范圍即可．【詳解】去分母得：，去括號得：，合并同類項(xiàng)得：，解得：，，，，即，，，的取值范圍：且．故答案為：且【點(diǎn)睛】此題主要考查了分式方程的解，要熟練掌握；解答此題的關(guān)鍵是正確得出分母不為0．5．（2023春·八年級課時(shí)練習(xí)）若關(guān)于的分式方程的解為正數(shù)，求正整數(shù)的值．【答案】1【分析】把分式方程化為整式方程，再解出整式方程可得，再由原方程的解為正數(shù)，求出的取值范圍，即可求解．【詳解】解：原方程可化為：，．原方程的解為正數(shù)，，，，，，，∴的取值范圍為且，正整數(shù)的值為1．【點(diǎn)睛】本題考查了解分式方程，熟練掌握解分式方程的基本步驟，并注意算出的答案要去除分母為0的情況．知識點(diǎn)04分式方程的增根、無解問題【典型例題】例1．（2023春·河南周口·八年級統(tǒng)考階段練習(xí)）若關(guān)于x的方程有增根，則m的值為（

）A． B．2 C． D．3【答案】D【分析】將分式方程化為整式方程，根據(jù)分式方程有增根得到，得到，即可求出m的值．【詳解】解：，去分母，得，∵方程有增根，∴，即，∴，解得，故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查了已知分式方程的解的情況求參數(shù)，正確掌握分式方程的解法及增根的意義是解題的關(guān)鍵．例2．（2023春·海南?？凇ぐ四昙壓？谑械谑闹袑W(xué)?？茧A段練習(xí)）若關(guān)于x的分式方程無解，則m的值為_______．【答案】或/或【分析】分式方程無解的情況有兩種：（1）原方程存在增根；（2）原方程約去分母后，整式方程無解．【詳解】解：∵，∴，∴，∵原分式方程無解．∴，即或．解得或．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．∴m的值為或．故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查的是分式方程無解的知識，解答此類題目既要考慮分式方程有增根的情形，又要考慮整式方程無解的情形．例3．（2022秋·八年級課時(shí)練習(xí)）王涵想復(fù)習(xí)分式方程，由于印刷問題，有一個(gè)數(shù)“？”看不清楚：(1)她把這個(gè)數(shù)“”猜成，請你幫王涵解這個(gè)分式方程；(2)王涵的媽媽說：“我看到標(biāo)準(zhǔn)答案是：是方程的增根，原分式方程無解”，請你求出原分式方程中“？”代表的數(shù)是多少？【答案】(1)；(2)原分式程中“”代表的數(shù)是.【分析】（1）根據(jù)題意，求解分式方程即可；（2）根據(jù)分式方程的解的情況，首先去分母，然后將增根代入即可得解．【詳解】(1)該分式方程的解為，由題意，得去分母，得去括號，得移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，得經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，是原分式方程的解；(2)設(shè)原分式方程中“”代表的數(shù)為，方程兩邊同時(shí)乘得，由于是原分式方程的增根，把代入上面的等式解得，原分式程中“”代表的數(shù)是．【點(diǎn)睛】此題主要考查分式方程的求解，熟練掌握，即可解題．【即學(xué)即練】1．（2023春·山東濟(jì)寧·九年級?？茧A段練習(xí)）若關(guān)于x的方程無解，則m的值為（

）A．1 B．1或 C．1或或2 D．1或或6【答案】D【分析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，由分式方程無解，得到最簡公分母為0求出x的值，代入整式方程計(jì)算即可求出m的值．【詳解】解：方程兩邊乘，得：，即當(dāng)時(shí)，方程化簡為，無解，符合題意；當(dāng)時(shí)，∵分式方程無解，∴，解得：，把代入整式方程，得，解得；把代入整式方程，得，解得．故m的值為或6或1．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的解，本題中分式方程無解即為最簡公分母為0，將分式方程化為整式方程是解本題的關(guān)鍵．2．（2023春·江蘇·八年級專題練習(xí)）若分式方程有增根，則m的值是（

）．A．3 B． C．5 D．【答案】D【分析】先去分母，把方程化為整式方程，再把方程的增根代入整式方程求解m即可.【詳解】解：，去分母得：∵的增根為∴故選D【點(diǎn)睛】本題考查的是分式方程的增根問題，掌握“分式方程的增根是使最簡公分母為0的未知數(shù)的值”是解本題的關(guān)鍵.3．（2023春·江蘇無錫·八年級校聯(lián)考期中）若去分母解分式方程會(huì)產(chǎn)生增根，則m的值為______．【答案】1【分析】首先解分式方程，再根據(jù)方程產(chǎn)生增根，列方程，即可求解．【詳解】解：去分母，得：，移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，得：，解得：，方程有增根，，解得，故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查了利用分式方程根的情況求參數(shù)，熟練掌握解分式方程是解決本題的關(guān)鍵．4．（2023秋·四川涼山·八年級統(tǒng)考期末）設(shè)m，n為實(shí)數(shù)，定義如下一種新運(yùn)算：，若關(guān)于x的方程無解，則a的值是______．【答案】或/或【分析】由新定義運(yùn)算可得，再去分母化為整式方程，結(jié)合原方程無解，可得答案．【詳解】解：∵，，而，∴，∴，∴，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，方程無解，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，原方程有增根，∴，解得：；綜上：或；故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查的是新定義運(yùn)算，分式方程的無解問題，理解題意，構(gòu)建出新的分式方程是解本題的關(guān)鍵．5．（2023春·山西臨汾·八年級統(tǒng)考階段練習(xí)）已知分式方程，由于印刷問題，有一個(gè)數(shù)“▲”看不清楚．(1)若“▲”表示的數(shù)為6，求分式方程的解；(2)小華說“我看到答案是原分式方程無解”，請你求出原分式方程中“▲”代表的數(shù)．【答案】(1)(2)【分析】（1）把▲代入方程，進(jìn)而利用解分式方程的方法解答即可；（2）設(shè)▲為m，利用分式方程無解得到增根，解答即可．【詳解】（1）解：，方程兩邊同乘，得：，解得：，檢驗(yàn)：，所以是原分式方程的解；（2）設(shè)▲，，方程兩邊同乘，得：，把代入，得：，解得：．【點(diǎn)睛】此題考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是轉(zhuǎn)化思想，把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解．解分式方程一定注意要驗(yàn)根．知識點(diǎn)05分式方程的實(shí)際應(yīng)用【典型例題】例1．（2022秋·廣東潮州·八年級統(tǒng)考期末）某單位蓋一座樓房，如果由建筑一隊(duì)施工，那么180天可蓋成；如果由建筑一隊(duì)、二隊(duì)同時(shí)施工，那么30天能完成工程總量的．現(xiàn)若由建筑二隊(duì)單獨(dú)施工，則需要天完成．根據(jù)題意列的方程是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)一對和二隊(duì)工作效率之和乘以30天等于列方程即可．【詳解】解：∵由建筑一隊(duì)施工，那么180天可蓋成，∴一隊(duì)的工作效率是．∵由建筑二隊(duì)單獨(dú)施工，則需要天完成，∴二隊(duì)的工作效率是．∵由建筑一隊(duì)、二隊(duì)同時(shí)施工，那么30天能完成工程總量的，∴．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了列分式方程解實(shí)際問題的應(yīng)用，解答時(shí)根據(jù)條件建立方程是關(guān)鍵，解答時(shí)對求出的根必須檢驗(yàn)，這是解分式方程的必要步驟．例2．（2022秋·云南昆明·八年級昆明市第三中學(xué)?？茧A段練習(xí)）甲、乙兩船從相距的A、B兩地同時(shí)出發(fā)相向而行，甲船從A地順流航行時(shí)與從B地逆流航行的乙船相遇，水流的速度為．若甲、乙兩船在靜水中的速度相同，則可求得兩船在靜水中的速度為___________．【答案】30【分析】設(shè)甲、乙兩船在靜水中的速度均為，則順流速度為，逆流速度為，根據(jù)題意可得順流行駛千米所用時(shí)間等于逆流所用時(shí)間，根據(jù)時(shí)間關(guān)系可得方程，即可求解．【詳解】解：設(shè)甲、乙兩船在靜水中的速度均為，根據(jù)題意得：，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)：是原方程的解，且符合題意，答：兩船在靜水中的速度為．故答案為：30．【點(diǎn)睛】此題主要考查了由實(shí)際問題抽象出分式方程，關(guān)鍵是正確理解題意，找出題目中的等量關(guān)系．例3．（2023·吉林長春·統(tǒng)考一模）某科技公司購買了一批A、B兩種型號的芯片，其中A型芯片的單價(jià)比B型芯片的單價(jià)少9元，已知該公司用2600元購買A型芯片的條數(shù)與用3500元購買B型芯片的條數(shù)相等．求該公司購買B型芯片的單價(jià)．【答案】該公司購買B型芯片的單價(jià)為35元【分析】設(shè)該公司購買B型芯片的單價(jià)為x元，則A型芯片的單價(jià)為元，根據(jù)該公司用2600元購買A型芯片的條數(shù)與用3500元購買B型芯片的條數(shù)相等，列出方程即可得出結(jié)論．【詳解】解：設(shè)該公司購買B型芯片的單價(jià)為x元，則A型芯片的單價(jià)為元，根據(jù)題意，得，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解，且符合題意．答：該公司購買B型芯片的單價(jià)為35元．【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出方程，易錯(cuò)點(diǎn)是分式方程要驗(yàn)根．【即學(xué)即練】1．（2023春·浙江·九年級階段練習(xí)）某化工廠要在規(guī)定時(shí)間內(nèi)搬運(yùn)1800千克化工原料，現(xiàn)有A，B兩種機(jī)器人可供選擇，已知B型機(jī)器人每小時(shí)完成的工作量是A型機(jī)器人的倍，B型機(jī)器人單獨(dú)完成所需的時(shí)間比A型機(jī)器人少10小時(shí)，如果設(shè)A型機(jī)器人每小時(shí)搬運(yùn)x千克化工原料，則可以列出以下哪個(gè)方程（）A． B．C． D．【答案】C【分析】設(shè)A型機(jī)器人每小時(shí)搬運(yùn)x千克化工原料，則A型機(jī)器人每小時(shí)搬運(yùn)千克化工原料，根據(jù)“B型機(jī)器人單獨(dú)完成所需的時(shí)間比A型機(jī)器人少10小時(shí)”列出方程，即可求解．【詳解】解：設(shè)A型機(jī)器人每小時(shí)搬運(yùn)x千克化工原料，根據(jù)題意得：．故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式方程的應(yīng)用，明確題意，準(zhǔn)確得到等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·江蘇·八年級專題練習(xí)）甲乙兩地相距420千米，新修的高速公路開通后，在甲、乙兩地行駛的長途客運(yùn)車平均速度是原來的1.5倍，進(jìn)而從甲地到乙地的時(shí)間縮短了2小時(shí)．設(shè)原來的平均速度為x千米/時(shí)，可列方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)原來的平均速度為千米/時(shí)，高速公路開通后的平均速度為千米/時(shí)，根據(jù)走過相同的距離時(shí)間縮短了2小時(shí)，列方程即可．【詳解】解：設(shè)原來的平均速度為千米/時(shí)，由題意得，，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了由實(shí)際問題抽象出分式方程，解答本題的關(guān)鍵是讀懂題意，設(shè)出未知數(shù)，找出合適的等量關(guān)系，列方程．3．（2023春·廣東深圳·八年級?？计谥校┘?、乙兩個(gè)服裝廠加工一批校服，甲廠每天加工的數(shù)量是乙廠每天加工數(shù)量的倍，兩廠各加工套校服，甲廠比乙廠少用2天，則乙廠每天加工_____套校服．【答案】【分析】利用分式方程中的工程問題，工作量除以工作效率等于工作時(shí)間，列出方程求解即可．【詳解】解：設(shè)乙廠每天加工x套校服，則甲廠每天加工套校服，依題意得：，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解，且符合題意，∴乙廠每天加工套校服．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的分式方程的實(shí)際應(yīng)用工程問題，熟練掌握工程問題的數(shù)量關(guān)系式是解答此題的關(guān)鍵．4．（2023春·八年級課時(shí)練習(xí)）某天運(yùn)動(dòng)員小偉沿平路從家步行去銀行辦理業(yè)務(wù)，到達(dá)銀行發(fā)現(xiàn)沒有帶銀行卡（停留時(shí)間忽略不計(jì)），立即沿原路跑回家，已知平路上跑步的平均速度是平路上步行的平均速度的4倍，已知小偉家到銀行的平路距離為2800米，小偉從離家到返回家共用50分鐘．則小偉在平路上跑步的平均速度是每分鐘__________米．【答案】280【分析】設(shè)小偉在平路上跑步的平均速度是每分鐘x米，則步行的平均速度是每分鐘米，根據(jù)跑步所用的時(shí)間+步行所用的時(shí)間分鐘，列出方程，解方程即可．【詳解】解：設(shè)小偉在平路上跑步的平均速度是每分鐘x米，則步行的平均速度是每分鐘米，根據(jù)題意得：，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的根，且符合題意，因此小偉在平路上跑步的平均速度是每分鐘280米．故答案為：280．【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是找出題目中的等量關(guān)系，列出方程．5．（2023·吉林·一模）某店有、兩種口罩出售，其中種口罩的單價(jià)要比種口罩的單價(jià)多元，用元購進(jìn)種口罩?jǐn)?shù)量是用元購進(jìn)種口罩?jǐn)?shù)量的倍．(1)求、兩種口罩的單價(jià)；(2)某單位從該店購進(jìn)、兩種口罩共個(gè)，總費(fèi)用為元，求購進(jìn)種口罩多少個(gè)．【答案】(1)種口罩的單價(jià)元，種口罩的單價(jià)為元(2)個(gè)【分析】（1）設(shè)種口罩的單價(jià)為元，則種口罩的單價(jià)為元，根據(jù)題意列出分式方程，解方程，即可求解；（2）設(shè)購進(jìn)種口罩個(gè)，則購進(jìn)種口罩個(gè)，根據(jù)題意列出一元一次不等式，解方程即可求解．【詳解】（1）解：設(shè)種口罩的單價(jià)為元，則種口罩的單價(jià)為元，由題意得：，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解，且符合題意，，答：種口罩的單價(jià)元，種口罩的單價(jià)為元；（2）解：設(shè)購進(jìn)種口罩個(gè)，則購進(jìn)種口罩個(gè)，由題意得：，解得：，答：購進(jìn)種口罩個(gè)．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用，一元一次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意列出方程是解題的關(guān)鍵．題組A基礎(chǔ)過關(guān)練1．（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）解分式方程，去分母后得到（）A． B．C． D．【答案】B【分析】分式方程左右兩邊同乘去分母得到結(jié)果，即可作出判斷．【詳解】解：去分母得：．故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查了解分式方程，熟練掌握分式方程的解法是解本題的關(guān)鍵．2．（2022·湖北襄陽·統(tǒng)考中考真題）《九章算術(shù)》是我國古代重要的數(shù)學(xué)專著之一，其中記錄了一道驛站送信的題目，大意為：一份文件，若用慢馬送到里遠(yuǎn)的城市，所需時(shí)間比規(guī)定時(shí)間多天；若改為快馬派送，則所需時(shí)間比規(guī)定時(shí)間少天．已知快馬的速度是慢馬的倍，求規(guī)定時(shí)間．設(shè)規(guī)定時(shí)間為x天，則可列出正確的方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)快馬、慢馬所需時(shí)間及規(guī)定時(shí)間之間的關(guān)系，可得出慢馬所需的時(shí)間為天，快馬所需的時(shí)間為天，利用速度路程時(shí)間，結(jié)合快馬的速度是慢馬的倍，即可得出關(guān)于的分式方程，此題得解．【詳解】解：規(guī)定時(shí)間為x天，慢馬所需的時(shí)間為，快馬所需時(shí)間為，又快馬的速度是慢馬的倍，可列出方程，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了由實(shí)際問題抽象出分式方程以及數(shù)學(xué)常識，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵．3．（2022秋·河北滄州·八年級統(tǒng)考期中）如圖是小明解分式方程的過程，則下列判斷正確的是（

）解：方程兩邊同時(shí)乘，得，…………第一步即，……………第二步解得，………第三步經(jīng)檢查，原方程的解是．……第四步A．從第一步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤 B．從第二步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤C．從第三步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤 D．從第四步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤【答案】B【分析】把分式方程轉(zhuǎn)化為一元一次方程求解解題即可．【詳解】解：方程兩邊同時(shí)乘，得，即，解得，經(jīng)檢查，原方程的解是．∴錯(cuò)誤步驟為第二步，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查解分式方程，掌握分式方程的解法是解題的關(guān)鍵，注意解分式方程需要驗(yàn)根．4．（2023春·山西臨汾·八年級校聯(lián)考階段練習(xí)）相機(jī)成像的原理公式為，其中表示照相機(jī)鏡頭的焦距，表示物體到鏡頭的距離，表示膠片（像）到鏡頭的距離．下列用，表示正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】解分式方程即可得到答案．【詳解】解：，去分母得：，，，，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的實(shí)際應(yīng)用；解題的關(guān)鍵是正確求解分式方程．5．（2023·吉林松原·統(tǒng)考一模）關(guān)于x的方程的解是________．【答案】【詳解】按照解分式方程的步驟進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【分析】解：，，解得：，檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，，∴是原方程的根，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了解分式方程，熟練掌握解分式方程的步驟是解題的關(guān)鍵．6．（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）若分式的值為零，則x的值為______．【答案】1【分析】由題意知，，然后解分式方程即可．【詳解】解：由題意知，，解得，，經(jīng)檢驗(yàn)，是原分式方程的解，故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查了解分式方程．解題的關(guān)鍵在于正確的運(yùn)算．7．（2023·廣東東莞·東莞市厚街海月學(xué)校?？寄M預(yù)測）勞動(dòng)教育是全面發(fā)展教育體系的重要組成部分，是大中小學(xué)必須開展的教育活動(dòng)．某校積極響應(yīng)，開設(shè)校園農(nóng)場．七年級學(xué)生共收獲農(nóng)產(chǎn)品，八年級學(xué)生共收獲農(nóng)產(chǎn)品，已知八年級學(xué)生比七年級學(xué)生人均多收獲農(nóng)產(chǎn)品，七年級學(xué)生人數(shù)是八年級學(xué)生人數(shù)的1.5倍．求七、八年級各有多少名學(xué)生．若設(shè)八年級有x名學(xué)生，則可列分式方程為_______．【答案】【分析】根據(jù)題設(shè)，得出七年級有1.5x名學(xué)生，再表示出每個(gè)年級人均收獲農(nóng)產(chǎn)品的數(shù)量，根據(jù)八年級比七年級人均多建立方程．【詳解】解：若設(shè)八年級有x名學(xué)生，則七年級有1.5x名學(xué)生，八年級人均收獲農(nóng)產(chǎn)品為，七年級人均收獲農(nóng)產(chǎn)品為，已知八年級學(xué)生比七年級學(xué)生人均多收獲農(nóng)產(chǎn)品，則有．故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了列分式方程，解題的關(guān)鍵是理清題目中的數(shù)量關(guān)系．8．（2023春·江蘇·八年級專題練習(xí)）若方程有增根，則方程的增根是__________．【答案】【分析】根據(jù)分式方程的增根是分母為0時(shí)x的值進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵方程有增根，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了求分式方程的增根，熟知分式方程的增根即為分母為0時(shí)未知數(shù)的值是解題的關(guān)鍵．9．（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）（1）解方程：；（2）分式化簡：．【答案】（1）；（2）【分析】（1）先將等式兩邊同時(shí)乘以，將分式方程化為整式方程，然后解方程即可，最后注意一定要檢驗(yàn)；（2）先將括號內(nèi)的分式通分，然后把除法運(yùn)算轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算，能因式分解的要先因式分解，最后約分化簡即可．【詳解】（1），去分母，得：，去括號，得：，整理，得：，解得：，檢驗(yàn)：將代入，∴是原方程得解；（2），，，【點(diǎn)睛】本題主要考查解分式方程，分式的化簡求值，熟練掌握相關(guān)知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．10．（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）新情境·雅萬高鐵2022年11月15日至16日，二十國集團(tuán)領(lǐng)導(dǎo)人第十七次峰會(huì)于印尼巴厘島正式召開，備受矚目的雅萬高鐵于峰會(huì)期間測試運(yùn)行．雅萬高鐵北起印尼首都雅加達(dá)，南聯(lián)旅游名城萬隆，是印尼乃至東南亞的第一條高鐵，全長．已知雅萬高鐵的平均速度是火車的平均速度的倍，乘坐雅萬高鐵全程可比乘坐火車節(jié)省時(shí)間，求雅萬高鐵的平均速度．【答案】【分析】設(shè)火車行全程的平均速度為，則高鐵的平均速度為，根據(jù)題意列出分式方程解答即可．【詳解】解：設(shè)火車行全程的平均速度為，則高鐵的平均速度為，解得：經(jīng)檢驗(yàn)是方程的解，則，答：雅萬高鐵的平均速度為．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的實(shí)際應(yīng)用，行程問題，找到合適的等量關(guān)系列出方程是解題的關(guān)鍵．題組B能力提升練1．（2023春·上?！ぐ四昙夒A段練習(xí)）方程的根是（）A． B． C． D．以上答案都不對【答案】A【分析】按照解分式方程的步驟，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【詳解】解：，，解得：，檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，，∴是原方程的增根，當(dāng)時(shí)，，∴是原方程的根，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了解分式方程，一定要注意，解分式方程必須檢驗(yàn)．2．（2023春·上?！ぐ四昙壠谥校┠硰S接到加工件衣服的訂單，預(yù)計(jì)每天做件，正好按時(shí)完成，后因客戶要求提前天交貨，設(shè)每天應(yīng)多做件，則應(yīng)滿足的方程為(

)A． B． C． D．【答案】D【分析】本題的關(guān)鍵是要弄清因客戶要求工作量提速后的工作效率和工作時(shí)間，然后根據(jù)題目給出的關(guān)鍵語“提前5天”找到等量關(guān)系，然后列出方程．【詳解】解：因客戶的要求每天的工作效率應(yīng)該為：件，所用的時(shí)間為：，根據(jù)“因客戶要求提前5天交貨”，用原有完成時(shí)間減去提前完成時(shí)間，可以列出方程：．故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查由實(shí)際問題抽象出分式方程，這道題的等量關(guān)系比較明確，直接分析題目中的重點(diǎn)語句即可得知，再利用等量關(guān)系列出方程．3．（2023春·江蘇揚(yáng)州·八年級校聯(lián)考期中）若關(guān)于的無實(shí)數(shù)解，則的值是（）A．5 B． C．1 D．【答案】B【分析】根據(jù)分式方程無解的條件：去分母后所得整式方程無解，或者解這個(gè)整式方程得到的解使原方程的分母等于0，進(jìn)行求解即可．【詳解】解：方程去分母得：，解得：，當(dāng)時(shí)，分母為0，方程無解，即，解得：，若關(guān)于的無實(shí)數(shù)解，則的值是，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程無解的條件：去分母后所得整式方程無解，或者解這個(gè)整式方程得到的解使原方程的分母等于0，熟練掌握該條件是解題的關(guān)鍵．4．（2023·廣西南寧·廣西大學(xué)附屬中學(xué)校聯(lián)考二模）對于實(shí)數(shù)a、b，定義一種新運(yùn)算“”為：，這里等式右邊是實(shí)數(shù)運(yùn)算．例如：．則方程的解是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)新定義的運(yùn)算法則列出關(guān)于x的分式方程，即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意將變?yōu)椋海?，∴，解得，?jīng)檢驗(yàn)符合題意，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了新定義下的實(shí)數(shù)運(yùn)算和解分式方程，理解新定義的運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．5．（2023·吉林松原·統(tǒng)考一模）關(guān)于x的方程的解是________．【答案】【詳解】按照解分式方程的步驟進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【分析】解：，，解得：，檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，，∴是原方程的根，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了解分式方程，熟練掌握解分式方程的步驟是解題的關(guān)鍵．6．（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）若分式的值為零，則x的值為______．【答案】1【分析】由題意知，，然后解分式方程即可．【詳解】解：由題意知，，解得，，經(jīng)檢驗(yàn)，是原分式方程的解，故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查了解分式方程．解題的關(guān)鍵在于正確的運(yùn)算．7．（2023·廣東東莞·東莞市厚街海月學(xué)校?？寄M預(yù)測）勞動(dòng)教育是全面發(fā)展教育體系的重要組成部分，是大中小學(xué)必須開展的教育活動(dòng)．某校積極響應(yīng)，開設(shè)校園農(nóng)場．七年級學(xué)生共收獲農(nóng)產(chǎn)品，八年級學(xué)生共收獲農(nóng)產(chǎn)品，已知八年級學(xué)生比七年級學(xué)生人均多收獲農(nóng)產(chǎn)品，七年級學(xué)生人數(shù)是八年級學(xué)生人數(shù)的1.5倍．求七、八年級各有多少名學(xué)生．若設(shè)八年級有x名學(xué)生，則可列分式方程為_______．【答案】【分析】根據(jù)題設(shè)，得出七年級有1.5x名學(xué)生，再表示出每個(gè)年級人均收獲農(nóng)產(chǎn)品的數(shù)量，根據(jù)八年級比七年級人均多建立方程．【詳解】解：若設(shè)八年級有x名學(xué)生，則七年級有1.5x名學(xué)生，八年級人均收獲農(nóng)產(chǎn)品為，七年級人均收獲農(nóng)產(chǎn)品為，已知八年級學(xué)生比七年級學(xué)生人均多收獲農(nóng)產(chǎn)品，則有．故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了列分式方程，解題的關(guān)鍵是理清題目中的數(shù)量關(guān)系．8．（2023春·江蘇·八年級專題練習(xí)）若方程有增根，則方程的增根是__________．【答案】【分析】根據(jù)分式方程的增根是分母為0時(shí)x的值進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵方程有增根，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了求分式方程的增根，熟知分式方程的增根即為分母為0時(shí)未知數(shù)的值是解題的關(guān)鍵．9．（2023春·江蘇無錫·九年級?？茧A段練習(xí)）無錫地鐵號線一期工程全長公里，設(shè)個(gè)站點(diǎn)，起自漁父島站，串聯(lián)蠡湖未來城、無錫主城區(qū)、南長街、坊前、梅村等地．某站點(diǎn)由兩個(gè)工程隊(duì)一起建設(shè)了個(gè)月，剩下的部分由隊(duì)單獨(dú)建設(shè)，還需個(gè)月．(1)若隊(duì)單獨(dú)建設(shè)需要個(gè)月，隊(duì)單獨(dú)建設(shè)需要多少時(shí)間？(2)若隊(duì)單獨(dú)建設(shè)的時(shí)間為個(gè)月（），試分析說明兩隊(duì)誰的施工速度更快．【答案】(1)(2)隊(duì)的施工速度更快【分析】（1）根據(jù)題意找出等量關(guān)系列方程即可得到方程；（2）根據(jù)題意找出數(shù)量關(guān)系列方程解方程，再利用作差法即可得到正確結(jié)果．【詳解】（1）解：隊(duì)單獨(dú)建設(shè)需要個(gè)月，隊(duì)單獨(dú)建設(shè)需要個(gè)月，根據(jù)題意可得方程：，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)是分式方程的解，∴原分式方程的解為，答：若隊(duì)單獨(dú)建設(shè)需要個(gè)月，隊(duì)單獨(dú)建設(shè)需要個(gè)月．（2）解：設(shè)隊(duì)單獨(dú)建設(shè)需要個(gè)月，根據(jù)題意得：，解得：，∴，∵，∴，即，∴隊(duì)的施工速度更快．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程應(yīng)用，分式方程的運(yùn)算法則，作差法比較大小等相關(guān)知識點(diǎn)，審清題意，找出等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．10．（2023春·山東德州·九年級校考階段練習(xí)）若關(guān)于x的方程(1)若，解這個(gè)分式方程；(2)若原分式方程無解，求m的值．【答案】(1)(2)4或0【分析】（1）先將分式方程化為整式方程，求出解后進(jìn)行檢驗(yàn)即可；（2）將分式方程化為，根據(jù)方程無解，可得或當(dāng)時(shí)，，由此可解．【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，，兩邊同乘，得，整理，得，移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，得，解得，當(dāng)時(shí)，，因此這個(gè)分式方程的解為；（2）解：方程，兩邊同乘，得，整理，得，移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，得，方程無解，或當(dāng)時(shí)，，即或或，上述方程的解依次為，，無解．m的值為4或0．【點(diǎn)睛】本題考查解分式方程，分式方程無解問題，根據(jù)分式方程無解，得出關(guān)于m的方程是解題的關(guān)鍵．題組C培優(yōu)拔尖練1．（2023·黑龍江佳木斯·統(tǒng)考一模）已知關(guān)于x的分式方程無解，則m的值是（）A．1 B．1或2 C．0或2 D．0或1【答案】B【分析】去分母，化分式方程為整式方程，根據(jù)分式方程產(chǎn)生增根或，即可求解．【詳解】解：，方程兩邊同時(shí)乘以，得，移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，得，∵方程無解，∴或，∴或，∴或，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程無解問題，分兩種情況：一種是把分式方程化成整式方程后，整式方程無解；一種是把分式方程化成整式方程后，整式方程有解，但這個(gè)解使分式方程的分母為0，是增根，熟練掌握理解這兩種情況是解題關(guān)鍵．2．（2023春·江蘇·八年級專題練習(xí)）關(guān)于x的分式方程的解為正數(shù)，則a的取值范圍是（）A． B．且 C．且 D．【答案】B【分析】先化分式方程為整式方程得到，求得方程的解，根據(jù)解的屬性，方程的增根兩個(gè)角度去求解即可．【詳解】∵，去分母，得，解得．∵分式方程的解為正數(shù)，且方程的增根為，∴，解得且，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的解，增根，探求字母的取值范圍，熟練根據(jù)解的屬性，增根的意義建立不等式是解題的關(guān)鍵．3．（2022秋·湖南湘西·八年級統(tǒng)考期末）若，則的值為（

）．A．2020 B．2021 C．2022 D．2023【答案】C【分析】由可得，采用整體代入法，即可求解．【詳解】解：，，，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了代數(shù)式求值問題，采用整體代入法是解決本題的關(guān)鍵．4．（2022秋·重慶沙坪壩·九年