4.1.1認(rèn)識(shí)三角形（備作業(yè)）2021-2022學(xué)年七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)(北師大版)

4.1.1認(rèn)識(shí)三角形一、單選題1．在△ABC中，∠A+∠B+∠C的度數(shù)為（

）A．90° B．180° C．360° D．不確定【答案】B【分析】直接根據(jù)三角形內(nèi)角和定理解答即可．【解析】解:∠A+∠B+∠C=180°故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，熟知三角形內(nèi)角和為180°是解本題的關(guān)鍵．2．直角三角形中有一銳角為，則另一銳角為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用直角三角形的兩個(gè)銳角互余直接計(jì)算即可得到答案.【解析】解：直角三角形中有一銳角為，根據(jù)直角三角形中兩個(gè)銳角互余，∴另一銳角為：．故選：【點(diǎn)睛】本題考查的是直角三角形的兩銳角互余，掌握三角形的內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵.3．下列條件中，能構(gòu)成鈍角的是（

）．A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和及選項(xiàng)中各角之間的關(guān)系，解出最大角的度數(shù)即可確定三角形形狀，得出答案．【解析】解：A選項(xiàng)中，，銳角三角形；B選項(xiàng)中，，則，直角三角形；C選項(xiàng)中，，則，，鈍角三角形；D選項(xiàng)中，，則，，直角三角形；故選：C．【點(diǎn)睛】題目主要考查三角形內(nèi)角和及通過(guò)各角之間的關(guān)系確定角的度數(shù)，通過(guò)各角關(guān)系確定最大角的度數(shù)，從而確定三角形形狀是解題關(guān)鍵．4．如圖所示，圖中小橢圓圈里的表示（

）A．直角三角形 B．銳角三角形C．鈍角三角形 D．等邊三角形【答案】D【分析】根據(jù)三角形的分類：等邊三角形屬于等腰三角形即可得到答案．【解析】解：∵等邊三角形是特殊的等腰三角形，∴A表示的是等邊三角形，故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的分類，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握三角形的分類方法．5．在中，若，則的補(bǔ)角的度數(shù)是（

）A．36° B．72° C．108° D．144°【答案】C【分析】依據(jù)，，即可得出，進(jìn)而得到的度數(shù)，可得的補(bǔ)角．【解析】解：∵，由三角形的內(nèi)角和可知：，∴，∴，∴的補(bǔ)角等于108°，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理以及補(bǔ)角的概念，解題時(shí)注意：三角形內(nèi)角和是180°．6．從長(zhǎng)度分別為、、、的四根木條中，任取三根可組成三角形的個(gè)數(shù)是（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】A【分析】首先求得其中每三根組合的所有情況，再根據(jù)“在三角形中任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊”，進(jìn)行分析即可．【解析】任取三根，①1cm，2cm，3cm，

2

+

1=

3，①不能構(gòu)成三角形；②2cm，3cm，4cm，4

2<

3<

2

+4，②能構(gòu)成三角形；③1cm，3cm，4cm，1+

3

=

4，③不能構(gòu)成三角形；④1cm，2cm，4cm，4

2>

1，④不能構(gòu)成三角形，綜上所述，只有一組能構(gòu)成三角形，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形成立的條件，屬于基礎(chǔ)題，熟練掌握三角形成立的條件是解題的關(guān)鍵．7．三角形的三邊長(zhǎng)分別為3，，8，則的取值范圍（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)三角形三邊的關(guān)系：兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊進(jìn)行求解即可．【解析】解：∵三角形的三邊長(zhǎng)分別為3，，8，∴，解不等式①得：，解不等式②得：，∴不等式組的解集為，故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形三邊的關(guān)系，解一元一次不等式組，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解．8．如圖，，，則的度數(shù)是（

）A．55° B．35° C．45° D．25°【答案】D【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理和對(duì)頂角相等求解即可．【解析】解：設(shè)AD與BC相交于O，則∠COD=∠AOB，∵∠C+∠COD+∠D=180°，∠A+∠AOB=∠B=180°，∠C=∠A=90°，∴∠D=∠B=25°，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的內(nèi)角和定理、對(duì)頂角相等，熟練掌握三角形的內(nèi)角和是180°是解答的關(guān)鍵．9．若a，b，c是△ABC的三邊，則化簡(jiǎn)的結(jié)果是（

）A． B．C． D．0【答案】B【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系“任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊”，得到abc<0，bac＜0，再根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)計(jì)算．【解析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，得abc<0，bac<0∴原式=故選B．【點(diǎn)睛】本題考查三角形三邊關(guān)系和絕對(duì)值，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形三邊關(guān)系．10．已知△ABC中，∠A＝30°，則下列結(jié)論正確的是（）A．0°＜∠B＜60°B．90°＜∠B＜150C．0°＜∠B＜60°或90°＜∠B＜150°D．以上都不對(duì)【答案】D【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理進(jìn)行解答便可【解析】解：∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠A＝30°，∴∠B+∠C＝150°，∴0°＜∠B＜150°，故選D．【點(diǎn)睛】此題考查三角形的內(nèi)角和定理，難度不大11．已知，的邊于點(diǎn)，邊，那么等于（

）A． B． C．或 D．【答案】C【分析】如圖，由，可得，由，可求，，由可能是也可能是，可得答案．【解析】解：如圖，，，，，，可能是也可能是，等于或．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查平行線性質(zhì)，垂直性質(zhì)，三角形內(nèi)角和，補(bǔ)角性質(zhì)，掌握平行線性質(zhì)，垂直性質(zhì)，三角形內(nèi)角和，補(bǔ)角性質(zhì)是解題關(guān)鍵．12．如圖，已知P是△ABC內(nèi)任一點(diǎn)，AB＝12，BC＝10，AC＝6，則PA+PB+PC的值一定大于（

）A．14 B．15 C．16 D．28【答案】A【分析】在三個(gè)三角形中分別利用三邊關(guān)系列出三個(gè)不等式，相加后根據(jù)不等式的性質(zhì)即可得到正確的結(jié)論.【解析】解：如圖所示，在△ABP中，AP+BP>AB，同理:BP+PC>BC，AP+PC>AC，以上三式左右兩邊分別相加得到:2(PA+PB+PC)>AB+BC+AC,即PA+PB+PC>(AB+BC+AC)，∴PA+PB+PC>×（12+10+6）=14，即PA+PB+PC>14故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查的是三角形的三邊關(guān)系，在三個(gè)三角形中分別利用三邊關(guān)系列出三個(gè)不等式，相加后即可得到正確的結(jié)論;二、填空題13．三角形三個(gè)內(nèi)角度數(shù)之比為，其中最大的角度數(shù)為_(kāi)_______．【答案】【分析】要分配的重量是一個(gè)三角形的內(nèi)角和，然后將按照分配，最大得到的角占其中3份，據(jù)此求解即可．【解析】解：，∴最大的角度數(shù)為，故答案是：．【點(diǎn)睛】本題考查了比的應(yīng)用和三角形內(nèi)角和，熟悉相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．14．下面每組里面3條線段可以圍成三角形的是：①8、4、5；②5、4、9；③4、4、8；④5、12、13__________．（填序號(hào)）【答案】①④##④①【分析】根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊對(duì)各組進(jìn)行判斷即可．【解析】解：①，可以圍成三角形；②，不可以圍成三角形；③，不可以圍成三角形；④，可以圍成三角形；故答案為：①④．【點(diǎn)睛】此題考查了三角形三邊關(guān)系的問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是掌握三角形兩邊之和大于第三邊．15．如圖，△ABC中，∠A：∠ABC：∠ACB＝3：5：10，又△A′B′C≌△ABC，則∠BCA′：∠BCB′的值為_(kāi)____．【答案】1：4【分析】根據(jù)題意可先求出∠ACB的度數(shù)，然后根據(jù)全等的性質(zhì)分別求出∠BCA′，∠BCB′的值即可得出結(jié)論．【解析】解：∵∠A：∠ABC：∠ACB＝3：5：10，∴∠ACB＝180°×＝100°，∵△A′B′C≌△ABC，∴∠A′CB′＝∠ACB＝100°，∴∠BCB′＝180°﹣∠ACB＝180°﹣100°＝80°，∠BCA′＝∠ACB﹣∠A′CB′＝100°﹣80°＝20°，∴∠BCA′：∠BCB′＝20°：80°＝1：4．故答案為：1：4．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的性質(zhì)，理解并熟練運(yùn)用全等三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．16．在△ABC中，若∠A＝30°，∠B＝60°，則這個(gè)三角形為_(kāi)_________三角形；若∠A∶∠B∶∠C＝1∶3∶5，這個(gè)三角形為_(kāi)___________三角形．（按角的分類填寫(xiě)）【答案】

直角

鈍角【分析】分別求出三角形ABC三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)即可得到答案．【解析】解：∵在△ABC中，∠A=60°，∠B=30°，∴∠C=180°∠A∠B=90°，∴△ABC是直角三角形；∵在三角形ABC中，∠A：∠B：∠C=1：3：5，∴可設(shè)∠A=x，∠B=3x，∠C=5x，∵∠A+∠B+∠C=180°，∴x+3x+5x=180°，∴x=20°，∴∠A=20°，∠B=60°，∠C=100°，∴這個(gè)三角形是鈍角三角形，故答案為：直角；鈍角．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，三角形的分類，熟知三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．17．在ABC中，∠A﹣∠B＝30°，∠C＝4∠B．則∠B的度數(shù)是______．【答案】25°【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理及已知，可得關(guān)于∠B的方程，解方程即可求得∠B的度數(shù)．【解析】解：∵∠A+∠B+∠C=180°，∠C＝4∠B，∴∠A+5∠B=180°，∵∠A﹣∠B＝30°，∴∠A=∠B+30°，∴∠B+30°+5∠B=180°，解得：∠B=25°，故答案為：25°．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，解一元一次方程方程，關(guān)鍵是掌握三角形內(nèi)角和定理，應(yīng)用方程思想求解．18．用木棒釘成一個(gè)三角架，兩根小棒長(zhǎng)分別是7cm和10cm，第三根小棒長(zhǎng)為xcm，則x的取值范圍是___．【答案】3＜x＜17【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系：兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，確定出第三邊的取值范圍即可得出答案．【解析】解：設(shè)第三根小棒的長(zhǎng)為xcm，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可得：107＜x＜10+7，即3＜x＜17，故答案為3＜x＜17．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的三邊關(guān)系．三角形的三邊關(guān)系：第三邊大于兩邊之差而小于兩邊之和．19．在中，，則這個(gè)三角形是__________三角形（填“銳角”或“直角”或“鈍角”）．【答案】鈍角【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和題目中三個(gè)內(nèi)角的關(guān)系可以求得各個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，從而可以解答本題．【解析】∵在△ABC中，，∠A+∠B+∠C=180°，設(shè)∠A=x，則x+x+3x=180°，解得，x=36°，∴∠A=36°，∠B=36°，∠C=108°，∴這個(gè)三角形是鈍角三角形，故答案為：鈍角．【點(diǎn)睛】本題考查三角形內(nèi)角和定理，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問(wèn)題需要的條件，利用三角形內(nèi)角和解答．20．當(dāng)三角形中一個(gè)內(nèi)角是另一個(gè)內(nèi)角的3倍時(shí)，我們稱此三角形為“夢(mèng)想三角形”．如果一個(gè)“夢(mèng)想三角形”有一個(gè)角為108°，那么這個(gè)“夢(mèng)想三角形”的最小內(nèi)角的度數(shù)為_(kāi)____．【答案】18°或36°【解析】試題分析：根據(jù)三角形內(nèi)角和等于180°，如果一個(gè)“夢(mèng)想三角形”有一個(gè)角為108°，可得另兩個(gè)角的和為72°，由三角形中一個(gè)內(nèi)角是另一個(gè)內(nèi)角的3倍時(shí)，可以分別求得最小角為180°108°108÷3°=36°，72°÷（1+3）=18°，由此比較得出答案即可．本題解析：當(dāng)?shù)慕鞘橇硪粋€(gè)內(nèi)角的3倍時(shí),最小角為，當(dāng)?shù)慕鞘橇硪粋€(gè)內(nèi)角的3倍時(shí),最小角為因此,這個(gè)“夢(mèng)想三角形”的最小內(nèi)角的度數(shù)為或.故答案為18°或36°.點(diǎn)睛：本題考查三角形內(nèi)角和定理,掌握三角形的內(nèi)角和為,是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.三、解答題21．根據(jù)下列條件,判斷△ABC的形狀.(1)∠A=40°,∠B=80°;(2)∠A∶∠B∶∠C=2∶3∶7.【答案】(1)△ABC是銳角三角形(2)△ABC是鈍角三角形.【解析】試題分析：（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和是180°求出∠C的度數(shù)即可判斷△ABC的形狀；（2）因?yàn)椤螦∶∠B∶∠C＝2∶3∶7，所以可設(shè)∠A＝2x，∠B＝3x，∠C＝7x，根據(jù)三角形內(nèi)角和是180°列出方程求出∠A、∠B、∠C的度數(shù)，即可判斷△ABC的度數(shù)．試題解析：（1）∠C＝180°－∠A－∠B＝60°,因?yàn)?0°<60°<80°<90°，所以△ABC是銳角三角形．(2)設(shè)∠A＝2x，∠B＝3x，∠C＝7x，則2x＋3x＋7x＝180°，解得x＝15°.所以∠C＝7×15°＝105°.所以△ABC是鈍角三角形.點(diǎn)睛：本題考查的是三角形內(nèi)角和定理，熟知三角形內(nèi)角和是180°是解答此題的關(guān)鍵．22．如圖是兩個(gè)全等三角形，圖中的字母表示三角形的邊長(zhǎng)，則等于多少度？【答案】【分析】根據(jù)圖形和全等三角形的性質(zhì)得出∠1＝∠C，∠D＝∠A＝54°，∠E＝∠B＝60°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出即可．【解析】∵△ABC≌△DEF，∴∠1＝∠C，∠D＝∠A＝54°，∠E＝∠B＝60°，∴∠1＝180°﹣∠E﹣∠F＝66°．【點(diǎn)睛】此題主要考查全等三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理的運(yùn)用，熟練掌握，即可解題．23．根據(jù)下列條件，求，和的度數(shù)．【答案】（1），，；（2），，；（3），，【分析】（1）由題意根據(jù)∠A+∠B+∠C=180°，∠B=∠C，∠A=∠B30°可得出∠B的度數(shù)，進(jìn)而得出結(jié)論；（2）由題意根據(jù)∠A+∠B+∠C=180°，∠B=2∠C6°，∠A=∠B+∠C可得出∠B的度數(shù)，進(jìn)而得出結(jié)論；（3）根據(jù)題意設(shè)∠A=4x，∠B=3x，∠C=2x，再根據(jù)∠A+∠B+∠C=180°求出x的值，進(jìn)而即可得出結(jié)論．【解析】解：（1）∵∠A+∠B+∠C=180°，∠B=∠C，∠A=∠B30°，∴∠B30°+∠B+∠B=180°，解得∠B=70°，∴∠B=∠C=70°，∠A=40°；（2）∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A=∠B+∠C，∴∠B+∠C=90°，∠A=90°，∵∠B=2∠C6°，∴3∠C6°=90°，解得∠C=32°，∴∠B=2×32°6°=58°，∴∠A=90°，∠B=58°，∠C=32°；（3）∵∠A：∠B：∠C=4：3：2，∴設(shè)∠A=4x，則∠B=3x，∠C=2x，∵∠A+∠B+∠C=180°，∴4x+3x+2x=180°，解得x=20°，∴∠A=4x=80°，∠B=3x=60°，∠C=2x=40°．【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握三角形內(nèi)角和是180°并運(yùn)用方程思維是解答此題的關(guān)鍵．24．根據(jù)下列條件，求中，的大?。海?）；（2）；（3）；（4）．【答案】（1）79°

（2）72°

（3）30°

（4）60°【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和等于180°進(jìn)行計(jì)算即可.（2）三角形內(nèi)角和等于180°，根據(jù)各角比例計(jì)算即可.（3）由三角形內(nèi)角和等于180°可知∠B+∠C的度數(shù)．根據(jù)∠B∠C=15°解方程組即可求出∠C的度數(shù).（4）由三個(gè)角相等，再根據(jù)三角形內(nèi)角和等于180°可知∠C的度數(shù).【解析】（1）∵，∠A+∠B+∠C=180°，∴∠C=180°65°36°=79°，（2）∵；∠A+∠B+∠C=180°，∴∠A=（∠A+∠B+∠C）=36°，∴∠C=36°=72°，（3）∵∠A=105°，∠A+∠B+∠C=180°，∴∠B+∠C=75°，∵，∴2∠C=60°，∴∠C=30°，（4）∵．∠A+∠B+∠C=180°，∴∠C=（∠A+∠B+∠C）=60°，【點(diǎn)睛】本題考查三角形內(nèi)角和，熟練掌握三角形內(nèi)角和定理是解題關(guān)鍵.25．如果三角形的三個(gè)內(nèi)角分別是，，，求：（1）、滿足的關(guān)系式；（2）當(dāng)時(shí)，的值；（3）當(dāng)時(shí)，的值．【答案】（1）；（2）45；（3）60【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得x+2y＝180，可得x和y滿足的關(guān)系式，再將x＝90和y＝60分別代入，即可求得y的值和x的值．【解析】解：（1）由三角形內(nèi)角和定理可得：x+2y＝180；（2）當(dāng)x＝90時(shí)，90+2y＝180，解得：y＝45；（3）當(dāng)y＝60時(shí)，x+120＝180，解得：x＝60．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二元一次方程的應(yīng)用以及三角形的內(nèi)角和定理，關(guān)鍵是由三角形內(nèi)角和定理得到關(guān)于x、y的二元一次方程．26．（1）若一個(gè)三角形三邊分別為，3，4，求x的取值范圍；（2）若一個(gè)三角形兩邊長(zhǎng)為6和8，求最長(zhǎng)邊x的取值范圍．【答案】（1）；（2）【分析】（1）根據(jù)三角形三邊的關(guān)系：兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊得出關(guān)于x的不等式，求解即可；（2）根據(jù)三角形三邊的關(guān)系：兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊進(jìn)行求解即可．【解析】解：（1）∵一個(gè)三角形三邊分別為，3，4，∴，解得；（2）一個(gè)三角形兩邊長(zhǎng)為6和8，∴最長(zhǎng)邊x的取值范圍為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用和解不等式組，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握三角形三邊的關(guān)系．27．已知的三邊長(zhǎng)均為整數(shù)，的周長(zhǎng)為奇數(shù)．（1）若，，求AB的長(zhǎng)．（2）若，求AB的最小值．【答案】（1）7或9；（2）6．【分析】（1）根據(jù)三角形的三邊關(guān)系求出AB的取值范圍，再由AB為奇數(shù)即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)AC﹣BC=5可知AC、BC中一個(gè)奇數(shù)、一個(gè)偶數(shù)，再由△ABC的周長(zhǎng)為奇數(shù)，可知AB為偶數(shù)，再根據(jù)AB＞AC﹣BC即可得出AB的最小值．【解析】（1）∵由三角形的三邊關(guān)系知，AC﹣BC＜AB＜AC+BC，即：8﹣2＜AB＜8+2，∴6＜AB＜10，又∵△ABC的周長(zhǎng)為奇數(shù)，而AC、BC為偶數(shù)，∴AB為奇數(shù)，故AB=7或9；（2）∵AC﹣BC=5，∴AC、BC中一個(gè)奇數(shù)、一個(gè)偶數(shù)，又∵△ABC的周長(zhǎng)為奇數(shù)，故AB為偶數(shù)，∴AB＞AC﹣BC=5，∴AB的最小值為6．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的三邊關(guān)系，即三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊．28．如圖，將一副直角三角板的直角頂點(diǎn)C疊放在一起．（1）如圖（1），若∠DCE＝33°，則∠BCD＝，∠ACB＝．（2）如圖（1），猜想∠ACB與∠DCE的大小有何特殊關(guān)系？并說(shuō)明理由．（3）如圖（2），若是兩個(gè)同樣的直角三角板60°銳角的頂點(diǎn)A重合在一起，則∠DAB與∠CAE的數(shù)量關(guān)系為．【答案】（1）57°，147°；（2）∠ACB＝180°－∠DCE，理由見(jiàn)解析；（3）∠DAB+∠CAE＝120°【分析】（1）根據(jù)角的和差定義計(jì)算即可．（2）利用角的和差定義計(jì)算即可．（3）利用特殊三角板的性質(zhì)，角的和差定義即可解決問(wèn)題．【解析】解：（1）由題意，；；故答案為：57°，147°．

（2）∠ACB＝180°－∠DCE，

理由如下：∵

∠ACE＝90°－∠DCE，∠BCD＝90°－∠DCE，∴

∠ACB＝∠ACE＋∠DCE＋∠BCD＝90°－∠DCE＋∠DCE＋90°－∠DCE＝180°－∠DCE．

（3）結(jié)論：∠DAB+∠CAE=120°．理由如下：∵∠DAB+∠CAE=∠DAE+∠CAE+∠BAC+∠CAE=∠DAC+∠EAB