重難點專項突破01二次函數(shù)綜合之“線段周長”問題（原卷版）

重難點專項突破01二次函數(shù)綜合之“線段周長”問題【知識梳理】(1)線段的數(shù)量關(guān)系此類問題一般是求滿足線段數(shù)量關(guān)系的點的坐標(biāo)，針對這種情況應(yīng)先在圖中找出對應(yīng)線段，弄清已知點和未知點；再聯(lián)系二次函數(shù)和一次函數(shù)，設(shè)出未知點的坐標(biāo)，使其只含一個未知數(shù)；最后表示出線段的長度，列出滿足線段數(shù)量關(guān)系的等式，從而求出未知數(shù)的值；(2)線段最值問題

此類問題通常有兩類：

①設(shè)出關(guān)鍵的點的未知數(shù)(通常是一個跟所求線段關(guān)系緊密的點的橫坐標(biāo))，通過題目中的函數(shù)和圖形關(guān)系，用該點的橫坐標(biāo)表示出有關(guān)線段端點的坐標(biāo)，進而表示出線段的長，通過二次函數(shù)的性質(zhì)求最值，繼而得到線段的最大值或最小值；

②在求線段最小值的時候可以利用軸對稱模型.此類問題一般是要尋找一個動點，使其到兩個頂點的距離最小，通常是作一個定點關(guān)于動點所在直線的對稱點，連接這個對稱點與另一個定點的線段即為所求的最小值；(3)周長最值問題

此類問題一般為所求圖形中有一動點，對其求周長最值，解決此類問題時應(yīng)利用轉(zhuǎn)化思想，即先觀察圖形，結(jié)合題目，分清楚定線段和不定線段，然后將其所求圖形周長的最值轉(zhuǎn)化到求不定線段和的最值，進而轉(zhuǎn)化為求線段最值問題，其方法同(2).【考點剖析】題型一：線段的數(shù)量關(guān)系1．（2023·福建廈門·廈門一中?？寄M預(yù)測）拋物線經(jīng)過點，與軸交于點，對稱軸為，點是軸上一點，過點作垂直于軸的直線分別交拋物線和直線于點和點．(1)求二次函數(shù)的表達式；(2)若、、三個點中恰有一點是其它兩點所連線段的中點（三點重合除外）時，求點的坐標(biāo)；(3)分別過點、向拋物線的對稱軸作垂線，交對稱軸于點、，矩形與此拋物線相交，拋物線被截得的部分圖象記作，的最高點的縱坐標(biāo)為，最低點縱坐標(biāo)為，當(dāng)時，求點的坐標(biāo)．題型二：線段最值問題2．（2023·上?！ぞ拍昙壖倨谧鳂I(yè)）如圖，已知拋物線：，拋物線與關(guān)于點中心對稱，與相交于A，B兩點，點M在拋物線上，且位于點A和點B之間；點N在拋物線上，也位于點A和點B之間，且軸．(1)求拋物線的表達式；(2)求線段長度的最大值．3．（2023·內(nèi)蒙古·內(nèi)蒙古師范大學(xué)附屬學(xué)校?？既＃┤鐖D，拋物線與x軸交于A、B兩點，B點坐標(biāo)為．與y軸交于點．

(1)求拋物線的解析式；(2)點P在x軸下方的拋物線上，過點P的直線與直線BC交于點E，與y軸交于點F，求的最大值；(3)點D為拋物線對稱軸上一點．當(dāng)是以BC為直角邊的直角三角形時，求點D的坐標(biāo)．4．（2023·黑龍江綏化·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線的圖象經(jīng)過，，三點，且一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點．

(1)求拋物線和一次函數(shù)的解析式．(2)點，為平面內(nèi)兩點，若以、、、為頂點的四邊形是正方形，且點在點的左側(cè)．這樣的，兩點是否存在？如果存在，請直接寫出所有滿足條件的點的坐標(biāo)：如果不存在，請說明理由．(3)將拋物線的圖象向右平移個單位長度得到拋物線，此拋物線的圖象與軸交于，兩點（點在點左側(cè)）．點是拋物線上的一個動點且在直線下方．已知點的橫坐標(biāo)為．過點作于點．求為何值時，有最大值，最大值是多少？5．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，已知拋物線與軸交于和兩點，與軸交于點．直線過拋物線的頂點．(1)求拋物線的函數(shù)解析式；(2)若直線與拋物線交于點，與直線交于點．①當(dāng)取得最大值時，求的值和的最大值；②當(dāng)是等腰三角形時，求點的坐標(biāo)．題型三：周長最值問題6．（2023·湖南張家界·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于點和點兩點，與y軸交于點．點D為線段上的一動點．

(1)求二次函數(shù)的表達式；(2)如圖1，求周長的最小值；(3)如圖2，過動點D作交拋物線第一象限部分于點P，連接，記與的面積和為S，當(dāng)S取得最大值時，求點P的坐標(biāo)，并求出此時S的最大值．【過關(guān)檢測】一、單選題1．（2020春·福建龍巖·九年級校考階段練習(xí)）P是拋物線y＝x2－4x＋5上一點，過點P作PM⊥x軸，PN⊥y軸，垂足分別是M，N，則PM＋PN的最小值是(

)A．3 B． C． D．52．（2023·山東臨沂·統(tǒng)考二模）如圖，二次函數(shù)圖象經(jīng)過，且有最小值，若A點關(guān)于y軸的對稱點為B點，過B作y軸平行線交拋物線于點C，在的斜邊上有一動點D，過D作于E，于F，則EF的最小值為（）A． B． C． D．3．（2023·山東濟寧·統(tǒng)考一模）如圖，拋物線經(jīng)過點，點從點A出發(fā)，沿拋物線運動到頂點后，再沿對稱軸l向下運動，給出下列說法：①：②拋物線的對稱軸為；③當(dāng)點P，B，C構(gòu)成的三角形的周長取最小值時，；④在點P從點A運動到頂點的過程中，當(dāng)時，的面積最大．其中，所有正確的說法是（

）A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③4．（2022春·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝x2﹣2x＋c的圖象與x軸交于A、C兩點，與y軸交于點B（0，﹣3），若P是x軸上一動點，點D（0，1）在y軸上，連接PD，則PD＋PC的最小值是（

）A．4 B．2＋2 C．2 D．5．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與x軸交于A、C兩點，與y軸交于點B，若P是x軸上一動點，點Q（0，2）在y軸上，連接PQ，則的最小值是（

）A．6 B． C． D．6．（2022秋·浙江溫州·九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，拋物線交x軸于A，B兩點，交y軸于點C，點D為拋物線的頂點，點C關(guān)于拋物線的對稱軸的對稱點為點E，點G，F(xiàn)分別在x軸和y軸上，則四邊形EDFG周長的最小值為（

）A．6 B． C． D．二、填空題7．（2023·江蘇連云港·校考三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與x軸交于點A，C兩點，與y軸交于點B，對稱軸與x軸交于點D，若P為y軸上的一個動點，連接，則的最小值為___________．

8．（2023秋·河北秦皇島·九年級秦皇島市第七中學(xué)?？计谀┤鐖D，已知二次函數(shù)圖像的頂點坐標(biāo)為，與軸交于點，直線與該二次函數(shù)的圖像交于，兩點，是線段上的一個動點，過作軸的垂線交二次函數(shù)的圖像于點則線段的最大值為____________．9．（2023·江蘇宿遷·統(tǒng)考一模）如圖，拋物線交x軸于A、B兩點．點P為x軸下方拋物線上任意一點，點C是拋物線對稱軸與x軸的交點，直線分別交拋物線的對稱軸于點M、N．的值等于______________．10．（2023·吉林長春·統(tǒng)考一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點，點在拋物線上，過點作軸的垂線，交拋物線于另一點，點、在線段上，且、兩點關(guān)于軸對稱，過點作軸的垂線交拋物線于點．連接，若，則線段的長為______．11．（2023秋·廣西南寧·九年級南寧十四中?？奸_學(xué)考試）如圖拋物線與軸交于，兩點，與軸交于點，點是拋物線對稱軸上任意一點，若點，，分別是，，的中點，連接，，則的最小值為______．12．（2023春·福建泉州·九年級福建省永春第一中學(xué)?？计谥校┤鐖D：二次函數(shù)的圖象與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側(cè)）與y軸交于點C，頂點為點D．（1）在拋物線的對稱軸上找一點P，使的值最大時，則點P的坐標(biāo)為___；（2）在拋物線的對稱軸上找一點P，使的值最小時，則點P的坐標(biāo)為____．13．（2023·四川·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知二次函數(shù)交x軸于（點A在B的左側(cè)）兩點，平面上有任意點P，使得，則面積的最大值為_________．（用含有a的代數(shù)式表示）14．（2023·四川宜賓·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線經(jīng)過點，頂點為，且拋物線與軸的交點B在和之間（不含端點），則下列結(jié)論：

①當(dāng)時，；②當(dāng)?shù)拿娣e為時，；③當(dāng)為直角三角形時，在內(nèi)存在唯一點P，使得的值最小，最小值的平方為．其中正確的結(jié)論是___________．（填寫所有正確結(jié)論的序號）15．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，拋物線經(jīng)過點，頂點為，且拋物線與軸的交點B在和之間（不含端點），則下列結(jié)論：

①當(dāng)時，；②當(dāng)?shù)拿娣e為時，；③當(dāng)為直角三角形時，在內(nèi)存在唯一點P，使得的值最小，最小值的平方為．其中正確的結(jié)論是___________．（填寫所有正確結(jié)論的序號）三、解答題16．（2023·浙江溫州·溫州市第二十三中學(xué)校考三模）如圖，已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于，B，與y軸交于點．軸交拋物線于點D．

(1)求b，c的值．(2)已知點E在拋物線上且位于x軸上方，過E作y軸的平行線分別交于點F，G，且，求點E的坐標(biāo)．17．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）直線經(jīng)過點，拋物線經(jīng)過點，其中和為實數(shù)．設(shè)拋物線的頂點為，過作軸的平行線交直線于點．(1)求和的值；(2)當(dāng)拋物線頂點的縱坐標(biāo)取得最大值時，求線段的值；(3)求線段的最小值．18．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)得到，其中點A的坐標(biāo)為．

(1)寫出C點的坐標(biāo)______，B點的坐標(biāo)______；(2)若二次函數(shù)經(jīng)過A，B，C三點，求該二次函數(shù)的解析式；(3)在（2）條件下，在二次函數(shù)的對稱軸上是否存在一點P，使得最小？若P點存在，求出P點坐標(biāo)；若P點不存在，請說明理由．19．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·統(tǒng)考二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖像與x軸相交于點A、B，與y軸相交于點C，其中B點的坐標(biāo)為，點M為拋物線上的一個動點．

(1)二次函數(shù)圖像的對稱軸為直線．①求二次函數(shù)的表達式；②若點M與點C關(guān)于對稱軸對稱，則點M的坐標(biāo)是________；③在②的條件下，連接，在上任意取一點P，過點P作x軸的平行線，與拋物線對稱軸左側(cè)的圖像交于點Q，求線段的最大值；(2)過點M作的平行線，交拋物線于點N，設(shè)點M、N