山東省商河縣第一中學(xué)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題

PAGEPAGE9山東省商河縣第一中學(xué)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題一、單項(xiàng)選擇題1．已知向量，滿(mǎn)意，則等于（）．A． B． C． D．2．圓的圓心坐標(biāo)為（）．A．B．C．D．3．已知為實(shí)數(shù)，直線，，則，則實(shí)數(shù)的值（）．A．1 B．2 C．1或2 D．0或4．在長(zhǎng)方體中，，，，則與平面所成角的正弦值為（）．A． B． C． D．5．如圖，已知空間四邊形，其對(duì)角線為，，，分別是對(duì)邊，的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，設(shè)，現(xiàn)用基向量，，表示向量，設(shè)，則，，的值分別是（）．A．，， B．，，C．，， D．，，6．設(shè)，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，為橢圓上任一點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，則的最大值為（）．A．13 B．14 C．15 D．167．橢圓上的點(diǎn)到直線距離最近的點(diǎn)的坐標(biāo)為（）．A． B． C． D．8．已知點(diǎn)在離心率為的橢圓上，是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，是以為直徑的圓上的動(dòng)點(diǎn)，是半徑為2的圓上的動(dòng)點(diǎn)，圓與圓相離且圓心距，若的最小值為1，則橢圓的焦距的取值范圍是（）．A． B． C． D．二、多項(xiàng)選擇題9．給出下列命題，其中真命題有（）．A．空間隨意三個(gè)不共面的向量都可以作為一個(gè)基底B．已知，則存在向量可以與，構(gòu)成空間的一個(gè)基底C．、、、是空間四點(diǎn)，若，，不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，那么、、、共面D．已知向量組是空間的一個(gè)基底，若，則也是空間的一個(gè)基底10．下列說(shuō)法正確的是（）．A．已知，且三角形的周長(zhǎng)是6，則頂點(diǎn)的軌跡方程是B．點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是C．過(guò)，兩點(diǎn)的直線方程為D．經(jīng)過(guò)點(diǎn)且在軸和軸上截距都相等的直線方程是11．已知直線，，，以下結(jié)論正確的是（）．A．不論為何值時(shí)，與都相互垂直B．當(dāng)改變時(shí)，與分別經(jīng)過(guò)定點(diǎn)和C．不論為何值時(shí)，與都關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)D．假如與交于點(diǎn)，則的最大值是12．已知橢圓的離心率為，三角形的三個(gè)頂點(diǎn)都在橢圓上，設(shè)它的三條邊，，的中點(diǎn)分別為，，，且三條邊所在直線的斜率分別，，，且，，均不為0，0為坐標(biāo)原點(diǎn)，則（）．A．B．直線與直線的斜率之積為C．直線與直線的斜率之積為D．若直線，，的斜率之和為1，則的值為三、填空題13．，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，和是此橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)點(diǎn)，且，則的面積是______．14．已知直線經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)，那么直線的傾斜角的取值范圍是______．15．已知圓的方程為且點(diǎn)是該圓內(nèi)一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的最長(zhǎng)弦和最短弦分別為和，則四邊形的面積是______．16．若點(diǎn)和點(diǎn)分別為橢圓的中心點(diǎn)和左焦點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓上的隨意一點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)_____．四、解答題17．在平面直角坐標(biāo)系中，的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，，求：(1)邊所在直線的方程；(2)邊上的高所在直線的方程．18．已知圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)且圓心在直線上．(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若過(guò)點(diǎn)的直線與圓相交于，兩點(diǎn)，且，求直線的方程．19．如圖，在正四棱柱中，已知，，、分別為、上的點(diǎn)，且．（1）求證：平面；（2）求點(diǎn)到平面的距離．20．已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，離心率為．(Ⅰ)求橢圓的方程；(Ⅱ)直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，以為直徑的圓經(jīng)過(guò)不在直線上的點(diǎn)，求直線的方程．21．如圖，平面，四邊形是矩形，、分別是、的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)若二面角為45角，，，求與平面所成角的正弦值．22．已知橢圓，長(zhǎng)半軸長(zhǎng)與短半軸長(zhǎng)的差為，離心率為．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若在軸上存在點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線分別與橢圓相交于、兩點(diǎn)，且為定值，求點(diǎn)的坐標(biāo)．

參考答案1．B 2．B 3．A 4．D 5．D 6．C 7．B 8．C9．ACD 10．AB 11．ABD12．ACD【解析】因?yàn)闄E圓的離心率為，由得，故A正確．設(shè)，，，則，且，兩式作差得，即，所以，因?yàn)榈男甭?，的斜率，所以，同理，，故B錯(cuò)誤，C正確．又，同理可得，，所以，又直線，，的斜率之和為1，即，所以，故D正確．13．16 14． 15． 16．617．解：（1）設(shè)的直線方程為．將，坐標(biāo)代入可得，解方程組可得，則直線方程為，化為一般式．（2）因?yàn)闉橹本€的高，所以，故，設(shè)的直線方程為將代入，解得，得的直線方程為，代為一般式為．18．（1）；（2）或．【詳解】（1）設(shè)的中點(diǎn)為，因?yàn)辄c(diǎn)和點(diǎn)，所以，，即，又由，所以的垂直平分線的斜率為，所以線段的垂直平分線方程為，聯(lián)立方程組，解得，，即圓心坐標(biāo)，又由，即圓的半徑為，所以圓的方程為．（2）過(guò)點(diǎn)，的直線與圓相交于，兩點(diǎn)，且，所以圓心到直線的距離為，①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，此時(shí)直線方程為，則圓心到直線的距離為，符合題意：②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，即，則圓心到直線的距離為，解得，此時(shí)直線的方程為，綜上可得，直線的方程為或．19．（1）證明：以為原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則、，，，，，．∴，，，．∵，，∴，，且．∴平面．（2）由（1）知，為平面的一個(gè)法向量，∴點(diǎn)到平面的距離．故點(diǎn)到平面的距離為．20．解：（Ⅰ）由題意得，解得，，，所以橢圓的方程為．（Ⅱ）設(shè)，，聯(lián)立，消并化簡(jiǎn)整理得，則有，，，又，由得，，解得或．當(dāng)時(shí)，直線過(guò)點(diǎn)，與題意不符；當(dāng)時(shí)，直線不過(guò)點(diǎn)，符合題意，故直線的方程為．21．（1）如下圖所示，取的中點(diǎn)，連接、，在矩形中，且，∵、分別為的中點(diǎn)，∴且，∵為的中點(diǎn)，∴且，∴且，所以，四邊形為平行四邊形，則，∵平面，平面，，∴平面．（2）∵平面，平面，∴，∵四邊形為矩形，則，∵，平面，平面，∴，所以，二面角的平面角為，∴，易知，則為等腰直角三角形，且，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由，得，令，則，，得，．因此，與平面所成角的正弦值為．22．