浙江省寧波市鎮(zhèn)海中學(xué)2025屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期適應(yīng)性考試試題含解析

PAGE22-浙江省寧波市鎮(zhèn)海中學(xué)2025屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期適應(yīng)性考試試題（含解析）第Ⅰ卷（選擇題，共40分）一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)并集定義計(jì)算．【詳解】由題意．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查集合的并集運(yùn)算，屬于簡(jiǎn)潔題．2.已知復(fù)數(shù)滿意，其中i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)z的虛部是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由復(fù)數(shù)的綜合運(yùn)算求出后可得其虛部．【詳解】由題意，，其虛部為．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的概念，考查復(fù)數(shù)的綜合運(yùn)算．在復(fù)數(shù)中，是實(shí)部，是虛部，留意虛部是一個(gè)實(shí)數(shù)．3.在△ABC中“sinA>sinB”是“cosA<cosB”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【詳解】試題解析：必要性在△ABC中，“cosA＞cosB”，由余弦函數(shù)在（0，π）是減函數(shù)，故有A＜B，若B不是鈍角，明顯有“sinA＜sinB”成立，若B是鈍角，因?yàn)锳+B＜π，故有A＜π-B＜，故有sinA＜sin（π-B）=sinB綜上，“cosA＞cosB”可以推出“sinA＜sinB”：充分性：由“sinA＜sinB”若B是鈍角，在△ABC中，明顯有0＜A＜B＜π，可得，“cosA＞cosB”若B不是鈍角，明顯有0＜A＜B＜，此時(shí)也有cosA＞cosB綜上，“sinA＜sinB”推出“cosA＞cosB”成立故，“cosA＞cosB”是“sinA＜sinB”的充要條件點(diǎn)評(píng)：解決本題的關(guān)鍵是駕馭充要條件的推斷方法，利用原命題真假證充分性，逆命題的真假證明必要性，4.若，，且，則的最小值為（）A.2 B. C.4 D.【答案】C【解析】分析】已知等式應(yīng)用基本不等式得到的最小值，然后再在待求式應(yīng)用基本不等式可得結(jié)論．【詳解】∵，∴，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，綜上的最小值是4．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查用基本不等式求最值，基本不等式求最值時(shí)，盡是少用基本不等式，最好恰到好處地只用一次，假如要多次應(yīng)用基本不等式，必需每次應(yīng)用時(shí)等號(hào)成立的條件是相同的，這樣最終才能取得最值．5.設(shè)m，n是兩條異面直線，則下列命題中正確的是（）A.過m且與n垂直的平面有且只有一個(gè)B.過m且與n平行的平面有且只有一個(gè)C.過空間一點(diǎn)P與m，n都平行的平面有且只有一個(gè)D.過空間一點(diǎn)P與m，n都垂直的平面有且只有一個(gè)【答案】B【解析】【分析】依據(jù)異面直線的概念、線面平行的判定、線面垂直的性質(zhì)逐項(xiàng)推斷.【詳解】A選項(xiàng)，設(shè)過m的平面為，若，則，故若m與n不垂直，則不存在過m的平面與n垂直，故不正確；B選項(xiàng)，過m上一點(diǎn)P作n的平行直線l，則m與l確定一平面，由，，故，正確；C選項(xiàng)，當(dāng)點(diǎn)P在m或n上，滿意條件的平面不存在，故錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行，則，與m，n是兩條異面直線沖突，錯(cuò)誤.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)異面直線的理解，有關(guān)直線、平面之間的位置關(guān)系的命題的推斷，考查空間想象實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.6.已知數(shù)列滿意，，且，則的最大值為（）A. B.1 C.2 D.【答案】C【解析】【分析】首先依據(jù)題意和遞推公式，可知，由此即可證明數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，求出，進(jìn)而求出，再依據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)和數(shù)列的特點(diǎn)，即可求出最值.【詳解】因?yàn)?，所以所以?shù)列是等差數(shù)列，又，，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，所以，所以，所以當(dāng)時(shí)，取最大值，最大值為.故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用數(shù)列的遞推公式和等差數(shù)列的定義求通項(xiàng)公式，同時(shí)考查了利用數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)求最值，屬于中檔題.7.一條直線把平面分成兩部分，兩條直線把平面最多分成4部分，若n條直線把平面分成最多部分，則直線把平面分成最多為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】只要考慮第條直線與前條直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可得．【詳解】第條直線與前條直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)最多是，這個(gè)交點(diǎn)把第條直線分成個(gè)部分（有兩條射線，其余都是線段），每個(gè)部分把它所在原來的區(qū)域分成兩部分，因此共多了個(gè)部分，即．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查歸納推理，直線分平面區(qū)域問題．解題時(shí)我們找尋的是遞推關(guān)系，即與的關(guān)系，思索問題變成在平面上已有條直線的基礎(chǔ)上，加上第條直線會(huì)發(fā)生什么，出現(xiàn)什么改變，由此可歸納出結(jié)論．8.邊長(zhǎng)為1的正方體的棱上有一點(diǎn)P，滿意，則這樣的點(diǎn)共有（）A.6個(gè) B.9個(gè) C.12個(gè) D.18個(gè)【答案】A【解析】【分析】應(yīng)是橢圓體與正方體與棱的交點(diǎn)，滿意條件的點(diǎn)應(yīng)當(dāng)在棱的中點(diǎn)滿意條件，由此能求出結(jié)果．【詳解】正方體的棱長(zhǎng)為1，，，點(diǎn)是以為焦距，以為長(zhǎng)半軸，以為短半軸的橢圓體，在正方體的棱上，應(yīng)是橢圓與正方體與棱的交點(diǎn)，結(jié)合正方體的性質(zhì)可知，滿意條件的點(diǎn)應(yīng)當(dāng)在棱上的中點(diǎn)．故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查滿意條件的點(diǎn)的個(gè)數(shù)的求法，是中檔題，解題時(shí)要仔細(xì)審題，留意空間思維實(shí)力的培育．9.已知橢圓的兩焦點(diǎn)，和雙曲線的兩焦點(diǎn)重合，點(diǎn)P為橢圓和雙曲線的一個(gè)交點(diǎn)，且，橢圓和雙曲線的離心率分別為，，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)，，不妨設(shè)在第一象限，橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為，，由橢圓與雙曲線的定義用表示出，然后用余弦定理得出的關(guān)系即的關(guān)系式，然后由基本不等式求得最小值．【詳解】設(shè)，，不妨設(shè)在第一象限，橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為，，則，解得，在中由余弦定理得，∴，，，，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．所以的最小值為．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查橢圓與雙曲線的定義，考查它們的離心率，解題關(guān)鍵是利用定義表示出焦半徑，然后用余弦定理求得的關(guān)系式，用基本不等式求得最小值．10.若實(shí)數(shù)a，b滿意，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由題得，構(gòu)造函數(shù)，求出函數(shù)最大值即得解.【詳解】由題得，所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等.令，則，所以，所以函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.所以，所以，所以，又，所以.所以.故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性和最值，考查基本不等式求最值，意在考查學(xué)生對(duì)這些學(xué)問的理解駕馭水平和分析推理實(shí)力.第Ⅱ卷（非選擇題，共110分）二、填空題：本大題共7小題，多空題每小題6分，單空題每小題4分，共36分．11.的綻開式的各項(xiàng)系數(shù)和為__________;常數(shù)項(xiàng)為__________．【答案】(1).(2).【解析】【分析】令，即可得出綻開式的各項(xiàng)系數(shù)和，由二項(xiàng)式的綻開式的通項(xiàng)，即可得出常數(shù)項(xiàng).【詳解】令，則的綻開式的各項(xiàng)系數(shù)和為綻開式的通項(xiàng)為令，解得，此時(shí)的系數(shù)為令，解得，由于且，則不成立令，解得，此時(shí)的系數(shù)為所以的綻開式的常數(shù)項(xiàng)為故答案為：；【點(diǎn)睛】本題主要考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，屬于中檔題.12.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為__________，表面積為__________．【答案】(1).(2).【解析】【分析】依據(jù)三視圖還原幾何體為四棱錐，利用棱錐的體積公式可求得該幾何體的體積，四個(gè)直角三角形面積與一個(gè)正方形面積和為此幾何體的表面積.【詳解】該幾何體為圖中四棱錐，其中底面EFCD是邊長(zhǎng)為4的正方形，，所以該幾何體體積為，表面積為.故答案為：；【點(diǎn)睛】本題考查求三視圖還原幾何體的體積與表面積，屬于基礎(chǔ)題.13.已知點(diǎn)在拋物線上，該拋物線的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)A作直線的垂線，垂足為B，則__________，的平分線所在的直線方程為__________【答案】(1).2(2).【解析】【分析】代入點(diǎn)坐標(biāo)可求得，的平分線據(jù)直線即為直線的傾斜角的平分線所在直線，由此易得其斜率．【詳解】∵點(diǎn)在拋物線上，∴，∴，則，，設(shè)直線的傾斜角為，則，解得（舍去），因?yàn)?，所以軸，所以的傾斜角的平分線所在直線即為的平分線所在的直線，所以其方程為，即．故答案為：2；．【點(diǎn)睛】本題考查由拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)求拋物線的焦參數(shù)，考查求直線方程．解題關(guān)鍵是確定的平分線所在的直線即為的傾斜角的平分線所在直線．14.某學(xué)校周三要排語文、數(shù)學(xué)、英語、物理、化學(xué)、體育共六節(jié)課，有__________種不同的排法，若體育課既不能與語文相鄰，也不能與數(shù)學(xué)相鄰，有__________種不同的排法．（用詳細(xì)數(shù)字作答）【答案】(1).(2).【解析】【分析】依據(jù)語文、數(shù)學(xué)、英語、物理、化學(xué)、體育的全排列得出第一空；分類探討體育所在節(jié)數(shù)，由分類加法計(jì)數(shù)原理得出其次空.【詳解】某學(xué)校周三要排語文、數(shù)學(xué)、英語、物理、化學(xué)、體育共六節(jié)課，有種不同的排法當(dāng)體育在第一節(jié)時(shí)，在第三，四，五，六節(jié)中選2節(jié)排語文和數(shù)學(xué)，其余排英語、物理、化學(xué)，則共有種不同的排法當(dāng)體育在其次節(jié)時(shí)，在第四，五，六節(jié)中選2節(jié)排語文和數(shù)學(xué)，其余排英語、物理、化學(xué)，則共有種不同的排法當(dāng)體育在第三節(jié)時(shí)，在第一，五，六節(jié)中選2節(jié)排語文和數(shù)學(xué)，其余排英語、物理、化學(xué)，則共有種不同的排法當(dāng)體育在第四節(jié)時(shí)，在第一，二，六節(jié)中選2節(jié)排語文和數(shù)學(xué)，其余排英語、物理、化學(xué)，則共有種不同的排法當(dāng)體育在第五節(jié)時(shí)，在第一，二，三節(jié)中選2節(jié)排語文和數(shù)學(xué)，其余排英語、物理、化學(xué)，則共有種不同的排法當(dāng)體育在第六節(jié)時(shí)，在第一，二，三，四節(jié)中選2節(jié)排語文和數(shù)學(xué)，其余排英語、物理、化學(xué)，則共有種不同的排法則若體育課既不能與語文相鄰，也不能與數(shù)學(xué)相鄰，有種不同的排法故答案為：；【點(diǎn)睛】本題主要考查了全排列問題和不相鄰排列問題，涉及了分類加法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，屬于中檔題.15.一個(gè)扇形的周長(zhǎng)是6厘米，該扇形的中心角是1弧度，該扇形的面積是________．【答案】2平方厘米【解析】【分析】利用扇形的弧長(zhǎng)公式以及面積公式求解即可.【詳解】設(shè)扇形的半徑為厘米，弧長(zhǎng)為厘米（厘米）扇形的周長(zhǎng)是6厘米（厘米），即（厘米）（平方厘米）故答案為：平方厘米【點(diǎn)睛】本題主要考查了扇形的弧長(zhǎng)公式以及面積公式，屬于基礎(chǔ)題.16.已知棱長(zhǎng)為的正方體，球與正方體的各條棱相切，為球上一點(diǎn)，是的外接圓上的一點(diǎn)，則線段長(zhǎng)的取值范圍是__________．【答案】【解析】【分析】先求出與正方體的各條棱都相切的球半徑和正方體的外接球半徑，在依據(jù)題意即可求解.【詳解】解：設(shè)與正方體的各條棱都相切的球的球心為，其半徑，正方體的外接球的球心為，則的外接圓為正方體的外接球的一個(gè)小圓，且正方體的外接球半徑，又因?yàn)辄c(diǎn)在與正方體的各條棱都相切的球面上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在的外接圓上運(yùn)動(dòng)，所以線段長(zhǎng)度的最小值是正方體的外接球的半徑減去與正方體的各條棱都相切的球的半徑，線段長(zhǎng)度的最大值是正方體的外接球的半徑加正方體的各條棱都相切的球的半徑，由此可得線段的取值范圍是.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查正方體的棱切球與外接球的問題，考查空間思維實(shí)力，是中檔題.17.設(shè)O為的外心，a，b，c分別為，，的對(duì)邊，且，則的最小值為_________________．【答案】【解析】【分析】先證明，，，再利用余弦定理和基本不等式即得解.詳解】由平面對(duì)量數(shù)量積的定義可知，，同理可得，，，所以，同理：，.由題得，所以，所以，由余弦定理得.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等.所以的最小值為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查平面對(duì)量的數(shù)量積和余弦定理，考查基本不等式的應(yīng)用，意在考查學(xué)生對(duì)這些學(xué)問的理解駕馭水平和分析推理實(shí)力.三、解答題：本大題共5小題，共74分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．18.已知箱子中裝有標(biāo)號(hào)分別為1，2，3，4，5的五個(gè)小球．現(xiàn)從該箱子中取球，每次取一個(gè)球（無放回，且每球取到的機(jī)會(huì)均等）．（Ⅰ）若連續(xù)取兩次，求取出的兩球上標(biāo)號(hào)都是奇數(shù)或都是偶數(shù)的概率；（Ⅱ）若取出的球的標(biāo)號(hào)為奇數(shù)則停止取球，否則接著取，求取出次數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望．【答案】（1）；（2）分布列見解析，期望為．【解析】分析】（1）用列舉法寫出全部基本領(lǐng)件，確定所求概率事務(wù)所含有的基本領(lǐng)件，計(jì)數(shù)后可得概率．（2）的可能值1，2，3，分別計(jì)算概率得分布列，由期望公式可計(jì)算出期望．【詳解】（1）連續(xù)取兩次，求取出的兩球上標(biāo)號(hào)可能是12,13,14,15,23,24,25,34,35,45共10個(gè)，其中都是奇數(shù)或都是偶數(shù)的有13,15,35,24共4個(gè)，所求概率為；（2）由題意的全部可能值是1,2,3，，，，所以的分布為123．【點(diǎn)睛】本題考查古典概型，考查隨機(jī)變量的概率分布列和數(shù)學(xué)期望，用列舉法求古典概型概率是常用方法．19.如圖，，且，，，（1）若，求證：面面BDE;（2）若，求直線AD與平面DCE所成角的正弦值．【答案】（1）見解析，（1）【解析】【分析】（1）由，可得，結(jié)合可得平面，再利用面面垂直的判定可證明；（2）由余弦定理求出，以為原點(diǎn)，為軸，為軸，過作平面的垂線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求出直線AD與平面DCE所成角的正弦值．【詳解】解：證明：因?yàn)椋?，，，所以，所以，所以，因?yàn)椋?所以平面，因?yàn)槠矫?，所以面面BDE;（2）解：因?yàn)?，且，，，所以，以為原點(diǎn)，為軸，為軸，過作平面的垂線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則,設(shè)，因?yàn)?所以，解得，所以，因?yàn)?,所以，,，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，設(shè)直線AD與平面DCE所成角為，因?yàn)椋灾本€與平面DCE所成角為，所以，所以直線AD與平面DCE所成角的正弦值為【點(diǎn)睛】此題考查面面垂直的證明，考查線面角的正弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等學(xué)問，考查運(yùn)算實(shí)力，屬于中檔題.20.已知數(shù)列滿意，，（1）求;（2）若數(shù)列滿意，，求證：．【答案】（1）；（2）證明見解析．【解析】【分析】（1）用累乘法求得通項(xiàng)；（2）求出滿意不等式，從起先用放縮法，然后利用累加法求和可證結(jié)論．【詳解】（1）由題意（），∴，也適合．所以（）；（2）由已知，，，當(dāng)時(shí)，，因此，則綜上，．【點(diǎn)睛】本題考查累乘法和累加法求數(shù)列的通項(xiàng)公式．本題還考查了用放縮法證明數(shù)列不等式．對(duì)一些特別的遞推公式，求通項(xiàng)公式的方法可能采納累乘法和累加法，如已知，可用累加法求通項(xiàng)公式，如已知，可用累乘法求通項(xiàng)公式．21.已知橢圓的離心率為，是橢圓上一點(diǎn)，直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)（B在A的右側(cè)且不同于P點(diǎn)）（Ⅰ）求橢圓方程;（Ⅱ）若直線PA的斜率為1，求直線PB的斜率;（Ⅲ）求的取值范圍．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）【解析】【分析】（Ⅰ）依據(jù)橢圓的性質(zhì)，列出方程，求解即可；（Ⅱ）求出點(diǎn)的坐標(biāo)，確定直線的方程，再得出點(diǎn)的坐標(biāo)，由斜率公式，即可得出直線PB的斜率;（Ⅲ）聯(lián)立直線與橢圓方程