北京市海淀區(qū)2023-2024學年高一上學期期末考試數學試題 含解析

海淀區(qū)高一年級練習數學2024.01考生須知1．本試卷共6頁，共三道大題，19道小題．滿分100分．考試時間90分鐘．2．在試卷上準確填寫學校名稱、班級名稱、姓名．3．答案一律填涂或書寫在試卷上，用黑色字跡簽字筆作答．4．考試結束，請將本試卷交回．一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項．1.已知全集，集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據補集概念求解出結果.【詳解】因為，，所以，故選：B.2.某學校有高中學生1500人，初中學生1000人．學生社團創(chuàng)辦文創(chuàng)店，想了解初高中學生對學校吉祥物設計的需求，用分層抽樣的方式隨機抽取若干人進行問卷調查．已知在初中學生中隨機抽取了100人，則在高中學生中抽取了（）A.150人 B.200人 C.250人 D.300人【答案】A【解析】【分析】根據各層的抽樣比相同求解出結果.【詳解】因為初中學生人抽取了人，所以抽樣比為，所以高中生抽取人，故選：A.3.命題“”的否定是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據特稱命題的否定是全稱命題分析判斷.【詳解】由題意可知：命題“”的否定是“”.故選：C.4.在同一個坐標系中，函數的部分圖象可能是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先根據的單調性相反排除AD，然后根據冪函數圖象判斷出的范圍，由此可知正確圖象.【詳解】因為在同一坐標系中，所以的單調性一定相反，且圖象均不過原點，故排除AD；在BC選項中，過原點的圖象為冪函數的圖象，由圖象可知，所以單調遞減，單調遞增，故排除B，故選：C.5.下列函數中，既是奇函數，又在上單調遞減的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用定義判斷函數的奇偶性可對A、C判斷；利用函數奇偶性的判斷并結合函數單調性可對B、D判斷.【詳解】對A、C：由，定義域為，所以不是奇函數，故A錯誤；定義域為，，所以是偶函數，故C錯誤；對B、D：，定義域為，，所以為奇函數，當時，，且在上單調遞減，故B正確；，定義域為，且，所以為奇函數，且在定義域上為增函數，故D錯誤；故選：B.6.已知，則實數a，b，c的大小關系是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據題意結合指、對數函數單調性運算求解.【詳解】因為，由在上單調遞增，可得，即；由在內單調遞增，可得，即；由在內單調遞增，可得，即；綜上所述：.故選：D.7.已知函數，則“”是“為奇函數”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】根據“”與“為奇函數”互相推出的情況判斷屬于何種條件.【詳解】當時，，定義域為且關于原點對稱，所以，所以為奇函數；當為奇函數時，顯然定義域為且關于原點對稱，所以，所以，所以，由上可知，“”是“為奇函數”的充要條件，故選：C8.已知函數，則不等式的解集為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出的定義域，然后分析的單調性，再根據求解出不等式解集.【詳解】的定義域為，因為均在上單調遞增，所以在上單調遞增，又因為，所以，所以不等式解集為，故選：B.9.科赫曲線是幾何中最簡單的分形．科赫曲線的產生方式如下：如圖，將一條線段三等分后，以中間一段為邊作正三角形并去掉原線段生成1級科赫曲線“”，將1級科赫曲線上每一線段重復上述步驟得到2級科赫曲線，同理可得3級科赫曲線……在分形中，一個圖形通常由N個與它的上一級圖形相似，且相似比為r的部分組成．若，則稱D為該圖形的分形維數．那么科赫曲線的分形維數是（）A. B. C.1 D.【答案】D【解析】【分析】根據題意得出曲線是由把全體縮小的4個相似圖形構成的，再根據題設條件即可得出結果.【詳解】由題意曲線是由把全體縮小的4個相似圖形構成的，因為，即，則，所以分形維數是.故選：D.10.已知函數，若存在非零實數，使得成立，則實數a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用賦值和排除法可得結果【詳解】取，則，若，則，由，得，解得，符合條件，排除選項A、C,取，則，若時，，由，得，解得，或，都不符合條件，若，即，由，得，即，不符合條件，若，即，由，得，解得，或，都不符合條件，綜上，，排除B，選D故選：D二、填空題共5小題，每小題4分，共20分．11.函數的定義域是.【答案】【解析】【分析】利用真數大于零列不等式求解即可.【詳解】要使函數有意義，則，解得，即函數的定義域是，故答案為：.【點睛】本題主要考查對數型復合函數的定義域，屬于基礎題.12.農科院作物所為了解某種農作物的幼苗質量，分別從該農作物在甲、乙兩個不同環(huán)境下培育的幼苗中各隨機抽取了15株幼苗進行檢測，量出它們的高度如下圖（單位：）:記該樣本中甲、乙兩種環(huán)境下幼苗高度的中位數分別為a，b，則___________；若以樣本估計總體，記甲、乙兩種環(huán)境下幼苗高度的標準差分別為，則___________（用“<，>或=”連接）．【答案】①.②.【解析】【分析】空根據題意分別求出甲乙環(huán)境下的個高度數據，從而求出中位數，即可求解；空利用標準差公式分別求出，從而求解.【詳解】對空：由題意得甲環(huán)境的幼苗高度為：，其中位數，乙環(huán)境的幼苗高度為：，其中位數，所以；對空：甲環(huán)境下的幼苗平均高度為：，所以甲環(huán)境下的幼苗平均高度為：所以所以.故答案為：；.13.已知函數沒有零點，則a的一個取值為___________；a的取值范圍是___________．【答案】①.（即可）②.【解析】【分析】根據題意分析可知函數沒有零點，等價于與沒有交點，結合對勾函數圖象分析求解.【詳解】令，則，若函數沒有零點，等價于與沒有交點，作出的圖象，如圖所示：由圖象可知：若與沒有交點，則，故答案為：（即可）；.14.已知函數則的單調遞增區(qū)間為___________；滿足的整數解的個數為___________．（參考數據：）【答案】①.②.215【解析】【分析】第一個空，作出的圖象，由圖可知的單調遞增區(qū)間；第二個空，分和兩種情況解不等式.【詳解】作出的圖象，由圖可知，的單調遞增區(qū)間為，當時，，解得，即，所以，當時，，解得，故滿足的整數解的個數為215.故答案為：；215.15.共享單車已經逐漸成為人們在日常生活中必不可少的交通工具．通過調查發(fā)現人們在單車選擇時，可以使用“競爭函數”進行近似估計，其解析式為（其中參數a表示市場外部性強度，a越大表示外部性越強）．給出下列四個結論：①過定點；②在上單調遞增；③關于對稱；④取定x，外部性強度a越大，越小．其中所有正確結論的序號是___________．【答案】①②【解析】【分析】對于①令即可求得定點可判斷①的正誤；對于②對求導，判斷導函數在時的正負即可判斷②的正誤；對于③由②即可判斷正誤；對于④以為自變量構造新函數，求導，判斷單調性即可判斷正誤.【詳解】對于①，在中，令，則，過定點，故①正確；對于②，，當，，則為單調遞增，故②正確；對于③，由②知為單調遞增，故不存在對稱性，故③錯誤；對于④，以為自變量，設為，則，，故，的正負取決于，當，即時，，隨著的增大，減小；當，即時，，隨著的增大，增大，故④錯誤.故答案為：①②.三、解答題共4小題，共40分．解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程．16.國務院正式公布的《第一批全國重點文物保護單位名單》中把重點文物保護單位（下述簡稱為“第一批文保單位”）分為六大類．其中“A:革命遺址及革命紀念建筑物”、“B:石窟寺”、“C:古建筑及歷史紀念建筑物”、“D:石刻及其他”、“E:古遺址”、“F:古墓葬”．北京的18個“第一批文保單位”所在區(qū)分布如下表：行政區(qū)門類個數東城區(qū)A：革命遺址及革命紀念建筑物3C:古建筑及歷史紀念建筑物5西城區(qū)C:古建筑及歷史紀念建筑物2豐臺區(qū)A:革命遺址及革命紀念建筑物1海淀區(qū)C:古建筑及歷史紀念建筑物2房山區(qū)C:古建筑及歷史紀念建筑物1E:古遺址1昌平區(qū)C:古建筑及歷史紀念建筑物1F:古墓葬1延慶區(qū)C:古建筑及歷史紀念建筑物1（1）某個研學小組隨機選擇北京市“第一批文保單位”中的一個進行參觀，求選中的參觀單位恰好為“C:古建筑及歷史紀念建筑物”的概率；（2）小王同學隨機選擇北京市“第一批文保單位”中“A:革命遺址及革命紀念建筑物”中的一個進行參觀；小張同學隨機選擇北京市“第一批文保單位”中的“C:古建筑及歷史紀念建筑物”中的一個進行參觀．兩人選擇參觀單位互不影響，求兩人選擇的參觀單位恰好在同一個區(qū)的概率；（3）現在擬從北京市“第一批文保單位”中的“C:古建筑及歷史紀念建筑物”中隨機抽取2個單位進行常規(guī)檢查．記抽到海淀區(qū)的概率為，抽不到海淀區(qū)的概率記為，試判斷和的大?。ㄖ苯訉懗鼋Y論）．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）由題意知總樣本數為，C:古建筑及歷史紀念建筑物共有，利用古典概率從而求解.（2）由題意可知小王參觀A:革命遺址及革命紀念建筑物與小張參觀C:古建筑及歷史紀念建筑物在同一個區(qū)的只有東城區(qū)，然后分別求出他們參觀東城區(qū)的概率，從而求解.（3）利用分類討論求出相應的抽到海淀區(qū)的概率和抽不到海淀區(qū)的概率，從而求解.【小問1詳解】設選中參觀單位恰好為“C:古建筑及歷史紀念建筑物”為事件，由題意知總共有，“C:古建筑及歷史紀念建筑物”有，所以.【小問2詳解】設兩人選擇的參觀單位恰好在同一個區(qū)為事件，由題意可知小王參觀A:革命遺址及革命紀念建筑物與小張參觀C:古建筑及歷史紀念建筑物在同一個區(qū)的只有東城區(qū)，所以小王參觀東城區(qū)景區(qū)的概率為，小張參觀東城區(qū)景區(qū)的概率為，所以.【小問3詳解】當抽到的個都是海淀區(qū)的概率為，當抽到的個中有個是海淀區(qū)的概率為，所以，，所以.17.已知集合．（1）求;（2）記關于x不等式的解集為，若，求實數m的取值范圍．【答案】（1）或，（2）【解析】【分析】（1）先求解出一元二次不等式、絕對值不等式的解集為集合，然后根據并集概念求解出，再根據交集和補集概念求解出；（2）根據不等式先求解出，然后根據列出關于的不等式組，由此求解出結果.【小問1詳解】因為，解得，所以，又因為，解得或，所以或，所以或；又因為，所以.【小問2詳解】因為，所以，若，則，解得，所以的取值范圍是.18.已知函數．請從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，解答下面的問題．條件①：;條件②：．注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答記分．（1）求實數k的值；（2）設函數，判斷函數在區(qū)間上的單調性，并給出證明；（3）設函數，指出函數在區(qū)間上的零點個數，并說明理由．【答案】（1）答案見解析（2）在區(qū)間上單調遞減，證明見解析（3）在內有且僅有一個零點，理由見解析【解析】【分析】（1）根據題意結合奇偶性的定義分析求解；（2）根據單調性的定義分析證明；（3）根據題意結合單調性以及奇偶性的性質判斷在區(qū)間上的單調性，再結合零點存在性定理分析判斷.【小問1詳解】令，解得，所以函數的定義域為，若選①：因為，即為奇函數，則，整理得，注意到對任意上式均成立，可得，解得；若選②：因為，即為偶函數，則，整理得，注意到對任意上式均成立，可得，解得.【小問2詳解】若選①：則，可得，可知函數在區(qū)間上單調遞減，證明如下：對任意，且，則，因為，則，可得，即，所以函數在區(qū)間上單調遞減；若選②：則，可得，可知函數在區(qū)間上單調遞減，證明如下：對任意，且，則，因為，則，可得，即，所以函數在區(qū)間上單調遞減.【小問3詳解】若選①：則，則，由（2）可知在內單調遞減，且在定義域內單調遞增，可知在內單調遞減，又因為為奇函數，則在內單調遞減，且在內單調遞減，可知在內單調遞減，結合，，可知在內有且僅有一個零點；若選②：則，則，由（2）可知在內單調遞減，且在定義域內單調遞增，可知在內單調遞減，又因為為偶函數，則在內單調遞增，且在內單調遞增，可知在內單調遞增，結合，，可知在內有且僅有一個零點.19.已知函數的定義域均為，給出下面兩個定義：①若存在唯一的，使得，則稱與關于唯一交換；②若對任意的，均有，則稱與關于任意交換．（1）請判斷函數與關于是唯一交換還是任意交換，并說明理由；（2）設，若存在函數，使得與關于任意交換，求b的值；（3）在（2）的條件下，若與關于唯一交換，求a的值．【答案】（1）唯一交換，理由見解析（2）（3）【解析】【分析】（1）根據方程解的情況判斷即可；（2）根據“對任意的，成立”得到關于的方程，然后設出的解析式，根據方程左右兩邊對應項相同求解出的值；（3）根據條件通過分離參數將問題轉化為“存在唯一實數，使得”，然后分析的奇偶性，從而確定出，由此可求的值.【小問1詳解】與關于是唯一交換，理由如下：因為，，令，所以，解得，所以有唯一解，所以與關于是唯一交換.【小問2詳解】由題意可知，對任意的