第11講 矩形、菱形、正方形-八年級數(shù)學(xué)下冊同步講義（蘇科版）江蘇初中數(shù)學(xué)（蘇教版）

第9章中心對稱圖形一一平行四邊形

9.4矩形、菱形、正方形

@目標(biāo)導(dǎo)航

課程標(biāo)準(zhǔn)課標(biāo)解讀

1.理解矩形的概念，掌握矩形的性質(zhì)定

1.探究并證明矩形、菱形、正方形的性質(zhì)定理：矩形的四

理與判定定理。

個角都是直角，對角線相等；菱形的四條邊相等，對角線

2.理解菱形的概念，掌握菱形的性質(zhì)定

互相垂直；理及判定定理。

3.理解正方形的概念，了解平行四邊形、

2.矩形、菱形、正方形的判定定定理：三個角是直角的四

矩形及菱形與正方形的概念之間的從屬

邊形是矩形，對角線相等的平行四邊形是矩形；四邊相等關(guān)系，掌握正方形的性質(zhì)及判定方法。

的四邊形是菱形，對角線互相垂直的平行四邊形是菱形。

正方形具有矩形和菱形的一切性質(zhì)。

野知識梅井

導(dǎo)

知識點01矩形的性質(zhì)與判定

(一)矩形的定義

有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形。

【微點撥】

矩形定義的兩個要素：①是平行四邊形；②有一個角是直角.即矩形首先是一個平行四邊形，然后增加一個

角是直角這個特殊條件。

(-)矩形的性質(zhì)

矩形的性質(zhì)包括四個方面：

1.矩形具有平行四邊形的所有性質(zhì)；

2.矩形的對角線相等；

3.矩形的四個角都是直角；

4.矩形是軸對稱圖形，它有兩條對稱軸。

【微點撥】

（1）矩形是特殊的平行四邊形，因而也是中心對稱圖形.過中心的任意直線可將矩形分成完全全等的兩部

分；

（2）矩形也是軸對稱圖形，有兩條對稱軸（分別通過對邊中點的直線）.對稱軸的交點就是對角線的交點

（即對稱中心）；

（3）矩形是特殊的平行四邊形，矩形具有平行四邊形的所有性質(zhì)，從而矩形的性質(zhì)可以歸結(jié)為從三個方面

看：從邊看，矩形對邊平行且相等；從角看，矩形四個角都是直角；從對角線看，矩形的對角線互相平分

且相等。

（三）矩形的判定

矩形的判定有三種方法：

1.定義：有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形；

2.對角線相等的平行四邊形是矩形；

3.有三個角是直角的四邊形是矩形。

【微點撥】在平行四邊形的前提下，加上“一個角是直角”或“對角線相等”都能判定平行四邊形是矩形。

（四）直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)

直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。

【微點撥】

（1）直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)是矩形性質(zhì)的推論.性質(zhì)的前提是直角三角形，對一般三角形不可使

用；

（2）學(xué)過的直角三角形主要性質(zhì)有：①直角三角形兩銳角互余；②直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊

的平方；③直角三角形中30。所對的直角邊等于斜邊的一半；

（3）性質(zhì)可以用來解決有關(guān)線段倍分的問題。

【即學(xué)即練1】如圖，矩形ABC。的對角線AC、M相交于點O,若A8=4O.求N48O的度數(shù).

【答案】60°

【分析】根據(jù)矩形的對角線互相平分同相等，可知OA=OB,從而確定△AOB為等邊三角形.

【解析】解：：四邊形ABCD是矩形，；.OA=OC,OB=OD,AC=BD,.-.AO=OB,

VAB=AO,.*.AB=AO=BO,

...△ABO是等邊三角形,

ZABD=60°

【即學(xué)即練2】如圖，在平行四邊形ABC。中，E、尸分別是邊A3、0c上的點，且AE=CF,/￡>EB=90。,

求證：四邊形DEBF是矩形

【答案】證明見解析

【分析】平行四邊形A5CO,可知AB=C3,AB8；由于AE=CF，可得BE=￡)F,BE\\DF,知四邊

形DE8F為平行四邊形，由NOE3=9()?？芍倪呅巍?gt;a?尸是矩形.

【解析】證明：：四邊形A88是平行四邊形

:.AB=CD,ABCD

VAE=CF,BE=AB—AE,DF=DC-CF

：.BE=DF

VBE=DF,BEDF

四邊形DEBF為平行四邊形

又?:ZDEB=90°

.,?四邊形DEBF是矩形.

文、知識點02菱形的性質(zhì)與判定

(-)菱形的定義

有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形。

【微點撥】

菱形的定義的兩個要素：①是平行四邊形.②有一組鄰邊相等.即菱形是一個平行四邊形，然后增加一對鄰

邊相等這個特殊條件。

(二)菱形的性質(zhì)

菱形除了具有平行四邊形的一切性質(zhì)外，還有一些特殊性質(zhì)：

1.菱形的四條邊都相等；

2.菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角；

3.菱形也是軸對稱圖形，有兩條對稱軸（對角線所在的直線），對稱軸的交點就是對稱中心.

【微點撥】

（1）菱形是特殊的平行四邊形，是中心對稱圖形，過中心的任意直線可將菱形分成完全全等的兩部分；

（2）菱形的面積由兩種計算方法：一種是平行四邊形的面積公式：底X高；另一種是兩條對角線乘積的一

半（即四個小直角三角形面積之和）.實際上，任何一個對角線互相垂直的四邊形的面積都是兩條對角線乘

積的一半；

（3）菱形可以用來證明線段相等，角相等，直線平行，垂直及有關(guān)計算問題.。

（三）菱形的判定

菱形的判定方法有三種：

1.定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；

2.對角線互相垂直的平行四邊形是菱形；

3.四條邊相等的四邊形是菱形。

【微點撥】

前兩種方法都是在平行四邊形的基礎(chǔ)上外加一個條件來判定菱形，后一種方法是在四邊形的基礎(chǔ)上加上四

條邊相等。

【即學(xué)即練3】如圖，四邊形是菱形，4。=8,08=6,。"，48于點“，求的長.

【答案】DH=4.8

【分析】先根據(jù)菱形的性質(zhì)得到A0=1AC=4,B0=^-BD=3,ZAOB=90°,即可利用勾股定理求出AB

22

的長，再由S菱除=1AC8。進行求解即可.

【解析】解：；四邊形A8CQ是菱形，

AAO=-AC=4,BO=-BD=3,AC±BD,

22

ZAOB=90°,

?'-AB7Ao°+OB?=5

?；S^ABCD=AMDH=5ACBD，

ACBD

DH==4.8.

2AB

【即學(xué)即練4】如圖，在，ABC。中，點E,尸分別在線段BC,49上，連接AE,CF,AE//CF,

BE+AE=AD,求證：四邊形AECF是菱形.

【答案】見解析

【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得A0=3C,AD〃BC,然后再依據(jù)平行四邊形的判定可得四邊形AECF

是平行四邊形，對邊的等式進行等量代換得出=最后依據(jù)菱形的判定定理即可證明.

【解析】證明：.??四邊形是平行四邊形，

：?AD=BC,AD//BC,

???AE//CF,

???四邊形AECF是平行四邊形，

,:BE+AE=AD,

：.BE+AE=AD=BC=BE+EC.

:.AE=EC9

???四邊形AEb是菱形.

*'知識點03正方形

（一）正方形的定義

四條邊都相等，四個角都是直角的四邊形叫做正方形。

【微點撥】

既是矩形又是菱形的四邊形是正方形，它是特殊的菱形，又是特殊的矩形，更為特殊的平行四邊形，正方

形是有一組鄰邊相等的矩形，還是有一個角是直角的菱形。

(-)正方形的性質(zhì)

正方形具有四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)。

1.邊一一四邊相等、鄰邊垂直、對邊平行；

2.角一一四個角都是直角；

3.對角線一一①相等，②互相垂直平分，③每條對角線平分一組對角；

4.是軸對稱圖形，有4條對稱軸；又是中心對稱圖形，兩條對角線的交點是對稱中心。

【微點撥】

正方形具有平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)，其對角線將正方形分為四個等腰直角三角形。

(三)正方形的判定

正方形的判定除定義外，判定思路有兩條：或先證四邊形是菱形，再證明它有一個角是直角或?qū)蔷€

相等(即矩形)；或先證四邊形是矩形，再證明它有一組鄰邊相等或?qū)蔷€互相垂直(即菱形)。

【即學(xué)即練3】如圖，邊長為4的正方形中，以對角線8。為邊作菱形C,E點在同一直線

上，連接B尸

(1)求菱形BOFE的面積：

(2)求CG的長度.

【答案】(1)160.(2)472-4

【分析】(1)已知正方形的邊長可求80,根據(jù)BE,DC即可求菱形尸E的面積.

(2)連接OE,可證ABCG且△OCE,得出CG=CE,可求CG的長度.

【解析】解：(1)正方形邊長為4,則8/)='對+82=4后，則菱形8。/石的邊長為4夜,

菱形BDFE的面積為5=472x4=16夜.

答：菱形BQFE的面積為160.

(2)連接OE,則DELBF,

，NC8G+/￡>EC=9()°,

VZCDE+ZDEC=90°,

：.ZCDE=ZCBG,

又?：BC=DC,/BCG=/DCE,

:ABCG出ADCE(ASA),

???CG=CE=BE-BC=4&—4，

【即學(xué)即練4】已知：如圖，在△ABC中，ZACB=90°,AC=BC,。為A5的中點，DE//AC,CE//AD,連

接BE,CD.求證：四邊形CD3E是正方形.

【答案】見解析

【分析】根據(jù)平行四邊形的判定和性質(zhì)得出。斤ACCE=AD,進而利用正方形的判定解答即可.

【解析】證明：?:DE/SC,CE//AD,

??四邊形ADEC是平行四邊形，

\DE=AC,CE=AD,

：AD=DB,

CE二DB,

：CE//DB,

??四邊形CD8F是平行四邊形，

：AC=BC,

?.BC=DE,

??平行四邊形。5EC是矩形，

ZACB=90°,

*.CD=AD=DB,

,?矩形。是正方形.

..?四邊形C08E是正方形.

Q能力拓展

考法01矩形的性質(zhì)與判定

【典例1】如圖，矩形ABC￡>,延長CO至點E,使DE=CD,連接AC,AE,過點C作CP//4E交AD的

延長線于點尸，連接EF.

(1)求證：四邊形ACEE是菱形；

(2)連接8E,當(dāng)AC=4,NACB=30。時，求的的長.

【答案】⑴見解析(2)2/

【分析】(1)根據(jù)矩形的性質(zhì)得到/4OC=90。，求得AE=AC,EF=O根據(jù)平行線的性質(zhì)得到NEAO=

ZAFC,求得4E=EF=4C=CF,于是得到結(jié)論；

(2)由直角三角形的性質(zhì)可求48=2,8c=26,由勾股定理可求解.

【解析】(1)證明：,四邊形ABCO是矩形，

ZADC=90°,

AF±CE,

又1CD=DE,

：.AE=AC,EF=CF,

ZEAD=ZCAD,

AE//CF,

:.ZEAD=ZAFC,

：.ZCAD=ZCFA,

AC-CF,

AE=EF=AC=CF,

四邊形AC正是菱形；

(2)解：AC=4,ZACB=30°,ZABC=90°,

AB=^AC=2,BC=\IACJAB2=26，

CD=AB=DE=2,

:.BE=yJCE2+BC2=V16+12=2?.

考法02菱形的性質(zhì)與判定

【典例2】問題情境：

在數(shù)學(xué)課外小組活動中，老師要求大家對“菱形的剪拼”問題進行探究.

如圖1,將邊長為4,44=45度的菱形紙片A8CZ)沿著對角線80剪開，得到和一B'OC.將/DC

繞著點。逆時針旋轉(zhuǎn).

初步探究：

(1)“愛心小組”將..B'OC繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)O87/A8時，NBD?的度數(shù)為：

再次探究：

(2)“勤奮小組”將一37X?繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)至圖2,連接AC,BB'，此時四邊形ABB'C是矩形，求NBDB1

的度數(shù)；

深入探究：

(3)“創(chuàng)新小組”將-BZ)C繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)至圖3,此時點B,D,B'恰好在一條直線上，延長BA,B'C

交于點E,試判斷四邊形AOCE的形狀，并說明理由.

【答案】(1)67.5°：(2)135°；(3)菱形，見詳解.

【分析】(1)由四邊形48CD是菱形且A8=AD=4,NA=45。知NA8O=/AO8=67.5。，再結(jié)合

可得N8Z>8'=NB=67.5°；

(2)由AB=AO=CD=*C=4,NBAD=NDCB'=45°知NABD=NDB'C=67.5°,根據(jù)四邊形是矩

形得NDBB，=NDB，B=22.5。,由三角形內(nèi)角和定理可得答案；

(3)由AB=4O=C￡>=8，C=4,/DC8，=45。知NA8O=NAOB=NCZ)8，=NO8C=67.5。，根據(jù)

點、B,D,夕恰好在一條直線上及三角形的內(nèi)角和定理得NADC=ND4B=NE=45。，據(jù)此可證4E〃C￡>,

AD//CE,繼而得四邊形AOCE是平行四邊形，結(jié)合A￡>=C￡>=4知四邊形AQCE是菱形.

【解析】解：（1）二?四邊形ABCQ是菱形，且AB=AQ=4,ZA=45°,

1QQO_/A

/./ABD=/ADB=-------------=67.5°,

2

：./BDB'=NB=675°,

故答案為：67.5°；

(2),：AB^AD=CD=B'C^4,N8A￡)=NOC8'=45°,

ZABD=NOB'C=67.5°,

:四邊形/88'C是矩形,

NDBB'=NDB'B=225°,

：.NBDB'=1800-NDBB'-NDB'B=135°；

(3)'：AB=AD=CD=B'C=4,ZBAD=ZDCB'=45°,

：./ABD=NADB=NCDB'=NDB'C=61.5°,

?:點、B,D,夕恰好在一條直線上,

，4ADC=ND4B=N￡=45°,

：.AE//CD,AD//CE,

四邊形ADCE是平行四邊形,

又；4D=CO=4,

?，?四邊形AOCE是菱形.

考法03正方形的性質(zhì)與判定

【典例3］已知在正方形A8C。和正方形CEFG中，直線BG,OE交于點H.

圖1圖2'E

(1)如圖1,當(dāng)8,C,E共線時，求證：BHLDE-,

(2)如圖2,把正方形CEfG繞C點順時針旋轉(zhuǎn)。度(0<a<90),M,N分別為BG,。石的中點，探究

HM,HN,CM之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

【答案】(1)見解析；(2)HM2+HN2=2CM\證明見解析

【分析】(1)根據(jù)正方形的性質(zhì)得到3C=C￡>，CG=CE,N8CG=NDCE=90。，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)

得到NC8G=ZCDE，根據(jù)余角的性質(zhì)即可得到結(jié)論；

(2)根據(jù)正方形的性質(zhì)得到3C=CD,CG=CE,/BCD=/GCE=90。,由全等三.角形的性質(zhì)得到

/CBG=/CDE,BG=DE,求得NMHN=90。,得到=根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CN=CN,

ZBCM=/DCN,根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論.

【解析】(1)證明：在正方形ABC。和正方形C￡FG中，BC=CD,CG=CE,/BCG=4DCE=90。,

..^BCG^DCE(SAS),

4CBG=/CDE,

ZCDE+ZDEC=90°,

.,.ZHBE+ZBEH=9()。，

.?./BHE=90。,

:.BHLDE.

(2)解：結(jié)論：MH?+HN?=2CM?,

理由：在正方形A8CQ和正方形CEFG中，BC=CD,CG=CE,NBCD=/GCE=90。,

/BCG=/DCE,

M3CG^ADCE(SAS),

:./CBG=/CDE,BG=DE,

ZDPH=/CPM,

:.ZDHP=ZBCP=90Pf

/.ZAtfW=90°,

M,N分別為BG,。石的中點，

:.BM=-BG,DN=>DE,

22

??.BM=DN,

BC=CD,

ABCM三ADCN(SAS),

:.CM=CN,ZBCM=ZDCN,

.".ZMC7V=ZBCP=9O°,

:.MH、HN?=CM?+CN?=2CM?;

M分層提分

題組A基礎(chǔ)過關(guān)練

1.下列命題中是真命題的選項是（）

A.一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形

B.對角線互相垂直且相等的四邊形是正方形

C.對角線相等的平行四邊形是矩形

D.三條邊都相等的四邊形是菱形

【答案】C

【分析】利用平行四邊形、矩形、菱形及正方形的判定方法分別判斷后，即可確定正確的選項.

【解析】解：A.一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，原命題是假命題，不符合題意；B.對角線

互相平分、垂直且相等的四邊形是正方形，原命題是假命題，不符合題意；C.對角線相等的平行四邊形是

矩形，是真命題，符合題意；D.四條邊都相等的四邊形是菱形，原命題是假命題，不符合題意；故答案選：

C.

2.如圖，矩形A8C。中，DELAC^-E,若N4DE=2NEOC,則/BOE的度數(shù)為（）

【答案】B

【分析】根據(jù)已知條件可得NADE以及NEDC的度數(shù)，然后求出a8c各角的度數(shù)便可求出N8DE.

【解析】解：在矩形A8CD中，ZADC=90°,

"?ZADE=2ZEDC,

AZADE=60°,NEDC=30。,

'：DELAC,

：.ZDCE-90°-30°-60°.

?/OD=OC,

，NQDC=NOa>=60。，

/.ZDOC=60°,

NBDE=90°-ZDOC=30°.

故選：B.

3.如圖，四邊形ABC。是菱形，AC與8。相交于點O,添加一個條件：,可使它成為正方形.

【答案】BAD=90

【分析】根據(jù)“有一個角是直角的菱形是正方形“可得到添加的條件.

【解析】解：由于四邊形A8CZ）是菱形，

如果NBAD=90,

那么四邊形ABC。是正方形.

故答案為：ZBAD=90.

4.一個菱形的兩條對角線的長分別為3和6,這個菱形的面積是.

【答案】9

【分析】根據(jù)菱形面積的計算公式：兩對角線乘積的一半，即可計算出面積.

【解析】S=gx3x6=9

故答案為：9.

5.如圖，在菱形中，點E'為邊A8的中點，且力EJ_A8,則NABC的大小為度.

【答案】120

【分析】連接班），根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，可得AQ=8￡>,從而得到△A8O是等邊三角形，即可求解.

【解析】解：如圖，連接BZ）,

在菱形ABCD中，AD=AB,ZBAD+ZABC^18O°

丁點E為邊A8的中點，且DEJ_AB,

???QE垂直平分48,

：.AD=BD,

：.AD=BD^AB,

，△A8。是等邊三角形，

ZAW=60°,

二ZABC=\20o.

故答案為：120.

題組B能力提升練

1.下列條件中，不能判定平行四邊形A8C。為矩形的是（）

A.NA=NCB.ZA=ZBC.AC=BDD.ABLBC

【答案】A

【分析】由矩形的判定方法分別對各個選項進行判斷，即可得出結(jié)論.

【解析】解：A、在nABCO,若NA=NC,

則四邊形A8CO還是平行四邊形；故選項A符合題意；B、在nABCZ）中，AD//BC,

：.NA+/B=180。，

二NA=NB=90°,

...□ABCD是矩形，故選項B不符合題意；C、在。ABCO中，AC=BD,

則nABCO是矩形；故選項C不符合題意；D、在DA8CC中，AB1BC,

：.4BC=90。，

.?戶ABCO是矩形，故選項D不符合題意；故選：A.

2.如圖，點E、F分別在正方形A8CD的邊QC、8c上，AGLEF,垂足為G,且AG=AB,則/EAF=（）

度

D

A.30°B.45°C.50°D.60°

【答案】B

【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)以及乩判定，可得出AABF/ZkAGF,故有NBAF=NGAF,再證明

^AGE^/XADE,有NGAE=/DAE,即可求/￡4F=45°

【解析】解：在正方形ABC。中，ZB=ZD=ZBAD=90°,AB=AD,

,：AGLEF,：.ZAGF=ZAGE=90°,

\'AG=AB,：.AG=AB=AD,

在Rt&ABF與/?/△4GF中，

\AB=AG

[AF^AF

：./\ABF^/\AGF,

：.ZBAF=ZGAF,

同理可得：△AGEt△ADE,

/.ZGAE=ZDAE；

：.ZEAF=ZEAG+ZFAG=-ZBAD=45°,

2

.?.NE4尸=45°

故選：B

3.已知，如圖長方形ABC。中，AB=3,AD=9,將此長方形折疊，使點8與點。重合，折痕為EF,則

8E尸的面積為（）

【答案】B

【分析】根據(jù)翻折的性質(zhì)可得，BE=DE,設(shè)AE=x,則EO=8E=9-x,在直角△A8E中，根據(jù)勾股定理可

得32+/=(9-x)2,即可得到8E的長度，由翻折性質(zhì)可得，NBEF=NFE。,由矩形的性質(zhì)可得/尸EO

=ZBFE,即可得出ABE尸是等腰三角形，BE=BF,即可得出答案.

【解析】解：設(shè)AE=x,則瓦＞=8E=9-x,

根據(jù)勾股定理可得，32+/=(9-x)2,

解得：x—4,

由翻折性質(zhì)可得，NBEF=NFED,

'：AD//BC,

：.ZFED=ZBFE,

:.NBEF=/BFE,

：.BE=BF=5,

：.SABFE=^X5X3=7.5.

故選：B.

4.如圖，菱形ABC。的對角線AC、80相交于點。，AC=6,BD=8,EF為過點。的一條直線，則圖

中陰影部分的面積為()

A.4B.6C.8D.12

【答案】B

【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)可證出ACFOtAAEO,可將陰影部分面積轉(zhuǎn)化為ABOC的面積，根據(jù)菱形的面積

公式計算即可.

【解析】解：?四邊形4)8為菱形，

:.OC=OA,AB//CD,NFCO=NOAE,

ZFOC=ZAOE,

CFO=.AEO[ASA),

???q°CFO―~q°AOE，

??SCFO+SBOF=SBOC，

S=—x--AC-BD=—x—x6x8=6

8no"r4242

故選：B.

5.如圖，菱形ABC。的面積為24cm2,對角線8。長6cm,點。為8。的中點，過點A作AEJ_BC交C8

的延長線于點E,連接0E,則線段。石的長度是（）

A.3cmB.4cmC.4.8cmD.5cm

【答案】B

【分析】由菱形的性質(zhì)得出BD=6cm,由菱形的面積得出AC=8cm,再由直角三角形斜邊上的中線等于斜

邊的一半即可得出結(jié)果.

【解析】解：???四邊形48。。是菱形，

ABD1AC,

VBD=6cm,S^^ABCD=yACxBD=24cm2,

?"C=8cm,

VAE±BC,

JZAEC=90°,

OE=yAC=4cm,

故選：B.

6.如圖，正方形A8CO的兩條對角線AC,8。相交于點。，點E在8。上，KBE=ADf則NACE的度數(shù)

為（）

【答案】A

【分析】利用正方形的性質(zhì)證明/。8。=45。和8￡=BC,進而證明NB￡C=67.5。.

【解析】解：；四邊形ABC。是正方形，

：.BC=AD,ZDBC=45°,

,/BE^AD,

：.BE=BC,

：.ZBEC=ZBCE=(180°-45°)+2=67.5°,

VAC1BD,

二/COE=90。，

，ZAC￡=90°-NBEC=90。-67.5°=22.5°,

故選：A.

7.如圖，在矩形A8CD中，ZA5C的角平分線BE交AO于點E,連接EC,EC恰好平分/BED,若A3=2,

則DE的長為.

【答案】272-2

［分析］根據(jù)矩形的性質(zhì)得ADUBC,AD=BC,NA=90。，根據(jù)BE是ZABC的角平分線，得

ZABE=ZCBE=45°,則NABE=NCBE=45。，AE=AB=2,在用中，根據(jù)勾股定理得BE=20,

根據(jù)平行線的性質(zhì)得NDEC=N￡CB,由因為EC平分則/8￡C=NOEC,等量代換得N8EC=NECB,

所以BC=BE=2g，AD=2也，即可得.

【解析】解：：四邊形ABC。為矩形,

/.AD//BC,AD=BC,ZA=90°.

VAB=2.8E是N/IBC的角平分線，

二ZABE=ZCBE=45°,

AE=AB=2,

在吊84E中，根據(jù)勾股定理得，

BE=>JAE2+AB2=V22+22=272，

"?AD/IBC,

NDEC=NECB,

■:EC平分/BED,

二NBEC=/DEC,

：.NBEC=NECB,

，BC=BE=2&,

二AD=2y[2,

DE=AD-AE=2及-2，

故答案為：2也-2.

8.如圖，在矩形48。中，對角線AC,80相交于點。，若NAOB=60。，A3=4cm,則AC的長為

【分析】由四邊形A88為矩形，根據(jù)矩形的對角線互相平分且相等，可得OA=OB,由NAO3=60。，根

據(jù)有一個角為60。的等腰三角形為等邊三角形可得三角形A05為等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的每一個角

都相等都為60?？傻贸?A0為60。，在直角三角形ABC中，根據(jù)直角三角形的兩個銳角互余可得ZACB為

30。，根據(jù)30。角所對的直角邊等于斜邊的一半，由的長可得出AC的長.

【解析】解：?四邊形A8C。為矩形，

:.OA=OC,OB=OD'HAC=BD,ZABC=90°,

:.OA=OB=OC=OD,

又-ZAOB=60°,

.?.A4OB為等邊三角形，

ZBAO=60°,

在直角三角形43c中，Z4BC=90°,ZBA<9=60°.

ZACB=30°,

AB=4cm,

則AC=2AB=8cm.

故答案為：8.

9.如圖，在矩形A5CD中，AB=5,BC=4,將矩形43CD翻折，使得點B落在8邊上的點E處，折痕

AF交BC于點、F,則/C=

3

【答案】-

【分析】在RtXAOE中，AD2+OOFE2,可得DE=3,CE=CD-DE=2,設(shè)FC=x,則EF=BC-FC=4-x,在R3ECF

中，E^EC^FC2,可得(4-x)2=22+x2,解方程即可.

【解析】解；△A8F也△AEF,

：.AE=AB=5,

在矩形A8C￡>中，AD=BC=4,

在/?/△ADE中，

Aiy+DE2=AE2,

：.DE=3,CE=CD-DE=2,

設(shè)FC=x,則EF=BC-FC=4-x,

在RtAECF中,

￡F2=EC2+FC2,

即(4-x)2=22+x2,

8k12,

3

故此答案為

10.如圖，以邊長為2的正方形的中心。為端點，引兩條相互垂直的射線，分別與正方形的邊交于A、B

兩點，則線段AB長度的最小值為.

【答案】72

【分析】根據(jù)正方形的對角線平分一組對角線可得NOC0=NODB=45。，正方形的對角線互相垂直平分且相

等可得NCOZ)=90。，OC=OD,然后根據(jù)同角的余角相等求出NCOA=NOO8,再利用“ASA”證明△CO4和

△OOB全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得OA=OB,從而得到AAOB是等腰直角三角形，再根據(jù)垂線

段最短可得OA_LCD時，。4最小，然后求出OA,再根據(jù)等腰直角三角形的斜邊等于直角邊的應(yīng)倍解答.

【解析】解：如圖，

??,四邊形CDEF是正方形,

NOCD=NODB=45°,NCO￡>=90",OC=OD,

OA1OB

乙4OB=90',

ZCOA+NAO。=90°,ZAOD+ZDOB=90°

:.ZCOA=ZDOB,

在AC。1與ADO5中,

NOCA=ZODB

?OC=OD

ZAOC=ZDOB

:.\COA^\DOB{ASA),

OA=OB,

,：NA08=90。，

.??△A08是等腰直角三角形，

由勾股定理得：A5=JOA?+Qfi2=叵OA，

要使AB最小，只要OA取最小值即可，

根據(jù)垂線段最短，O4J_CO時，0A最小，

:正方形CDEF,

：.FC±CD,0D=0F,

：.CA=DA,

OA=—CF=1,

2

?,AB=y/2,OA--\/2?

11.如圖，在正方形ABC。中，點尸為CO上一點，BF與AC交于點E.

(1)4cB的大小=°；

⑵求證：AABE^^ADE；

(3)若NCB尸=20。，則NAED的大小=°.

【答案】(1)45(2)證明見解析(3)65

【分析】(1)由正方形的性質(zhì)求解即可；

(2)由正方形A8CO可知，AB=AD,ZEAB=ZEAD,進而可證*E4s四,E4Q(SAS')；

(3)由一E4B咨E4￡＞可知Z4ED=NA￡B,由三角形外角的性質(zhì)可知=N￡BC+/3CE,計算求解

即可.

【解析】⑴解：?.?四邊形ABC。是正方形，

/.NBCD=90°,ZACB--ZBCD=1x90°=45°

22

故答案為45.

⑵證明：：四邊形4BCO是正方形

/.AB=AD,ZEAB=ZEAD

在，.E鉆和中

EA=EA

；,ZEAB=ZEAD

AB=AD

Ai.EAB^.EAD(SAS).

(3)解：EAB^EAD

二ZAED=ZAEB

,?ZAEB=ZEBC+ZBCE=20°+45°=65°

二ZAED=65°

故答案為65.

12.已知：如圖，菱形ABC。中，N8=60。，點E,尸在邊8C,CD上，且/E4F=60。；求證：AE=AF.

【答案】見解析

【分析】連接AC,如圖，根據(jù)菱形的性質(zhì)得4B=8C,而/B=60。,則可判定A48C為等邊三角形，得到N2=60。,

Zl+Z4=60°,AC=AB,易得NACF=60。，Z1=Z3,然后利用“ASA”可證明△AEB^/\AFC,于是得到AE=AF.

【解析】解：證明：連接AC,如圖，

???四邊形A8C。為菱形,

：.AB=BC,

VZB=60°,

：2BC為等邊三角形，

AZ2=60°,Zl+Z4=60°,AC=AB,

：.ZACF=60°,

'：NEAF=60°,即Z3+Z4=60°,

.*.N1=N3,

在ZMEB和△AFC中，

Z1=Z3

<AB=AC,

ZB=NACD

：.AAEB^Z\AFC,

：.AE=AF.

13.如圖，在平行四邊形4BCD中，BE1AD,BFLCD,垂足分別為E,F,且AE=CF.

(1)求證：平行四邊形ABC。是菱形；

(2)若08=10,AB=\3,求平行四邊形ABC。的面積.

【答案】(1)見解析(2)120

【分析】(1)根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得NA=NC,利用全等三角形的判定和性質(zhì)得出aMEMCB尸，

A8=C8,依據(jù)菱形的判定定理(一組鄰邊相等的平行四邊形的菱形)即可證明；

(2)連接AC,交BO于點”，利用菱形的性質(zhì)及勾股定理可得AC=2A，=24,再根據(jù)菱形的面積公式求

解即可得.

【解析】(1)證明：：四邊形ABCO是平行四邊形，

，ZA=NC,

VBE±AD，BFLCD,

：.ZAEB=ZCFB=90°,

在，ABE和-CM中，

ZA=ZC

-AE=CF,

NAEB=ZCFB

.ABEmCBF,

：.AB=CB,

，平行四邊形ABC。是菱形；

⑵解：如圖所示：連接AC,交BD于點、H,

：.AC1BD,

VAB-13,3￡>=10,

BH=DH=5,

在用A8H中，

AH=-JAB2-BH2=V132-52=12-

/?AC=2AH=24,

二平行四邊形ABCD的面積為：S=-ACBD=-x24xl0=120.

22

14.如圖，AM//BN,C是BN上一點，8力平分NABN且過AC的中點。，交AM于點D,DELBD,交BN

于點E.

(1)求證：四邊形A8CZ)是菱形.

⑵若DE=AB=2,求菱形ABCD的面積.

【答案】⑴見解析⑵2百

【分析】（1）由ASA可證明△AOOg/\C3O,再證明四邊形ABC。是平行四邊形，再證明AO=A5,即可得

出結(jié)論；

（2）由菱形的性質(zhì)得出4CL3。，證明四邊形ACE。是平行四邊形，得出AC=DE=2,AD=EC,由菱形的

性質(zhì)得出￡C=C3=4B=2,得出瑁片4,由勾股定理得80=26，即可得出答案.

【解析】（1）解：證明：???點。是AC的中點，

:,AO=CO,

,:AM〃BN,

：.ZDAC=ZACBf

在△4。。和^COB中，

"AO=4BCO

AO=CO,

乙AOD=CCOB

:?△ADOQXCBOCASA）,

:?AD=CB,

又?：AM〃BN,

???四邊形ABCD是平行四邊形，

?:AM//BN,

：./ADB=NCBD,

BD平分NABN,

：./ABD=/CBD,

：./ABD=/ADB,

：.AD=AB,

???平行四邊形ABC。是菱形；

（2）由（1）得四邊形是菱形，

：.AC1.BD,AD=CB,

又阻

:?AC〃DE,

,:AM〃BN,

???四邊形ACED是平行四邊形，

：.AC=DE=2,AD=EC,

,EC=CB,

???四邊形ABC。是菱形，

:?EC=CB=AB=2,

AEB=4,

在&ADEB中,由勾股定理得BD=/BE2-DE?=2百，

：.SABCD=^AC-BD=$2x2百=26.

題組C培優(yōu)拔尖練

1.如圖，矩形ABC。中，4?=3,點E、尸分別在邊AB、C。上，點。是EF與4c的交點，且點。是線

段EF的中點，沿AF,CE折疊，使AD.CB都落在AC上，且D、B恰與點。重合.下列結(jié)論：①ZDC4=30；

②點E是AB的中點；③四邊形AECF是菱形；④AO的長是6.其中正確的結(jié)論有().

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】C

【分析】由四邊形48CD是矩形，。是E尸的平分點C尸〃AE,可得OF=OE,可知。是AC的平分點，

可證AO尸/ACOE(SAS),OE=OF,AO=AO,可得ZAOP=NCOE=90°,貝hAO/7絲AAOE(SAS),

可知ND4F=NOAE=NOAF=gx9()o=30。，則①正確；因為"C4=30。=NQ4E,可得AE=2QE,由

△A8翻折可知，/.AOFmMOD以及，BCEmCOE,所以AOF/\AODBCE,COE,

OE=BE,則E是AB的三等分點，則②錯誤；因為AC、E尸相互垂直平分，AE=AF,四邊形AEC產(chǎn)是菱

形，則③正確；由OF=8E=：A8=1,ND4尸=30?？傻肁F=2,由此可知AD=故④正確.

【解析】解：根據(jù)題意得：Q4=AQ,OC=8C,

?.?四邊形A5CD是矩形，

ACF//AE,AD=BC.

：.CM=OC,

?.?0是EF的平分點，

OF=OE,

■:一AOF安aCOE(SAS),

：?OE=OF,AO=AO,

：.NAOF=NCOE=90。,

：.^AOF^/^AOE(SAS),

NDAF=NOAE=ZOAF=」x90°=30°,

3

.?.①正確；

/.ZDC4=30°=ZGWE,

AE=2OE,

；二AO尸是由^AOD翻折的，

A^AOF/\AOD,同理，BCESE,

AOFgAAQD〈BCE絲^COE,

二OE=BE,

是A8的三等分點，

②錯誤；

；AC、EF相互垂直平分，AE=AF,

.??四邊形AECF是菱形，

.?.③正確；

VDF=BE=-AB=\,ZDAF=30°,，AF=2,

3

AD=C，

，④正確，

故選：C.

2.如圖，在矩形紙片ABCD中，AB=6,BC=8,點M為AB上一點，將△BCM沿CM翻折至△ECM,ME

與A。相交于點G,CE與AQ相交于點F,且AG=GE,則的長度是()

B

A,史

B.4D.5

5

【答案】C

【分析】由ASA證明△GAM絲/XGEF(ASA),得出GM=GF,4F=ME=8M=x,E/M4M=6-x,因此。尸=8-x,

CF=x+2,在加△OFC中，由勾股定理得出方程，解方程即可.

【解析】解：設(shè)BM=x,

由折疊的性質(zhì)得：ZE=ZB=90°=ZA,

ZA=ZE

在△GAM和△GEF中，,AG=GE

ZAGM=NEGF

.,.△GAM^AGEF(/ISA),

GM=GF,

AF-ME=BM=x,EF=AM=6-x,

二。尸=8-x,CF=8-(6-x)=x+2,

在孜△OFC中，由勾股定理得：（x+2）2=（8-x）2+62,

24

解得：X=y,

，BM=—.

5

故選：C.

3.如圖，正方形A3CQ,對角線AC,8。相交于點O,過點3作NA30的角平分線交QA于點￡過點A

作AGLBE,垂足為F,交8。于點G,連接EG,則LA8G：S”BEG等于（）

A.3：5B.y/2.-2C.1：2D.(及+1)：1

【答案】D

【分析】由BE平分NABZ）,8/_LAG得加=8G,根據(jù)正方形的性質(zhì)得NBQE=NAOG=90。，BO=AO,

故/BEO=ZAGO,根據(jù)AAS得石壬4X7,故EO=GO,設(shè)AB=A￡>=3G=M進而可用含。的式子表

示出線段AO和E0的長，要求SA.：S.G的比值即求A0和EO的比值，代入即可求解.

【解析】平分NABO,BF±AG,

??..ABG是等腰三角形，

???BA=BG,

四邊形ABC。是正方形，

:?/BOE=ZAOG=90。,BO=AO,

:.ZBOE=ZBFG=90°f

：./BEO=ZAGO,

在/\BOE與,AOG中，

ZBEO=/AGO

</BOE=NAOG,

BO=AO

：..BOE^AAOG(AAS)t

：.EO=GO,

}^AB=AD=BG=2a1則AC=8。=2缶，

*'?AO=BO—J2a，

EO=GO=BG-BO=(2-0)a,

?；s7ii>oABC2=LBGAO，sBEC2=、BGEO，

,SABG：SBEG=AO:EO='j2a:(2-y/2)a=(>/2+\yA.

故選：D.

4.如圖，在給定的正方形ABC。中，點E從點8出發(fā)，沿邊8c方向向終點C運動，DF_LA￡交AB于點

F,以FD,FE為鄰邊構(gòu)造平行四邊形DFEP，連接CP,則ZDFE+ZEPC的度數(shù)的變化情況是()

A.一直減小B.一直減小后增大C.一直不變D.先增大后減小

【答案】A

【分析】根據(jù)題意/力尸￡+/￡尸。=/。/＞。，作戶”，8。交8。的延長線于“，證明CP是N0CH的角平分

線即可解決問題.

【解析】解：作尸”，3。交8。的延長線于”，

???四邊形ABC。是正方形，

JAD=AB=BC,

ZDAF=ZABE=ZDCB=ZDCH=90°f

■:DFLAE.

：.ZBAE+Z/ME=90°,ZADF+ZDAE=90°,

：?ZBAE=ZADF，

:.AADF^ABAE(ASA),

,DF=AE,

???四邊形。在P是平行四邊形，

:?DF=PE,ZDFE=/DPE,

VZBAE+ZAEB=90°,ZAEB+NPEH=90。,

???ZBAE=ZPEH,

VZAB￡=Z//=90°,AE=EP.

：./SABE=AEHP(AAS)y

:?PH=BE,AB=EH=BC,

：.BE=CH=PH,

：.NPCH=45。,

*//DC”=90。，

:.NDCP=/PCH,

???。尸是ZDCH的角平分線,

點尸的運動軌跡是ZDCH的角平分線,

,?ZDFE+NEPC=ZDPE+ZEPC=NDPC,

由圖可知，點P從點。開始運動，所以NDPC一直減小，

故選：A.

5.如圖，己知E為鄰邊相等的平行四邊形4BCO的邊上一點，且/D4E=/B=8O。，那么NCDE的度數(shù)

為（）

A.20°B.25°C.30°D.35°

【答案】C

【分析】依題意得出AE=AB=AD,ZADE=50°,又因為/8=80。故可推出/AOC=80。，NCDE=NADC-NADE,

從而求解.

【解析】?，4￡>〃BC,

，ZAEB=ZDAE=ZB=80°,

：.AE=AB=AD,

在三角形AEZ）中，AE=AD,ZDAE=80°,

：.ZADE=50°,

又：N8=80°,

，ZADC=80°,

ZCDE^ZADC-ZADE=30°.

故選：C.

6.如圖，在四邊形ABCD中，AD//BC,BC=6,△BOC面積為21,A8的垂直平分線MN分別交A8,AC

于點M,N,若點尸和點。分別是線段MN和8c邊上的動點，則PB+P。的最小值為（）

A.5B.6C.7D.8

【答案】C

【分析】連接A。，過點D作。HL3C,根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得到幺=尸8,再根據(jù)

P8+PQ=AP+PQ2AQ計算即可；

［解析］連接AQ,過點D作。H,

,:BC=6,ABOC面積為21,

：.-.BC^DH=2\,

2

，0/7=7,

「MV垂直平分AB,

/.PA=PB,

二PB+PQ=AP+PQ>AQ,

二當(dāng)4。的值最小時，P8+PQ的值最小，根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)AQLBC時，A。的值最小，

?/AD//BC,

：.AQ=DH^1,

??.PB+P。的值最小值為7；

故選C.

7.如圖，在菱形A8CO中，ZAfiC=60°,E為A8邊的中點，P為對角線B。上任意一點，AB=4,則PE+B4

的最小值為.

AD

【答案】2G

【分析】根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，首先準(zhǔn)確找到點P的位置，根據(jù)菱形的性