2021高考數(shù)學試題解析匯編

2021年全國乙卷高考理科數(shù)學試題解析

1.設(shè)2（z+z）+3（z-z）=4+6i,則2=（）

A.l-2zB.1+2;C.1+zD.l-i

【答案】C

【解析】設(shè)2=。+應(yīng)，則之=a-初，則2（z+z）+3（z-z）=4a+64=4+6i,

4a=4

所以，<，解得。=/?=1,因此，z=1+z.

6b=6

故選：C.

2.已知集合5={s|s=2〃+l,〃eZ},T={f,=4〃+l,〃eZ},則S?T（）

A.0B.SC.TD.Z

【答案】C

【解析】任取fwT,則f=4〃+l=2?（2〃）+l,其中〃eZ,所以，teS,故TqS,

因此，5T=T.

故選：c.

|Al

3.已知命題p:lr￡R,sinxvl；命題q:X/x￡R,e>1，則下列命題中為真命題的是

（）

A.PMB.FMC.D.

」（pvq）

【答案】A

【解析】由于一l<sinxWl,所以命題〃為真命題；

由于國之（），所以e?21，所以命題4為真命題；

所以〃為真命題，~P、p、―q、-i（pvq）為假命題.

故選：A.

1—x

4.設(shè)函數(shù)/（幻=——，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是（）

1+x

A.f（X—1）—1B./（%—1）+1C.f（X+1）—1D.

仆+1）+1

【答案】B

【解析】分別求出選項的函數(shù)解析式，再利用奇函數(shù)的定義即可.

1~r7

【解析】由題意可得/（幻=——=-1+——，

l+x1+X

對于A,-1=2-2不是奇函數(shù)；

x

2

對于B,7（x-l）+l=一是奇函數(shù)；

X

2

對于C,/（x+l）-l=------2,定義域不關(guān)于原點對稱，不是奇函數(shù)；

x+2

2

對于D,/（X+1）+1=——，定義域不關(guān)于原點對稱，不是奇函數(shù).

x+2

故選：B

【點睛】本題主要考查奇函數(shù)定義，考查學生對概念的理解，是一道容易題.

5.在正方體ABC?！狝4G2中，尸為耳鼻的中點，則直線m與AA所成的角為（）

兀兀兀兀

A.-B.-C.-D.一

2346

【答案】D

【解析】平移直線AA至3G，將直線與A。所成的角轉(zhuǎn)化為依與3G所成的角，解

三角形即可.

【解析】

如圖，連接因為A2〃BC1,

所以NPBG或其補角為直線PB與所成的角,

因為BB11平面A4GA,所以BB|_LPG，又PCi±BR,881c4。=與，

所以PG_L平面PBB、,所以PC,1PB,

設(shè)正方體棱長為2,則BG=2&,PG與=J5,

sinZPBC,=所以NPBG=f.

6cl26

故選：D

6.將5名北京冬奧會志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺4個項目進行培訓，

每名志愿者只分配到1個項目，每個項目至少分配1名志愿者，則不同的分配方案共有()

A.60種B.120種C.240種D.480種

【答案】C

【解析】先確定有一個項目中分配2名志愿者，其余各項目中分配1名志愿者，然后利用組

合，排列，乘法原理求得.

【解析】根據(jù)題意，有一個項目中分配2名志愿者，其余各項目中分配1名志愿者，可以先

從5名志愿者中任選2人，組成一個小組，有C；種選法；然后連同其余三人，看成四個元

素，四個項目看成四個不同的位置，四個不同的元素在四個不同的位置的排列方法數(shù)有4!

種，根據(jù)乘法原理，完成這件事，共有C；x4!=240種不同的分配方案，

故選：C.

【點睛】本題考查排列組合的應(yīng)用問題，屬基礎(chǔ)題，關(guān)鍵是首先確定人數(shù)的分配情況，然后

利用先選后排思想求解.

7.把函數(shù)y=/(x)圖像上所有點的橫坐標縮短到原來的;倍，縱坐標不變，再把所得曲

線向右平移(個單位長度，得到函數(shù)〉=5拘［％一?)的圖像，則/(x)=()

【答案】B

【解析】解法一：從函數(shù)y=/(x)的圖象出發(fā)，按照已知的變換順序，逐次變換，得到

y=制，即得了2^-yjj=sin^-^J,再利用換元思想求得y=f(x)的

解析表達式；

解法二：從函數(shù)y=sin|x-(

出發(fā)，逆向?qū)嵤└鞑阶儞Q，利用平移伸縮變換法則得到

y=/(x)的解析表達式.

【解析】解法一：函數(shù)y=/(x)圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的g倍，縱坐標不變,

TT

得到y(tǒng)=/(2x)的圖象，再把所得曲線向右平移1個單位長度，應(yīng)當?shù)玫?/p>

y=/2(》一號)的圖象，

兀、

根據(jù)已知得到了函數(shù)y=sin|x-?

的圖象，所以/2x-

令T嶗兀7171

，則1=—H——，尤---=—H---,

234212

所以/(/)=sing+春，所以/(x)=sin：+專

解法二：由已知的函數(shù)y=sin逆向變換，

[4J

第一步：向左平移與個單位長度，得到y(tǒng)=sin[無+0-?J=sinx+^|J的圖象，

第二步：圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，得到^=5皿1]+5)的

圖象，

即為y=/(x)的圖象，所以/(x)=sing+行.

故選：B.

【點睛】本題考查三角函數(shù)的圖象的平移和伸縮變換，屬基礎(chǔ)題，可以正向變換，也可以逆

向變換求解，關(guān)鍵是要注意每一步變換，對應(yīng)的解析式中都是X的變換，圖象向左平移。個

單位，對應(yīng)X替換成X+4,圖象向右平移a個單位，對應(yīng)X替換成X-。，牢記“左加右減”

X

口訣；圖象上每個點的橫坐標伸長或縮短到原來的4倍，對應(yīng)解析式中X替換成一.

K

7

8.在區(qū)間(0,1)與(1,2)中各隨機取1個數(shù)，則兩數(shù)之和大于一的概率為()

4

,723八92

A.-B.—C.—D."

932329

【答案】B

【解析】設(shè)從區(qū)間(0,1),(1,2)中隨機取出的數(shù)分別為x,y,則實驗的所有結(jié)果構(gòu)成區(qū)域為

Q={(x,y)0<x<l,l<y<2},設(shè)事件A表示兩數(shù)之和大于]，則構(gòu)成的區(qū)域為

A="x,y)[0<x<l,l<y(2,x+y)：},分別求出O,A對應(yīng)的區(qū)域面積，根據(jù)幾何概型

的的概率公式即可解出.

fy

……

【解析】如圖所示:

?—KT------------

7

?：!、尸：4

：jI

\di\

設(shè)從區(qū)間(0,1),(1,2)中隨機取出的數(shù)分別為x,y,則實驗的所有結(jié)果構(gòu)成區(qū)域為

o={(x,y)[o<x<i[<y<2},其面積為%=ixi=i.

設(shè)事件A表示兩數(shù)之和大于(，則構(gòu)成的區(qū)域為A=j(x,j)|o<x<l,l<y[2,x+,

i3323S23

即圖中的陰影部分，其面積為S.=l--x-x-=—,所以P(A)=d=3.

24432SQ32

故選：B.

【點睛】本題主要考查利用線性規(guī)劃解決幾何概型中的面積問題，解題關(guān)鍵是準確求出事件

A對應(yīng)的區(qū)域面積，即可順利解出.

9.魏晉時劉徽撰寫的《海島算經(jīng)》是關(guān)測量的數(shù)學著作，其中第一題是測海島的高.如圖，

點￡,H,G在水平線AC上，￡>￡和FG是兩個垂直于水平面且等高的測量標桿的高度,

稱為“表高”，EG稱為“表距”，GC和E”都稱為“表目距”，GC與EH的差稱為“表

目距的差”則海島的高()

表高x表距主一D表高x表距主一

A.表目距的差卡表茴B.'Afr一表同1

表目距QC的差

表高X表距表高x表距

C.+表距D.

表目距的差表目距的差

【答案】A

【解析】利用平面相似的有關(guān)知識以及合分比性質(zhì)即可解出.

【解析】如圖所示：

入TKs，，一r”DEEHFGCGhcl叱,，

由平面相似可知，——=——,——=——，而DE=FG,所以

ABAHABAC

DEEHCGCG—EHCG—EH

而CH=CE-EH=CG—EH+EG,

而一行一就一AC-AH~-CH

表高*表距,主直

映AB=CG-EH+EGXDE:互匹+DE表目距的差+表同.

CG-EHCG-EH

故選：A.

【點睛】本題解題關(guān)鍵是通過相似建立比例式，圍繞所求目標進行轉(zhuǎn)化即可解出.

10.設(shè)GHO,若x=a為函數(shù)〃x)=a(x—a)2(x—與的極大值點，則()

A.a<bB.a>bC.ah<erD.

ab>a1

【答案】D

【解析】結(jié)合對a進行分類討論，畫出/(x)圖象，由此確定正確選項.

【解析】若。=人則/(x)=a(x—a)3為單調(diào)函數(shù)，無極值點，不符合題意，故標b.

依題意，x=a為函數(shù)/(%)=G(%一op(X一人)的極大值點，

當a<0時，由x>b,〃x)W(),畫出〃x)的圖象如下圖所示：

由圖可知b<a,a<0,故出?〉/.

當a>0時，由x>b時，.f(x)>0,畫出/(x)的圖象如下圖所示:

由圖可知b>a,a>Q)故ah〉/.

綜上所述，ab〉"成立.

故選：D

【點睛】本小題主要考查三次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想方法可以快速解

答.

22

11.設(shè)5是橢圓C:「+==1（。>人>0）的上頂點，若C上的任意一點尸都滿足

ah

IPB|<2b,則C的離心率的取值范圍是（）

A.修,1]C.（o當D.fo,|

L2JL2）I2「I2」

【答案】C

【解析】設(shè)P（x°，%），由B（O,b），根據(jù)兩點間的距離公式表示出|P8|,分類討論求出\PB\

的最大值，再構(gòu)建齊次不等式，解出即可.

22

222

【解析】設(shè)尸（毛,%）,由B（0,8），因為其+與=1,a=b+c>所以

ab

（2\2/?3\214

222

|P5|=x（）+（y0-b\=a1一捐+（y0-^）'%+不+—+a~+b,

\J"ICJc

因為一人<%）4匕，當—￡■4—b,即。2“2時，歸求,、=4〃，B|]|PB|m[x=2b,符合題

意，由/2c?可得q222c2,即0<e<也；

2

當—4>—b,即戶<c2時，|P51=^-+a2+b2,即/<4〃，化簡得，

c21lmaxc2c2

（c2-&2）2<0,顯然該不等式不成立.

故選：C.

【點睛】本題解題關(guān)鍵是如何求出|產(chǎn)邳的最大值，利用二次函數(shù)求指定區(qū)間上的最值，要

根據(jù)定義域討論函數(shù)的單調(diào)性從而確定最值.

12.設(shè)a=21nl.01,/?=In1.021c=A/1.04-1.則（）

A.a<b<cB.b<c<aC.h<a<cD.

c<a<h

【答案】B

【解析】利用對數(shù)的運算和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性不難對a,b的大小作出判定，對于a與c,b

與c的大小關(guān)系，將0.01換成不分別構(gòu)造函數(shù)

/(x)=21n(l+x)-Jl+4x+l,g(x)=ln(l+2x)-JHH+l,利用導數(shù)解析其在0的

右側(cè)包括0.01的較小范圍內(nèi)的單調(diào)性，結(jié)合F(0)=0,g(0)=0即可得出a與c,。與c的大小

關(guān)系.

【解析】。=21n1.01=In1.Of=m(1+O.O1/=In(1+2xO.Ol+O.Of)>m1.02=b,

所以bva;

下面比較c與的大小關(guān)系

記/(=2如(1+。)-Jl+4x+1,則

"0)=0,f'(x)

由于l+4x-(l+x)2=2x-j?=x(2-x)

所以當0<K2時，l+4x-(l+x『>0,即Jl+4x>(l+x),/'(x)>0,

所以/(x)在［0,2］上單調(diào)遞增，

所以/(().()1)>/(0)=0即21nl.01>VT5?—1,即a>c;

令g(x)=ln(l+2x)-Jl+4x+1,則

222(Jl+4x-1—2.x

g(°)=°，g'(x)

1+2xJl+4x(1+x)Jl+4x

由于l+4x—(l+2x『=-4X2,在X>0時，1+4X—(1+2X)2<0,

所以g'(x)<0,即函數(shù)g(x)在［0,+8)上單調(diào)遞減，所以g(0.01)<g(O)=0,即

lnl.02<Vr5Z-l,即伏c；

綜上，b<c<a,

故選：B.

【點睛】本題考查比較大小問題，難度較大，關(guān)鍵難點是將各個值中的共同的量用變量替換,

構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)研究相應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性，進而比較大小，這樣的問題，憑借近似估計計

算往往是無法解決的.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知雙曲線C：三—丁2=](根>0)的一條漸近線為6工+加了二。，則。的焦距為

m

【答案】4

【解析】將漸近線方程化成斜截式，得出人的關(guān)系，再結(jié)合雙曲線中合/2對應(yīng)關(guān)系，聯(lián)

立求解m,再由關(guān)系式求得c,即可求解

【解析】由漸近線方程6x+〃少=0化簡得y=-且x,即2=同時平方得耳=三，

tnama~m~

ai

又雙曲線中a2-m,b2=1,故—=—，解得m=3,/n=0(舍去)，

m~m

c2=a2+b2=3+\=4=>c=2故焦品巨2c=4

故答案為：4

【點睛】本題為基礎(chǔ)題，考查由漸近線求解雙曲線中參數(shù)，焦距，正確計算并聯(lián)立關(guān)系式求

解是關(guān)鍵

14.已知向量Q=(1,3),〃=(3,4),若(a-4/7)_L〃，則2=.

3

【答案】二

5

【解析】根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標表示以及向量的線性運算列出方程，即可解出.

【解析】因為a—血=(1,3)—4(3,4)=(1—343—44),所以由(。一勸)，人可得，

3(1—3%)+4(3—42)=0,解得％=

3

故答案為：一.

5

【點睛】本題解題關(guān)鍵是熟記平面向量數(shù)量積的坐標表示，設(shè)4=(%,凹)力=(々,%)，

al.b<^a-b-0<^xix2+yiy2=0，注意與平面向量平行的坐標表示區(qū)分.

15.記/.A8C的內(nèi)角4,6,C的對邊分別為a,b,c,面積為J5,3=60。，?2+c2=3tzc.

則6=.

【答案】2拒

【解析】由三角形面積公式可得ac=4,再結(jié)合余弦定理即可得解.

【解析】由題意，S=—acsinB=ac=>/3>

機AliC24

所以ac=4,a?+c，2=12,

所以。2=/+c2-2accosB=12-2x4x'=8,解得b=2a（負值舍去）.

2

故答案為：2后.

16.以圖①為正視圖，在圖②③④⑤中選兩個分別作為側(cè)視圖和俯視圖，組成某三棱錐的三

視圖，則所選側(cè)視圖和俯視圖的編號依次為（寫出符合要求的一組答案即可）.

圖④圖⑤

【答案】③④

【解析】由題意結(jié)合所給的圖形確定一組三視圖的組合即可.

【解析】選擇側(cè)視圖為③，俯視圖為④，

如圖所示，長方體A3CO-44GA中，AB=BC=2,BB]=1,

分別為棱Bg,8c的中點，

則正視圖①，側(cè)視圖③，俯視圖④對應(yīng)的幾何體為三棱錐E-AZ）尸.

故答案為：③④.

【點睛】三視圖問題解決的關(guān)鍵之處是由三視圖確定直觀圖的形狀以及直觀圖中線面的位置

關(guān)系和數(shù)量關(guān)系.

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21

題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求

作答.

（一）必考題：共60分.

17.某廠研制了一種生產(chǎn)高精產(chǎn)品的設(shè)備，為檢驗新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的某項指標有無提高，用

一臺舊設(shè)備和一臺新設(shè)備各生產(chǎn)了10件產(chǎn)品，得到各件產(chǎn)品該項指標數(shù)據(jù)如下：

舊設(shè)備9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7

新設(shè)備10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5

舊設(shè)備和新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標的樣本平均數(shù)分別記為工和亍，樣本方差分別記為S；

和呼

(1)求X,y,,S；；

（2）判斷新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標的均值較舊設(shè)備是否有顯著提高（如果

：，則認為新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標的均值較舊設(shè)備有顯著提高，否則

y-x>2.

不認為有顯著提高).

【答案】(1)7=10,7=10.3,S；=0.036,S；=0.04；(2)新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標的

均值較舊設(shè)備沒有顯著提高.

【解析】(1)根據(jù)平均數(shù)和方差的計算方法，計算出平均數(shù)和方差.

(2)根據(jù)題目所給判斷依據(jù)，結(jié)合(1)的結(jié)論進行判斷.

……、-9.8+10.3+10+10.2+9.9+9.8+10+10.1+10.2+9.7

［解析］(1)x=---------------------------------------------=10,

-10.1+10.4+10.1+10+10.1+10.3+10.6+10.5+10.4+10.5…

y=---------------------------------------------------=10.3,

10

。20.22+0.32+0+0.22+0.12+0.22+0+0.12+0.22+0.32八

5.=------------------------------------------------=0.036>

'10

0.22+0.F+0.22+0.32+0.22+0+0.32+0.22+0.12+0.22

(2)依題意，y-x=0.3=2x0.15=2V0.152=2A/0.025>2^°-036^0-04=270.038,

》_5<2干系，所以新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標的均值較舊設(shè)備沒有顯著提高.

18.如圖，四棱錐產(chǎn)一ABC。的底面是矩形，PO_L底面ABC。，PD=DC=1,M為BC

的中點，且

(1)求8C；

(2)求二面角A-PM—B的正弦值.

【答案】（DV2；（2）W

14

【解析】（1）以點。為坐標原點，D4、DC、DP所在直線分別為x、＞、z軸建立空間

直角坐標系，設(shè)6C=2a,由已知條件得出PB.A"=0,求出。的值，即可得出8C的

長；

（2）求出平面RU/、的法向量，利用空間向量法結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可

求得結(jié)果.

【解析】（1）FDJ_平面A8CD,四邊形4BCO為矩形，不妨以點。為坐標原點，DA.

DC、DP所在直線分別為X、y、z軸建立如下圖所示的空間直角坐標系?！,

設(shè)3c=2”，則。（0,0,0）、P（o,o,l）、B（2a,1,0），M（a,l,0）、A（2a,0,0）,

則PB=（2a,l,—1）,AM=（—。,1,0）,

PBA.AM，則PB-AM=—2"+1=0，解得。=事，故BC=2a=叵;

（2）設(shè)平面Q4"的法向量為/"=（X|,y,zJ,則AMf凡0〕,=（-72,0,1）,

m-AM=-等玉+y=0

由＜取可得，〃=（夜』,21

m-AP=-V2x,+Z1=0

設(shè)平面的法向量為〃=（9,%，Z2），BM=

dI2。,。］J

V2

由《nBM---^~X2=0可得;7=(0,1,1),

2-取%=1

n.BP=->/2X2-y2+z2=0

m-n_33V14

cos<m,n>=

|m|-|??|V?x>/214

所以，sin<m,n>=^/1-cos2<m,n>=一誓'

因此，二面角A—QM—3的正弦值為叵.

14

【點睛】思路點睛：利用空間向量法求解二面角的步驟如下：

（1）建立合適的空間直角坐標系，寫出二面角對應(yīng)的兩個半平面中對應(yīng)的點的坐標；

（2）設(shè)出法向量，根據(jù)法向量垂直于平面內(nèi)兩條直線的方向向量，求解出平面的法向量（注:

若半平面為坐標平面，直接取法向量即可）；

（3）計算（2）中兩個法向量的余弦值，結(jié)合立體圖形中二面角的實際情況，判斷二面角是

銳角還是鈍角，從而得到二面角的余弦值.

21

19.記S,為數(shù)列｛叫的前〃項和，2為數(shù)列⑸｝的前〃項積，已知了+7=2.

⑴證明：數(shù)列也｝是等差數(shù)列;

（2）求｛4｝的通項公式.

【答案】（1）證明見解析；（2）an=l[

21cc2b,3

【解析】(1)由已知不+丁=2得S“=k1,且2工0,取〃=1,得4=5,由題意得

S?b?2b-\

2bl2b,2b“,2bebll+.

丁、.h不…LT="，消積得到項的遞推關(guān)系，進而證明數(shù)列

2仇-12d-12bn-i2/??+1-1bn

也｝是等差數(shù)列;

（2）由（1）可得"的表達式，由此得到S“的表達式,然后利用和與項的關(guān)系求得

an=\]

〃（〃+1）

21cc1

【解析】（1）由已知不+[=2得S,,=h'，且或#0,b產(chǎn)3,

取〃=1,由E=々得

由于"為數(shù)列｛SJ的前A項積,

2bl2b,2hn,

所以不---\7---7T7―7=b”,

24一12b22bfl-1

2bl____2^_____2Z?〃+|

=%,

2b1—12/?2—12Z?〃+1—1

所以

由于d+1X。

211

所以右―丁，即2+其中

2%T7=b.2“GN*

0I

所以數(shù)列｛2｝是以4=5為首項，以d=［為公差等差數(shù)列；

乙2.

O1

（2）由（1）可得，數(shù)列｛“｝是以4=5為首項，以4=不為公差的等差數(shù)列,

乙，

?,也=5+（〃T）XW=I+,,

S_2d-2+〃

"2b“—11+〃’

3

當77=1時，a,=S,=—,

2

2+〃1+〃1

當G2時，氏=S”一Ei=0―〒=—而而,顯然對于小1不成立,

3,

一,〃=1

2

,1

〃(九+1)

【點睛】本題考查等差數(shù)列的證明，考查數(shù)列的前〃項和與項的關(guān)系，數(shù)列的前萬項積與項

、2h242b,.2h}2b22h.,

的關(guān)系'其中由紋》一1…2〃「］="'得到2b「1'2b2—1…2儲+「1=""1，進

2bb?1

而得到是關(guān)鍵一步；要熟練掌握前〃項和，積與數(shù)列的項的關(guān)系，消和(積)

2%-1bn

得到項(或項的遞推關(guān)系)，或者消項得到和(積)的遞推關(guān)系是常用的重要的思想方法.

20.設(shè)函數(shù)/'(x)=ln(a—x),已知x=0是函數(shù)y=J^(X)的極值點.

(1)求a；

(2)設(shè)函數(shù)函幻=一，、」.證明：g(x)<L

xf(x)

【答案】1;證明見解析

【解析】(1)由題意求出y',由極值點處導數(shù)為o即可求解出參數(shù)4；

x+ln(l—%)

(2)由(1)得g(x)=x<l且XHO,分類討論xe(O,l)和xe(Yo,0),

xln(l-x)

可等價轉(zhuǎn)化為要證g(x)<l,即證x+ln(l-x)>xln(l-x)在xe(O,l)和xw(-8,0)上

恒成立，結(jié)合導數(shù)和換元法即可求解

1y

【解析】(1)由f(x)=ln(a-x)=/'(x)=-----,y=V(x)ny'=ln(?-x)+-----,

X—CLX—Cl

又x=()是函數(shù)y=獷(x)的極值點，所以y'(())=lna=(),解得a=l；

x+/(x)_x+ln(l-x)

(2)由(1)得f(x)=ln(l-x),g(x)x<l且x。0,

xf{x}xln(l-x)

/、x+ln(l-x)/、，、

當X￡(O,1)時，要證g(x)=——---r-<l,x>0,ln(l-x)<0,/.xln(l-x)<0,

xIn(1—xj

即證1,化簡得工+(1_工)111(1_力>0；

/、/、x+ln(l-x)..、

同理，當X€(-O)時，要證g(x)=EE<l,x<0,ln(l-x)>0,

xln(l-x)<0,即證x+ln(l—x)>xln(l—x),化簡得x+(l-x)ln(l-x)>0；

令力(x)=x+(l-x)ln(l-x),再令r=l—x,則te(O,l)J(l,+oo),x=\-t,

令g(r)=1-f+flnf,g'(t)=-1+Inr+1=In?,

當￡?0,l)時,g'(x)<0,g(x)單減，假設(shè)g(l)能取到，則g⑴=0,故g(f)>g(l)=o；

當fe(l,+8)時，g'(x)>0,g(尤)單增，假設(shè)g⑴能取到,則g(1)=0,故

g?)>g⑴=。；

x+ln(l-x)

綜上所述,g(x)=<1在xw(-8,0)(0,1)恒成立

xln(l-x)

【點睛】本題為難題，根據(jù)極值點處導數(shù)為?？汕髤?shù)。，第二問解法并不唯一，分類討論

對函數(shù)進行等價轉(zhuǎn)化的過程，一定要注意轉(zhuǎn)化前后的等價性問題，構(gòu)造函數(shù)和換元法也常常

用于解決復雜函數(shù)的最值與恒成立問題.

21.已知拋物線C：/=2刀（〃>0）的焦點為尸，且F與圓M:/+（y+4）2=i上點的

距離的最小值為4.

（1）求。；

（2）若點P在M上，PAQ5是。的兩條切線，A5是切點，求△PA8面積的最大值.

【答案】（1）〃=2；（2）2075.

【解析】（1）根據(jù)圓的幾何性質(zhì)可得出關(guān)于，的等式，即可解出，的值；

（2）設(shè)點A（X1,y）、8（9,%）、P（Xo，Y）），利用導數(shù)求出直線￡4、PB,進一步可求

得直線A3的方程，將直線AB的方程與拋物線的方程聯(lián)立，求出|A8|以及點P到直線AB

的距離，利用三角形的面積公式結(jié)合二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得鉆面積的最大值.

【解析】（1）拋物線C的焦點為尸（0,5］，|月0|=5+4,

所以，/與圓M:/+（y+4）2=l上點的距離的最小值為5+4-1=4,解得。=2；

2

（2）拋物線。的方程為f=4y,即），=對該函數(shù)求導得y=1,

設(shè)點A（玉,%）、3（4％）、尸伍，％），

=5(x-%),即y=

直線P4的方程為y-y=—~y].即中-2乂-2y=0,

同理可知，直線尸8的方程為X2%―2%-2丁=0,

■ML2H-2%=0

由于點P為這兩條直線公共點，則〈

x2xo-2y2-2yo=O'

所以，點A、3的坐標滿足方程與》一2丁-2yo=0,

所以，直線AB的方程為x°x—2y-2yo=0,

x0x-2y-2y0=0

2

聯(lián)立-x，可得廠—2x()x+4y0=0,

由韋達定理可得當+々=2/,x,x2=4%,

={(4+4)國一4%)

點P到直線AB的距離為d

三|明?吟府砥f,小一4獷

所以,S&PAB

片-4%=1-(％+4)2-4%=-訴一12%-15=-(為+6『+21,

1士

由已知可得-54％4-3,所以，當為=-5時，的面積取最大值上x202=20遍.

2

【點睛】方法點睛：圓錐曲線中的最值問題解決方法一般分兩種：

一是幾何法，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來求最值；

二是代數(shù)法，常將圓錐曲線的最值問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)或三角函數(shù)的最值問題，然后利用基

本不等式、函數(shù)的單調(diào)性或三角函數(shù)的有界性等求最值.

（二）選考題，共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，

則按所做的第一題計分.

［選修4-4：坐標系與參數(shù)方程］（10分）

22.在直角坐標系xOy中，C的圓心為。（2,1）,半徑為1.

（1）寫出OC的一個參數(shù)方程；

（2）過點尸（4,1）作C兩條切線.以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系,

求這兩條切線的極坐標方程.

x=2+cosajrp-

【答案】（1）《?.,（。為參數(shù)）；（2）2pcos（<9+-）=4-V3或

y=l+sina3

2/?cos（^-1）=4+V3.

【解析】（1）直接利用圓心及半徑可得的圓的參數(shù)方程；

（2）先求得過（4,1）的圓的切線方程，再利用極坐標與直角坐標互化公式化簡即可.

【解析】（1）由題意，C的普通方程為（x-2>+（y-Iff,

x=2+cosa

所以C參數(shù)方程為《?,（。為參數(shù)）

y=1+sina

（2）由題意，切線的斜率一定存在，設(shè)切線方程為y—1=左（％—4）,即西一〉+1-4攵=0,

\-2k\?

由圓心到直線的距離等于1可得J|+7=1-

解得％=±乎，所以切線方程為6工一3曠+3-4百=0或6工+3y一3-4后=0,

將x=0cos。，y=psin6代入化簡得

2夕cos（6+。）=4一百或2pcos（?！?。）=4+百

【點晴】本題主要考查直角坐標方程與極坐標方程的互化，涉及到直線與圓的位置關(guān)系，考

查學生的數(shù)學運算能力，是一道基礎(chǔ)題.

［選修4-5：不等式選講］（10分）

23.已知函數(shù)/（x）=|x-a|+|x+3］.

（1）當a=l時，求不等式的解集;

(2)若/(x)>—a,求a的取值范圍.

【答案】(1)(e,T]」2,+w).(2)[-|'+o0].

【解析】(1)利用絕對值的幾何意義求得不等式的解集.

(2)利用絕對值不等式化簡/(x)>-a,由此求得”的取值范圍.

【解析】(1)當a=l時，/(x)=|x-l|+|x+3],卜一1|+卜+3|表示數(shù)軸上的點到1和一3的

距離之和，

則/(x)26表示數(shù)軸上的點到1和—3的距離之和不小于6,故xWY或x?2,

所以/(x)26的解集為(f,T]_[2,.

-4-3012

(2)依題意/(%)>—a,即+|x+3]>—a恒成立,

|x-a|+|x+3|=|a-jc|+|x+3|>|a+3|,故|a+3]>-a,

所以。+3>一?；?。+3<Q,

3

解得。>一二.

2

所以a的取值范圍是1-1,+8).

2021年高考全國乙卷文科數(shù)學試題解析

1.已知全集。={1,2,3,4,5},集合A/={1,2},N={3,4},貝?。菁?MuN)=()

A.{5}B.{1,2}C.{3,4}D.

{1,2,3,4)

【答案】A

【解析】首先進行并集運算，然后進行補集運算即可.

由題意可得：MUN={L2,3,4},則&(MN)={5}.

故選：A.

2.設(shè)iz=4+3i,則z=()

A.-3-4iB.-3+4iC.3-4iD.3+4i

【答案】C

【解析】由題意結(jié)合復數(shù)的運算法則即可求得z的值.

,哂以「組4+3z(4+3z)z4i-3°

由題懸可得：z=-----=-——=-----=3-4/.

ii2-1

故選：C.

w

3.已知命題〃：mx￡R,sinx<l；命題,e>l，則下列命題中為真命題的是

()

A.〃八4B.C.P八fD.

【答案】A

【解析】由正弦函數(shù)的有界性確定命題P的真假性，由指數(shù)函數(shù)的知識確定命題的真假性,

由此確定正確選項.

由于一iWsinxWl,所以命題。為真命題；

由于N?(),所以e^zl，所以命題4為真命題；

所以為真命題，-P、〃△一^、一為假命題.

故選：A.

4.函數(shù)/(x)=sin巳x+cos：X的最小正周期和最大值分別是()

A.37t和④B.3兀和2C.6兀和0D.6兀和2

【答案】C

【解析】利用輔助角公式化簡/(x),結(jié)合三角函數(shù)最小正周期和最大值的求法確定正確選

項.

由題，/(x)=3sin住+￡],所以“X)的最小正周期為，=T=6P,最大值為血.

V34/—

''3

故選：C.

x+y>4,

5.若滿足約束條件<x—y?2,則z=3x+y的最小值為()

JW3,

A.18B.10C.6D.4

【答案】C

【解析】由題意作出可行域，變換目標函數(shù)為y=-3x+z,數(shù)形結(jié)合即可得解.

由題意，作出可行域，如圖陰影部分所示，

x+y=4,、

由可得點A(l,3),

轉(zhuǎn)換目標函數(shù)Z=3x+y為y=-3x+z,

上下平移直線y=-3x+z,數(shù)形結(jié)合可得當直線過點A時，z取最小值,

此時Zmin=3x1+3=6.

故選：C.

百

DR.----------D

32T

【答案】D

【解析】由題意結(jié)合誘導公式可得cos22—cos23￡=cos2M—siM￡,再由二倍角公式

12121212

即可得解.

7T

由題意,

12

71

=cos—

6

故選：D.

7.在區(qū)間隨機取1個數(shù)，則取到的數(shù)小于工的概率為（

)

I2_3

21

B.C.一D.

336

【答案】B