《JMP試驗設計》資料

JMP試驗設計

1.試驗設計方法及其在國內(nèi)的應用..............................................2

2.試驗設計(DoE)就在你身邊試驗設計(DOE)就在你身邊..........................7

3.初識試驗設計(DOE).................................................................................................................13

4.多因子試驗設計(DOE)的魅力................................................18

5.用DOE方法最優(yōu)化質(zhì)量因子配置............................................26

6.顧此不失彼的DOE....................................................................................................................32

7.試驗設計(DoE)五部曲......................................................39

8.穩(wěn)健參數(shù)設計的新方法.....................................................45

9.JMP的試驗設計優(yōu)勢——為什么用JMP做試驗設計............................50

試驗設計方法及其在國內(nèi)的應用

隨著改革開放的深入，以市場經(jīng)濟為代表的西方先進文明及其方法論

越來越多被國內(nèi)企業(yè)界所接納。在質(zhì)量管理、產(chǎn)品（醫(yī)藥，化工產(chǎn)品，

食品，高科技產(chǎn)品，國防等）研發(fā)、流程改進等領域，統(tǒng)計方法越來

越多成為企業(yè)運營的標準配置。

試驗設計作為質(zhì)量管理領域相對復雜、高級的統(tǒng)計方法應用，也開始

在國內(nèi)被逐漸接受，推廣。其實試驗設計對于我國學術(shù)界來說并不陌

生。比如均勻設計，均勻設計是中國統(tǒng)計學家方開泰教授（下圖左）

和中科院院士王元首創(chuàng)，是處理多因素多水平試驗設計的卓有成效的

試驗技術(shù)，可用較少的試驗次數(shù)，完成復雜的科研課題開發(fā)和研究。

國內(nèi)一些大學的數(shù)學系和統(tǒng)計系近年來已經(jīng)逐漸開始開設專門的試

驗設計課程，比如清華大學，電子科技大學、復旦大學等高校。國

內(nèi)一些行業(yè)領先的企業(yè)，比如中石化，華為科技，中石油，寶鋼等企

業(yè)，也開始在質(zhì)量管理和產(chǎn)品研發(fā)、工藝改進等領域采用DOE方法。

盡管DOE越來越多的被國內(nèi)產(chǎn)、學、研領域所接受，但是我們還是看

到，國內(nèi)對于DoE的研究和推廣仍舊停留在比較淺的層次。以上述

企業(yè)為例，中石化下屬的石化科學研究院和上海石化研究院應該是我

國石油化工研究領域的王牌單位了，不過不管是北京的石科院，還是

上海石化研究院，在油品研發(fā)、工藝改進、質(zhì)量管理等領域，對于

DOE的使用還僅僅停留在部分因子和正交設計層面。筆者在網(wǎng)絡上查

詢到電子科技大學的DOE課程目錄如下：

教材目錄:

第一章正交試驗基本方法

第二章正交試驗結(jié)果的統(tǒng)計分析一一方差分析法

第三章多指標問題及正交表在試驗設計中的靈活運用

第四章Ltu(tq)型正交表的構(gòu)造

第五章2k和3k因子設計

第六章優(yōu)選法基礎

第七章回歸分析法

第八章正交多項式回歸設計

第九章均勻設計法

第十章單純形優(yōu)化法

第十一章鮑威爾優(yōu)化法及應用

第十二章三次設計

第十三章穩(wěn)定性設計

目前業(yè)界常用的高端試驗設計方法比如定制設計，篩選設計，空間填

充設計等高級試驗設計方法(AdVanCedDOE),無論在國內(nèi)的統(tǒng)計教

學、科研還是在產(chǎn)業(yè)界的應用，都還比較少見，但已有逐步擴大趨勢。

西方企業(yè)對于DOE的應用早已大規(guī)模開始，比如美國航天、航空設計

的頂尖單位，喬治亞宇航設計中心，在開發(fā)導彈、戰(zhàn)斗機等美國絕密

武器系統(tǒng)的時候，無一例外的使用了定制設計(CustomerDesign)o

在民用領域，比如INTEL,惠普，蘋果等公司在產(chǎn)品研發(fā)和質(zhì)量提升

階段，都使用了高級試驗設計方法。

按照試驗設計(DoE)方法發(fā)展的歷程和應用的先后，我們簡單介紹一

下什么是高級試驗設計方法，以及和其相對應的傳統(tǒng)試驗設計方法。

如下圖所示，傳統(tǒng)DoE包括部分因子設計、完全因子設計、響應面設

計、擴充設計，混料設計和田口設計。與此對應，高級DoE則主要包

括空間填充，非線性和定制設計等。

代級DOE(第一層次)傳統(tǒng)DOE(第二層次)育級DOE(第三層次)

部分因子設計混料設計定制及計

容吏設計

完全因子改計陽口設計

空間堵充設計

響應面設計非線性設計

一股軟件只能實現(xiàn)第一和第二層次的DoE方案

JMP能實現(xiàn)全部三個層次的試驗設計(DoE)方案

目前能夠?qū)崿F(xiàn)DOE(試驗設計)的專業(yè)軟件工具不多，其中最權(quán)威的當

屬來自全球最大的統(tǒng)計軟件供應商SAS集團旗下的桌面統(tǒng)計分析軟

件JMP。首先，JMP的DOE內(nèi)容最為完整，除了包括部分因子、完全

因子、響應面設計、擴充設計，混料設計和田口設計等傳統(tǒng)DOE外，

還包括空間填充，非線性和定制設計等高級D0E。其次，JMP的DOE

功能最為強大，除了整合傳統(tǒng)的統(tǒng)計建模，圖形展示等分析方法外，

還融入了模擬，I最佳與D最佳比較，簡單數(shù)據(jù)挖掘等獨特方法強化

分析效果。再次，JMP的DoE實現(xiàn)最為方便，因子的數(shù)量，水平的數(shù)

量，試驗的次數(shù)等等都可以自定義，用戶能夠根據(jù)實際問題的要求構(gòu)

建試驗，而無需任何修飾。更進一步，JMP的試驗設計中還整合了模

擬器(SimUlator)功能，用戶可以直接對試驗所得的新方案進行仿真

模擬，以最大限度地減少失敗風險。

介紹傳統(tǒng)DOE的資料比較多，在此不再贅述，筆者還是將筆墨集中在

更高效的高級DoE上。

首先介紹一下空間填充設計(SPaCeFillingDesign),它適合于不存

在隨機誤差，但強調(diào)控制系統(tǒng)偏差的試驗場合。眾所周知，隨機化

(Randomization),區(qū)組化(Blocking)和仿行(Replication)這三大理

念是我們在做常規(guī)試驗設計時反復強調(diào)的基本原則，但是當對隨機誤

差的關(guān)注遠遠小于對模型本身的關(guān)注時，強調(diào)以上三條原則將不能最

充分地利用可用資源。這時我們應當關(guān)注系統(tǒng)偏差，即近似模型與真

實數(shù)學函數(shù)之差異。空間填充設計的目標就是限制系統(tǒng)偏差。系統(tǒng)偏

差的大小與試驗點的代表性密切相關(guān)，通過球填充設計、均勻設計和

最低潛能等方法，空間填充設計的試驗方案能獲得最佳的覆蓋面，從

而為獲得信息量最豐富的試驗結(jié)果數(shù)據(jù)以提供決策支持奠定基礎。

其次，再來說一說非線性設計，它適用于需要高精度地構(gòu)建參數(shù)為非

線性的模型。在某些工程技術(shù)和社會科學的試驗設計領域中，常常會

遇到非線性模型的研究問題，由于非線分析的復雜性和特殊性，很多

人會采用多項式模型近似描述，簡化問題。但是當我們對模型應用的

要求較高時，上述的處理方法就顯得力不從心了。其實，關(guān)于非線性

設計與建模的理論已經(jīng)逐漸成熟，通過牛頓迭代法等技術(shù)允許用戶生

成非線性最優(yōu)設計和最優(yōu)擴充數(shù)據(jù)，從而擬合參數(shù)為非線性的模型。

與標準的多項式模型相比，用此類模型描述相應流程時，能夠產(chǎn)生更

為精確的流程行為預測，也即模型與實際問題的符合性更好。

最值得一提的還是定制設計，它靈活便捷的設計風格和通用一致的分

析模式使眾多對傳統(tǒng)DOE領域?qū)覒?zhàn)屢敗的人眼前一亮，信心大增。對

一般的非統(tǒng)計專業(yè)人士來說，單單聽到響應面、混料、拉丁超立方等

一大堆專業(yè)名詞就已經(jīng)如墜云霧了，后面的分析報表就更如天書一

般，這樣的情形不由得讓人對試驗設計望而卻步，試驗設計用最通俗

易懂的語言還原試驗設計的本質(zhì)，只要定義了你所研究產(chǎn)品或過程的

輸入因素和輸出響應、目前的試驗預算有多少，分析的重點和目的在

哪里，定制設計生成器就會設計出最符合你要求的試驗計劃。再加上

實際的試驗數(shù)據(jù)，具體的分析結(jié)果，如模型公式、最佳水平組合等，

就生動形象地展現(xiàn)在你的面前了。它突破了傳統(tǒng)DoE“規(guī)則呆板，專

業(yè)性強”的限制，被許多歐美企業(yè)的工程師親切地稱為"能夠量體裁

衣的DOEwo

我們舉一個簡單的例子來體會一下定制設計的獨特魅力。例如，在一

次市場研究的試驗設計中，您想了解目標客戶的心理偏好。其中的功

能因子水平包括最差(1)、中等(2)和最佳(3),而價格因子水平包括

高(1)、中(2)和低(3)。根據(jù)排列組合的方法共可能有9次水平組合,

但實際上在這個例子中公司可能并不愿意在市場上以最低的價格出

售最佳性能的產(chǎn)品，因此您需要在制訂試驗計劃時，就排除功能中的

最佳⑶和價格中的低(3)這一組合。這時，傳統(tǒng)的DOE(無論是全因

子設計，還是部分因子設計等)都無法實現(xiàn)自定義的因子水平約束，

由此生成的試驗計劃缺少現(xiàn)實意義，由此產(chǎn)成的分析結(jié)果缺少可信

度，而定制設計可以提供拒絕特定因子水平組合的靈活性，巧妙地解

決了這類長期困擾DoE用戶的難題。

以上方法都可以通過專業(yè)軟件JMP實現(xiàn)，從而進一步提高使用DOE的

工作效率，有興趣的讀者不妨一試。

試驗設計(DOE)就在你身邊試驗設計(DOE)

就在你身邊

DOE,即試驗設計(DeSignOfExperiment),是研究和處理多因子與

響應變量關(guān)系的一種科學方法。它通過合理地挑選試驗條件，安排試

驗，并通過對試驗數(shù)據(jù)的分析，從而找出總體最優(yōu)的改進方案。從上

個世紀20年代費雪(RonaIdFiSher)在農(nóng)業(yè)試驗中首次提出DOE的概

念，到六西格瑪管理在世界范圍內(nèi)的蓬勃發(fā)展，DoE已經(jīng)歷了80多年

的發(fā)展歷程，在學術(shù)界和企業(yè)界均獲得了崇高的聲譽。

然而，由于專業(yè)統(tǒng)計分析的復雜性和各個行業(yè)的差異性，DOE在很多

人眼中逐漸演變?yōu)榭赏豢杉暗目罩袠情w。其實，DOE絕不是少數(shù)

統(tǒng)計學家的專屬工具，它很容易成為各類工程技術(shù)人員的好朋友、好

幫手。本文將以一個日常生活中的小案例為線索，結(jié)合操作便捷的專

業(yè)統(tǒng)計分析軟件JMP,幫助大家揭開DOE的神秘面紗，了解DoE的執(zhí)

行過程，自由地建立屬于自我的DOE空間。

案例場景：

相信大家都吃過爆米花，但是大家是否都了解爆米花的制作過程？在

品嘗爆米花的時候，不知道您是否注意到有很多爆米花沒有爆開，也

有很多被爆焦。這兩種情況都是生產(chǎn)過程中的質(zhì)量缺陷。這里，我

們基于六西格瑪軟件JMP來實現(xiàn)我們的目標：尋找使用微波爐加工一

包爆玉米花的更佳程序。憑借經(jīng)驗，我們很容易就能確定重要因子的

合理范圍：加工爆玉米花的時間（介于3至5分鐘之間）微波爐

使用的火力（介于5至10檔之間）使用的玉米品牌（A或B）在

爆玉米花時，我們希望所有（或幾乎所有）的玉米粒都爆開了，沒有

（或很少）玉米粒未爆開。因此玉米的"爆開個數(shù)”是最終關(guān)注的

重點。

第1步：定義響應和因子

響戍

l?a?Ew∣??U∣??a...I

確應名稱目標下隔上限直要性

您開個數(shù)I最大化LI.1.

因子

腰加奸5?J泰加因子數(shù)I11

名稱角色更改值

分類AB

/連線35

堆線5LO

第2步：定義因子約束

根據(jù)經(jīng)驗，你知道：不能在試驗中長時間高火力加工爆玉米花，因為

這樣會燒焦某些玉米粒。不能在試驗中短時間低火力加工爆玉米花，

因為這樣只有少數(shù)玉米粒爆開。所以要限制試驗，以使加工時間加上

微波爐火力小于等于13,但大于等于10。

'定義因子約束

[???諫]

I時間+1I火力4vI司

Iil時間+1d火力2VIId

第3步：添加交互作用項

我們可以推測：與爆開玉米比例相關(guān)的任意因子效應可能取決于某些

其它因子的值。例如，品牌A時間變化的效應可能大于或小于使用品

牌B相同時間變化的效應。這種因子表現(xiàn)出的協(xié)同效應統(tǒng)稱為二因子

交互作用。我們決定在爆玉米花加工過程的先驗模型中納入所有可能

的二因子交互作用。

▼Htf

［至?g∣jgκ<w?3而叵頁IlgFfw而

^估

^曼

必9

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MW?

火力必?

必

曼

品牌?"何

必9

品牌，火力

必≡

時闿*火力

必9

Hffl?Hffl必?

?

火力，火力

第4步：確定試驗次數(shù)

根據(jù)在模型中添加的效應，執(zhí)行試驗需要一定的試驗次數(shù)。我們可以

使用最小值、建議值，也可以指定試驗次數(shù)，只要其值大于最小值。

本例中，我們將使用默認的試驗次數(shù)16。

▼設計生成

數(shù)

^次?

。

小

最

O值

認

默

Θ值

友

折

O值

格

O網(wǎng)

戶

O用

指

第5步：制定定輸出表格

生成的數(shù)據(jù)表保留了隨機化的特性，顯示了我們應該運行試驗的順

序，首先在7級火力下將第一包B牌的玉米加工3分鐘，然后在5級

火力下將B牌玉米加工5分鐘，依次進行。

第6步：收集和輸入數(shù)據(jù)

根據(jù)設計方案加工爆玉米花。然后，計算每包中爆開的玉米粒的數(shù)量。

最后，保存結(jié)果至數(shù)據(jù)表。

第7步：分析結(jié)果

可以構(gòu)建數(shù)據(jù)模型了，一般使用最常見的分析方法一一最小二乘法，

但是如果響應數(shù)據(jù)明顯不呈正態(tài)分布時，選擇廣義線形模型法會顯得

更為合適。

4牯計月椎逐矣t出率A值>Itl

?距365.9?115.631992S.S5<0001*

品小山]27.53>1835.49X665.010.0015≠

?W$S)115.721M6.912SSS16.N{.0001≠

火力(5,10)307.2381510.006M&.71<.0∞l*

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品股!W*火力Y0.5614810.006NF.050.0M8$

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（間，時間-53.0013614.圍987-3.910.0059$

火力，火力-3S3.99&6S3.而為1-8.N<0001≠

?KIQ香

：S

簡要地查看輸出報告中的"參數(shù)估計”表，發(fā)現(xiàn)所有的P值都小于

0.05,表明所有的模型效應，包括一次主因子作用、二次主因子作用

和雙因子交互作用，均是顯著的。

我們已確認時間、火力以及品牌與爆開玉米粒個數(shù)之間存在著緊密關(guān)

系，要進行進一步研究，可以打開"預測刻畫器”，分析因子組合的

變化如何影響爆開玉米粒的個數(shù)。預測刻畫器顯示了每個因子對響應

的預測軌跡，移動紅色虛線，便能查看更改因子值對響應產(chǎn)生的影響。

例如，單擊"時間”圖中的紅線并左右拖動，當"時間”值從3轉(zhuǎn)移

至5時，“爆開個數(shù)”也在發(fā)生相應得變化。同時，隨著時間的增加

和減少，時間和火力預測軌跡的斜率也隨之改變，表明確實存在時間

和火力的交互效應。

最后，還可以通過"預測刻畫器”尋找出最優(yōu)設置，即最合意的設置。

我們根據(jù)試驗分析結(jié)果而推薦的方法是：使用A品牌，加工5分鐘，

并將火力調(diào)為6.96級。試驗預測在此種設置下加工，產(chǎn)出的玉米粒445

個以上都爆開了。

類似這種爆玉米花的案例在我們的生活和工作中還有很多很多，有

興趣的讀者完全可以將平時遇到的問題抽象成一個DOE模型，然后借

助JMP這樣的專業(yè)統(tǒng)計分析軟件，輕輕松松地得到問題的解決方案。

初識試驗設計(DOE)

其實，DOE對中國人來說，也不是一個完全嶄新的內(nèi)容。早在新中國

成立初期，華羅庚教授就在我國農(nóng)業(yè)、工業(yè)領域大力倡導與普及DOE,

只是當時他運用的是另一個名詞一一優(yōu)選法。七十年代末，方開泰教

授和王元院士又提出了著名的"均勻設計”法，這一方法在我國航空

航天事業(yè)中的導彈設計中取得了巨大成效。與此同時，"均勻設計”

法也在全球研究DOE理論的學術(shù)界得到了高度贊譽。但是，在將DoE

的先進理念和科技方法向各行各業(yè)轉(zhuǎn)移，向一般技術(shù)人員轉(zhuǎn)移，并轉(zhuǎn)

換為高效生產(chǎn)力的道路上，我們的進展還很有限。

通過''DOE系列之一”我們已經(jīng)知道：DoE與人們的生活及工作密切

相關(guān)，在專業(yè)六西格瑪統(tǒng)計分析軟件JMP的幫助下，掌握DOE也不再

是一件難事。從本質(zhì)上講，DOE是這樣一門科學：研究如何以最有效

的方式安排試驗，通過對試驗結(jié)果的分析以獲取最大信息。所以，DOE

有兩大技術(shù)支柱：試驗規(guī)劃和分析方法。其中，試驗規(guī)劃又可以分為

均分設計、因子設計、響應面設計等，分析方法又可以分為極差分析、

方差分析、多元回歸分析等。雖然DOE的理論體系中涉及統(tǒng)計分析的

專業(yè)詞匯很多，但為便于讀者理解，本文包括后續(xù)的系列文章將盡量

避免過多地涉及統(tǒng)計分析的基本概念，而是將以"解決問題的思路”

為導向，由淺入深地向讀者介紹DOE的理論體系和應用過程。另外，

感謝當代高速發(fā)展的計算機技術(shù)，我們可以借助六西格瑪統(tǒng)計分析軟

件JMP來實現(xiàn)上述所有的試驗設計方案，順便提一下，JMP是目前唯

一能實現(xiàn)上述所有試驗設計方案的六西格瑪統(tǒng)計分析軟件，而且已經(jīng)

面向大中華地區(qū)推出中英文雙語版軟件。

一般的實際問題都是紛繁復雜、千變?nèi)f化的，但是透過現(xiàn)象看本質(zhì)，

所有實際問題的共同點也可以通過統(tǒng)一的模型來抽象概括。圖一就是

一個高度簡化的過程模型，其中A,乞…y，是我們關(guān)心的輸出變量，

例如質(zhì)量指標、生產(chǎn)能力和成本等，通常被稱為"響應變量"

(Response)；工，招，…，居是我們在工作中可以加以控制的輸入

變量，例如人員、設備、原材料、操作方法和環(huán)境等，通常被稱為"可

控因子"(Factor),它們可以是連續(xù)型數(shù)據(jù)，也可以是離散型數(shù)據(jù);

中間的"黑匣子”是"過程”(Process),在前兩者之間起著銜接轉(zhuǎn)

換的作用，它與不同行業(yè)、不同產(chǎn)品、不同技術(shù)密切相關(guān)，但整體都

可以用y=尸(*)的數(shù)學模型來表示。這個數(shù)學模型的具體表達式越精

準，說明我們對這個過程的理解越深刻，DoE就是協(xié)助我們揭示或驗

證數(shù)學模型表達式的利器！

圖一過程模型

X

X2

Xk

在某些要求不高的工作環(huán)境中，往往不需要用一個復雜的數(shù)學表達式

來描述過程的全貌，但至少要了解哪個或哪幾個因子(X)對響應(Y)

的影響顯著，哪些因子之間存在著相互影響的關(guān)系等。這時，"主因

子作用"(MainEffeCt)和"交互作用"(Interaction)可以幫助

我們回答這些問題。在此，不強調(diào)具體的計算過程，主要以視覺效果

闡述主要概念。主因子作用是指一個因子在不同水平下的變化導致響

應的平均變化量。正如圖二所示，X在-I和+1兩個水平下Y值的落差

反映的就是主因子作用。交互作用是指當其他因子的水平改變時，一

個因子的主因子作用的平均變化量。正如圖三所示，左半部分的因子

A對Y的影響沒有受因子B的變化而變化，兩組A與Y的回歸直線完

全平行，表明因子A與B之間沒有任何交互作用；反之，右半部分的

因子A對Y的影響受因子B的變化而變化，兩組A與Y的回歸直線明

顯相交，表明因子A與B之間存在顯著的交互作用。

圖二主因子作用示意圖

X

圖三交互作用示意圖

秉承"理論聯(lián)系實際”的原則，接下來我們用一個真實的案例來說明

上述原理的實際意義。

案例場景

一位工程師希望通過減小厚度來改善渦輪葉片質(zhì)量，首先他想定量地

研究在相關(guān)的生產(chǎn)過程中，三個最有可能會影響厚度的變量：鑄造溫

度（MOIdTemp）、澆注時間（MoldTime）和放置時間（SetTime）O根據(jù)

DOE理論中最簡單的"完全因子設計”，工程師決定開展一個"三因

子，兩水平，共八次”的現(xiàn)場試驗。試驗方案和最終結(jié)果如表一所示,

試通過主因子作用和交互作用進行分析。

表一渦輪葉片厚度試驗記錄

鑄造溫度（C）澆鑄時間（S）放置時間（M）厚度（mm）

300113.61

350113.77

300316.75

350313.72

300123.34

350123.24

300337.01

350334.14

相關(guān)的統(tǒng)計計算可以借助專業(yè)六西格瑪統(tǒng)計分析軟件MP輕松實現(xiàn),

在此不一一詳述，重點用形象直觀的圖形說明分析結(jié)果。

圖四各因子的主因子作用

圖五各因子間的交互作用

鑄造溫度(C)

澆鑄時間(S)

放置時間(M)

由圖四可知，鑄造溫度和澆鑄時間對渦輪葉片的厚度有比較顯著的影

響，而放置時間則幾乎沒有任何影響。由圖五可知，鑄造溫度與澆鑄

時間之間、放置時間與澆鑄時間之間的交互作用比較明顯，而鑄造溫

度與放置時間之間的交互作用則幾乎為零。通過上述可視化的分析過

程，我們清楚地理解了該過程中鑄造溫度和澆鑄時間的正確設置對最

終產(chǎn)品質(zhì)量的重要性。

當然以上只是有關(guān)DOE的一個最基礎的應用，筆者會在下期文章中進

一步與大家交流更深層次的內(nèi)容。

多因子試驗設計(DOE)的魅力

多因子試驗設計(DOE)的魅力

通過前面的介紹，我們已經(jīng)初步認識到了DoE的強大分析功能。但是

有的讀者可能會不以為然：在此之前的兩個案例中因子的數(shù)量太少

(只有3個)，而實際需要解決的問題會復雜得多，涉及的因子數(shù)量也

可能會很多（至少有6個）。因此，他就可能會得出一個結(jié)論：DoE只

適合于少數(shù)因子的問題分析，至于處理多因子問題，則顯得無能為力

To

這個結(jié)論顯然有失偏頗，其實DOE的一大特點就是可以處理包含多達

50個(并不限于50個)因子的復雜問題，本期的主要內(nèi)容就是向讀者

介紹多因子DOE的方法。

從理論上講，上一期的DOE案例實質(zhì)上采用的是完全因子設計(FUlI

FactorialDesign),這類方法在因子數(shù)量較少的時候?qū)嵤┢饋肀容^

方便。但是正如表一所示，當試驗中的因子數(shù)量逐步增加時，試驗次

數(shù)卻呈指數(shù)增加，龐大的試驗規(guī)模意味著巨額的試驗費用，意味著實

施DOE的可行性越來越小。

表一完全因子DOE的局限

因子數(shù)量試驗次數(shù)

24

38

416

532

664

7128

8256

9512

101024

為了解決這個矛盾，我們可以用一種更具魅力的方法一一部分因子設

計(FractionalFactorialDesign)來替代一般的完全因子設計。

顧名思義，部分因子設計源于完全因子設計，是與其對應的完全因子

設計中的一部分。但究竟是哪一部分，是否可以隨機選?。颗e一個簡

單的例子來說明。

表二顯示的是一個完全因子設計的計劃表，A、B和C表示三個主因

子，+1和T表示因子的兩個不同水平，AB、AC和BC表示二階交互作

用，ABC表示三階交互作用，總共需要做8次不同的水平組合來完成1

次完全因子設計的計劃。

表二3因子的完全因子設計計劃表

RunACABACBCABC

1-1-1-11-1

21-1-I-1-111

3-11-1-11-11

411-11-1-1-i

5-1-111-i-11

61-11-11-1-1

7-111-1-11-i

81111111

以上這個試驗計劃適用于3個或以下因子，可支持8次試驗運行的DOE。

如果增加了第四個因子D,但依然只能支持8次試驗運行時，我們應

該怎么辦呢？原來表二中的計劃表有8行7列，任意兩列間是相互正

交的。我們希望增加一列來安排因子D,而且希望此列仍然能與前面

各列保持正交性。數(shù)學上可以證明，"找出一個與前7列不同的列

而與前3列保持正交”是不可能的。換句話說，D列必須與第4、5、

6、7列中的某列完全相同。完全相同意味著這兩列的效應會被"混

雜”(Confounded),即獲得計算所得的分析結(jié)果后，分不清兩種效

應各是多少。權(quán)衡之下，我們認為取D=ABC是最好的安排，因為通

常主因子作用與三階交互作用混雜的可能性最小。

根據(jù)上述決定，將D列取值設定與ABC列相同，并將其前移至第4列,

可以得到表三所列的計劃表

表三4因子的部分因子設計計劃表

RunABCDABACBCABC(=D)

1-1-1-i-1111-1

21-1-11-1-111

3-11-11-11-11

411-1-11-1-i-1

5-1-1111-1-11

61-11-1-11-i-1

7-111-1-1-11-1

811111111

聰明的讀者一定會猜到還可以使用圖二的計劃表繼續(xù)構(gòu)建出第5、第6

乃至第7個因子，但試驗的規(guī)模依然保留在8次。當然，當同等規(guī)模的

試驗中所涉及的因子數(shù)量越多時，產(chǎn)生"混雜”的概率會越大，后期

分析結(jié)果的精確程度也會有所降低。這就是試驗成本與分析精度這對

矛盾的平衡，也是"部分因子設計”產(chǎn)生的基本原理。值得一提的是,

在制定部分因子設計的具體方案時，不必如此繁瑣地逐一推算，成熟

的六西格瑪統(tǒng)計分析軟件JMP早已能夠自動地實現(xiàn)了這一功能。

下面我們想通過一個發(fā)生在國外的DOE案例來體會部分因子設計的

實際意義。

案例場景：

ACB公司是一家網(wǎng)絡公司，主要為個人用戶提供服務。近階段以來公

司網(wǎng)站的點擊數(shù)總體偏低，排名在同行業(yè)中持續(xù)下滑，高層管理層決

定通過一個DOE項目找到少數(shù)幾個關(guān)鍵因素，提高公司網(wǎng)站的每周訪

問量。經(jīng)過初步分析，項目團隊發(fā)現(xiàn)關(guān)鍵詞的個數(shù)、關(guān)鍵詞的類型、

URL標題、每周的更新頻率、關(guān)鍵詞在標題中的位置和免費禮物是最

具可能性的關(guān)鍵因子。但是如果按傳統(tǒng)的完全因子設計的思路，至少

要做26=64次試驗，項目的時間跨度超過一年，分析結(jié)果的價值性大

大降低，有什么好辦法來克服這個困難呢？

實施：

顯然，這個案例用部分因子設計的DOE來實現(xiàn)是再合適不過了。針對

已知的6個關(guān)鍵因子，各取兩個最具代表性的水平值，鑒于該項目的

主要目的是尋找關(guān)鍵因子，選擇篩選效率最高的設計方案26-3(=8),

不同水平組合時分別運行1周，八周后統(tǒng)計相應的點擊數(shù)量，結(jié)果如

表四所示。

表四DOE實施記錄

關(guān)鍵詞在

URL關(guān)鍵詞關(guān)鍵詞每周的免費點擊

標題中的

標題的個數(shù)的類型更新頻率八電禮物數(shù)

位置

第70個

短5IH4字符有5083

第40個

長5：01字符有2272

第70個

短10舊1字符無2012

第40個

長10舊4字符無4328

第40個

短5新4字符無6359

第70個

長5新1字符無3676

第40個

短10新1字符有4779

第70個

長10新4字符有6549

接著，專業(yè)六西格瑪統(tǒng)計分析軟件JMP可以幫助我們做出具體的定性

和定量的分析，不僅如此，它還等借助豐富生動的圖形甚至動畫將分

析結(jié)果展現(xiàn)給我們。在此筆者不想強調(diào)過多的統(tǒng)計概念，只想用形象

直觀的圖形說明分析結(jié)果。

圖一主因子作用的Pareto圖

估計項估計值

每角曲更新頻率1197.500

關(guān)鍵詞的類型958.58

免費禮物-288.500

皿標題176.000

關(guān)健詞在標題中的位置-52.250

關(guān)St詞的個數(shù)34.750

圖二主因子作用的正態(tài)性圖

無論是從圖一的Pareto圖，還是從圖二的正態(tài)性圖，我們都能清晰

地發(fā)現(xiàn)每周的更新頻率和關(guān)鍵詞的類型是影響點擊數(shù)的關(guān)鍵因子。由

此可見，在部分因子設計的思想指引下，多因子試驗的時間成本、經(jīng)

濟成本大大減少，而主要的分析目的沒有受到絲毫的影響，多因子

DOE的魅力正吸引著更多的工作人員將DOE的分析方法應用到更多的

應用領域中。

用DOE方法最優(yōu)化質(zhì)量因子配置

經(jīng)過篩選試驗的精簡和全因子試驗的描述，很多人會滿足已經(jīng)取得的

成績，但也有一些精益求精的人會提出這樣的問題：現(xiàn)有的最佳因子

水平組合一定是所有因子設置中最理想的選擇嗎？如果不是，又應當

如何找出最優(yōu)化的因子設置？確實，以往的DOE側(cè)重于分析哪些因子

是重要的，到底有多重要以及它們之間是否會相互影響，卻沒有刻意

去從整體中尋覓最佳的因子設置。為了解決這個問題，需要引入DOE

中另一種新方法---（ReSPOnSeSurfaceMethodology,即RSM）,

這也是我們本期DoE系列介紹的主題。在這里，筆者仍將借助目前業(yè)

界公認的高端六西格瑪統(tǒng)計分析軟件JMP來為大家展現(xiàn)響應曲面方

法的實現(xiàn)和應用，順便提及，JMP6是迄今業(yè)界唯一的中英文雙語版六

西格瑪軟件，來自全球頂尖的統(tǒng)計學軟件集團SAS。

在實際工作中，常常需要研究響應變量唾竟如何依賴于自變量

X的，進而能找到自變量的設置使得響應變量得到最佳值。當自變量

的個數(shù)較少（通常不超過4個），則響應曲面方法是最值得推薦的方法，

適合于要求響應變量望大（即越大越好）、望?。丛叫≡胶茫┖屯?/p>

目（即越接近目標值越好）等各種常見情形。

通常來說，DOE的核心技術(shù)可分為試驗計劃和數(shù)據(jù)分析兩大類，

響應曲面方法也不例外。在數(shù)據(jù)分析方面，它和以前介紹的方法沒有

什么本質(zhì)的不同，但在試驗計劃方面，則有顯著的改進。響應曲面方

法的試驗計劃主要有中心復合設計和Box-Behnken設計兩種形式，具

體用圖形說明如下。

圖一三因子中心復合設計布點示意圖

.立方體點(CubePoint),用藍色點表示。各點坐標皆為1或T,

這是全因子試驗相同的部分。

.中心點(CenterPoint),用綠色點表示。各點的三維坐標皆為

Oo

.軸點(AxialPoint),用黃色點表示。除了一維自變量坐標為±a

(旋轉(zhuǎn)性指數(shù))夕卜，其余維度的自變量坐標皆為0。在三個因子

情況下，共6個軸點。

試驗計劃的另一種形式就是BOX-Behnken設計。這種設計的特點是將

因子各試驗點取在立方體每條邊的中點上。

圖二三因子布點示意圖

圖二同樣以三維空間立方體的形式展示了一個三個因子的

BoX-Behnken設計的試驗計劃示意圖。整個試驗由下面兩部分試驗點

構(gòu)成。

1.邊中心點(SideCenterPoint),用白色點表示。除了一維自變

量坐標為0外，其余維度的自變量坐標皆為±1。在三個因子情況下,

共12個邊中心點。

2.中心點(CenterPoint),用黑色點表示。各點的三維坐標皆為0。

由以上兩個示意圖可以清晰地發(fā)現(xiàn)，響應曲面方法有規(guī)律、有目的地

在試驗計劃中增添了有限次數(shù)的各因子的中心試驗點和拓展試驗點，

這為研究曲率的變化趨勢、最優(yōu)區(qū)域的確定等提供了極大的便利。

關(guān)于響應曲面方法在數(shù)據(jù)分析方面的特點，由于其和一般的因子設計

DOE非常類似，此處就不做贅述。主要還是通過一個工業(yè)案例來一并

介紹響應曲面方法的實際應用。

案例場景：

如何通過催化劑(Catalyst)和穩(wěn)定劑(Stabilizer)配置比例的

具體設定，才能獲得某化學試劑的最低不純度(Impurities%)?

所子低水平(-1)高水平(+1)

催化劑%(Catalyst)0.5863.414

穩(wěn)定劑%(Stabilizer)0.5863.414

顯然，此時的工程師已經(jīng)不滿足于從僅有的四次全因子組合中選擇最

優(yōu)的選項，而是希望在一個更廣闊的可行性空間里充分挖掘過程的潛

能，尋覓到一個最理想或是最接近理想值的配置比例。當然，實現(xiàn)這

一目的的同時還要兼顧試驗的經(jīng)濟成本和時間次數(shù)等。

這時候，將傳統(tǒng)的因子設計方法擱置一旁，適時地調(diào)用響應曲面方法,

往往會起到最佳的效果。為了提高我們應用DoE的工作效率，本文將

直接使用專業(yè)統(tǒng)計軟件JMP進行響應曲面方法分析，試圖獲得化學試

劑的不純度最低時的配置比例。

首先，我們根據(jù)實際情況，以中心復合設計為原則，迅速地確定了13

次運行次數(shù)的試驗規(guī)模以及每次試驗時的因子具體設置。接著，根據(jù)

既定的試驗計劃進行實施，并且及時收集每次試驗的響應值。將以上

結(jié)果匯總之后，即可得到如圖三所示的JMP文件格式的數(shù)據(jù)表格。

圖三中心復合設計的試驗結(jié)果匯總表

PatternCatalystStabilizerImpurities%

1一一0.5860.5865.1

2-+0.5863.4143.7

3+-3.4140.5868.8

4++3.4143.4144.8

5aθ0.0003020223.7

6AO3.9996979828.9

7Oa20.000302026.6

8OA23.999697983.6

900224.2

1000224.1

1100224.5

1200223.6

1300223.7

然后，運用"模型擬合”的操作平臺，就可以得到具體詳盡的定量分

析。遵循我們"強調(diào)通俗易懂，淡化統(tǒng)計原理”的一貫原則，我們不

多在統(tǒng)計參數(shù)上花費筆墨，依然通過形象直觀的圖形來說明分析結(jié)

果。在求出精確解之前，我們先觀察一下圖四所示的等高線圖

(ContourPlot)和圖五所示的曲面圖(SurfacePlot)0從兩個圖

中都可以清楚地看到，在原試驗范圍內(nèi)確實存在一個最小值。

圖四等高線圖

CoiitoiiiProfilei

HorizVertFactorCurrentX

?0Catalyst2

OΘStabilizer2

ResponseContourCurrentYLoLimitHiLimit

—Impurities%64.02..

3

2.

W1..25

q

S

S

.5

圖五曲面圖

IiIιpuιilic?9%

ResponseGilclSllder

7.88J795402S3(□

IndepenOeiiivariables

XYZalueGria

?0ZatJyrtiP.5€6,9.414)2□

OS)Stabiizenp.585.3.414)2匚

那么這個最小值究竟是多少？它又是在什么條件下產(chǎn)生的呢？進一

步借助JMP自帶的模型預測刻畫器(PredictionProfiler),如圖六

所示，我們可以輕輕松松地得到最優(yōu)化的配置比例：催化

劑%=1.410568,穩(wěn)定劑%=3.282724,這時產(chǎn)生的最低不純凈

度%=3.156636。順便提及，筆者嘗試了多種統(tǒng)計分析軟件，只發(fā)現(xiàn)

JMP集成了模擬功能，實在難能可貴。

至此，我們匆匆走過了應用DOE優(yōu)化流程的探索之路。其實在DoE的

優(yōu)化過程中，還有很多其他實用的知識和技巧，筆者將會在今后的文

章中在做深入的介紹。

圖六模型的預測刻畫器

PredictionProfiler

%

s

8

≡

n

d

E

-

^

≡

^

r

a

±

ω

ω

o

CNE(Ntnσ999

CN5Z

14105683.282724<5c°o

CatalystStabilizerDesirability

顧此不失彼的DOE

本系列前四篇中已經(jīng)介紹了幾種不同背景、不同要求的情況下，應用

DOE的原理和技巧。但細心的讀者會發(fā)現(xiàn)之前的案例有一個共同的特

點（或者稱為局限）：數(shù)據(jù)分析僅限于單個響應變量。在實際工作中,

常常會遇到要同時考慮多個響應變量的情況，例如希望斷裂強度越大

越好，同時希望厚度越小越好；希望質(zhì)量水平越高越好，但同時希望

成本越低越好等等。這類問題與古人所說的有些相像："魚與熊掌,

能否兼得"？確實，如何同時考慮多項指標是個很復雜的課題。今天

我們的任務就是另辟蹊徑，設法解決處理多指標問題，使DoE也可以

顧此不失彼。DoE方法的實現(xiàn)離不開統(tǒng)計分析軟件的支持，高端六西

格瑪統(tǒng)計分析軟件JMP是目前業(yè)界最先進的六西格瑪工具，其在DOE

方面的表現(xiàn)最為優(yōu)秀，本期案例我們?nèi)砸灾杏⑽碾p語版JMP軟件作為

DOE方案實現(xiàn)的載體。

其實，解決這個問題的關(guān)鍵是能否創(chuàng)建一個新指標，用它來代表所有

的舊指標，然后通過優(yōu)化這個新指標，就可以實現(xiàn)多指標的平衡化最

佳，也就是總體最佳了。這個新指標用什么來表示呢？答案是首先將

原先的響應變量轉(zhuǎn)化為另一個變量：意愿(DeSirabiIity)',它的

建立可以將求任意響應變量磔到最優(yōu)的問題轉(zhuǎn)化為求一個取值范圍

在O至1之間的單個意愿達到最大的問題。意愿的函數(shù)形式可分為三大

類，同時根據(jù)實際情況，分別確定它們的容許范圍，即"下限”

(Lower)和"上限"(Upper)o當試驗的指標是越大越好,即"望

大”型(Maximize)時，可以用圖一來描述此時意愿的規(guī)律；當試驗

的指標是越小越好，即"望小”型(MinimiZe)時，可以用圖二來描

述此時意愿的規(guī)律；當試驗的指標是越接近某值越好，即"望目”型

(Target)時，可以用圖三來描述此時意愿的規(guī)律。這三種不同的函

數(shù)形式反映了三種不同的指標需求，它們的共同特征是

比的取值越接近于1表示越結(jié)果越令人滿意，'的取值越接近于O則表

示相反。

此外，一個過程可能有很多響應變量，而且這些響應變量的重要程度

對我們來說也可能不盡相同。權(quán)重（Weight）Q就是用來表示不同響

應變量的重要程度的變量，它的默認值為1,取值范圍一般從0.1到10,

越小說明其越不重要，越大說明其重要性越強。

在單個意愿4及其對應的權(quán)重的基礎上，就能夠合成一個綜合指標：

復合意愿。。它的一般定義公式為：Q=3T存;"尸居—），如

果這些單個意愿的權(quán)重全部相等，則上式可以簡化為：

d=^??-^）xo復合意愿C#是我們需要創(chuàng)建的一個新指標，有了

它，就可以來考慮q個響應變量的同時優(yōu)化問題了。

圖一"望大型”意愿示意圖

Di

0__________________________________

LowerUppper

圖二"望小型”意愿示意圖

圖三

在掌握了多變量響應優(yōu)化的原理之后，再加上專業(yè)DOE軟件JMP的具

體實施，相應的問題就迎刃而解了。遵循理論聯(lián)系實際的風格，本文

繼續(xù)通過一個工業(yè)案例來介紹多指標DOE的實際應用。

案例場景：

在半導體行業(yè)中,蝕刻率(Etch)和不均勻性(Ununiformity)都是

非常重要的質(zhì)量指標，它們的表現(xiàn)與生產(chǎn)過程中的間隙(Gap)和功

率(Power)這兩個因素密切相關(guān)(具體信息參見圖四)。在以往的

DOE研究中，曾分別獨立地對EtCh和UnUnifOrmity做過優(yōu)化，但產(chǎn)

生的矛盾是各自所要求的Gap和Power之間的設置差距較大，怎樣才

能兼顧兩種不同效應的表現(xiàn)，找到最合適的輸入控制因素的設定呢？

圖四某半導體生產(chǎn)流程的輸入輸出表

.ES3f?6][0K?~1

■響應名稱目標下限上限重旻枕

Etch匹配目標值IIOo1150

Ununifornity最小化?1101

▼因子

畫匚H迷紋

[??l???)

__________角色值________________

/Gap

jPower逢埃碗∣400^

顯然，此時的半導體技術(shù)人員已處于流程的優(yōu)化階段，但同時正面臨

著一個"魚與熊掌，孰輕孰重”的兩難境地，寄希望于普通的DOE理

論是于事無補的。而基于復合意愿理論的DOE方法就有了用武之地，

使我們"魚與熊掌，一舉兼得”。

首先，根據(jù)已掌握的信息，按照中心復合設計的原則，制定12次運行

次數(shù)的試驗規(guī)模以及每次試驗時的Gap和Power的具體設置。接著，

根據(jù)既定的試驗計劃進行實施，并且同時收集每次試驗時EtCh和

UnUnifOrmity的響應值。將以上結(jié)果匯總之后，即可得到如圖五所

示的JMP文件格式的數(shù)據(jù)表格。

圖五中心復合設計的試驗結(jié)果匯總表

4一-

橫式GapPowerEtchUnuniformity

1—1.000350.0105496.9

2T1.000400.011791114.4∣

3+—1.400350.0936117.8;

<1++1.400400.01417118.3

5aθ0.917375.01049102.6

6AO1.483375.01287113.9

7Oa1.200339.692785.9