留數(shù)和留數(shù)定理

1§5-2留數(shù)和留數(shù)定理一、留數(shù)的定義和計(jì)算二、留數(shù)定理2設(shè)為的一個(gè)孤立奇點(diǎn);內(nèi)的Laurent級(jí)數(shù):在.的某去心鄰域包含的任一條正向簡(jiǎn)單閉曲線C.一、留數(shù)的定義和計(jì)算，30(高階導(dǎo)數(shù)公式)0(柯西-古薩定理)4定義

記作包含的任意一條簡(jiǎn)單閉曲線

C的積分的值后所得的數(shù)以的一個(gè)孤立奇點(diǎn),如果(Residue)則沿內(nèi)，除稱為5注:留數(shù)定理將沿封閉曲線C積分轉(zhuǎn)化為求被積函數(shù)在C內(nèi)各孤立奇點(diǎn)處的留數(shù).留數(shù)定理點(diǎn)的一條正向簡(jiǎn)單閉曲線,外處處解析,奇點(diǎn)在區(qū)域

D內(nèi)除有限個(gè)孤立函數(shù)C是D內(nèi)包圍諸奇那么6證明兩邊同時(shí)除以則...如圖，根據(jù)復(fù)合閉路定理7計(jì)算留數(shù)的一般公式由Laurent級(jí)數(shù)展開定理，定義留數(shù)的積分值是f(z)在環(huán)域內(nèi)Laurent級(jí)數(shù)的負(fù)一次冪系數(shù)c-1(1)若z0為函數(shù)f(z)的可去奇點(diǎn)，成Laurent級(jí)數(shù)求(2)如果為的本性奇點(diǎn),展開則需將個(gè))，則它在點(diǎn)z0的留數(shù)為零。(負(fù)冪項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)為零8如果為的一級(jí)極點(diǎn),那末規(guī)則1(3)如果為的極點(diǎn),則有如下計(jì)算規(guī)則

若z0為f(z)的m（m=1，2，3，…）級(jí)極點(diǎn),則有規(guī)則2說明

將函數(shù)的零階導(dǎo)數(shù)看作它本身，規(guī)則1o可看作規(guī)則2o

當(dāng)m=1時(shí)的特殊情形.9證明

先證規(guī)則2o，由于z0為f(z)的m級(jí)極點(diǎn)，因此可設(shè)在0<|z-z0|<ρ內(nèi)有用乘上式的兩端得Laurent級(jí)數(shù)在其收斂環(huán)域內(nèi)逐項(xiàng)微分得令，規(guī)則2o成立。10規(guī)則3

如果設(shè)及在都解析，那么為的一級(jí)極點(diǎn),

且有113典型例題例1求在的留數(shù).解12例2計(jì)算積分C為正向圓周:解1314例3計(jì)算積分C為正向圓周:解被積函數(shù)有四個(gè)一級(jí)極點(diǎn)都在圓周的內(nèi)部,所以由規(guī)則315例4計(jì)算積分C為正向圓周:解為一級(jí)極點(diǎn),為二級(jí)極點(diǎn),1617說明:

如為m級(jí)極點(diǎn)，當(dāng)m較大而導(dǎo)數(shù)又難以計(jì)算時(shí),可直接展開Laurent級(jí)數(shù)求來計(jì)算留數(shù).在實(shí)際計(jì)算中應(yīng)靈活運(yùn)用計(jì)算規(guī)則：181

若z0為函數(shù)f(z)的可去奇點(diǎn)，(負(fù)冪項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)為零個(gè))，則它在點(diǎn)z0的留數(shù)為零。小結(jié)：留數(shù)的計(jì)算2

若z0為f(z)的一級(jí)極點(diǎn)，則有3

若z0為f(z)的m級(jí)極點(diǎn)，則對(duì)任意整數(shù)有4

設(shè)f(z)=P(z)/Q(z)，其中P(z)和Q(z)在點(diǎn)z0