專題16 雙曲線（1大考向真題解讀）-備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學真題題源解密（新高考卷）解析版

第第頁專題16雙曲線命題解讀考向考查統(tǒng)計1.高考對雙曲線的考查，重點是（1）雙曲線的定義、幾何圖形和標準方程。（2）雙曲線的幾何性質(zhì)（范圍、對稱性、頂點、離心率、漸近線）。（3）直線和雙曲線的位置關(guān)系及綜合應用。雙曲線的離心率2023·新高考Ⅰ卷，162024·新高考Ⅰ卷，12命題分析2024年高考新高考Ⅰ卷考查應用定義求解雙曲線的離心率，難度較易。Ⅱ卷是雙曲線與數(shù)列的綜合問題，后續(xù)專題會解讀。雙曲線是圓雉曲線的重要內(nèi)容，但從總體上看，雙曲線的考試要求要比橢圓和拋物線低，在雙曲線的試題中，最為重要的是三點是：方程、漸近線、離心率。預計2025年高考還是主要考查雙曲線的定義和離心率、漸近線。試題精講一、填空題1．（2024新高考Ⅰ卷·12）設(shè)雙曲線的左右焦點分別為，過作平行于軸的直線交C于A，B兩點，若，則C的離心率為．【答案】【分析】由題意畫出雙曲線大致圖象，求出，結(jié)合雙曲線第一定義求出，即可得到的值，從而求出離心率.【詳解】由題可知三點橫坐標相等，設(shè)在第一象限，將代入得，即，故，，又，得，解得，代入得，故，即，所以.故答案為：一、填空題1．（2023新高考Ⅰ卷·16）已知雙曲線的左、右焦點分別為．點在上，點在軸上，，則的離心率為．【答案】/【分析】方法一：利用雙曲線的定義與向量數(shù)積的幾何意義得到關(guān)于的表達式，從而利用勾股定理求得，進而利用余弦定理得到的齊次方程，從而得解.方法二：依題意設(shè)出各點坐標，從而由向量坐標運算求得，，將點代入雙曲線得到關(guān)于的齊次方程，從而得解；【詳解】方法一：依題意，設(shè)，則，在中，，則，故或（舍去），所以，，則，故，所以在中，，整理得，故.方法二:依題意，得，令，因為，所以，則，又，所以，則，又點在上，則，整理得，則，所以，即，整理得，則，解得或，又，所以或（舍去），故.故答案為：.一、雙曲線的定義平面內(nèi)與兩個定點的距離的差的絕對值等于常數(shù)（大于零且小于）的點的軌跡叫做雙曲線（這兩個定點叫雙曲線的焦點）．用集合表示為．注意：（1）若定義式中去掉絕對值，則曲線僅為雙曲線中的一支．（2）當時，點的軌跡是以和為端點的兩條射線；當時，點的軌跡是線段的垂直平分線．（3）時，點的軌跡不存在．在應用定義和標準方程解題時注意以下兩點：=1\*GB3①條件“”是否成立；=2\*GB3②要先定型（焦點在哪個軸上），再定量（確定，的值），注意的應用．二、雙曲線的方程、圖形及性質(zhì)標準方程圖形A2A2焦點坐標，，對稱性關(guān)于，軸成軸對稱，關(guān)于原點成中心對稱頂點坐標，，范圍實軸、虛軸實軸長為，虛軸長為離心率漸近線方程令，焦點到漸近線的距離為令，焦點到漸近線的距離為點和雙曲線的位置關(guān)系共焦點的雙曲線方程共漸近線的雙曲線方程切線方程為切點為切點切線方程對于雙曲線上一點所在的切線方程，只需將雙曲線方程中換為，換成便得．切點弦所在直線方程為雙曲線外一點為雙曲線外一點點為雙曲線與兩漸近線之間的點弦長公式設(shè)直線與雙曲線兩交點為，，．則弦長，，其中“”是消“”后關(guān)于“”的一元二次方程的“”系數(shù)．通徑通徑（過焦點且垂直于的弦）是同支中的最短弦，其長為焦點三角形雙曲線上一點與兩焦點構(gòu)成的成為焦點三角形，設(shè)，，，則，，焦點三角形中一般要用到的關(guān)系是等軸雙曲線等軸雙曲線滿足如下充要條件：雙曲線為等軸雙曲線離心率兩漸近線互相垂直漸近線方程為方程可設(shè)為．【雙曲線常用結(jié)論】1、雙曲線的通徑過雙曲線的焦點且與雙曲線實軸垂直的直線被雙曲線截得的線段，稱為雙曲線的通徑．通徑長為．2、點與雙曲線的位置關(guān)系對于雙曲線，點在雙曲線內(nèi)部，等價于．點在雙曲線外部，等價于結(jié)合線性規(guī)劃的知識點來分析．3、雙曲線?？夹再|(zhì)性質(zhì)1：雙曲線的焦點到兩條漸近線的距離為常數(shù)；頂點到兩條漸近線的距離為常數(shù)；性質(zhì)2：雙曲線上的任意點到雙曲線C的兩條漸近線的距離的乘積是一個常數(shù)；4、雙曲線焦點三角形面積為（可以這樣理解，頂點越高，張角越小，分母越小，面積越大）5、雙曲線的切線點在雙曲線上，過點作雙曲線的切線方程為．若點在雙曲線外，則點對應切點弦方程為一、單選題1．（2024·甘肅蘭州·三模）已知雙曲線的實軸長等于虛軸長的2倍，則的漸近線方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先得到方程，求出，得到雙曲線方程和漸近線方程.【詳解】由題意得，解得，，故漸近線方程為.故選：C2．（2024·浙江紹興·三模）已知，為曲線：的焦點，則下列說法錯誤的是（

）A．若，則曲線的離心率B．若，則曲線的離心率C．若曲線上恰有兩個不同的點，使得，則D．若，則曲線上存在四個不同的點，使得【答案】C【分析】根據(jù)給定的方程，結(jié)合橢圓、雙曲線的性質(zhì)逐項分析判斷即可得解.【詳解】對于A，當時，曲線是橢圓，離心率，A正確；對于B，當時，曲線是雙曲線，離心率，B正確；對于C，當時，曲線是橢圓，其短半軸長，半焦距，顯然以線段為直徑的圓恰過這個橢圓短軸端點，即符合條件的可以是8，C錯誤；對于D，當時，則曲線是焦點在x上的雙曲線，則，以線段為直徑的圓與雙曲線有4個交點，即符合條件的點有4個，D正確.故選：C3．（2024·安徽·三模）過雙曲線的下頂點作某一條漸近線的垂線，分別與兩條漸近線相交于兩點，若,則C的離心率為（

）A． B． C． D．3【答案】A【分析】過點作另一條漸近線的垂線于，借助雙曲線的對稱性計算可得，即可得離心率.【詳解】過點作另一條漸近線的垂線于，由對稱性可得，由，則有，則，故，故，故，即.故選：A.4．（2024·全國·三模）已知雙曲線C：的左、右焦點分別為，，且離心率為，過點的直線l與C的一條漸近線垂直相交于點D，則（

）A． B． C．2 D．3【答案】A【分析】設(shè)焦點，根據(jù)題意求點的坐標和的值，進而畫出圖象即可解決.【詳解】不妨設(shè)焦點，其中一條漸近線為，則直線l的方程為，由解得即，因為，所以，過點作軸的垂線，垂足為，如下圖：于是.故選：A.5．（2024·四川成都·三模）已知雙曲線（，）的左焦點為，點為坐標原點，點為雙曲線漸近線上一點且滿足，過作軸的垂線交漸近線于點，已知，則其離心率為（

）A．2 B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)兩點的坐標，然后利用兩點間距離公式列方程求解即可.【詳解】，故點在的垂直平分線上，則點的橫坐標為，且過作軸的垂線交漸近線于點，故設(shè)點，不妨設(shè)均在上，則，，，，即，，，故離心率為.故選：D.6．（2024·山西陽泉·三模）已知雙曲線的左、右焦點分別為，雙曲線的右支上有一點與雙曲線的左支交于點，線段的中點為，且滿足，若，則雙曲線的離心率為（

）A．2 B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)條件得是等邊三角形，設(shè)的邊長為，結(jié)合雙曲線定義得，在中，由余弦定理求得離心率.【詳解】因為是線段的中點，且，所以，又，所以是等邊三角形，設(shè)的邊長為，由雙曲線的定義知，，，所以，又，所以，即，所以，在中，由余弦定理知，，所以即，所以離心率.故選：C7．（2024·寧夏銀川·三模）已知雙曲線E：的左、右焦點分別為，，過點的直線與雙曲線E的右支交于A，B兩點，若，且雙曲線E的離心率為，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由雙曲線的定義結(jié)合已知條件求得，從而再得，由余弦定理求得，由誘導公式得，設(shè)，則，再由余弦定理求得，從而利用余弦定理求解即可.【詳解】因為雙曲線的離心率為，所以，因為，所以，由雙曲線的定義可得，所以，在中，由余弦定理得，在中，，設(shè)，則，由得，解得，所以，所以.故選：D..8．（2024·湖南永州·三模）已知，分別是雙曲線的左、右焦點，點為坐標原點，過的直線分別交雙曲線左、右兩支于，兩點，點在軸上，，平分，其中一條漸近線與線段交于點，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由可得，結(jié)合角平分線的性質(zhì)和雙曲線的定義可得，從而可得，在中，由余弦定理可得，進而可得，而，從而可求解.【詳解】如圖,,,，設(shè),則，平分,,,由雙曲線定義可知，，即,在中，由余弦定理知化簡得,由得,不妨令一條漸近線與線段的交點在第一象限，則,.故選：B【點睛】關(guān)鍵點點睛：這道題的關(guān)鍵是由可得，結(jié)合角平分線的性質(zhì)和雙曲線的定義可得，從而可得.9．（2024·天津河西·三模）已知，是橢圓和雙曲線的公共焦點，P是它們的一個公共點，且，若橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，則的最小值為（

）A． B． C． D．4【答案】C【分析】設(shè)橢圓和雙曲線的方程分別為：，，易得，設(shè)，利用橢圓和雙曲線的定義得到，然后在中，利用余弦定理得到，然后利用基本不等式求解.【詳解】解：如圖所示：設(shè)橢圓和雙曲線的方程分別為：，，由題意得，設(shè)，則，解得，在中，由余弦定理得：，即，化簡得，則，所以，，當且僅當，即時，等號成立；故選：C10．（2024·浙江杭州·三模）已知雙曲線上存在關(guān)于原點中心對稱的兩點A，B，以及雙曲線上的另一點C，使得為正三角形，則該雙曲線離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)點，則可取，代入雙曲線方程整理可得，結(jié)合漸近線列式求解即可.【詳解】由題意可知：雙曲線的漸近線方程為，設(shè)點，則可取，則，整理得，解得，即，可得，則，所以該雙曲線離心率的取值范圍是．故選：A.【點睛】關(guān)鍵點點睛：1.巧妙設(shè)點：設(shè)點，根據(jù)垂直和長度關(guān)系可??；2.根據(jù)漸近線的幾何意義可得：.二、多選題11．（2024·河北邯鄲·三模）已知雙曲線，則（

）A．的取值范圍是 B．的焦點可在軸上也可在軸上C．的焦距為6 D．的離心率的取值范圍為【答案】AC【分析】根據(jù)雙曲線方程的特征，易于求得，判斷方程中分母的符號即可判斷A,B項，計算易得C項，先算出離心率的表達式，再根據(jù)的范圍，即可確定的范圍.【詳解】對于A，表示雙曲線，，解得，故A正確；對于B，由A項可得，故，的焦點只能在軸上，故B錯誤；對于C，設(shè)的半焦距為，則，，即焦距為，故C正確；對于D，離心率，，，的取值范圍是，故D錯誤．故選：AC.12．（2024·河北保定·三模）已知雙曲線：的左、右焦點分別為，，過點的直線與的左支相交于，兩點，若，且，則（

）A． B．C．的離心率為 D．直線的斜率為【答案】ACD【分析】設(shè)，，結(jié)合雙曲線的定義與勾股定理可以求得的值，即可判斷出A，B選項；再結(jié)合勾股定理可以求得的關(guān)系，再求出離心率；求直線的斜率，在直角三角形中，用斜率的定義求正切值可以求得直線的斜率.【詳解】如圖，由，可設(shè)，.因為，所以.設(shè)，，則，，，解得，則，，所以，故A選項正確；，故B選項錯誤；在中，由，得，則，從而的離心率為，故C選項正確.又，所以直線的斜率為，故D選項正確.故選：ACD.13．（2024·貴州貴陽·三模）雙曲線的左、右焦點分別為點，斜率為正的漸近線為，過點作直線的垂線，垂足為點，交雙曲線于點，設(shè)點是雙曲線上任意一點，若，則（

）A．雙曲線的離心率為B．雙曲線的共軛雙曲線方程為C．當點位于雙曲線右支時，D．點到兩漸近線的距離之積為【答案】ACD【分析】利用三角形面積公式得，再利用余弦定理得，則解出雙曲線方程，再利用離心率定義和共軛雙曲線方程的含義即可判斷AB；對C，計算得，再根據(jù)的范圍即可判斷；對D，，利用點到直線的距離公式并結(jié)合點雙曲線上化簡即可.【詳解】如圖，因為，所以，，則，所以，又，在中，，化簡得，所以，雙曲線方程為，對于A，雙曲線的離心率為，A正確；對于B，雙曲線的共軛雙曲線方程為，B錯誤；對于C，，因為，則，即，C正確；對于D，漸近線方程為，設(shè)，點到兩漸近線的距離之積為，D正確，故選：ACD.14．（2024·山西呂梁·三模）已知橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，兩曲線有公共焦點是橢圓與雙曲線的一個公共點，，以下結(jié)論正確的是（

）A．B．C．D．若，則【答案】BCD【分析】根據(jù)焦距相等可判斷A；根據(jù)橢圓和雙曲線定義，結(jié)合余弦定理整理可判斷B；根據(jù)B中變形可判斷C；由B中結(jié)論，結(jié)合的范圍可判斷D.【詳解】根據(jù)題意，設(shè)，對于A中，因為橢圓與雙曲線有公共焦點，可得，所以，即，所以A錯誤；對于B中，不妨設(shè)點P在第一象限，由橢圓和雙曲線的定義，可得，所以，又由余弦定理得，可得，所以，所以B正確；對于C中，由，可得，所以C正確；對于D中，因為，所以，由可得，所以，所以D正確.故選：BCD.15．（2024·重慶·三模）已知雙曲線的左，右焦點分別為為雙曲線上點，且的內(nèi)切圓圓心為，則下列說法正確的是（

）A． B．直線PF1的斜率為C．的周長為 D．的外接圓半徑為【答案】ACD【分析】對于A，根據(jù)三角形與其內(nèi)切圓性質(zhì)結(jié)合雙曲線定義即可求解；根據(jù)已知條件、、以及與各個所需量的關(guān)系即可求出、和，進而可依次求出直線PF1的斜率、結(jié)合焦三角形面積公式得的周長、結(jié)合正弦定理得的外接圓半徑.【詳解】如圖1，由條件，點應在雙曲線的右支上，設(shè)圓分別與的三邊切于點，則由題，且，，又，A選項正確；由選項A得，連接、、，則，所以，B選項錯誤；同理，，，，所以由焦三角面積公式得，又，故得，的周長為，選項正確；由，由正弦定理得，D選項正確.故選：ACD.【點睛】關(guān)鍵點睛：求直線PF1的斜率、的周長、的外接圓半徑的關(guān)鍵是根據(jù)已知條件、、以及與各個所需量的關(guān)系即可求出、和.三、填空題16．（2024·湖北荊州·三模）已知雙曲線經(jīng)過點，則C的漸近線方程為．【答案】【分析】根據(jù)雙曲線過點求出a，然后可得.【詳解】因為雙曲線經(jīng)過點，所以，解得，又，所以漸近線方程為.故答案為：.17．（2024·寧夏石嘴山·三模）已知雙曲線的左右焦點分別為、，曲線上的點滿足，，，則雙曲線的離心率為．【答案】/【分析】利用，可得，，結(jié)合雙曲線的定義，即可求得雙曲線的離心率.【詳解】因為，，所以，又，所以，，所以，則，即雙曲線的離心率為.故答案為：.18．（2024·安徽馬鞍山·三模）已知雙曲線的左、右焦點分別為，，過點的直線與的右支交于，兩點，若，則．【答案】/【分析】根據(jù)雙曲線的定義表示出，，即可得到，再由余弦定理計算可得.【詳解】依題意過點的直線與的右支交于，兩點，且，，，則，，，所以，可得，解得或（舍去）．故答案為：．19．（2024·浙江金華·三模）若圓被雙曲線的一條漸近線截得的弦長為2，則雙曲線的離心率為.【答案】【分析】根據(jù)條件，將弦長轉(zhuǎn)化為圓心到漸近線的距離，進而可得出與的關(guān)系，求解即可.【詳解】對于雙曲線，其漸近線方程為，對于圓，有，圓心為，半徑，漸近線被圓截得的弦長為，所以圓心到漸近線的距離為，由點到直線距離公式得：，所以，所以，解得，所以雙曲線的離心率為.故答案為：.20．（2024·山東煙臺·三模）已知雙曲線：（，）的漸近線方程為，其右焦點為F，若直線與在第一象限的交點為P且軸，則實數(shù)k的值為.【答案】【分析】根據(jù)雙曲線的漸近線方程可得，由軸得，利用斜率公式可得結(jié)果.【詳解】因為雙曲線：（，）的漸近線方程為，依題意有，即，又右焦點為，且軸，所以，所以，故答案為：.