實戰(zhàn)演練11 遞推、累加、累乘、構(gòu)造法求數(shù)列通項公式（4大?？键c(diǎn)歸納）-備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學(xué)真題題源解密（新高考卷）解析版

第第頁實戰(zhàn)演練11遞推、累加、累乘、構(gòu)造法求數(shù)列通項公式①遞推法②累加法③累乘法④構(gòu)造法一、公式遞推法：若已知數(shù)列的前項和與的關(guān)系，求數(shù)列的通項可用公式構(gòu)造兩式作差求解．用此公式時要注意結(jié)論有兩種可能，一種是“一分為二”，即分段式；另一種是“合二為一”，即和合為一個表達(dá)，（要先分和兩種情況分別進(jìn)行運(yùn)算，然后驗證能否統(tǒng)一）．二、累加法：形如型的遞推數(shù)列（其中是關(guān)于的函數(shù)）可構(gòu)造：將上述個式子兩邊分別相加，可得：=1\*GB3①若是關(guān)于的一次函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列求和；=2\*GB3②若是關(guān)于的指數(shù)函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和；=3\*GB3③若是關(guān)于的二次函數(shù)，累加后可分組求和；=4\*GB3④若是關(guān)于的分式函數(shù)，累加后可裂項求和．三、累乘法：形如型的遞推數(shù)列（其中是關(guān)于的函數(shù)）可構(gòu)造：將上述個式子兩邊分別相乘，可得：有時若不能直接用，可變形成這種形式，然后用這種方法求解．四、構(gòu)造數(shù)列法：（一）形如（其中均為常數(shù)且）型的遞推式：（1）若時，數(shù)列{}為等差數(shù)列；（2）若時，數(shù)列{}為等比數(shù)列；（3）若且時，數(shù)列{}為線性遞推數(shù)列，其通項可通過待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列來求．方法有如下兩種：法一：設(shè)，展開移項整理得，與題設(shè)比較系數(shù)（待定系數(shù)法）得，即構(gòu)成以為首項，以為公比的等比數(shù)列．再利用等比數(shù)列的通項公式求出的通項整理可得法二：由得兩式相減并整理得即構(gòu)成以為首項，以為公比的等比數(shù)列．求出的通項再轉(zhuǎn)化為類型Ⅲ（累加法）便可求出（二）形如型的遞推式：（1）當(dāng)為一次函數(shù)類型（即等差數(shù)列）時：法一：設(shè)，通過待定系數(shù)法確定的值，轉(zhuǎn)化成以為首項，以為公比的等比數(shù)列，再利用等比數(shù)列的通項公式求出的通項整理可得法二：當(dāng)?shù)墓顬闀r，由遞推式得：，兩式相減得：，令得：轉(zhuǎn)化為類型Ⅴ㈠求出，再用類型Ⅲ（累加法）便可求出（2）當(dāng)為指數(shù)函數(shù)類型（即等比數(shù)列）時：法一：設(shè)，通過待定系數(shù)法確定的值，轉(zhuǎn)化成以為首項，以為公比的等比數(shù)列，再利用等比數(shù)列的通項公式求出的通項整理可得法二：當(dāng)?shù)墓葹闀r，由遞推式得：——①，，兩邊同時乘以得——②，由①②兩式相減得，即，在轉(zhuǎn)化為類型Ⅴ㈠便可求出法三：遞推公式為（其中p，q均為常數(shù)）或（其中p，q，r均為常數(shù)）時，要先在原遞推公式兩邊同時除以，得：，引入輔助數(shù)列（其中），得：再應(yīng)用類型Ⅴ㈠的方法解決．（3）當(dāng)為任意數(shù)列時，可用通法：在兩邊同時除以可得到，令，則，在轉(zhuǎn)化為類型Ⅲ（累加法），求出之后得．五、倒數(shù)變換法：形如（為常數(shù)且）的遞推式：兩邊同除于，轉(zhuǎn)化為形式，化歸為型求出的表達(dá)式，再求；還有形如的遞推式，也可采用取倒數(shù)方法轉(zhuǎn)化成形式，化歸為型求出的表達(dá)式，再求．六、形如型的遞推式：用待定系數(shù)法，化為特殊數(shù)列的形式求解．方法為：設(shè)，比較系數(shù)得，可解得，于是是公比為的等比數(shù)列，這樣就化歸為型．總之，求數(shù)列通項公式可根據(jù)數(shù)列特點(diǎn)采用以上不同方法求解，對不能轉(zhuǎn)化為以上方法求解的數(shù)列，可用歸納、猜想、證明方法求出數(shù)列通項公式①遞推法一、填空題1．（23-24高二下·北京·期中）已知數(shù)列的前n項和為，且，則數(shù)列的通項公式為．【答案】【分析】根據(jù)給定條件，利用前n項和與第n項的關(guān)系求出通項公式即得.【詳解】數(shù)列中，，，當(dāng)時，，顯然滿足上式，數(shù)列的通項公式為.故答案為：2．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知數(shù)列的前項和為，若，則數(shù)列的通項公式為【答案】【分析】利用數(shù)列的前項和與的關(guān)系求出數(shù)列的通項；【詳解】當(dāng)時，，當(dāng)時，也滿足，所以數(shù)列的通項公式為．故答案為：.3．（24-25高二上·上海·課后作業(yè)）已知數(shù)列的前n項和為，且，則數(shù)列通項公式．【答案】【分析】利用結(jié)合已知條件求解.【詳解】當(dāng)時，；當(dāng)時，，因為不符合上式，所以.故答案為：4．（23-24高二上·福建福州·期末）設(shè)數(shù)列的前項和為.已知，數(shù)列的通項公式.【答案】【分析】利用與的關(guān)系運(yùn)算得解.【詳解】因為，則當(dāng)時，，兩式相減得：，即，而，則數(shù)列是以1為首項，4為公比的等比數(shù)列，所以數(shù)列的通項公式是.故答案為：.5．（23-24高二下·西藏拉薩·期末）已知數(shù)列的前項和為，滿足，則【答案】【分析】由已知可得數(shù)列為首項為1，公差為2的等差數(shù)列，求出，從而可求出，再利用可求得答案.【詳解】因為，所以數(shù)列為首項為1，公差為2的等差數(shù)列，所以，所以，當(dāng)時，，因為不滿足上式，所以.故答案為：6．（23-24高二上·上海嘉定·階段練習(xí)）設(shè)數(shù)列的前n項和為，，，則.【答案】【分析】由作差法求出通項公式，驗證時是否滿足，再分和求出即可.【詳解】因為，，，兩式作差得，當(dāng)，不滿足，當(dāng)時，，故當(dāng)，，當(dāng)時，，故，故答案為：7．（2024高三下·全國·專題練習(xí)）數(shù)列滿足，則．【答案】【分析】令，得到，結(jié)合與的關(guān)系，求得，進(jìn)而求得，得到答案.【詳解】令，的前項和為，因為，可得，當(dāng)時，；當(dāng)時，，將代入上式可得，綜上可得，即，所以.故答案為：.8．（2025·廣東廣州·模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足，設(shè)數(shù)列的前項和為，則滿足的實數(shù)的最小值為．【答案】【分析】先將代入題干表達(dá)式計算出的值，當(dāng)時，由，可得，兩式相減進(jìn)一步計算即可推導(dǎo)出數(shù)列的通項公式，再根據(jù)數(shù)列的通項公式及等比數(shù)列的求和公式推導(dǎo)出前項和的表達(dá)式，最后根據(jù)不等式的性質(zhì)即可計算出實數(shù)的最小值．【詳解】由題意，當(dāng)時，，當(dāng)時，由，可得，兩式相減，可得，解得，當(dāng)時，不滿足上式，，則當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，也滿足上式，，，，且對任意恒成立，，即實數(shù)的最小值為．故答案為：.②累加法一、填空題1．（23-24高二上·江蘇南京·期末）已知數(shù)列中，，則．【答案】29【分析】根據(jù)累加法求得，即可求得．【詳解】根據(jù)題意，，，滿足該式，所以，則，故答案為：29．2．（2024·廣東江門·模擬預(yù)測）若數(shù)列滿足，數(shù)列的前n項和為，則．【答案】【分析】根據(jù)遞推公式求出數(shù)列的通項公式，在計算出數(shù)列的通項公式，即可計算出.【詳解】由，則，當(dāng)時，上式相加，得，且符合上式，可知，所以．故答案為：3．（23-24高二下·四川成都·期中）數(shù)列滿足，（），則（用數(shù)字作答）．【答案】60【分析】由累加法求和結(jié)合等比數(shù)列求和公式即可求解.【詳解】.故答案為：60.4．（23-24高一下·上?！て谀┰跀?shù)列中，已知，且，則．【答案】【分析】由累加法和裂項相消法求通項即可得出答案.【詳解】由可得：，．故答案為：.5．（23-24高二下·上海寶山·期末）在數(shù)列中，，且，則.【答案】5【分析】用累加法求解.【詳解】，，…，各式累加得.故答案為：5.6．（23-24高二下·遼寧·期中）在首項為1的數(shù)列中，則【答案】【分析】先用累加法求出，再用錯位相減法求和結(jié)合即可解出.【詳解】因為，所以，，，，以上各式相加得：，令，①，②錯位相減：有，，即，所以，又因為，所以有，所以,檢驗時，符合上式，所以.故答案為：③累乘法一、填空題1．（23-24高二下·四川成都·階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足：且，則數(shù)列的通項公式為．【答案】【分析】根據(jù)累乘法求數(shù)列通項公式即可.【詳解】因為，所以，累乘可得，即，所以，當(dāng)時，也成立，所以.故答案為：2．（2023高二·全國·專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，則的通項公式為．【答案】【分析】根據(jù)累乘法求出當(dāng)時的通項公式，并驗證也滿足，從而得到的通項公式.【詳解】因為數(shù)列滿足，，則，所以，當(dāng)時，，也滿足，所以，對任意的，．故答案為：3．（2023高三·全國·專題練習(xí)）若，則通項公式.【答案】【分析】由已知可得，然后利用累乘法可求得結(jié)果.【詳解】由，得，所以，，，……，，所以，所以，因為，所以，因為滿足上式，所以，故答案為：4．（2024·四川瀘州·三模）已知是數(shù)列的前項和，，，則.【答案】【分析】借助與的關(guān)系及累乘法計算即可得.【詳解】當(dāng)時，，即，，則，即，則有，，，，則，當(dāng)時，，符合上式，故.故答案為：.5．（23-24高二下·海南?？凇て谥校┮阎獢?shù)列an的前項和為且滿足，則數(shù)列an的通項公式為．【答案】【分析】當(dāng)時，，化簡得，利用累乘法計算得到，滿足上式，寫成分段的形式即可.【詳解】當(dāng)時，，化簡得，，利用累乘法得，顯然滿足上式，所以故答案為：6．（2024高三下·全國·專題練習(xí)）已知數(shù)列，則數(shù)列的通項為【答案】【分析】利用條件，再寫一式，兩式相減，可得，利用累乘法，可求數(shù)列的通項．【詳解】∵①，∴當(dāng)時，②，①-②得：，即：，∴，∴，當(dāng)時，結(jié)論也成立．∴．故答案為：④構(gòu)造法一、填空題1．（23-24高二上·廣東深圳·期末）已知數(shù)an滿足，則數(shù)列an的通項公式．【答案】【分析】由題意可得，即是以為首項，為公比的等比數(shù)列，由等比數(shù)列的通項公式求解即可.【詳解】由可得：，又,，所以是以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以，所以.故答案為：2．（23-24高二下·江西南昌·階段練習(xí)）已知數(shù)列an的遞推公式為且，則數(shù)列an的前n項和=【答案】【分析】由題意可得是首項為，公比為的等比數(shù)列，即可求出，再由分組求和法求解即可.【詳解】當(dāng)時，，則，所以是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以，所以，數(shù)列的前n項和.故答案為：3．（23-24高一下·上海·期末）數(shù)列滿足，則數(shù)列的通項公式為.【答案】【分析】根據(jù)給定的遞推公式，利用構(gòu)造法，結(jié)合等比數(shù)列通項求解即得.【詳解】數(shù)列中，由，得，即，而，，于是數(shù)列是首項為3，公比為的等比數(shù)列，因此，即，所以數(shù)列的通項公式為.故答案為：4．（23-24高二下·四川南充·期中）已知數(shù)列an的首項為，且滿足，則．【答案】【分析】借助所給條件可構(gòu)造，即可得數(shù)列為等比數(shù)列，即可得.【詳解】由，即，則，又，故數(shù)列是以為公比、為首項的等比數(shù)列，即，則.故答案為：.5．（22-23高二下·全國·單元測試）已知數(shù)列滿足，，，則.【答案】【分析】將變形可得數(shù)列為等差數(shù)列，再借助等差數(shù)列求解即得.【詳解】數(shù)列中，，，顯然，取倒數(shù)得，即，則數(shù)列是首項為1，公差為4的等差數(shù)列，因此，所以.故答案為：.6．（23-24高二下·河南·期中）數(shù)列中，若，，則．【答案】19【分析】取倒數(shù)可得，即可得數(shù)列的通項公式，計算即可得.【詳解】∵，則，∴，∴故數(shù)列為等差數(shù)列，公差等于2，又，故，∴.故答案為：19．7．（23-24高三下·四川·期末）若數(shù)列的前n項和為，，，則數(shù)列的通項公式為．【答案】【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合變形等式，再構(gòu)造常數(shù)