實戰(zhàn)演練06 立體幾何中的平行問題-備戰(zhàn)2025年高考數學真題題源解密（新高考卷）解析版

第第頁實戰(zhàn)演練06立體幾何中的平行問題①利用中位線證線面平行②利用平行四邊形證線面平行③利用線段成比例證線面平行④利用線面平行的性質定理證線面平行⑤利用面面平行證線面平行⑥四點共面問題一、直線與平面平行1．定義：直線與平面沒有公共點，則稱此直線與平面平行，記作∥2．判定方法（文字語言、圖形語言、符號語言）文字語言圖形語言符號語言線∥線線∥面如果平面外的一條直線和這個平面內的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行（簡記為“線線平行線面平行面∥面線∥面如果兩個平面平行，那么在一個平面內的所有直線都平行于另一個平面3．性質定理（文字語言、圖形語言、符號語言）文字語言圖形語言符號語言線∥面線∥線如果一條直線和一個平面平行，經過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線就和交線平行二、平面與平面平行1．定義沒有公共點的兩個平面叫作平行平面，用符號表示為：對于平面和，若，則∥2．判定方法（文字語言、圖形語言、符號語言）文字語言圖形語言符號語言判定定理線∥面面∥面如果一個平面內有兩條相交的直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行（簡記為“線面平行面面平行線面面∥面如果兩個平面同垂直于一條直線，那么這兩個平面平行∥3．性質定理（文字語言、圖形語言、符號語言）文字語言圖形語言符號語言面//面線//面如果兩個平面平行，那么在一個平面中的所有直線都平行于另外一個平面性質定理如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么他們的交線平行（簡記為“面面平行線面平行”）面//面線面如果兩個平面中有一個垂直于一條直線，那么另一個平面也垂直于這條直線①利用中位線證線面平行解題技法（1）可以拿一把直尺放在位置（與平齊），如圖一；（2）然后把直尺平行往平面方向移動，直到直尺第一次落在平面內停止，如圖二；（3）此時剛好經過點（這里熟練后可以直接憑數感直接找到點），此時直尺所在的位置就是我們要找的平行線，直尺與相交于點，連接，如圖三；（4）此時長度有長有短，連接并延長剛好交于一點，剛好構成型模型（為中點，則也為中點，若為等分點，則也為對應等分點），，如圖四．一、解答題1．（24-25高二·上?！ふn堂例題）如圖，點E不在平面ABCD上，ABCD是正方形，F為BE的修正處中點．求證：DE∥平面ACF．【答案】證明見解析【分析】根據線面平行的判定定理，只需在平面找到一條直線與DE平行即可.【詳解】連接BD交AC于G，連接FG．∵F、G分別為BE、BD的中點，∴，平面ACF，DE面，∴平面ACF2．（23-24高一下·江蘇連云港·期中）如圖，在三棱柱中，為的中點，設平面與底面的交線為．(1)證明：平面；【答案】(1)證明見解析；【分析】（1）連接與交于點O，連接，根據三角形中位線的性質可得,再根據線面平行的判定定理即可證明；【詳解】（1）證明：如圖，連接與交于點O，連接在三棱柱中，側面為平行四邊形，所以O為的中點，又因為點M為的中點，所以，因為平面，平面，所以平面.3．（2024·河北·二模）如圖，在四棱錐中，底面是菱形且，是邊長為的等邊三角形，，，分別為，，的中點，與交于點．(1)證明：平面；【答案】(1)證明過程見解析【分析】（1）作出，再根據線面平行的判定定理證明即可.【詳解】（1）如圖，設與交于點，連接.因為分別為的中點，底面是菱形，所以且，所以四邊形是平行四邊形，所以，因為為的中點，所以為的中點，因為為的中點，所以，又平面，平面，所以平面.②利用平行四邊形證線面平行解題技法（1）可以拿一把直尺放在位置，如圖一；（2）然后把直尺平行往平面方向移動，直到直尺第一次落在平面內停止，如圖二；（3）此時剛好經過點（這里熟練后可以直接憑數感直接找到點），此時直尺所在的位置就是我們要找的平行線，直尺與相交于點O，連接，如圖三；（4）此時長度相等（感官上相等即可，若感覺有長有短則考慮法一A型的平行），連接，剛好構成平行四邊形型模型（為中點，O也為中點，為三角形中位線），，如圖四．圖一圖二圖三圖四一、解答題1．（23-24高三上·廣東湛江·階段練習）如圖，在直三棱柱中，，E為的中點，F為BC的中點．(1)證明：平面；【答案】(1)證明見解析；【分析】（1）證明四邊形是平行四邊形即可；【詳解】（1）證明：取的中點O，連接,，∵，，∴且，∵，，∴，且,∴四邊形是平行四邊形，∴，∵，平面，平面，∴平面.2．（23-24高三下·遼寧·階段練習）如圖，在四棱錐中，平面平面，是等邊三角形，底面是直角梯形，，，.

(1)若為棱的中點，求證：平面；【答案】(1)證明見解析【分析】（1）取的中點，連接、，即可證明四邊形為平行四邊形，從而得到，即可得證；【詳解】（1）取的中點，連接、，因為為棱的中點，所以且，又且，所以且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，BF?平面，所以平面；

3．（2024·四川遂寧·模擬預測）如圖，在多面體中，四邊形為菱形，，，⊥，且平面⊥平面.(1)在DE上確定一點M，使得平面；(2)若，且，求多面體的體積.【答案】(1)點M是ED的中點【分析】（1）作出輔助線，得到線線平行，進而得到四邊形平行四邊形，所以，從而得到線面平行；【詳解】（1）當M是ED的中點時，滿足平面，理由如下：取AD中點G，過點G作交DE于點M，則，連接，又由題，有，，所以，，即四邊形平行四邊形，所以.又平面，平面，所以平面.③利用線段成比例證線面平行一、解答題1．（23-24高一下·陜西渭南·期末）如圖，在四棱錐中，底面為等腰梯形，，，為與的交點，為上一點，且．(1)求證：平面；【答案】(1)證明見解析【分析】（1）根據，從而得到線線平行，從而可證線面平行；【詳解】（1）由及，可知，又，所以，所以在中有，又平面，而平面，所以平面；2．（23-24高一下·福建龍巖·期中）如圖1，在平面四邊形中，，，.是線段上靠近端的三等分點，是線段的中點，.將沿折成四棱錐，連接，，，如圖2.(1)在圖2中，證明：平面.【答案】(1)證明見解析【分析】（1）由得到，從而，結合得到，所以，由線面平行的判定得到平面；【詳解】（1）證明：連接，交于點，連接，，，又，，又是線段上靠近端的三等分點，，，，平面，平面，平面.3．（23-24高一下·廣東深圳·期中）如圖所示正四棱錐，，，為側棱上的點，且，求：(1)若為的中點，求證：平面BMD；【答案】(1)證明見解析【分析】（1）根據線面平行的判定即可證明；【詳解】（1）如圖，連接交于點，連接，，，則為的中點，當為的中點時，，又平面BMD，平面BMD，所以平面BMD；④利用線面平行的性質定理證線面平行解題技法如果一條直線和一個平面平行，經過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線就和交線平行一、解答題1．（2024·廣東·三模）如圖，邊長為4的兩個正三角形，所在平面互相垂直，，分別為，的中點，點在棱上，，直線與平面相交于點.(1)證明：；【答案】(1)證明見解析【分析】（1）首先證明平面，再由線面平行的性質證明即可；【詳解】（1）因為、分別為、的中點，所以，又平面，平面，則平面，又平面，平面平面，所以.2．（24-25高三上·山西大同·期末）如圖，四棱錐中，底面為矩形，底面，且分別為棱的中點，平面與平面交于直線.(1)求證：；【答案】(1)證明見解析【分析】（1）首先證得線面平行，然后利用線面平行的性質定理即可證得線線平行；【詳解】（1）證明：取的中點，連接，分別為的中點，，為的中點，且為矩形，，，四邊形為平行四邊形，，平面平面，平面，又平面，平面平面，.3．（2024·新疆·二模）在圓柱中，是圓的一條直徑，是圓柱的母線，其中點與，不重合，，是線段的兩個三等分點，BM=MN=ND，，．(1)若平面COM和平面CAN的交線為，證明：l//平面；【答案】(1)證明見解析【分析】（1）推導出OM∥AN，OM∥平面CAN，，由線面平行的性質定理可得l∥OM，由此能證明平面．【詳解】（1）證明：由已知，易得是的中點，是的中點，∴OM∥AN，又∵AN?平面CAN，OM?平面CAN，∴OM∥平面CAN又∵OM?平面COM，平面COM∩平面CAN=l，由線面平行的性質定理可得，l∥OM又∵OM?平面，l?平面，∴l(xiāng)∥平面⑤利用面面平行證線面平行解題技法已知平面平面，則平面里的任意直線均與平面平行一、解答題1．（2024·遼寧·模擬預測）如圖，已知多面體的底面為正方形，四邊形是平行四邊形，，，是的中點.(1)證明：平面；【答案】(1)證明見詳解【分析】（1）設，連接，根據題意可得∥，∥，可證平面∥平面，再利用面面平行的性質分析證明；【詳解】（1）設，連接，因為為正方形，則為的中點，又因為是的中點，則∥，且平面，平面，所以∥平面，由題意可知：四邊形是平行四邊形，∥，且平面，平面，所以∥平面，且，平面，可得平面∥平面，由平面，可得∥平面.2．（2024·陜西安康·模擬預測）如圖，在直三棱柱中，分別為棱的中點．(1)證明：∥平面；【答案】(1)證明見解析【分析】（1）根據題意可證∥平面，∥平面，可得平面∥平面，結合面面平行的性質分析證明；【詳解】（1）如圖，取的中點，連接．因為都是所在棱的中點，則∥，∥，所以∥，且平面，平面，所以∥平面．因為分別是和的中點，則∥，，可得∥，，可知四邊形是平行四邊形，則，且平面，平面，所以∥平面，且，平面，所以平面∥平面，由平面可得∥平面．3．（2024·福建福州·模擬預測）如圖，以正方形的邊所在直線為旋轉軸，其余三邊旋轉120°形成的面圍成一個幾何體．設是上的一點，，分別為線段，的中點．(1)證明：平面；【答案】(1)證明見解析【分析】（1）證法一：在正方形中，連接并延長，交的延長線于點，連接，通過證明可得，進而利用線面平行的判定定理即可證明；證法二：取的中點，連接，，通過證明四邊形是平行四邊形可得，進而利用線面平行的判定定理即可證明；證法三：取的中點，連接，，利用面面平行的判定定理證明平面平面，從而即可得證平面.【詳解】（1）證法一：在正方形中，連接并延長，交的延長線于點，連接．因為，分別為線段，中點，所以，所以，所以，所以．又因為平面，平面，所以平面．證法二：取的中點，連接，，因為，分別為線段，的中點，所以，，又因為，，所以，，所以四邊形是平行四邊形，所以，又因為平面，平面，所以平面．證法三：取的中點，連接，．因為，分別為線段，的中點，所以，，又因為平面，BP?平面，所以平面．因為平面，平面，所以平面．又因為，平面，平面，所以平面平面，又因為平面，所以平面．4．（24-25高三上·廣東·開學考試）如圖1，直角梯形中，，將直角梯形繞旋轉一周得到如圖2的圓臺，為圓臺的母線，且是的中點．

(1)在線段上是否存在一點，使平面？說明理由；【答案】(1)存在，理由見解析【分析】（1）過作，過作一條平行的直線交于點，此時，利用線面平行的判定定理得平面AEFD、平面，再由面面平行的判定定理、性質定理可得答案；【詳解】（1）線段上存在一點，使平面．理由如下：過作，垂足為為中點，又，所以，過作一條平行的直線交于點，此時．易知平面平面，所以平面AEFD．

同理平面，又，平面，所以平面平面，平面，所以平面，故線段上存在一點，使平面，且；5．（2024·陜西商洛·模擬預測）在四棱錐中，平面，點在線段上，且.

(1)求證：平面；【答案】(1)證明見解析【分析】（1）在線段上取一點，使，連接，可證四邊形為平行四邊形，即可得，再利用線面平行的判定定理可證平面，根據成比例線段證得，再利用線面平行的判定定理可證平面，再結合面面平行的判定和性質即可得證；【詳解】（1）證明：在線段上取一點，使，連接.

在四邊形中，，所以，即.又，所以四邊形為平行四邊形，所以.又平面平面，所以平面.在三角形中，，所以.又平面平面，所以平面.又平面，所以平面平面.又平面，所以平面.⑥四點共面問題一、解答題1．（2024·四川涼山·三模）如圖，在正四棱柱中，，，點分別在棱，，，上，，，CG=3．(1)證明：點在平面中；【答案】(1)證明見解析【分析】（1）取中點，中點，連接，，，證明出，得出四點共面，即可證明點在平面中；【詳解】（1）取中點，中點，連接，，，則，，由正四棱柱得，，則，又點H,Q為中點，所以，即四邊形為平行四邊形，同理可得，四邊形為平行四邊形，所以且，則，所以四邊形為平行四邊形，所以，因為，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以，所以四點共面，即點在平面中．2．（2024·江西南昌·三模）如圖1，四邊形為菱形，，，分別為，的中點，如圖2．將沿向上折疊，使得平面平面，將沿向上折疊．使得平面平面，連接.(1)求證：，，，四點共面：【答案】(1)證明見解析【分析】（1）利用線面垂直的性質得到，結合中位線定理得到，最后證明四點共面即可.【詳解】（1）取，的中點分別為，，連接，，取，的中點分別為，，連接，，，由題意知，都是等邊三角形，所以，，因為平面平面，平面平面，所以平面，平面，所以，因為，的中點分別為，，所以所以，所以，所以，又因為，所以，因為，的中點分別為，，所以，所以，所以，，，四點共面；3．（2024·全國·模擬預測）如圖，