2024屆四川省廣元市虎跳中學(xué)第二學(xué)期高三期末考試數(shù)學(xué)試題試卷

2024屆四川省廣元市虎跳中學(xué)第二學(xué)期高三期末考試數(shù)學(xué)試題試卷注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書(shū)寫在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．在中，D為的中點(diǎn)，E為上靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn)，且，相交于點(diǎn)P，則（）A． B．C． D．2．已知函數(shù)，關(guān)于x的方程f（x）＝a存在四個(gè)不同實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A．（0，1）∪（1，e） B．C． D．（0，1）3．已知函數(shù)是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，且滿足，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在區(qū)間上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）A．9 B．10 C．18 D．204．若是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，且，則A．的值域?yàn)?B．為周期函數(shù)，且6為其一個(gè)周期C．的圖像關(guān)于對(duì)稱 D．函數(shù)的零點(diǎn)有無(wú)窮多個(gè)5．已知橢圓（a＞b＞0）與雙曲線（a＞0，b＞0）的焦點(diǎn)相同，則雙曲線漸近線方程為（）A． B．C． D．6．已知數(shù)列中，，若對(duì)于任意的，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B．C． D．7．“完全數(shù)”是一些特殊的自然數(shù)，它所有的真因子（即除了自身以外的約數(shù)）的和恰好等于它本身.古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯公元前六世紀(jì)發(fā)現(xiàn)了第一、二個(gè)“完全數(shù)”6和28，進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)后續(xù)三個(gè)完全數(shù)”分別為496，8128，33550336，現(xiàn)將這五個(gè)“完全數(shù)”隨機(jī)分為兩組，一組2個(gè)，另一組3個(gè)，則6和28不在同一組的概率為（）A． B． C． D．8．若，，，點(diǎn)C在AB上，且，設(shè)，則的值為（）A． B． C． D．9．已知，且，則的值為（）A． B． C． D．10．是的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件11．設(shè)i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則a的值為（）A． B．3 C．1 D．12．若直線經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，則（）A． B． C．2 D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若關(guān)于的不等式在上恒成立，則的最大值為_(kāi)_________．14．若,則=______,=______.15．已知一組數(shù)據(jù)，1，0，，的方差為10，則________16．某校初三年級(jí)共有名女生，為了了解初三女生分鐘“仰臥起坐”項(xiàng)目訓(xùn)練情況，統(tǒng)計(jì)了所有女生分鐘“仰臥起坐”測(cè)試數(shù)據(jù)（單位：個(gè)），并繪制了如下頻率分布直方圖，則分鐘至少能做到個(gè)仰臥起坐的初三女生有_____________個(gè)．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)，.（1）若時(shí)，解不等式；（2）若關(guān)于的不等式在上有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.18．（12分）改革開(kāi)放年，我國(guó)經(jīng)濟(jì)取得飛速發(fā)展，城市汽車保有量在不斷增加，人們的交通安全意識(shí)也需要不斷加強(qiáng).為了解某城市不同性別駕駛員的交通安全意識(shí)，某小組利用假期進(jìn)行一次全市駕駛員交通安全意識(shí)調(diào)查.隨機(jī)抽取男女駕駛員各人，進(jìn)行問(wèn)卷測(cè)評(píng)，所得分?jǐn)?shù)的頻率分布直方圖如圖所示在分以上為交通安全意識(shí)強(qiáng).求的值，并估計(jì)該城市駕駛員交通安全意識(shí)強(qiáng)的概率；已知交通安全意識(shí)強(qiáng)的樣本中男女比例為，完成下列列聯(lián)表，并判斷有多大把握認(rèn)為交通安全意識(shí)與性別有關(guān)；安全意識(shí)強(qiáng)安全意識(shí)不強(qiáng)合計(jì)男性女性合計(jì)用分層抽樣的方式從得分在分以下的樣本中抽取人，再?gòu)娜酥须S機(jī)選取人對(duì)未來(lái)一年內(nèi)的交通違章情況進(jìn)行跟蹤調(diào)查，求至少有人得分低于分的概率.附：其中19．（12分）已知點(diǎn)，直線與拋物線交于不同兩點(diǎn)、，直線、與拋物線的另一交點(diǎn)分別為兩點(diǎn)、，連接，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，連接、．（1）證明：；（2）若的面積，求的取值范圍．20．（12分）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，（，且）（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）證明：當(dāng)時(shí)，21．（12分）已知拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為2，（1）求的值與拋物線的方程；（2）拋物線上第一象限內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)，拋物線上第四象限內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，滿足，求直線的斜率范圍.22．（10分）如圖，橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，點(diǎn)、、為橢圓上的三個(gè)點(diǎn)，為橢圓的右端點(diǎn)，過(guò)中心，且，．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)、是橢圓上位于直線同側(cè)的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（異于、），且滿足，試討論直線與直線斜率之間的關(guān)系，并求證直線的斜率為定值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】

設(shè)，則，，由B，P，D三點(diǎn)共線，C，P，E三點(diǎn)共線,可知，,解得即可得出結(jié)果.【詳解】設(shè)，則，，因?yàn)锽，P，D三點(diǎn)共線，C，P，E三點(diǎn)共線，所以，，所以，.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量基本定理和向量共線定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.2、D【解析】

原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為有四個(gè)不同的實(shí)根，換元處理令t，對(duì)g（t）進(jìn)行零點(diǎn)個(gè)數(shù)討論.【詳解】由題意，a＞2，令t，則f（x）＝a????．記g（t）．當(dāng)t＜2時(shí)，g（t）＝2ln（﹣t）（t）單調(diào)遞減，且g（﹣2）＝2，又g（2）＝2，∴只需g（t）＝2在（2，+∞）上有兩個(gè)不等于2的不等根．則?，記h（t）（t＞2且t≠2），則h′（t）．令φ（t），則φ′（t）2．∵φ（2）＝2，∴φ（t）在（2，2）大于2，在（2，+∞）上小于2．∴h′（t）在（2，2）上大于2，在（2，+∞）上小于2，則h（t）在（2，2）上單調(diào)遞增，在（2，+∞）上單調(diào)遞減．由，可得，即a＜2．∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是（2，2）．故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查方程的根與函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題，關(guān)鍵在于等價(jià)轉(zhuǎn)化，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為通過(guò)導(dǎo)函數(shù)討論函數(shù)單調(diào)性解決問(wèn)題.3、B【解析】

由已知可得函數(shù)f（x）的周期與對(duì)稱軸，函數(shù)F（x）＝f（x）在區(qū)間上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)等價(jià)于函數(shù)f（x）與g（x）圖象在上交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，作出函數(shù)f（x）與g（x）的圖象如圖，數(shù)形結(jié)合即可得到答案.【詳解】函數(shù)F（x）＝f（x）在區(qū)間上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)等價(jià)于函數(shù)f（x）與g（x）圖象在上交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，由f（x）＝f（2﹣x），得函數(shù)f（x）圖象關(guān)于x＝1對(duì)稱，∵f（x）為偶函數(shù)，取x＝x+2，可得f（x+2）＝f（﹣x）＝f（x），得函數(shù)周期為2.又∵當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）＝x，且f（x）為偶函數(shù)，∴當(dāng)x∈[﹣1，0]時(shí)，f（x）＝﹣x，g（x），作出函數(shù)f（x）與g（x）的圖象如圖：由圖可知，兩函數(shù)圖象共10個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)F（x）＝f（x）在區(qū)間上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為10.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法與數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，屬于中檔題.4、D【解析】

運(yùn)用函數(shù)的奇偶性定義，周期性定義，根據(jù)表達(dá)式判斷即可.【詳解】是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，則，，又，，即是以4為周期的函數(shù)，，所以函數(shù)的零點(diǎn)有無(wú)窮多個(gè)；因?yàn)椋?，令，則，即，所以的圖象關(guān)于對(duì)稱，由題意無(wú)法求出的值域，所以本題答案為D.【點(diǎn)睛】本題綜合考查了函數(shù)的性質(zhì)，主要是抽象函數(shù)的性質(zhì)，運(yùn)用數(shù)學(xué)式子判斷得出結(jié)論是關(guān)鍵.5、A【解析】

由題意可得，即，代入雙曲線的漸近線方程可得答案.【詳解】依題意橢圓與雙曲線即的焦點(diǎn)相同，可得：，即，∴，可得,雙曲線的漸近線方程為：,故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查橢圓和雙曲線的方程和性質(zhì)，考查漸近線方程的求法，考查方程思想和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．6、B【解析】

先根據(jù)題意，對(duì)原式進(jìn)行化簡(jiǎn)可得，然后利用累加法求得，然后不等式恒成立轉(zhuǎn)化為恒成立，再利用函數(shù)性質(zhì)解不等式即可得出答案.【詳解】由題，即由累加法可得：即對(duì)于任意的，不等式恒成立即令可得且即可得或故選B【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)列的通項(xiàng)的求法以及函數(shù)的性質(zhì)的運(yùn)用，屬于綜合性較強(qiáng)的題目，解題的關(guān)鍵是能夠由遞推數(shù)列求出通項(xiàng)公式和后面的轉(zhuǎn)化函數(shù)，屬于難題.7、C【解析】

先求出五個(gè)“完全數(shù)”隨機(jī)分為兩組，一組2個(gè)，另一組3個(gè)的基本事件總數(shù)為，再求出6和28恰好在同一組包含的基本事件個(gè)數(shù)，根據(jù)即可求出6和28不在同一組的概率.【詳解】解：根據(jù)題意，將五個(gè)“完全數(shù)”隨機(jī)分為兩組，一組2個(gè)，另一組3個(gè)，則基本事件總數(shù)為，則6和28恰好在同一組包含的基本事件個(gè)數(shù)，∴6和28不在同一組的概率.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查古典概型的概率的求法，涉及實(shí)際問(wèn)題中組合數(shù)的應(yīng)用.8、B【解析】

利用向量的數(shù)量積運(yùn)算即可算出．【詳解】解：，，又在上，故選：【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量的基本運(yùn)算的應(yīng)用，向量的基本定理的應(yīng)用及向量共線定理等知識(shí)的綜合應(yīng)用．9、A【解析】

由及得到、，進(jìn)一步得到，再利用兩角差的正切公式計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)?，所以，又，所以，，所?故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)誘導(dǎo)公式、二倍角公式以及兩角差的正切公式的應(yīng)用，考查學(xué)生的基本計(jì)算能力，是一道基礎(chǔ)題.10、B【解析】

分別判斷充分性和必要性得到答案.【詳解】所以（逆否命題）必要性成立當(dāng)，不充分故是必要不充分條件，答案選B【點(diǎn)睛】本題考查了充分必要條件，屬于簡(jiǎn)單題.11、D【解析】

整理復(fù)數(shù)為的形式,由復(fù)數(shù)為純虛數(shù)可知實(shí)部為0,虛部不為0,即可求解.【詳解】由題,,因?yàn)榧兲摂?shù),所以,則,故選:D【點(diǎn)睛】本題考查已知復(fù)數(shù)的類型求參數(shù)范圍,考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算.12、B【解析】

計(jì)算拋物線的交點(diǎn)為，代入計(jì)算得到答案.【詳解】可化為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，故.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的焦點(diǎn)，屬于簡(jiǎn)單題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

分類討論，時(shí)不合題意；時(shí)求導(dǎo)，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，得到在上的最小值，利用不等式恒成立轉(zhuǎn)化為函數(shù)最小值，化簡(jiǎn)得，構(gòu)造放縮函數(shù)對(duì)自變量再研究，可解,【詳解】令；當(dāng)時(shí)，，不合題意；當(dāng)時(shí)，，令，得或，所以在區(qū)間和上單調(diào)遞減.因?yàn)?，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以在處取極小值，即最小值為.若，，則，即.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，則.設(shè)，則.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減，所以，即，所以的最大值為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查不等式恒成立問(wèn)題.不等式恒成立問(wèn)題的求解思路：已知不等式(為實(shí)參數(shù))對(duì)任意的恒成立，求參數(shù)的取值范圍．利用導(dǎo)數(shù)解決此類問(wèn)題可以運(yùn)用分離參數(shù)法;如果無(wú)法分離參數(shù)，可以考慮對(duì)參數(shù)或自變量進(jìn)行分類討論求解，如果是二次不等式恒成立的問(wèn)題，可以考慮二次項(xiàng)系數(shù)與判別式的方法(,或，)求解．14、10【解析】

①根據(jù)換底公式計(jì)算即可得解；②根據(jù)同底對(duì)數(shù)加法法則，結(jié)合①的結(jié)果即可求解.【詳解】①由題：,則；②由①可得：.故答案為：①1，②0【點(diǎn)睛】此題考查對(duì)數(shù)的基本運(yùn)算，涉及換底公式和同底對(duì)數(shù)加法運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題目.15、7或【解析】

依據(jù)方差公式列出方程，解出即可．【詳解】，1，0，，的平均數(shù)為，所以解得或．【點(diǎn)睛】本題主要考查方差公式的應(yīng)用．16、【解析】

根據(jù)數(shù)據(jù)先求出，再求出分鐘至少能做到個(gè)仰臥起坐的初三女生人數(shù)即可.【詳解】解：，.則分鐘至少能做到個(gè)仰臥起坐的初三女生人數(shù)為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查頻率分布直方圖，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】

（1）零點(diǎn)分段法，分，，討論即可；（2）當(dāng)時(shí)，原問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為：存在，使不等式成立，即.【詳解】解：（1）若時(shí)，，當(dāng)時(shí)，原不等式可化為，解得，所以，當(dāng)時(shí)，原不等式可化為，解得，所以，當(dāng)時(shí)，原不等式可化為，解得，所以，綜上述：不等式的解集為；（2）當(dāng)時(shí)，由得，即，故得，又由題意知：，即，故的范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查解絕對(duì)值不等式以及不等式能成立求參數(shù)，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，是一道容易題.18、，概率為；列聯(lián)表詳見(jiàn)解析，有的把握認(rèn)為交通安全意識(shí)與性別有關(guān)；.【解析】

根據(jù)頻率和為列方程求得的值，計(jì)算得分在分以上的頻率即可；根據(jù)題意填寫列聯(lián)表，計(jì)算的值，對(duì)照臨界值得出結(jié)論；用分層抽樣法求得抽取各分?jǐn)?shù)段人數(shù)，用列舉法求出基本事件數(shù)，計(jì)算所求的概率值.【詳解】解：解得.所以，該城市駕駛員交通安全意識(shí)強(qiáng)的概率根據(jù)題意可知，安全意識(shí)強(qiáng)的人數(shù)有，其中男性為人，女性為人，填寫列聯(lián)表如下：安全意識(shí)強(qiáng)安全意識(shí)不強(qiáng)合計(jì)男性女性合計(jì)所以有的把握認(rèn)為交通安全意識(shí)與性別有關(guān).由題意可知分?jǐn)?shù)在，的分別為名和名，所以分層抽取的人數(shù)分別為名和名，設(shè)的為，，的為，，，，則基本事件空間為，，，，，，，，，，，，，，共種，設(shè)至少有人得分低于分的事件為，則事件包含的基本事件有，，，，，，，，共種所以.【點(diǎn)睛】本題考查獨(dú)立性檢驗(yàn)應(yīng)用問(wèn)題，也考查了列舉法求古典概型的概率問(wèn)題，屬于中檔題.19、（1）見(jiàn)解析；（2）．【解析】

（1）設(shè)點(diǎn)、，求出直線、的方程，與拋物線的方程聯(lián)立，求出點(diǎn)、的坐標(biāo)，利用直線、的斜率相等證明出；（2）設(shè)點(diǎn)到直線、的距離分別為、，求出，利用相似得出，可得出的邊上的高，并利用弦長(zhǎng)公式計(jì)算出，即可得出關(guān)于的表達(dá)式，結(jié)合不等式可解出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)、，則，直線的方程為：，由，消去并整理得，由韋達(dá)定理可知，，，代入直線的方程，得，解得，同理，可得，，，,代入得，因此，；（2）設(shè)點(diǎn)到直線、的距離分別為、，則，由（1）知，，，，，，同理，得，，由，整理得，由韋達(dá)定理得，，，得，設(shè)點(diǎn)到直線的高為，則，，，，解得，因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查直線與直線平行的證明，考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，考查拋物線、直線方程、韋達(dá)定理、弦長(zhǎng)公式、直線的斜率等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，是難題．20、(1)(2)見(jiàn)證明【解析】

(1)由題意將遞推關(guān)系式整理為關(guān)于與的關(guān)系式，求得前n項(xiàng)和然后確定通項(xiàng)公式即可；(2)由題意結(jié)合通項(xiàng)公式的特征放縮之后裂項(xiàng)求和即可證得題中的不等式.【詳解】（1）由，得，即，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，所以，即，當(dāng)時(shí)，，