安徽省馬鞍山市2025屆高三數(shù)學(xué)第三次教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試題文含解析

PAGE23-安徽省馬鞍山市2025屆高三數(shù)學(xué)第三次教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試題文（含解析）本試卷4頁(yè).考試時(shí)間120分鐘.留意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)和座位號(hào)填在答題卡上，將條形碼橫貼在答題卡右上角“條形碼粘貼處”.2.作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如須要改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案.答案不能答在試題卷上.3.非選擇題必需用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必需寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)運(yùn)用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答無效.4.考生必需保證答題卡的整齊.考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回.一、選擇題.1.已知集合，，則（）A. B.或 C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)集合并集的概念求解.【詳解】因?yàn)?，，如圖所示：則或.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查集合并集的運(yùn)算，屬于簡(jiǎn)潔題，借助數(shù)軸求解即可.2.已知復(fù)數(shù)滿意（是虛數(shù)單位），則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.其次象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】求出復(fù)數(shù)，再依據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，即可得答案；【詳解】，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限，故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算及復(fù)數(shù)的幾何意義，考查運(yùn)算求解實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.3.命題：，，則命題是（）A.， B.，C.， D.，【答案】C【解析】【分析】原命題是全稱命題，其否定為存在性量詞命題，故按規(guī)則可寫出原命題的否定.【詳解】因?yàn)椋?，，故：?故選：C.【點(diǎn)睛】全稱命題的一般形式是：，，其否定為.存在性量詞命題的一般形式是，，其否定為.4.2名男同學(xué)和1名女同學(xué)隨機(jī)排成一行照相，則2名男同學(xué)不相鄰的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】算出3名同學(xué)排成一排的排法，再計(jì)算2名男同學(xué)不相鄰的排法，依據(jù)古典概型的概率計(jì)算公式可得所求的概率.【詳解】設(shè)2名男同學(xué)為，一名女同學(xué)為，3名同學(xué)排成一排，共有種排法，排法如下：，，其中2名男同學(xué)不相鄰的排法有：，故所求的概率為，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查古典概型的概率的計(jì)算，關(guān)鍵是基本領(lǐng)件的總數(shù)和隨機(jī)事務(wù)中基本領(lǐng)件的個(gè)數(shù)的計(jì)算，計(jì)算時(shí)可采納枚舉法、樹形圖等幫助計(jì)數(shù)（個(gè)數(shù)較少時(shí)），也可以利用排列組合的方法來計(jì)數(shù)（個(gè)數(shù)較大時(shí)）.5.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)三視圖可知該幾何體的直觀圖為一個(gè)正方體切掉個(gè)球，然后依據(jù)公式計(jì)算即可.【詳解】依據(jù)三視圖可知該幾何體的直觀圖為一個(gè)正方體切掉個(gè)球

正方體體積為，個(gè)球的體積為所以該幾何體的體積為故選：A【點(diǎn)睛】本題考查三視圖的還原以及幾何體的體積，考查空間想象實(shí)力，屬基礎(chǔ)題.6.德國(guó)聞名天文學(xué)家開普勒說過：“幾何學(xué)里有兩件寶，一個(gè)是勾股定理，另個(gè)是黃金分割.假如把勾股定理比作黃金礦的話，那么可以把黃金分割比作鉆石礦.”現(xiàn)將底與腰之比或腰與底之比為的等腰三角形稱為黃金三角形，它是一個(gè)頂角為36°或108°的等腰三角形如圖，，，都是黃金三角形，若，則的大小為（）A. B. C.2 D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)題意可得，可知然后依據(jù)，計(jì)算即可.【詳解】由題可知：，又所以，則又，所以故選：C【點(diǎn)睛】本題考查新定義的理解，審清題意，細(xì)心計(jì)算屬基礎(chǔ)題.7.將函數(shù)的圖象上各點(diǎn)橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），再將所得圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出將函數(shù)的圖象上各點(diǎn)橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），得到的函數(shù)的解析式，再求將所得圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到的函數(shù)的解析式.【詳解】將函數(shù)的圖象上各點(diǎn)橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），得到，再將所得圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象.故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的圖象的變換，意在考查學(xué)生對(duì)這些學(xué)問的理解駕馭水平.8.在中，為上一點(diǎn)，且，，若，則（）A.， B.，C.， D.，【答案】C【解析】【分析】利用，進(jìn)一步用表示，然后簡(jiǎn)潔計(jì)算推斷即可.【詳解】由題可知：，，則為在上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，為的中點(diǎn)所以，又所以所以，故選：C【點(diǎn)睛】本題考查向量的基地表示，運(yùn)用三角形法則以及平行四邊形法則，嫻熟向量的加法法則、減法法則，屬基礎(chǔ)題.9.已知正方體的棱長(zhǎng)為，直線平面，平面截此正方體所得截面中，正確的說法是（）A.截面形態(tài)可能為四邊形 B.截面形態(tài)可能為五邊形C.截面面積最大值為 D.截面面積最大值為【答案】D【解析】【分析】利用圖形，該截面與平面平行，利用解除法可把A,B解除，當(dāng)截面為正六邊形時(shí)有面積最大，計(jì)算即可.【詳解】如圖在正方體中平面，所以平面與平面平行平面與正方體的截面可以是三角形、六邊形但不會(huì)是五邊形和四邊形當(dāng)截面為正六邊形時(shí)，截面面積有最大，由題可知：，則故選：D【點(diǎn)睛】本題考查空間幾何體的截面，考查空間想象實(shí)力，屬基礎(chǔ)題.10.已知函數(shù)是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，在上單調(diào)遞減，則不等式的解集是（）A. B.（1，3） C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)可得的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，再依據(jù)在上單調(diào)遞減可得滿意不等式，從而可得正確的選項(xiàng).【詳解】因?yàn)榈膱D象是由的圖象向左平移2個(gè)單位，而的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，故的圖象關(guān)于直線對(duì)稱.由在上單調(diào)遞減可得在上單調(diào)遞增，故即為，也就是，所以或，解得或，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)不等式的解法，此類問題一般先依據(jù)函數(shù)單調(diào)性和圖象的對(duì)稱性去掉對(duì)應(yīng)法則，解對(duì)數(shù)不等式時(shí)留意真數(shù)為正，本題屬于中檔題．11.已知正項(xiàng)等比數(shù)列中，，，表示數(shù)列的前項(xiàng)和，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先計(jì)算出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再計(jì)算的前項(xiàng)和，并求的取值范圍.【詳解】因?yàn)椋?，且，所以公比，，則，，，所以是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，則的前項(xiàng)和當(dāng)時(shí)，有最小值，又所以的范圍是.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和，較簡(jiǎn)潔，只須要依據(jù)等比數(shù)列中的基本公式求解即可.12.在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓，過左焦點(diǎn)傾斜角為的直線交橢圓上半部分于點(diǎn)，以，為鄰邊作平行四邊形，若點(diǎn)在橢圓上，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】分別設(shè)出，的坐標(biāo)，由題意可得，，再由，在橢圓上，把，的坐標(biāo)代入橢圓方程，聯(lián)立可得關(guān)于，的方程，結(jié)合隱含條件即可求得，的值．【詳解】依題意，，設(shè)，，，，四邊形為平行四邊形，，又，，，又，且直線的傾斜角為，．，，，，．得，將的坐標(biāo)代入橢圓方程，可得，①又，②聯(lián)立①②解得：，．故橢圓方程為：故選：D【點(diǎn)睛】本題考查橢圓方程的求解，考查分析實(shí)力以及計(jì)算實(shí)力，屬中檔題.二、填空題13.等差數(shù)列中，公差，，，則________.【答案】5【解析】【分析】依據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式，化簡(jiǎn)可得，由此即可求出結(jié)果.【詳解】由題意可知，，又，所以所以所以，化簡(jiǎn)可得，所以.故答案為：5.【點(diǎn)睛】本題主要考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.14.已知雙曲線的一條漸近線與直線垂直，則該雙曲線的離心率為________.【答案】【解析】【分析】先求出漸近線的方程，再依據(jù)漸近線與已知直線垂直可求的關(guān)系，從而可求離心率.【詳解】雙曲線的漸近線方程為，因?yàn)槠渲幸粭l與直線垂直，故，即，故即.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的離心率的計(jì)算，此類問題只要找到一組關(guān)系式即可，本題屬于簡(jiǎn)潔題.15.口罩是一種重要的醫(yī)療物資，為確?？谡止?yīng)，某工廠口罩生產(chǎn)線高速運(yùn)轉(zhuǎn).設(shè)該工廠連續(xù)6天生產(chǎn)的口罩?jǐn)?shù)量依次為，，，，，，（單位：萬只）若，，，，，，的方差為1，且，，，，，的平均數(shù)為5，則該工廠這6天平均每天生產(chǎn)口罩________萬只.【答案】2【解析】【分析】依據(jù)可求平均每天生產(chǎn)口罩只數(shù).【詳解】設(shè)方差為，則，其中為6天平均每天生產(chǎn)口罩只數(shù)，由題設(shè)有，故，所以，故答案為：2.【點(diǎn)睛】本題考查樣本方差和樣本均值的關(guān)系，兩者常見的關(guān)系為，該公式可轉(zhuǎn)化為，留意公式的合理運(yùn)用.16.已知函數(shù)，則在點(diǎn)處的切線方程為________；若在上有唯一零點(diǎn)，則的值為________.【答案】(1).(2).【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義和直線的點(diǎn)斜式方程求得切線方程；（2）當(dāng)時(shí)，易得.當(dāng)，利用導(dǎo)數(shù)探討的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在定理得到存在唯一的實(shí)數(shù),使得,且在上，在上,，從而得到區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增,結(jié)合端點(diǎn)值分析，可得在上有唯一零點(diǎn)，,且，兩式結(jié)合，并利用二倍角的余弦公式化簡(jiǎn)即可求得的值.【詳解】（1）所以在點(diǎn)處的切線方程為；（2）,,當(dāng)時(shí)，,當(dāng)時(shí)，,∴是單調(diào)遞增函數(shù)，又因?yàn)椋?所以存在唯一的實(shí)數(shù),使得,且在上，在上,綜上所述，在區(qū)間內(nèi)，在區(qū)間上,即區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增,又∵在上有唯一零點(diǎn)，,且,即,且,所以，故答案為：；.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義探討函數(shù)的切線問題，利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而探討零點(diǎn)問題，涉及到二倍角公式，難點(diǎn)是對(duì)于再利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行探討，以及分段探討思想.三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟第7~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必需做答.第22、23題為選考題，考生依據(jù)要求做答.（一）必考題：17.在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，的面積為，且.（1）求角；（2）若，求.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由題得，再利用余弦定理化簡(jiǎn)得，即得解；（2）設(shè)，先利用余弦定理求出，再利用正弦定理求解.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，解得，又，?（2）設(shè)則所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查三角形面積公式的應(yīng)用，意在考查學(xué)生對(duì)這些學(xué)問的理解駕馭水平.18.如圖，四棱錐的底面是菱形，，平面，為的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）若，求四棱錐側(cè)面積.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）連接，由題意可知是正三角形，可證，由平面，可證，由線面垂直的判定定理即可證明結(jié)果；（2）連接，有勾股定理可證，在中，由余弦定理得，可得，即可求出，再依據(jù)對(duì)稱性知：，，所以四棱錐的側(cè)面積為，即可求出結(jié)果.【詳解】（1）如圖，連接，∵底面菱形，，∴正三角形.∵為的中點(diǎn)，∴.①又∵平面，平面，∴②又∵，③由①②③知：平面.（2）連接，易得，在中，∵，，在中，由余弦定理得，∴從而，又∵，由對(duì)稱性知：，四棱錐的側(cè)面積.【點(diǎn)睛】本題主要考查了線面垂直的判定定理的應(yīng)用，以及錐體側(cè)面積的求法，屬于基礎(chǔ)題.19.某科研單位探討人員對(duì)某種細(xì)菌的繁殖狀況進(jìn)行了探討，發(fā)覺該細(xì)菌繁殖的個(gè)數(shù)（單位：個(gè)）隨時(shí)間（單位：天）的改變狀況如表l：123456510265096195表1令，與對(duì)應(yīng)關(guān)系如表2：5102650961951.612.303.263.914.565.27表2依據(jù)表1繪制散點(diǎn)圖如下：（1）依據(jù)散點(diǎn)圖推斷，與，哪一個(gè)更適合作為細(xì)菌的繁殖數(shù)量關(guān)于時(shí)間的回來方程類型（給出推斷即可，不必說明理由）；（2）依據(jù)（1）的推斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立關(guān)于的回來方程（系數(shù)精確到0.01）；（3）若要使細(xì)菌的繁殖數(shù)量不超過4030個(gè)，請(qǐng)依據(jù)（2）的結(jié)果預(yù)料細(xì)菌繁殖的天數(shù)不超過多少天？參考公式：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，，…，，其回來直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為，.參考數(shù)據(jù)：，，，，，，，，【答案】（1）更適合；（2）；（3）細(xì)菌繁殖的天數(shù)不超過10天.【解析】【分析】（1）依據(jù)散點(diǎn)圖的形態(tài)可干脆得到結(jié)果.（2）利用還原法，將非線性的轉(zhuǎn)化為線性的，然后依據(jù)線性回來系數(shù)計(jì)算公式計(jì)算即可.（3）依據(jù)（2）的結(jié)論，計(jì)算即可.【詳解】（1）依據(jù)散點(diǎn)圖推斷，更適合作為細(xì)菌的繁殖數(shù)量y關(guān)于時(shí)間x的回來方程類型（2）設(shè)，變換后可得，設(shè)，建立關(guān)于的回來方程，，所以關(guān)于的回來方程為，所以（3）當(dāng)時(shí)，即所以，所以故細(xì)菌繁殖的天數(shù)不超過10天【點(diǎn)睛】本題考查非線性回來方程的應(yīng)用，嫻熟運(yùn)用等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想將非線性的轉(zhuǎn)化為線性的，考查計(jì)算實(shí)力，屬中檔題.20.已知?jiǎng)訄A過點(diǎn)(2，0)，被軸截得的弦長(zhǎng)為4.（1）求圓心的軌跡方程；（2）若的頂點(diǎn)在的軌跡上，且，關(guān)于軸對(duì)稱，直線經(jīng)過點(diǎn)，求證：直線恒過定點(diǎn).【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）設(shè)動(dòng)圓圓心，由題意可得：，整理即可得到軌跡方程；（2）設(shè)直線的方程：，聯(lián)立，得，列出韋達(dá)定理，再設(shè)直線的方程：，與拋物線聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，結(jié)合已知條件能證明直線恒過點(diǎn)．【詳解】解：（1）設(shè)動(dòng)圓圓心，由題意可得：，整理得：，所以，動(dòng)圓圓心的軌跡的方程：（2）由題意，直線經(jīng)過點(diǎn)，設(shè)，直線的方程：與拋物線方程聯(lián)立：得到：，明顯由根與系數(shù)關(guān)系：，再設(shè)直線的方程：，與拋物線聯(lián)立：得到：，由對(duì)稱性知：，又由根與系數(shù)關(guān)系：所以：，即，直線的方程：，直線恒過定點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題考查圓心的軌跡方程的求法，考查直線過定點(diǎn)的證明，解題時(shí)要仔細(xì)審題，留意拋物線定義、直線方程、韋達(dá)定理的合理運(yùn)用，屬于中檔題．21.函數(shù)，，其中，是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).（1）若，求函數(shù)的最小值；（2）若時(shí)，恒成立，求的取值范圍.【答案】（1）1；（2）.【解析】【分析】（1）當(dāng)時(shí)，，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，分析函數(shù)的單調(diào)性，可得的最小值，（2）令函數(shù)（），對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，分析其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，得出函數(shù)的單調(diào)性，可得出的取值范圍.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，∴，①當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；②當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增.∴；（2）令（），則，∴，令，則，①當(dāng)時(shí)，恒成立，可得在上單調(diào)遞增，∴，∴恒成立，∴恒成立.②當(dāng)時(shí)，當(dāng)，，在上單減，當(dāng)，，在上單增，則當(dāng)時(shí)，，∴，時(shí)，.∴不是恒成立的.綜上所述，的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查運(yùn)用導(dǎo)函數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性和最值，構(gòu)造新函數(shù)解決不等式恒成立問題，屬于較難題.（二）選考題：[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]22.在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（其中為參數(shù)）.以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）求曲線的一般方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）若曲線上恰有三個(gè)點(diǎn)到曲線的距離為1，求的值.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）利用三角函數(shù)恒等變換，消參后得到曲線的一般方程，依據(jù)