2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)模塊素養(yǎng)檢測含解析新人教B版必修第四冊

PAGE模塊素養(yǎng)檢測(120分鐘150分)一、單項(xiàng)選擇題(本大題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)符合題目要求)1.設(shè)a,b∈R,i是虛數(shù)單位,則“ab=0”是“復(fù)數(shù)a+QUOTE為純虛數(shù)”的 ()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【解析】選B.由ab=0,得a=0,b≠0或a≠0,b=0或a=0,b=0,a+QUOTE=a-bi不肯定為純虛數(shù);若a+QUOTE=a-bi為純虛數(shù),則有a=0且b≠0,這時(shí)有ab=0.2.△ABC的三邊分別為a,b,c,且a=1,B=45°,S△ABC=2,則△ABC的外接圓的直徑為 ()A.4QUOTE B.5 C.5QUOTE D.6QUOTE【解析】選C.因?yàn)镾△ABC=QUOTEacsinB=2,所以c=4QUOTE.由余弦定理,得b2=a2+c2-2accosB=25,所以b=5.由正弦定理得2R=QUOTE=5QUOTE(R為△ABC外接圓的半徑).3.(2024·新高考全國Ⅰ卷)QUOTE= ()A.1 B.-1 C.i D.-i【解析】選D.QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=-i.4.在△ABC中,a,b,c分別為內(nèi)角A,B,C所對的邊,若a=1,sinB=QUOTE,C=QUOTE,則b的值為 ()A.1 B.QUOTE C.QUOTE或QUOTE D.±1【解析】選C.在△ABC中,sinB=QUOTE,0<B<π,所以B=QUOTE或QUOTE,當(dāng)B=QUOTE時(shí),△ABC為直角三角形,所以b=a·sinB=QUOTE;當(dāng)B=QUOTE時(shí),A=C=QUOTE,a=c=1.由余弦定理得b2=a2+c2-2accosQUOTE=3,所以b=QUOTE.5.將正方形ABCD沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,M為CD的中點(diǎn),則∠AMD的大小是 ()A.45° B.30°C.60° D.90°【解析】選D.如圖,設(shè)正方形邊長為a,作AO⊥BD,則AM=QUOTE=QUOTE=QUOTEa,又AD=a,DM=QUOTE,所以AD2=DM2+AM2,所以∠AMD=90°.6.如圖,在△ABC中,AB=3,BC=4,∠ABC=120°,若把△ABC繞直線AB旋轉(zhuǎn)一周,則所形成的幾何體的體積是 ()A.11π B.12π C.13π D.14π【解析】選B.△ABC繞直線AB旋轉(zhuǎn)一周,所形成的幾何體如圖所示.已知BC=4,∠ABC=120°,所以CO=2QUOTE,所以幾何體的體積V=QUOTE·π·CO2·AB=12π.【補(bǔ)償訓(xùn)練】在矩形ABCD中,若AB=3,BC=4,PA⊥平面ABCD,且PA=1,則點(diǎn)P到對角線BD的距離為 ()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE【解析】選B.如圖,過點(diǎn)A作AE⊥BD于點(diǎn)E,連接PE.因?yàn)镻A⊥平面ABCD,BD?平面ABCD,所以PA⊥BD.因?yàn)锳E∩PA=A,所以BD⊥平面PAE,所以BD⊥PE.因?yàn)锳E=QUOTE=QUOTE,PA=1,所以PE=QUOTE=QUOTE.7.在△ABC中,三內(nèi)角A,B,C所對邊分別為a,b,c,若(b-c)sinB=2csinC且a=QUOTE,cosA=QUOTE,則△ABC的面積等于 ()A.QUOTE B.QUOTE C.3QUOTE D.3【解析】選A.由正弦定理,得(b-c)·b=2c2,得b2-bc-2c2=0,得b=2c或b=-c(舍).由a2=b2+c2-2bccosA,得c=2,則b=4.由cosA=QUOTE知,sinA=QUOTE,S△ABC=QUOTEbcsinA=QUOTE×4×2×QUOTE=QUOTE.8.已知A,B是球O的球面上兩點(diǎn),∠AOB=90°,C為該球面上的動點(diǎn),若三棱錐O-ABC體積的最大值為36,則球O的表面積為 ()A.36π B.64πC.144π D.256π【解析】選C.如圖所示,當(dāng)點(diǎn)C位于垂直于面AOB的直徑端點(diǎn)時(shí),三棱錐O-ABC的體積最大,設(shè)球O的半徑為R,此時(shí)VO-ABC=VC-AOB=QUOTE×QUOTER2×R=QUOTER3=36,故R=6,則球O的表面積為S=4πR2=144π.【補(bǔ)償訓(xùn)練】如圖,在三棱錐A-BCD中,VA-BPQ=2,VC-APQ=6,VC-DPQ=12,則VA-BCD等于 ()A.20 B.24 C.28 D.56【解析】選B.由QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE,所以QUOTE=QUOTE.所以VB-PDQ=QUOTEVC-PDQ=4,因而VA-BCD=2+6+12+4=24.二、多項(xiàng)選擇題(本大題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求,全部選對的得5分,選對但不全的得3分,有選錯(cuò)的得0分)9.已知i是虛數(shù)單位,z=QUOTE,則下列結(jié)論中正確的是 ()A.z=-i B.z=i C.QUOTE=-i D.|z|=1【解析】選BCD.z=QUOTE=QUOTE=QUOTE=i,所以QUOTE=-i,|z|=1,故BCD正確.10.滿意下列條件的三角形有兩解的有 ()A.b=3,c=4,B=30°B.a=5,b=8,A=30°C.c=6,b=3QUOTE,B=60°D.c=9,b=12,C=60°【解析】選AB.選項(xiàng)A中csinB<b<c,故有兩解;選項(xiàng)B中bsinA<a<b,故有兩解;選項(xiàng)C中b=csinB,有一解;選項(xiàng)D中c<bsinC,無解.所以有兩解的是選項(xiàng)AB.11.已知平面α與平面β相交,直線m⊥α,則錯(cuò)誤的是 ()A.β內(nèi)必存在直線與m平行且存在直線與m垂直B.β內(nèi)不肯定存在直線與m平行,不肯定存在直線與m垂直C.β內(nèi)不肯定存在直線與m平行,但必存在直線與m垂直D.β內(nèi)必存在直線與m平行,不肯定存在直線與m垂直【解析】選ABD.作兩個(gè)相交平面,交線為n,使得直線m⊥α,假設(shè)β內(nèi)肯定存在直線a與m平行,因?yàn)閙⊥α,而a∥m,所以直線a⊥α,而a?β,所以α⊥β,這與平面α與平面β相交不肯定垂直沖突,所以β內(nèi)不肯定存在直線a與m平行,因?yàn)橹本€m⊥α,n?α,又n?β,所以m⊥n,所以在β內(nèi)不肯定存在直線與m平行,但必存在直線與m垂直.【補(bǔ)償訓(xùn)練】設(shè)a,b為兩條直線,α,β為兩個(gè)平面,則正確的命題是 ()A.若a?α,b?β,α∥β,則a∥bB.若a∥α,b∥β,α∥β,則a∥bC.若a?α,b?β,a∥b,則α∥βD.若a⊥α,b⊥β,α⊥β,則a⊥b【解析】選D.A中,a,b可以平行或異面;B中,a,b可以平行或異面或相交;C中,α,β可以平行或相交.12.在銳角△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若sinA=QUOTE,a=3,S△ABC=2QUOTE,則b的值可以為 ()A.2 B.3 C.4 D.6【解析】選AB.因?yàn)镾△ABC=2QUOTE=QUOTEbcsinA,sinA=QUOTE,所以bc=6,cosA=QUOTE,又因?yàn)閍=3,由余弦定理得9=b2+c2-2bccosA=b2+c2-4,b2+c2=13,可得b=2或b=3.三、填空題(本大題共4個(gè)小題,每小題5分,共20分.把答案填在題中的橫線上)13.已知z0=2+2i,|z+z0|=QUOTE,當(dāng)z=__________時(shí),|z|有最小值,最小值為__________.

【解析】因?yàn)閨z+z0|=QUOTE,所以復(fù)數(shù)z所對應(yīng)的點(diǎn)Z在以C(-2,-2)為圓心,半徑為QUOTE的圓上,畫出圖形(圖略),由圖形知|z|的最小值為QUOTE-QUOTE=QUOTE,此時(shí),點(diǎn)Z是線段OC與圓的交點(diǎn),線段OC的方程是y=x(-2≤x≤0),圓的方程是(x+2)2+(y+2)2=2,聯(lián)立方程組QUOTE解得QUOTE所以復(fù)數(shù)z=-1-i.答案:-1-iQUOTE14.在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知a=2QUOTE,C=45°,1+QUOTE=QUOTE,則A=______,邊c的值為__________.

【解析】在△ABC中,因?yàn)?+QUOTE=1+QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE.由正弦定理得QUOTE=QUOTE,所以cosA=QUOTE,所以A=60°.又因?yàn)閍=2QUOTE,C=45°.由QUOTE=QUOTE得,QUOTE=QUOTE,所以c=2QUOTE.答案:60°2QUOTE15.在△ABC中,a,b,c分別為角A,B,C的對邊,且a,b,c滿意2b=a+c,B=QUOTE,則cosA-cosC=________.

【解析】因?yàn)?b=a+c,由正弦定理得2sinB=sinA+sinC,又因?yàn)锽=QUOTE,所以sinA+sinC=QUOTE,A+C=QUOTE.設(shè)cosA-cosC=x,可得(sinA+sinC)2+(cosA-cosC)2=2+x2,即sin2A+2sinAsinC+sin2C+cos2A-2cosAcosC+cos2C=2-2cos(A+C)=2-2cosQUOTE=2+x2得x2=QUOTE,所以cosA-cosC=±QUOTE.答案:±QUOTE16.(2024·新高考全國Ⅰ卷)已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的棱長均為2,∠BAD=60°,以D1為球心,QUOTE為半徑的球面與側(cè)面BCC1B1的交線長為________.

【解析】由已知連接BD,B1D1,則BD=B1D1=2,取BB1和CC1的中點(diǎn)E,F.連接EF,D1E,D1F,則D1E=D1F=QUOTE,故E,F在球面上.平面BCC1B1截球面的截面圓的圓心是B1C1的中點(diǎn)O,OE=OF=QUOTE,球面與側(cè)面BCC1B1的交線是側(cè)面上以O(shè)為圓心,QUOTE為半徑的圓弧EF,QUOTE的長為QUOTE·2QUOTEπ=QUOTEπ.答案:QUOTEπ四、解答題(本大題共6個(gè)小題,共70分,解答時(shí)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)17.(10分)如圖,△ACD是等邊三角形,△ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°,BD交AC于E,AB=2.(1)求cos∠CBE的值;(2)求AE.【解析】(1)因?yàn)椤螧CD=90°+60°=150°,CB=AC=CD,所以∠CBE=15°.所以cos∠CBE=cos15°=cos(45°-30°)=QUOTE.(2)在△ABE中,AB=2,由正弦定理,得QUOTE=QUOTE,故AE=QUOTE=QUOTE=QUOTE-QUOTE.18.(12分)已知z=m+3+3QUOTEi,其中m∈C,且QUOTE為純虛數(shù).(1)求m對應(yīng)點(diǎn)的軌跡;(2)求|z|的最大值、最小值.【解析】(1)設(shè)m=x+yi(x,y∈R),則QUOTE=QUOTE=QUOTE,因?yàn)镼UOTE為純虛數(shù),所以QUOTE即QUOTE所以m對應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是以原點(diǎn)為圓心,半徑為3的圓,除去(-3,0),(3,0)兩點(diǎn).(2)由(1)知|m|=3,已知m=z-(3+3QUOTEi),則|z-(3+3QUOTEi)|=3.所以z所對應(yīng)的點(diǎn)Z在以(3,3QUOTE)為圓心,3為半徑的圓上.可知|z|的最大值為|3+3QUOTEi|+3=9;最小值為|3+3QUOTEi|-3=3.19.(12分)如圖所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,若E,F分別為AB,AC的中點(diǎn),平面EB1C1F將三棱柱分成體積分別為V1,V2的兩部分,求V1∶V2的值.【解析】如圖,延長A1A到A2,B1B到B2,C1C到C2,且A1A=AA2,B1B=BB2,C1C=CC2,連接A2B2,B2C2,A2C2,則得到三棱柱ABC-A2B2C2,且QUOTE=QUOTE,延長B1E,C1F,則B1E與C1F相交于點(diǎn)A2.因?yàn)锳2A∶A2A1=1∶2,所以QUOTE=QUOTE.又QUOTE=QUOTE=QUOTE×QUOTE=QUOTE=QUOTE,所以V1=7QUOTE=QUOTE,故V1∶V2=7∶(12-7)=7∶5.20.(12分)已知銳角三角形ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且tanA=QUOTE.(1)求角A的大小;(2)當(dāng)a=QUOTE時(shí),求c2+b2的最大值,并推斷此時(shí)△ABC的形態(tài).【解析】(1)由已知及余弦定理,得QUOTE=QUOTE,sinA=QUOTE,因?yàn)锳為銳角,所以A=60°.(2)由正弦定理得QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=2,所以b=2sinB,c=2sinC=2sin(120°-B).c2+b2=4[sin2B+sin2(120°-B)]=4QUOTE=4-cos2B+QUOTEsin2B=4+2sin(2B-30°).由QUOTE得30°<B<90°,所以30°<2B-30°<150°.當(dāng)sin(2B-30°)=1,即B=60°時(shí),(c2+b2)max=6,此時(shí)C=60°,△ABC為等邊三角形.【一題多解】由余弦定理得(QUOTE)2=b2+c2-2bccos60°=b2+c2-bc=3.因?yàn)閎c≤QUOTE(當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)取等號),所以b2+c2-QUOTE≤3,即b2+c2≤6(當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)取等號).故c2+b2的最大值為6,此時(shí)△ABC為等邊三角形.21.(12分)如圖所示,正方形ABCD和四邊形ACEF所在的平面相互垂直,EF∥AC,AB=QUOTE,CE=EF=1.(1)求證:AF∥平面BDE;(2)求證:CF⊥平面BDE.【證明】(1)如圖,設(shè)AC與BD交于點(diǎn)G.因?yàn)镋F∥AG,且EF=1,AG=QUOTEAC=1,所以四邊形AGEF為平行四邊形,所以AF∥EG.因?yàn)镋G?平面BDE,AF?平面BDE,所以AF∥平面BDE.(2)連接FG,因?yàn)镋F∥CG,EF=CG=1,所以四邊形CEFG為平行四邊形,又因?yàn)镃E=EF=1,所以?CEFG為菱形,所以EG⊥CF.在正方形ABCD中,AC⊥BD.因?yàn)檎叫蜛BCD和四邊形ACEF所在的平面相互垂直,所以BD⊥平面CEFG,所以BD⊥CF.又因?yàn)镋G∩BD=G,所以CF⊥平面BDE.【補(bǔ)償訓(xùn)練】如圖所示,在三棱錐A-BCD中,∠BCD=90°,BC=CD=1,AB⊥平面BCD,∠ADB=60°,E,F分別是AC,AD上的動點(diǎn),且QUOTE=QUOTE=λ(0<λ<1).(1)求證:不論λ為何值,總有平面BEF⊥平面ABC;(2)當(dāng)λ為何值時(shí),平面BEF⊥平面ACD.【解析】(1)因?yàn)锳B⊥平面BCD,所以AB⊥CD.因?yàn)镃D⊥BC,且AB∩BC=B,所以CD⊥平面ABC.又因?yàn)镼UOTE=QUOTE=λ(0<λ<1),所以不論λ為何值,恒有EF∥CD,所以EF⊥平面ABC,EF?平面BEF,所以不論