黑龍江省拉哈一中2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期6月月考試題

PAGEPAGE21黑龍江省拉哈一中2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期6月月考試題考試時(shí)間：120分鐘第I卷（選擇題）一、選擇題（1-8為單選，9-12為多選，每題5分，共60分）1．若，則（）A． B． C． D．2．在平行四邊形中，點(diǎn)N為對(duì)角線上靠近A點(diǎn)的三等分點(diǎn)，連結(jié)，則（）A． B．C． D．3．在中，已知，，，則角C為（）A． B． C．或 D．4．下面給出的命題中，正確的個(gè)數(shù)是（）①一個(gè)棱柱至少有5個(gè)面②平行六面體中相對(duì)的兩個(gè)面是全等的平行四邊形③正棱錐的側(cè)面是全等的等腰三角形④有兩個(gè)面平行且相像，其他各個(gè)面都是梯形的多面體是棱臺(tái)A．1 B．2 C．3 D．45．在中，已知，且，則的形態(tài)是A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等邊三角形6．已知某圓錐的母線長(zhǎng)為4，底面圓的半徑為2.則圓錐的表面積為（）A． B． C． D．7．已知點(diǎn)在所在平面內(nèi)，且，則點(diǎn)依次是的（）A．外心，內(nèi)心，垂心B．外心，垂心，內(nèi)心C．外心，重心，垂心D．外心，重心，內(nèi)心8．如圖所示，在三棱柱中，E，F(xiàn)分別是，上靠近點(diǎn)B，C的三等分點(diǎn)，在上確定一點(diǎn)P，使平面平面，則().A．B． C． D．29．已如直線平面，直線平面，則下列命題正確的是（）A． B．C． D．與不相交10．已知角是的三個(gè)內(nèi)角，下列結(jié)論肯定成立的有（）A．B．若，則是等腰三角形C．若，則D．若是銳角三角形，則11．在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G分別是A1B1，B1C1，BBA．FG∥平面AA1D1D；B．EF∥平面BC1D1；C．FG∥平面BC1D1；D．平面EFG∥平面BC1D112．如圖，在三棱錐中，平面ABC，，則下列結(jié)論正確的有（）A．三棱錐的表面積B．三棱錐的體積C．三棱錐的外接球表面積D．三棱錐的內(nèi)切球體積第II卷（非選擇題）二、填空題（每題5分，共20分）13．已知向量，，則向量在向量的方向上的投影為________.14．已知復(fù)數(shù)滿意，則___________.15．如圖，已知長(zhǎng)方體，，則異面直線所成的角是______．16．設(shè)銳角的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，已知，則的取值范圍為__________.三、解答題（共70分）17．（本題10分）已知向量．（Ⅰ）若向量與共線，求t的值；（Ⅱ）若，且與垂直，求實(shí)數(shù)的值．18．（本題12分）如圖，在中，為邊上一點(diǎn)，.（1）求的值；（2）求的面積.19．（本題12分）已知斜三棱柱的側(cè)面與底面垂直，.且為中點(diǎn)，與相交于點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求直線與底面所成角的大小.20．（本題12分）在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且．（1）求B；（2）若的面積是，，求b．21.（本題12分）如圖，在三棱錐中，，D為線段的中點(diǎn)，E為線段上一點(diǎn).（1）求證：；（2）當(dāng)平面時(shí)，求直線點(diǎn)E到平面PAB的距離。22．（本題12分）如圖，菱形的邊長(zhǎng)為4，對(duì)角線交于點(diǎn)，將沿折起得到三棱錐.（1）求證：平面平面；（2）若點(diǎn)D在平面ABC上的射影落在線段BE上，且與平面所成角的正弦值為，求二面角的余弦值.參考答案1．B【分析】依據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算計(jì)算復(fù)數(shù)即可.【詳解】解：由題意.故選：B2．A【分析】依據(jù)向量的數(shù)乘，平行四邊形法則以及向量的加減法運(yùn)算即可求出．【詳解】因?yàn)?，所以，即?/p>

故選：A．3．C【分析】依據(jù)正弦定理先求解出的值，然后依據(jù)的大小關(guān)系確定出的結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，且，所以，所以或，故選：C.4．C【分析】依據(jù)簡(jiǎn)潔幾何體的結(jié)構(gòu)特征，逐項(xiàng)推斷，即可得出結(jié)果.【詳解】依據(jù)棱柱的特征可得，一個(gè)棱柱的底面至少有三條邊，所以至少有5個(gè)面；即①正確；由平行六面體的概念和性質(zhì)，可知：平行六面體中相對(duì)的兩個(gè)面是全等的平行四邊形；即②正確；依據(jù)正棱錐的特征可得，正棱錐的側(cè)面是全等的等腰三角形；即③正確；依據(jù)棱臺(tái)的特征可知：棱臺(tái)是棱錐截得的，側(cè)棱的延長(zhǎng)線要交于同一點(diǎn)。有兩個(gè)面平行且相像，其他各個(gè)面都是梯形的多面體，不能保證側(cè)棱的延長(zhǎng)線交于同一點(diǎn)，因此該多面體不肯定是棱臺(tái)，即④錯(cuò)；因此正確的個(gè)數(shù)有3個(gè).故選：C.5．C【解析】由及正弦定理得，故在為直角三角形；又且，所以，因此，由于為三角形的內(nèi)角，故有，所以為等腰三角形．綜上可得為等腰直角三角形．選C．6．B【分析】先求出底面周長(zhǎng)，得到側(cè)面綻開圖的扇形弧長(zhǎng)，然后依據(jù)扇形的面積公式求出圓錐的側(cè)面積，再求出圓錐的底面積，由此能求出結(jié)果．【詳解】解：圓錐的母線長(zhǎng)為4，底面圓的半徑為2，底面周長(zhǎng)是：，側(cè)面積是：，底面積是：，圓錐的全面積為．故選：．7．C【分析】依據(jù)三角形四心的定義，推斷即可。【詳解】依題意，由得，O到的三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，所以O(shè)為外心；設(shè)的中點(diǎn)為D，則由得，所以N為重心；由得，所以，同理可得，所以P為垂心.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查三角形的四心，屬于基礎(chǔ)題。8．A9．ACD【分析】依據(jù)空間中的線面關(guān)系對(duì)各選項(xiàng)逐一推斷即可求解【詳解】解：對(duì)A選項(xiàng)：因?yàn)橹本€平面，，所以直線平面，又直線平面，所以，故選項(xiàng)A正確；對(duì)選項(xiàng)B：因?yàn)橹本€平面，，直線平面，所以與平行或與相交或與異面，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)C：因?yàn)橹本€平面，，所以直線平面，又直線平面，所以，故選項(xiàng)C正確；對(duì)選項(xiàng)D：因?yàn)橹本€平面，，所以直線平面或直線平面，即直線與不相交，故選項(xiàng)D正確；故選：ACD.10．ACD【分析】利用三角形的內(nèi)角和以及正弦定理，三角形性質(zhì)，正弦函數(shù)的性質(zhì)推斷選項(xiàng)即可得解.【詳解】對(duì)于A，在中，，故，故A正確；對(duì)于B，在中，，可知或，即或，則是等腰三角形或直角三角形，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，在中，，利用正弦定理知，再利用三角形中大角對(duì)大邊，小角對(duì)小邊，可知，故C正確；對(duì)于D，在銳角中，，即，所以，即，故D正確；故選：ACD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查三角形中的幾何計(jì)算，正弦定理及三角方程的求法，熟識(shí)正弦函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.11．AC【分析】由，，得，從而平面，平面；由，與平面相交，從而與平面相交，進(jìn)而平面與平面相交．【詳解】解：在正方體中，，，分別是，，的中點(diǎn)，，，，平面，平面，平面，故A正確；，與平面相交，與平面相交，故B錯(cuò)誤；，，分別是，，的中點(diǎn)，，平面，平面，平面，故C正確；與平面相交，平面與平面相交，故D錯(cuò)誤．故選：AC．【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與平面平行的判定及面面平行的判定，意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象的學(xué)科素養(yǎng)，是中檔題，解題時(shí)要仔細(xì)審題，留意空間思維實(shí)力的培育．12．BC【分析】分別計(jì)算三棱錐各面的面積，推斷A選項(xiàng)；利用體積公式代入，推斷B選項(xiàng)；設(shè)外接球的半徑為，利用勾股定理計(jì)算半徑，從而得球的表面積，從而推斷C選項(xiàng)；利用等體積法計(jì)算內(nèi)切球的半徑，推斷D選項(xiàng).【詳解】因?yàn)槠矫?，所以，所以，，作，則，則，所以，，取中心，作，則球心在上，且，則，所以，所以；設(shè)內(nèi)切球的半徑為，依據(jù)等體積法，，得，故D錯(cuò)誤；故選：BC【點(diǎn)睛】在三棱錐中，一般關(guān)于外接球的半徑的求解，球心一般在中線上，構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求解；關(guān)于內(nèi)切球的半徑的求解，一般利用三棱錐的等體積法計(jì)算半徑.13．-1【解析】∵向量，，∴，，∴向量在向量的方向上的投影為故答案為-114．【分析】設(shè)，(，)，由復(fù)數(shù)相等建立方程解之可求得答案．【詳解】解：設(shè)，(，)，因?yàn)?，所以，故，所以，，則.故答案為：.15．【分析】先通過(guò)平移將兩條異面直線平移到同一個(gè)起點(diǎn)，得到的銳角就是異面直線所成的角，在三角形中再利用余弦定理求出此角即可.【詳解】如圖，將平移到，則就是異面直線所成的角，，，所以，故答案為.【點(diǎn)睛】本小題主要考查異面直線所成的角，考查空間想象力、運(yùn)算實(shí)力和推理實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.求異面直線所成的角主要方法有兩種：一是向量法，依據(jù)幾何體的特別性質(zhì)建立空間直角坐標(biāo)系后，分別求出兩直線的方向向量，再利用空間向量夾角的余弦公式求解；二是傳統(tǒng)法，利用平行四邊形、三角形中位線等方法找出兩直線成的角，再利用平面幾何性質(zhì)求解.16．【分析】由題中條件，依據(jù)余弦定理，利用基本不等式，求出的最大值，再依據(jù)三角形的性質(zhì)，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)橹校?，，由余弦定理可得，，即，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，則，求解三角形中有關(guān)邊長(zhǎng)、角、面積的最值（范圍）問(wèn)題時(shí)，常利用正弦定理、余弦定理與三角形面積公式，建立，，之間的等量關(guān)系與不等關(guān)系，然后利用函數(shù)或基本不等式求解.17．（Ⅰ）；（Ⅱ）【分析】（Ⅰ）利用向量共線的坐標(biāo)表示即可求解.（Ⅱ）利用向量垂直的坐標(biāo)表示即可求解.【詳解】.（Ⅰ）若向量與共線，則，解得.

（Ⅱ）若，則，所以，因?yàn)榕c垂直，所以，解得.18．（1）；（2）.【分析】（1）在中，由余弦定理，求得，依據(jù)同角三角函數(shù)間的關(guān)系求得，再由正弦的和角公式和誘導(dǎo)公式可求得答案；（2）在三角形ABC中，運(yùn)用正弦定理求得，可求得三角形ABC的面積．【詳解】解：（1）在中，由余弦定理，得，所以，所以；（2）在三角形ABC中，由正弦定理得，，所以三角形ABC的面積為．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：在處理三角形中的邊角關(guān)系時(shí)，一般全部化為角的關(guān)系，或全部化為邊的關(guān)系．題中若出現(xiàn)邊的一次式一般采納到正弦定理，出現(xiàn)邊的二次式一般采納到余弦定理．應(yīng)用正、余弦定理時(shí)，留意公式變式的應(yīng)用．解決三角形問(wèn)題時(shí)，留意角的限制范圍．19．（1）；（2）2.【分析】（1）依據(jù)余弦定理、正弦定理，結(jié)合同角的三角函數(shù)關(guān)系式進(jìn)行求解即可；（2）依據(jù)三角形面積公式，結(jié)合余弦定理進(jìn)行求解即可.【詳解】解：（1）由，得，得，得，由正弦定理得，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，所以．?）若的面積是，則，解得，所以．由余弦定理，可得，所以．20．（1）證明見解析，（2）證明見解析，（3）.【分析】（1）先證明平面，進(jìn)而可得；（2）要證平面平面，轉(zhuǎn)證平面即可；（3）證明平面，直線與平面所成的角為，在直角三角形中求解即可.【詳解】（1）證明：∵，∴平面，又平面，∴；（2）證明：∵，，∴，又，，∴平面，平面，∴平面平面；（3）∵平面，平面，平面平面，∴，又平面，∴平面，故直線與平面所成的角為，∵，且，∴，∵平面，平面，∴，又，∴且，則即直線與平面所成的角.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求直線和平面所成角的關(guān)鍵是作出這個(gè)平面的垂線進(jìn)而斜線和射影所成角即為所求，有時(shí)當(dāng)垂線較犯難找時(shí)也可以借助于三棱錐的等體積法求得垂線長(zhǎng)，進(jìn)而用垂線長(zhǎng)比上斜線長(zhǎng)可求得所成角的正弦值.21．（1）證明見解析；（2）或.【分析】（1）若要證面面垂直，只要證平面內(nèi)一條直線垂直于另外一個(gè)平面即可；（2）兩種狀況，1°點(diǎn)D在面內(nèi)的投影O落在內(nèi)，2°點(diǎn)D在面內(nèi)的投影H落在外兩種狀況分類探討，建立空間直角坐標(biāo)系，利用平面的法向量進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）（2）（1）因?yàn)檎郫B前，所以，因?yàn)?，所以平面，又平面，平面平?（2）由（1）知，平面平面，過(guò)點(diǎn)D作，則平面，1°當(dāng)點(diǎn)D在面內(nèi)的投影O落在內(nèi)時(shí)，如圖（1），因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以，則，如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，則，設(shè)平面的法向量為，則，則，因?yàn)槠矫娴姆ㄏ蛄繛?，所以?°當(dāng)點(diǎn)D在面內(nèi)的投影H落在外時(shí)，如圖（2），因?yàn)槊婷?，所以點(diǎn)H在的延長(zhǎng)線上，中，.如圖以E為原點(diǎn)，所在直線分別為x軸，y軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以，設(shè)平面的法向量為，由，得到，令，有，而平面的一個(gè)法向量為，所以二面角的余弦值為或.22．（1）證明見解析；（2）【分析】（1）連，則，利用線面平行的判定定理證明即可；（2）連，取中點(diǎn)，連，則，由面面垂直的性質(zhì)定理可得面，則為所求，計(jì)算可得直線與底面所成角．【詳解】（1）連，則又面，面，平面；（2）連，取中點(diǎn)，連，則由面與底面垂直，且面，可得面則為直線與底面所成角設(shè)，則；，則；，即則直線與底面所成角的大小為23．（1）證明見解析；（2）【分析】（1）通過(guò)AC⊥BD與PD⊥AC可得平面；（2）由題先得出∠PBD是直線PB與平面ABCD所成的角，即∠PBD=45°，則可先求出菱形ABCD的面積，進(jìn)而可得四棱錐P-ABCD的體積.【詳解】解：（1）因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形，所以AC⊥BD，又因?yàn)镻D⊥平面ABCD，平面ABCD，所以PD⊥AC，又，故AC⊥平面PBD；（2）因?yàn)镻D⊥平面ABCD，所以∠PBD是直線PB與平面ABCD所成的角，于是∠PBD=45°，因此BD=PD=2.又AB=AD=2，所以菱形ABCD的面積為，故四棱錐P-ABCD的體積.24．（1）證明見解析；（2）證明見解析.【分析】（1）設(shè)與的交點(diǎn)為，連接，通過(guò)直線與平面平行的判定定理證明平面；（2）通過(guò)體積得究竟面為正方形，再由線面垂直得到面面垂直即可.【詳解】（1）連接交于點(diǎn)O，連結(jié),因?yàn)闉榫匦危設(shè)為的中點(diǎn),又E為的中點(diǎn)，所以,平面，平面，所以平面.（2）因?yàn)?所以，所以底面為正方形，所以，因?yàn)椋?，且，所以平面，又平面，所以平面平?25．（1）證明見解析（2）【分析】（1）證明AD⊥BC，BB1⊥AD，推出A