第13章相交線平行線(基礎(chǔ)、典型、易錯、壓軸)分類專項(xiàng)訓(xùn)練(原卷版+解析)

第13章相交線平行線（基礎(chǔ)、典型、易錯、壓軸）分類專項(xiàng)訓(xùn)練【基礎(chǔ)】一、單選題1．（2021春·上海普陀·七年級統(tǒng)考期末）如圖，已知，下列條件中不能判斷直線的是（

）．A． B． C． D．2．（2021春·上?！て吣昙壣虾Ｊ酗L(fēng)華初級中學(xué)?？计谥校┮阎c(diǎn)A在直線l外，點(diǎn)B在直線l上，點(diǎn)A到直線l的距離記作a，A、B兩點(diǎn)的距離記作b，則a與b的大小關(guān)系正確的是（

）A． B．C． D．3．（2022春·上?！て吣昙墝ｎ}練習(xí)）下列圖形中，線段的長表示點(diǎn)到直線的距離是（

）A． B．C． D．4．（2022春·上?！て吣昙墝ｎ}練習(xí)）如圖：，，，下列條件能得到的是（

）A． B． C． D．5．（2022春·上?！て吣昙墝ｎ}練習(xí)）已知a//b，點(diǎn)在直線上，且，，那么（

）A． B． C． D．6．（2022春·上?！て吣昙墝ｎ}練習(xí)）下列說法正確的是（

）A．不帶根號的數(shù)一定是有理數(shù)B．?dāng)?shù)軸上的每一點(diǎn)都有一個有理數(shù)與它對應(yīng)C．經(jīng)過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直D．兩條直線被第三條直線所截，那么內(nèi)錯角相等7．（2022春·上?！て吣昙墝ｎ}練習(xí)）如圖，下列條件能判斷的是（

）A． B．C． D．二、填空題8．（2022春·七年級單元測試）三條直線兩兩相交，以交點(diǎn)為端點(diǎn)最多可形成____條射線．9．（2022春·上海閔行·七年級上海市閔行區(qū)莘松中學(xué)?？计谥校┤鐖D：AB∥CD，AE平分∠CAB，∠DEA＝125°，則∠CAE＝_____°．10．（2021春·上?！て吣昙壭？计谥校﹫D，∠1+∠2=180°，∠3=110°，則∠4=___度．11．（2021春·上海普陀·七年級統(tǒng)考期末）如圖，、分別是的一個內(nèi)角的平分線與一個外角的平分線，過點(diǎn)作，分別交、于點(diǎn)E、F．如果四邊形的周長是16，，那么____________12．（2021春·上海浦東新·七年級上海民辦建平遠(yuǎn)翔學(xué)校校考期末）如圖，已知，CO與DO互相垂直，那么______．13．（2021春·上?！て吣昙壣虾Ｊ心涎竽７冻跫壷袑W(xué)?？计谥校┤鐖D，添加一個條件使，這個條件可以是______（只需寫出一種情況）14．（2021春·上海·七年級上海市風(fēng)華初級中學(xué)?？计谥校┤鐖D，已知：，DF平分，BE平分，說明：的理由．解：因?yàn)椋?/p>

）所以______（

）所以（

），因?yàn)镈F平分，BE平分，所以______，______（

），所以（

），所以（

）15．（2021春·上海·七年級上海市第二初級中學(xué)?？计谥校┤鐖D，已知，那么____________．16．（2022春·上?！て吣昙墝ｎ}練習(xí)）已知：如圖，直線a∥b，直線c與a，b相交，若∠2＝115°，則∠1＝_____度．17．（2022春·上?！て吣昙墝ｎ}練習(xí)）如圖，線段AB=15cm，線段AD=12cm，線段AC=9cm，則點(diǎn)A到BC的距離為_________cm．18．（2022春·上海·七年級專題練習(xí)）如圖，已知，，則圖中與相等的角（除外）有______個．三、解答題19．（2022春·七年級單元測試）如圖，已知AB∥CD，∠DAE=∠CAB，∠ACB=∠EFC，請說明AD∥BC．20．（2022春·上?！て吣昙墝ｎ}練習(xí)）如圖，直線AB、CD被直線EF所截，GH是∠EGC的平分線，∠EGH=56°，∠EIB=68°，說明AB∥CD的理由．解：因?yàn)镚H是∠EGC的角平分線（

）所以∠EGH=∠HGC=56°（

）因?yàn)镃D是條直線（已知）所以∠HGC+∠EGH+∠IGD=180°（

）所以∠IGD=68°因?yàn)椤螮IB=68°（已知）所以__________=__________（

）所以AB∥CD（

）21．（2022春·上?！て吣昙墝ｎ}練習(xí)）如圖，點(diǎn)在上，已知，，請說明的理由.【典型】一、單選題1．（2022春·上海·七年級專題練習(xí)）在同一平面內(nèi)，不重合的兩條直線的位置關(guān)系是（）A．平行 B．相交 C．相交或垂直 D．相交或平行2．（2021春·上?！て吣昙壠谥校┤鐖D，是直線外一點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，在直線上取一點(diǎn)，連結(jié)，使，在線段上連結(jié)．若，則線段的長不可能是A．3.5 B．4 C．5.5 D．6.53．（2019春·上海嘉定·七年級?？计谥校┫铝姓f法中正確的個數(shù)有(

)①兩條直線被第三條直線所截，內(nèi)錯角相等；②在同一平面內(nèi)不重合的兩條直線有平行、相交和垂直三種位置關(guān)系；③直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長度叫做點(diǎn)到直線的距離；④在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線互相平行．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個二、填空題4．（2019春·七年級課時練習(xí)）如圖所示，直線∥．直線與直線，分別相交于點(diǎn)、點(diǎn)，，垂足為點(diǎn)，若，則＝_____，直線之間的距離_____．5．（2020秋·上海黃浦·七年級上海市民辦立達(dá)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，AEFC是折線，AB//CD，那么∠1，∠2，∠3，∠4的大小所滿足的關(guān)系式為_______________；6．（2019春·七年級課時練習(xí)）如圖，已知ED∥AC，DF∥AB，有以下命題：①∠A＝∠EDF；②∠1+∠2＝180°；③∠A+∠B+∠C＝180°；④∠1＝∠3．其中，正確的是________．(填序號)7．（2019春·上?！て吣昙壣虾Ｊ惺邪顺跫壷袑W(xué)校考期中）如圖，若AB∥CD，________度.8．（2022春·七年級單元測試）如果4條直線兩兩相交，最多有_________個交點(diǎn)，最少有_________個交點(diǎn).9．（2019春·上海嘉定·七年級校考期中）如圖,由∠1=∠2,可以得到________∥_______10．（2019春·上海嘉定·七年級?？计谥校┤鐖D,點(diǎn)D是BC上一點(diǎn)，圖中與∠C構(gòu)成同旁內(nèi)角的角有_________個．11．（2021春·上?！て吣昙壭？计谥校┤鐖D，DB平分∠ABC,AD//BC,若∠1=(2x+20)°，∠2=(4x+60)°，則∠2=_________三、解答題12．（2019春·七年級單元測試）河的兩岸成平行線，A,B是位于河兩岸的兩個車間（如圖），要在河上造一座橋，使橋垂直于河岸，并且使A，B間的路程最短．確定橋的位置的方法是：作從A到河岸的垂線，分別交河岸PQ，MN于F，G.在AG上取AE＝FG，連接EB，EB交MN于D．在D處作到對岸的垂線DC，那么DC就是造橋的位置．試說出橋造在CD位置時路程最短的理由，也就是（AC+CD+DB）最短的理由．13．（2019春·上?！て吣昙壣虾Ｊ惺邪顺跫壷袑W(xué)?？计谥校┌聪铝幸螽媹D（不需書寫結(jié)論）并填空;如右圖，（1）過點(diǎn)Q作QD⊥AB，垂足為D，（2）過點(diǎn)Q作QE∥AB，交AC于點(diǎn)E，（3）過點(diǎn)Q作QF⊥直線AC，垂足為F，（4）聯(lián)結(jié)A、Q兩點(diǎn)，（5）點(diǎn)Q到直線AC的距離是線段的長度，（6）直線QE與直線AB之間的距離是線段的長度.14．（2019春·上海·七年級上海市市八初級中學(xué)?？计谥校┤鐖D，已知AB∥DE，，試說明的理由.15．（2019春·七年級單元測試）如圖所示，直線AB、CD、EF相交于點(diǎn)O，若∠1+∠2＝90°，∠3＝40°，求∠1的度數(shù)，并說明理由．16．（2019春·上海嘉定·七年級校考期中）已知:如圖,∠DAE=∠E,∠B=∠D,

試說明AB與DC平行.解:因?yàn)椤螪AE=∠E,

(已知)所以____∥____（_______

）所以∠D=____（_______

）因?yàn)椤螧=∠D,

(已知)所以∠B=∠____（_______

）所以____∥____（_______

）17．（2020春·七年級?？紗卧獪y試）如圖，已知∠BAE＋∠AED＝180°，∠1＝∠2，那么∠F＝∠G嗎？為什么？解：因?yàn)椤螧AE＋∠AED＝180°(已知)所以AB∥CD________所以∠BAE＝∠AEC________因?yàn)椤?＝∠2(已知)所以∠BAE—∠1＝∠AEC—∠2(等式性質(zhì))即∠3＝∠4所以AF∥EG________，所以∠F＝∠G________.18．（2022春·上?！て吣昙壠谥校┮阎?，直線AB∥CD（1）如圖（1），點(diǎn)G為AB、CD間的一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)AG、CG．若∠A=140°，∠C=150°，則∠AGC的度數(shù)是多少？（2）如圖（2），點(diǎn)G為AB、CD間的一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)AG、CG．∠A=x°，∠C=y°，則∠AGC的度數(shù)是多少？（3）如圖（3），寫出∠BAE、∠AEF、∠EFG、∠FGC、∠GCD之間有何關(guān)系？直接寫出結(jié)論．19．（2019春·上海·七年級上海市市八初級中學(xué)?？计谥校┤鐖D（a）五邊形ABCDE是張大爺十年前承包的一塊土地示意圖，經(jīng)過多年開墾荒地，現(xiàn)已經(jīng)變成圖（b）所示的形狀.但承包土地與開墾荒地的分解小路，即圖（b）中折線CDE還保留著.張大爺想過E點(diǎn)修一條直路EF，直路修好后，要保持直路左邊的土地面積與承包時的一樣多，右邊的土地面積與開墾的荒地面積一樣多.（不計(jì)分解小路與直路的占地面積）請你用有關(guān)知識，按張大爺?shù)男蘼芬笤趫D（b）中畫出相應(yīng)的圖形（請務(wù)必保留作圖痕跡）.【易錯】一．選擇題（共4小題）1．（2022春?上海期末）如圖所示，由已知條件推出結(jié)論正確的是（）A．由∠1＝∠5，可以推出AB∥CD B．由∠3＝∠7，可以推出AD∥BC C．由∠2＝∠6，可以推出AD∥BC D．由∠4＝∠8，可以推出AD∥BC2．（2022春?閔行區(qū)校級期中）下列圖形中，∠1和∠2是同位角的圖有（）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個3．（2022春?閔行區(qū)校級期中）如圖所示，圖中同位角共有（）A．4對 B．6對 C．8對 D．10對4．（2022春?靜安區(qū)期中）兩直線被第三條直線所截，∠1與∠2是同旁內(nèi)角，且∠1＝30°，則∠2的度數(shù)為（）A．150° B．30° C．30°或150° D．無法確定二．填空題（共9小題）5．（2022春?寶山區(qū)校級月考）如圖所示，∠EDB的同旁內(nèi)角有．6．（2022春?楊浦區(qū)校級期末）如圖直線AB、CD被直線EF所截，且AB∥CD，已知∠2比∠1大50°，則∠1＝°．7．（2022春?楊浦區(qū)校級期中）如圖：與∠FDB成內(nèi)錯角的是；與∠DFB成同旁內(nèi)角的是．8．（2022春?靜安區(qū)期中）如圖，直線AB⊥CD于點(diǎn)O，直線EF過點(diǎn)O，若∠1＝50°，∠2＝度．9．（2022春?楊浦區(qū)校級期末）如圖，BA⊥CE于A點(diǎn)，過A點(diǎn)作DF∥BC，若∠EAF＝135°，則∠B．10．（2022春?松江區(qū)校級期中）如圖所示，把一個長方形紙片沿EF折疊后，點(diǎn)C、D分別落在C′、D′的位置，若∠BFE＝75°，則∠AED′＝．11．（2022春?閔行區(qū)校級期末）如圖，直線AB∥CD，∠C＝45°，AE⊥CE，則∠1＝．12．（2022春?寶山區(qū)校級月考）如圖，一只因損壞而傾斜的椅子，從背后看到的形狀如圖，其中兩組對邊的平行關(guān)系沒有發(fā)生變化，若∠1＝75°，則∠2的大小是．13．（2022春?寶山區(qū)校級月考）如圖，AB∥CD，∠A＝50°，則∠1＝．三．解答題（共3小題）14．（2022春?閔行區(qū)校級期中）如圖：∠1＝∠2，DC∥OA，AB∥OD．求證：∠B＝∠C．（寫出括號里面的理由）15．（2022春?松江區(qū)校級期中）（1）如圖（1），當(dāng)∠A、∠C、∠E滿足條件時，有AB∥CD．并說明理由．（2）如圖（2），當(dāng)AB∥CD時，∠1，∠2，∠E的關(guān)系是．16．（2022春?松江區(qū)校級期中）填空：如圖，已知∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B，說明DE與BC平行的理由．解：因?yàn)椤?+∠2＝180°（已知）又因?yàn)椤?+∠＝180°（鄰補(bǔ)角意義）所以∠2＝∠DFE（）所以AB∥EF（）所以∠3＝∠（）因?yàn)椤?＝∠B（已知）所以∠ADE＝∠（）所以DE∥BC（）【壓軸】一、單選題1．（2022春·上?！て吣昙墝ｎ}練習(xí)）如圖，,點(diǎn)E是邊DC上一點(diǎn)，連接AE交BC的延長線于點(diǎn)H，點(diǎn)F是邊AB上一點(diǎn)，使得，作的角平分線交BH于點(diǎn)G，若，則的度數(shù)是（

）．

A． B． C． D．2．（2021春·上?！て吣昙壣虾Ｊ械诙跫壷袑W(xué)校考期中）如圖所示，若AB∥EF，用含、、的式子表示，應(yīng)為（

）A． B． C． D．3．（2022春·上?！て吣昙墝ｎ}練習(xí)）如圖，已知直線AB，CD被直線AC所截，，E是平面內(nèi)任意一點(diǎn)（點(diǎn)E不在直線AB，CD，AC上），設(shè)∠BAE＝α，∠DCE＝β．下列各式：①α+β，②α﹣β，③180°﹣α﹣β，④360°﹣α﹣β，∠AEC的度數(shù)可能是（

）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④二、填空題4．（2019春·上海普陀·七年級?？计谥校┮阎獌蓚€完全相同的直角三角形紙片△ABC、△DEF，如圖1放置，點(diǎn)B、D重合，點(diǎn)F在BC上，AB與EF交于點(diǎn)G．∠C=∠EFB=90°，∠E=∠ABC=30°，現(xiàn)將圖1中的△ABC繞點(diǎn)F按每秒10°的速度沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)180°，在旋轉(zhuǎn)的過程中，△ABC恰有一邊與DE平行的時間為___________．三、解答題5．（2022春·上海·七年級期中）如圖，已知，，，試說明：．完善下面的解答過程，并填寫理由或數(shù)學(xué)式：解：（已知）（已知）即（已知）即．6．（2022春·上海·七年級專題練習(xí)）已知：如圖，∠BAP+∠APD=180°，∠1=∠2.求證：AE∥PF．7．（2021春·上海·七年級上海市建平實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校?）如圖所示，，且點(diǎn)在射線與之間，請說明的理由．（2）現(xiàn)在如圖所示，仍有，但點(diǎn)在與的上方，①請嘗試探索，，三者的數(shù)量關(guān)系．②請說明理由．8．（2021春·上海閔行·七年級上海市民辦文綺中學(xué)?？计谥校┮阎?，點(diǎn)B為平面內(nèi)一點(diǎn)，于B．(1)如圖，直接寫出和之間的數(shù)量關(guān)系．(2)如圖，過點(diǎn)B作于點(diǎn)D，求證：．(3)如圖，在（2）問的條件下，點(diǎn)E，F(xiàn)在DM上，連接BE，BF，CF，BF那平分，BE平分，若，，求的度數(shù)．9．（2021春·上?！て吣昙壣虾Ｊ心涎竽７冻跫壷袑W(xué)?？计谥校?）如圖1，已知直線，在直線上取兩點(diǎn)，為直線上的兩點(diǎn)，無論點(diǎn)移動到任何位置都有：____________（填“>”、“<”或“=”）（2）如圖2，在一塊梯形田地上分別要種植大豆（空白部分）和芝麻（陰影部分），若想把種植大豆的兩塊地改為一塊地，且使分別種植兩種植物的面積不變，請問應(yīng)該怎么改進(jìn)呢？寫出設(shè)計(jì)方案，并在圖中畫出相應(yīng)圖形并簡述理由．（3）如圖3，王爺爺和李爺爺兩家田地形成了四邊形，中間有條分界小路（圖中折線），左邊區(qū)域?yàn)橥鯛敔數(shù)模疫厖^(qū)域?yàn)槔顮敔數(shù)摹，F(xiàn)在準(zhǔn)備把兩家田地之間的小路改為直路，請你用有關(guān)的幾何知識，按要求設(shè)計(jì)出修路方案，并在圖中畫出相應(yīng)的圖形，說明方案設(shè)計(jì)理由。（不計(jì)分界小路與直路的占地面積）．

10．（2018春·上海松江·七年級統(tǒng)考期中）（1）如圖，是直線，內(nèi)部一點(diǎn)，，連接，．探究猜想：①當(dāng)，，則___________；②猜想圖1中、、的關(guān)系：___________________________________（2）如圖，射線與平行四邊形的邊交于點(diǎn)，與邊交于點(diǎn)．圖2中分別是被射線隔開的2個區(qū)域（不含邊界），是位于以上兩個區(qū)域內(nèi)的一點(diǎn)，猜想，，的關(guān)系（不要求說明理由），，的關(guān)系為：____________________________________________________．（3）如圖，，已知，，___________．（用含有、的代數(shù)式表示）11．（2019春·上海虹口·七年級上海市光明中學(xué)?？计谥校┤鐖D,直線AB∥CD,點(diǎn)E在直線AB上,點(diǎn)G在直線CD上,點(diǎn)P在直線AB．CD之間,∠AEP=40°,∠EPG=90°(1)填空:∠PGC=_________°；(2)如圖,點(diǎn)F在直線AB上,聯(lián)結(jié)FG,∠EFG的平分線與∠PGD的平分線相交于點(diǎn)Q，當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)E的右側(cè)時,如果∠EFG=30°,求∠FQG的度數(shù)；解:過點(diǎn)Q作QM∥CD因?yàn)椤螾GC+∠PGD=180°由(1)得∠PGC=______°,

所以∠PGD=1800-∠PGC=_______°,因?yàn)镚Q平分∠PGD,所以∠PGQ=∠QGD=∠PGD=________°(下面請補(bǔ)充完整求∠FQG度數(shù)的解題過程)(3)點(diǎn)F在直線AB上,聯(lián)結(jié)FG,∠EFG的平分線與∠PGD的平分線相交于點(diǎn)Q.如果∠FQG=2∠BFG,請直接寫出∠EFG的度數(shù).12．（2022春·上?！て吣昙壠谥校┮阎篈B∥CD，截線MN分別交AB、CD于點(diǎn)M、N．（1）如圖①，點(diǎn)B在線段MN上，設(shè)∠EBM＝α°，∠DNM＝β°，且滿足+（β﹣60）2＝0，求∠BEM的度數(shù)；（2）如圖②，在（1）的條件下，射線DF平分∠CDE，且交線段BE的延長線于點(diǎn)F；請寫出∠DEF與∠CDF之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）如圖③，當(dāng)點(diǎn)P在射線NT上運(yùn)動時，∠DCP與∠BMT的平分線交于點(diǎn)Q，則∠Q與∠CPM的比值為（直接寫出答案）．第13章相交線平行線（基礎(chǔ)、典型、易錯、壓軸）分類專項(xiàng)訓(xùn)練【基礎(chǔ)】一、單選題1．（2021春·上海普陀·七年級統(tǒng)考期末）如圖，已知，下列條件中不能判斷直線的是（

）．A． B． C． D．【答案】D【分析】選項(xiàng)A，通過同位角相等，可以判定，不符合題意．選項(xiàng)B，通過內(nèi)錯角相等和同位角相等，可以判定，不符合題意．選項(xiàng)C，通過同旁內(nèi)角互補(bǔ)和同位角相等，可以判定，不符合題意．選項(xiàng)D，，只能判定，不能判定，符合題意．【詳解】∵,∴（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）．∴（兩直線平行，同位角相等），①∵，∴．∴（同位角相等，兩直線平行）則A可以判斷直線，故A不符合題意；②∵∴（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），∵，∴∴（同位角相等，兩直線平行）則B可以判斷直線，故B不符合題意；③∵，，∴∵，∴∴（同位角相等，兩直線平行）則C可以判斷直線，故C不符合題意；④，，∴恒成立則D不可以判斷直線，故D符合題意；故選：D【點(diǎn)睛】此題考查的知識點(diǎn)為：內(nèi)錯角、同位角、同旁內(nèi)角、對頂角的概念和通過內(nèi)錯角、同位角、同旁內(nèi)角判定平行；準(zhǔn)確掌握判定性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．2．（2021春·上?！て吣昙壣虾Ｊ酗L(fēng)華初級中學(xué)?？计谥校┮阎c(diǎn)A在直線l外，點(diǎn)B在直線l上，點(diǎn)A到直線l的距離記作a，A、B兩點(diǎn)的距離記作b，則a與b的大小關(guān)系正確的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】分兩種情況：①a和b構(gòu)成一個直角三角形，且b是斜邊，a是直角邊，所以b＞a；②若B是垂足時，a=b．【詳解】解：如圖所示：過A作，點(diǎn)A到直線l的距離為a，B點(diǎn)在直線l上，當(dāng)B點(diǎn)與H點(diǎn)重合時，，當(dāng)B與H點(diǎn)不重合時，，∴，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)到直線的距離，明確點(diǎn)到直線的距離是這點(diǎn)到直線的垂線段的長度，屬于基礎(chǔ)題．3．（2022春·上海·七年級專題練習(xí)）下列圖形中，線段的長表示點(diǎn)到直線的距離是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長度，叫做點(diǎn)到直線的距離的概念判斷．【詳解】解：因?yàn)锳選項(xiàng)中PQ垂直于MN，所有線段PQ的長表示點(diǎn)P到直線MN的距離的是A選項(xiàng)．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)到到直線的距離的定義，解題關(guān)鍵在于熟練掌握點(diǎn)到直線距離定義．4．（2022春·上?！て吣昙墝ｎ}練習(xí)）如圖：，，，下列條件能得到的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)內(nèi)錯角相等，兩直線平行，得到的度數(shù)，即可判斷．【詳解】∵，，∴要使，則或即可故選B．【點(diǎn)睛】掌握平行線的判定方法：同位角相等、內(nèi)錯角相等、同旁內(nèi)角互補(bǔ)均可．5．（2022春·上?！て吣昙墝ｎ}練習(xí)）已知a//b，點(diǎn)在直線上，且，，那么（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先根據(jù)∠1=36°，由AB⊥BC求出∠3的度數(shù)，再a//b即可得出答案．【詳解】解：∵AB⊥BC，∠1=36°，∴∠3+∠1=90°．∴∠3=54°，∵a//b，∴∠2=∠3=54°．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查的是平行線的性質(zhì)、垂線的性質(zhì)，熟練掌握垂線的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．6．（2022春·上海·七年級專題練習(xí)）下列說法正確的是（

）A．不帶根號的數(shù)一定是有理數(shù)B．?dāng)?shù)軸上的每一點(diǎn)都有一個有理數(shù)與它對應(yīng)C．經(jīng)過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直D．兩條直線被第三條直線所截，那么內(nèi)錯角相等【答案】C【分析】分別利用實(shí)數(shù)的分類、數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)一一對應(yīng)、垂線的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)分別判斷得出答案．【詳解】A、不帶根號的數(shù)不一定是有理數(shù)，如是無理數(shù)，該選項(xiàng)錯誤；B、數(shù)軸上的每一個點(diǎn)都有一個實(shí)數(shù)與它對應(yīng)，該選項(xiàng)錯誤；C、經(jīng)過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直，該選項(xiàng)正確；D、如果兩條直線被第三條直線所截，那么內(nèi)錯角不一定相等，應(yīng)強(qiáng)調(diào)是兩直線平行，該選項(xiàng)錯誤；故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了實(shí)數(shù)，平行線的性質(zhì)，解題時注意：數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)一一對應(yīng)．7．（2022春·上?！て吣昙墝ｎ}練習(xí)）如圖，下列條件能判斷的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由平行線的判定方法“內(nèi)錯角相等，兩直線平行”得出B能判斷，A、C、D不能判斷；即可得出結(jié)論．【詳解】能判斷直線AD∥CB的條件是∠1=∠4；理由如下：∵∠1=∠4，∴AD∥CB（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）；A、C、D不能判定AD∥CB；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定方法；熟練掌握平行線的判定方法，并能進(jìn)行推理論證是解決問題的關(guān)鍵．二、填空題8．（2022春·七年級單元測試）三條直線兩兩相交，以交點(diǎn)為端點(diǎn)最多可形成____條射線．【答案】12【分析】根據(jù)射線的定義即可求解．【詳解】兩條直線相交有1個交點(diǎn)，三條直線相交最多有（1+2）個交點(diǎn)，則可形成12條射線，故答案為：12．【點(diǎn)睛】本題考查了直線、射線、線段，理解掌握三者的概念是解題的關(guān)鍵．9．（2022春·上海閔行·七年級上海市閔行區(qū)莘松中學(xué)校考期中）如圖：AB∥CD，AE平分∠CAB，∠DEA＝125°，則∠CAE＝_____°．【答案】55【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，可計(jì)算∠EAB的度數(shù)，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得，∠CAE＝∠EAB，即可得出答案．【詳解】解：∵AB∥CD，∠DEA＝125°，∴∠EAB＝180°﹣∠DEA＝180°﹣125°＝55°，又∵AE平分∠CAB，∴∠CAE＝∠EAB＝55°．故答案為：55．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線及角平分線的性質(zhì)，熟練應(yīng)用相關(guān)性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算是解決本題的關(guān)鍵．10．（2021春·上?！て吣昙壭？计谥校﹫D，∠1+∠2=180°，∠3=110°，則∠4=___度．【答案】110【分析】由對頂角相等與∠1+∠2=180°，可得∠6+∠7=180°，根據(jù)同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行，即可得AB∥CD，又由兩直線平行，內(nèi)錯角相等，即可求得∠4的度數(shù)．【詳解】解：∵∠7=∠2，∠1=∠6，∠1+∠2=180°，∴∠6+∠7=180°，∴AB∥CD，∴∠4=∠3，∵∠3=110°，∴∠4=110°．故答案為：110．【點(diǎn)睛】此題考查了平行線的性質(zhì)與判定與對頂角相等．注意掌握同旁內(nèi)角互補(bǔ)與兩直線平行，內(nèi)錯角相等是解題的關(guān)鍵．11．（2021春·上海普陀·七年級統(tǒng)考期末）如圖，、分別是的一個內(nèi)角的平分線與一個外角的平分線，過點(diǎn)作，分別交、于點(diǎn)E、F．如果四邊形的周長是16，，那么____________【答案】5【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得，，由平行線的性質(zhì)可得，，可推出，，等量代換可得，則答案可解．【詳解】∵、分別是內(nèi)角和外角平分線，∴，，∵，∴，，∴，，∴，，∵四邊形周長是16，∴，，，，∵，∴，∴，故答案為：5．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟記性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．12．（2021春·上海浦東新·七年級上海民辦建平遠(yuǎn)翔學(xué)校校考期末）如圖，已知，CO與DO互相垂直，那么______．【答案】【分析】根據(jù)CO與DO互相垂直，可得，從而得到，即可求解．【詳解】解：∵CO與DO互相垂直，∴，∴，∴．故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了垂線的定義，熟練掌握當(dāng)兩條直線相交成直角時，這兩條直線互相垂直是解題的關(guān)鍵．13．（2021春·上?！て吣昙壣虾Ｊ心涎竽７冻跫壷袑W(xué)校考期中）如圖，添加一個條件使，這個條件可以是______（只需寫出一種情況）【答案】∠ABD＝∠BDC或∠ABC+∠C＝180°或∠BAD+∠ADC＝180°（答案不唯一）【分析】根據(jù)平行線的判定，可利用內(nèi)錯角相等或同旁內(nèi)角互補(bǔ)，可得出答案．【詳解】解：根據(jù)平行線的判定，可添加∠ABD＝∠BDC，或∠ABC+∠C＝180°，或∠BAD+∠ADC＝180°，故答案為：∠ABD＝∠BDC，或∠ABC+∠C＝180°，或∠BAD+∠ADC＝180°，（填寫一個即可）．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的判定，掌握平行線的判定方法是解題的關(guān)鍵．14．（2021春·上?！て吣昙壣虾Ｊ酗L(fēng)華初級中學(xué)校考期中）如圖，已知：，DF平分，BE平分，說明：的理由．解：因?yàn)椋?/p>

）所以______（

）所以（

），因?yàn)镈F平分，BE平分，所以______，______（

），所以（

），所以（

）【答案】已知；，內(nèi)錯角相等，兩直線平行；兩直線平行，內(nèi)錯角相等；ABO；CDO；角平分線的意義；等量代換；內(nèi)錯角相等，兩直線平行【分析】由平行線的性質(zhì)：內(nèi)錯角相等，兩直線平行；兩直線平行，內(nèi)錯角相等；尋找滿足條件的角；【詳解】解：因?yàn)椋ㄒ阎?，所以，（?nèi)錯角相等，兩直線平行）所以（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），因?yàn)镈F平分，BE平分，所以，（角平分線的意義），所以（等量代換），所以（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）．故答案是：已知；AB∥CD，內(nèi)錯角相等，兩直線平行；兩直線平行，內(nèi)錯角相等；ABO；CDO；角平分線的意義；等量代換；內(nèi)錯角相等，兩直線平行【點(diǎn)睛】此題考查平行線的性質(zhì)和角平分線的定義：平分它所在的角；熟記其性質(zhì)和定義是解題關(guān)鍵．15．（2021春·上?！て吣昙壣虾Ｊ械诙跫壷袑W(xué)?？计谥校┤鐖D，已知，那么____________．【答案】

##DA

##CB【分析】與是內(nèi)錯角，根據(jù)“內(nèi)錯角相等，兩直線平行”可以得到．【詳解】解：∵（已知）∴（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定，熟練判斷三線八角是解題關(guān)鍵．16．（2022春·上?！て吣昙墝ｎ}練習(xí)）已知：如圖，直線a∥b，直線c與a，b相交，若∠2＝115°，則∠1＝_____度．【答案】65【分析】利用平行線的性質(zhì)及鄰補(bǔ)角互補(bǔ)即可求出．【詳解】解：∵a∥b，∴∠1＝∠3，∵∠2＝115°，∴∠3＝180°﹣115°＝65°（鄰補(bǔ)角定義），∴∠1＝∠3＝65°．故答案為：65．【點(diǎn)睛】本題應(yīng)用的知識點(diǎn)為：“兩直線平行，同位角相等”和鄰補(bǔ)角定義，解題關(guān)鍵在于對平行線性質(zhì)的理解掌握．17．（2022春·上?！て吣昙墝ｎ}練習(xí)）如圖，線段AB=15cm，線段AD=12cm，線段AC=9cm，則點(diǎn)A到BC的距離為_________cm．【答案】9【分析】從直線外一點(diǎn)到這條直線所畫的垂直線段最短，它的長度叫做點(diǎn)到直線的距離，如圖中，AC的距離就是點(diǎn)A到直線BC的距離．【詳解】解：如圖所示，已知，AC=9cm，由點(diǎn)到直線的距離定義可知，點(diǎn)A到BC的距離為AC的長度，即為9cm；故答案為：9．【點(diǎn)睛】本題主要考查了點(diǎn)到直線的距離，即從直線外一點(diǎn)到這條直線所畫的垂直線段最短，它的長度叫做點(diǎn)到直線的距離．18．（2022春·上?！て吣昙墝ｎ}練習(xí)）如圖，已知，，則圖中與相等的角（除外）有______個．【答案】4【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得．【詳解】如圖，，，，，即圖中與相等的角（除外）有4個故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)、熟記平行線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．三、解答題19．（2022春·七年級單元測試）如圖，已知AB∥CD，∠DAE=∠CAB，∠ACB=∠EFC，請說明AD∥BC．【答案】見解析【分析】由已知和平行線的性質(zhì)可得到∠ACD=∠DAE，再由三角形的外角定理得到∠ACD=∠E，最后等量代換即可求解．【詳解】解：∵∠BCD=∠ACD+∠ACB，又∵∠BCD=∠E+∠EFC，∴∠ACD+∠ACB=∠E+∠EFC，∵∠ACB=∠EFC，∴∠ACD=∠E，∵AB∥CD，∴∠CAB=∠ACD，∵∠CAB=∠DAE，∴∠E=∠DAE，∴AD∥BC．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)與判定，熟練掌握有關(guān)的定理是解題的關(guān)鍵．20．（2022春·上?！て吣昙墝ｎ}練習(xí)）如圖，直線AB、CD被直線EF所截，GH是∠EGC的平分線，∠EGH=56°，∠EIB=68°，說明AB∥CD的理由．解：因?yàn)镚H是∠EGC的角平分線（

）所以∠EGH=∠HGC=56°（

）因?yàn)镃D是條直線（已知）所以∠HGC+∠EGH+∠IGD=180°（

）所以∠IGD=68°因?yàn)椤螮IB=68°（已知）所以__________=__________（

）所以AB∥CD（

）【答案】角平分線的意義，平角的意義，∠IGD，∠EIB，等量代換，同位角相等，兩直線平行【分析】根據(jù)題意和圖形，可以寫出解答過程中空格中需要填寫的內(nèi)容，本題得以解決．【詳解】解：因?yàn)镚H是∠EGC的角平分線（

已知

）所以∠EGH=∠HGC=56°（角平分線的意義）因?yàn)镃D是條直線所以∠HGC+∠EGH+∠IGD=180°（平角的意義）所以∠IGD=68°因?yàn)椤螮IB=68°所以__∠IGD__=__∠EIB__（等量代換）所以AB∥CD（同位角相等，兩直線平行）【點(diǎn)睛】本題考查平行線的判定，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．21．（2022春·上海·七年級專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)在上，已知，，請說明的理由.【答案】見解析【分析】首先證明，再由利用等式的性質(zhì)可得，再根據(jù)內(nèi)錯角相等，兩直線平行可得．【詳解】解：∵，，∴，又∵，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】此題主要考查了平行線的判定，關(guān)鍵是掌握內(nèi)錯角相等，兩直線平行．【典型】一、單選題1．（2022春·上海·七年級專題練習(xí)）在同一平面內(nèi)，不重合的兩條直線的位置關(guān)系是（）A．平行 B．相交 C．相交或垂直 D．相交或平行【答案】D【分析】根據(jù)在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系判斷．【詳解】解：在同一平面內(nèi)，不重合的兩條直線的位置關(guān)系是相交或平行，相交包含垂直．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查在同一平面內(nèi)，不重合的兩條直線的位置關(guān)系，屬于概念理解題．2．（2021春·上?！て吣昙壠谥校┤鐖D，是直線外一點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，在直線上取一點(diǎn)，連結(jié)，使，在線段上連結(jié)．若，則線段的長不可能是A．3.5 B．4 C．5.5 D．6.5【答案】D【分析】根據(jù)直線外一點(diǎn)和直線上點(diǎn)的連線中,垂線段最短的性質(zhì),,,在線段上，可得,可得答案.【詳解】解:由AB⊥BC,垂足為B,AB=3,在線段上連結(jié)，,，故D符合題意故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查垂線段最短的性質(zhì),解題關(guān)鍵是利用垂線段的性質(zhì)求解.3．（2019春·上海嘉定·七年級?？计谥校┫铝姓f法中正確的個數(shù)有(

)①兩條直線被第三條直線所截，內(nèi)錯角相等；②在同一平面內(nèi)不重合的兩條直線有平行、相交和垂直三種位置關(guān)系；③直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長度叫做點(diǎn)到直線的距離；④在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線互相平行．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】分別根據(jù)直線的位置關(guān)系、點(diǎn)到直線的距離、平行線的判定方法即可解答.【詳解】解：兩直線平行內(nèi)錯角相等，故①錯誤；在同一平面內(nèi)不重合的兩條直線有平行和相交兩種位置關(guān)系，故②錯誤；直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長度叫做點(diǎn)到直線的距離，故③正確；在同一平面內(nèi)，根據(jù)同位角相等兩直線平行可知④正確；故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線定理、兩直線位置關(guān)系和點(diǎn)到直線的距離等知識，熟練掌握定理并靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵.二、填空題4．（2019春·七年級課時練習(xí)）如圖所示，直線∥．直線與直線，分別相交于點(diǎn)、點(diǎn)，，垂足為點(diǎn)，若，則＝_____，直線之間的距離_____．【答案】

32°

線段AM的長；【分析】先根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠ABM的度數(shù)，再由三角形內(nèi)角和定理求出∠2的度數(shù)即可．根據(jù)平行線的距離概念，即可得到結(jié)果.【詳解】解：因?yàn)?，所以∠ABM＝∠1＝58°．又因?yàn)锳M⊥，所以∠2＋∠ABM＝90°，所以∠2＝90°－58°＝32°．∵，垂足為點(diǎn)，∴直線之間的距離是AM的長度.故答案為32°，AM的長.【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵.5．（2020秋·上海黃浦·七年級上海市民辦立達(dá)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，AEFC是折線，AB//CD，那么∠1，∠2，∠3，∠4的大小所滿足的關(guān)系式為_______________；【答案】或【分析】首先過點(diǎn)作，過點(diǎn)作，由，即可得，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等與兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)即可求得，，，則可求得、、、的大小所滿足的關(guān)系式．【詳解】解：過點(diǎn)作，過點(diǎn)作，，，，，，，，或．故答案為：或．【點(diǎn)睛】此題考查了平行線的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是注意掌握兩直線平行，內(nèi)錯角相等與兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)定理的應(yīng)用與輔助線的作法．6．（2019春·七年級課時練習(xí)）如圖，已知ED∥AC，DF∥AB，有以下命題：①∠A＝∠EDF；②∠1+∠2＝180°；③∠A+∠B+∠C＝180°；④∠1＝∠3．其中，正確的是________．(填序號)【答案】①②③④；【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理和平行線的性質(zhì)依次判斷即可.【詳解】解：∵ED∥AC，

∴∠3=∠EDF，∠A=∠1,∠2+∠EDF=180°.∵DF∥AB，∴∠EDF=∠1.∴∠A＝∠EDF；故①正確；∵∠1=∠EDF，∠2+∠EDF=180°.∴∠2+∠1=180°；故②正確.∵∠3=∠EDF，∠1=∠EDF，∴∠3=∠1故④正確根據(jù)三角形的內(nèi)角和可得：∠A+∠B+∠C＝180°；故③正確.故答案為①②③④.【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.7．（2019春·上?！て吣昙壣虾Ｊ惺邪顺跫壷袑W(xué)?？计谥校┤鐖D，若AB∥CD，________度.【答案】50.【分析】如圖，過點(diǎn)E作EF∥AB，則由兩直線平行，內(nèi)錯角相等可求出∠4的度數(shù)，因?yàn)锳B∥CD，所以EF∥CD，由兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)可求出∠5的度數(shù)，則∠3即可求出.【詳解】解：如圖，過點(diǎn)E作EF∥AB，∴∠4=∠1=60°，∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠2+∠5=180°，∵∠2=110°，∴∠5=180°－110°=70°，∴∠3=180°－∠4－∠5=180°－60°－70°=50°.故答案為50.【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)和平角的定義，過點(diǎn)E作EF∥AB是解題的關(guān)鍵.8．（2022春·七年級單元測試）如果4條直線兩兩相交，最多有_________個交點(diǎn)，最少有_________個交點(diǎn).【答案】

6，

1【分析】根據(jù)相交線的特點(diǎn)，可得答案．【詳解】解：最多交點(diǎn)個數(shù)為=，最少有1個交點(diǎn).故答案為6,1.．【點(diǎn)睛】本題考查了相交線，關(guān)鍵是考慮全面，不要漏解．9．（2019春·上海嘉定·七年級?？计谥校┤鐖D,由∠1=∠2,可以得到________∥_______【答案】

AB

CD【分析】根據(jù)內(nèi)錯角相等，兩直線平行即可解答．【詳解】解：∵∠1=∠2，∴AB∥CD，故答案為AB，CD．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定，內(nèi)錯角相等，兩直線平行．10．（2019春·上海嘉定·七年級?？计谥校┤鐖D,點(diǎn)D是BC上一點(diǎn)，圖中與∠C構(gòu)成同旁內(nèi)角的角有_________個．【答案】4【分析】根據(jù)同旁內(nèi)角的定義：兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個角都在兩直線的之間，并且在第三條直線（截線）的同旁，則這樣一組角叫做同旁內(nèi)角可得答案．【詳解】解：根據(jù)同旁內(nèi)角的定義可得，與∠C構(gòu)成同旁內(nèi)角的角是∠ADC，∠DAC，∠BAC，∠ABC，故答案為4.【點(diǎn)睛】此題主要考查了同旁內(nèi)角的定義，準(zhǔn)確識圖是解題的關(guān)鍵．11．（2021春·上?！て吣昙壭？计谥校┤鐖D，DB平分∠ABC,AD//BC,若∠1=(2x+20)°，∠2=(4x+60)°，則∠2=_________【答案】100°【分析】根據(jù)AD//BC可得，∠1=∠ADB,△ABD的內(nèi)角和為180°，即可求出∠2的度數(shù).【詳解】解：∵AD//BC，∴∠1=∠ADB，在△ABD中，∠1+∠2+∠ADB=2∠1+∠2=180°，求出x=10，∠2=(4x+60)°=100°，故答案為100°.【點(diǎn)睛】此題考查了平行線的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握定理是解題的關(guān)鍵.三、解答題12．（2019春·七年級單元測試）河的兩岸成平行線，A,B是位于河兩岸的兩個車間（如圖），要在河上造一座橋，使橋垂直于河岸，并且使A，B間的路程最短．確定橋的位置的方法是：作從A到河岸的垂線，分別交河岸PQ，MN于F，G.在AG上取AE＝FG，連接EB，EB交MN于D．在D處作到對岸的垂線DC，那么DC就是造橋的位置．試說出橋造在CD位置時路程最短的理由，也就是（AC+CD+DB）最短的理由．【答案】詳見解析【分析】設(shè)B、D、E三點(diǎn)要使BD+DE最小，則三點(diǎn)在同一直線上即可．【詳解】利用圖形平移的性質(zhì)及連接兩點(diǎn)的線中，線段最短，可知：.而CD的長度又是平行線PQ與MN之間的距離，所以AC+CD+DB最短．【點(diǎn)睛】本題主要考查用尺規(guī)作圖作出兩項(xiàng)段相加和最短的情況．13．（2019春·上?！て吣昙壣虾Ｊ惺邪顺跫壷袑W(xué)校考期中）按下列要求畫圖（不需書寫結(jié)論）并填空;如右圖，（1）過點(diǎn)Q作QD⊥AB，垂足為D，（2）過點(diǎn)Q作QE∥AB，交AC于點(diǎn)E，（3）過點(diǎn)Q作QF⊥直線AC，垂足為F，（4）聯(lián)結(jié)A、Q兩點(diǎn)，（5）點(diǎn)Q到直線AC的距離是線段的長度，（6）直線QE與直線AB之間的距離是線段的長度.【答案】見解析.【分析】（1）—（4）分別按照垂線、平行線、垂線和線段等的畫法作圖即可，（5）點(diǎn)Q到直線AC的距離是點(diǎn)Q到直線AC的垂線段的長，據(jù)此判斷即可，（6）由作圖知，直線QE與直線AB是平行的，按照兩平行線間的距離的概念結(jié)合圖形判斷即可.【詳解】解：（1）—（4）如下圖：（5）點(diǎn)Q到直線AC的距離是線段QF的長度，（6）直線QE與直線AB之間的距離是線段QD的長度.【點(diǎn)睛】本題主要考查尺規(guī)作線段、垂線、平行線等基本作圖和點(diǎn)到直線的距離、兩平行線間的距離的概念，熟練常見的基本作圖、明確點(diǎn)到直線的距離和兩平行線間的距離的概念是解題的關(guān)鍵.14．（2019春·上?！て吣昙壣虾Ｊ惺邪顺跫壷袑W(xué)?？计谥校┤鐖D，已知AB∥DE，，試說明的理由.【答案】見解析.【分析】由∠2=∠E，根據(jù)內(nèi)錯角相等，兩直線平行得CF∥DE，而AB∥DE，∴AB∥CF，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得答案.【詳解】解：理由如下：∵∠2=∠E，（已知）∴CF∥DE，（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）∵AB∥DE，（已知）∴AB∥CF.（平行于同一條直線的兩條直線平行）∴∠1=∠B.（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)和判定，熟知平行線的性質(zhì)和判定是解題的關(guān)鍵.15．（2019春·七年級單元測試）如圖所示，直線AB、CD、EF相交于點(diǎn)O，若∠1+∠2＝90°，∠3＝40°，求∠1的度數(shù)，并說明理由．【答案】50°【分析】根據(jù)題意已知了∠1與∠2的關(guān)系,要求∠1的角度,只要求出∠2的度數(shù)即可.觀察圖形,可得知∠2與∠3是對頂角,而題目中又已知了∠3的角度,計(jì)算即可得到∠1的度數(shù).【詳解】解：因?yàn)椤?＝∠3(對頂角相等)，∠3＝40°(已知)，所以∠2＝40°(等量代換)．又因?yàn)椤?+∠2＝90°(已知)，所以∠1＝90°-∠2＝50°．【點(diǎn)睛】此題考查對頂角、鄰補(bǔ)角，解題關(guān)鍵在于掌握其性質(zhì)定義.16．（2019春·上海嘉定·七年級?？计谥校┮阎?如圖,∠DAE=∠E,∠B=∠D,

試說明AB與DC平行.解:因?yàn)椤螪AE=∠E,

(已知)所以____∥____（_______

）所以∠D=____（_______

）因?yàn)椤螧=∠D,

(已知)所以∠B=∠____（_______

）所以____∥____（_______

）【答案】AD；BE；內(nèi)錯角相等，兩直線平行；∠DCE；兩直線平行，內(nèi)錯角相等；∠DCE；等量代換；AB；CD；同位角相等，兩直線平行.【分析】因?yàn)椤螪AE=∠E，所以根據(jù)內(nèi)錯角相等，兩直線平行，可以證明AD∥BE；根據(jù)平行線的性質(zhì)，可得∠D=∠DCE，結(jié)合已知條件，運(yùn)用等量代換，可得∠B=∠DCE，可證明AB∥DC．【詳解】解：∵∠DAE=∠E，（已知）∴AD∥BE，（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）∴∠D=∠DCE，（兩條直線平行，內(nèi)錯角相等）∵∠B=∠D，（已知）∴∠B=∠DCE，（等量代換）∴AB∥DC（同位角相等，兩條直線平行）.【點(diǎn)睛】此題綜合運(yùn)用了平行線的性質(zhì)和判定，熟練掌握定理是解題的關(guān)鍵．17．（2020春·七年級?？紗卧獪y試）如圖，已知∠BAE＋∠AED＝180°，∠1＝∠2，那么∠F＝∠G嗎？為什么？解：因?yàn)椤螧AE＋∠AED＝180°(已知)所以AB∥CD________所以∠BAE＝∠AEC________因?yàn)椤?＝∠2(已知)所以∠BAE—∠1＝∠AEC—∠2(等式性質(zhì))即∠3＝∠4所以AF∥EG________，所以∠F＝∠G________.【答案】同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行；兩直線平行，內(nèi)錯角相等；內(nèi)錯角相等，兩直線平行；兩直線平行，內(nèi)錯角相等．【分析】先根據(jù)題意得出AB∥CD，故可得出∠BAE=∠AEC，再由∠1=∠2得出∠FAE=∠GEA，進(jìn)而可得出AF∥EG，據(jù)此可得出結(jié)論．【詳解】解：∵∠BAE+∠AED=180°（已知），∴AB∥CD（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行），∴∠BAE=∠AEC（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），∵∠1=∠2（已知），∴∠BAE－∠1=∠AEC－∠2（等式性質(zhì)），即∠3＝∠4，∴AF∥EG（內(nèi)錯角相等，兩直線平行），∴∠F=∠G（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）．故答案為同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行；兩直線平行，內(nèi)錯角相等；內(nèi)錯角相等，兩直線平行；兩直線平行，內(nèi)錯角相等．【點(diǎn)睛】本題考查的是平行線的判定與性質(zhì)，熟知平行線的判定定理是解答此題的關(guān)鍵.18．（2022春·上?！て吣昙壠谥校┮阎本€AB∥CD（1）如圖（1），點(diǎn)G為AB、CD間的一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)AG、CG．若∠A=140°，∠C=150°，則∠AGC的度數(shù)是多少？（2）如圖（2），點(diǎn)G為AB、CD間的一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)AG、CG．∠A=x°，∠C=y°，則∠AGC的度數(shù)是多少？（3）如圖（3），寫出∠BAE、∠AEF、∠EFG、∠FGC、∠GCD之間有何關(guān)系？直接寫出結(jié)論．【答案】（1）70°；（2）∠AGC=（x+y）°；（3）∠BAE+∠EFG+∠GCD=∠AEF+∠FGC．【分析】（1）過點(diǎn)G作GE∥AB，利用平行線的性質(zhì)即可進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解．（2）過點(diǎn)G作GF∥AB，利用平行線的性質(zhì)即可進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解．（3）過點(diǎn)E作EM∥AB，過點(diǎn)F作FN∥AB，過點(diǎn)G作GQ∥CD，利用平行線的性質(zhì)即可進(jìn)行轉(zhuǎn)化找到角的關(guān)系．【詳解】解：（1）如圖，過點(diǎn)G作GE∥AB，∵AB∥GE，∴∠A+∠AGE=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）．∵∠A=140°，∴∠AGE=40°．∵AB∥GE，AB∥CD，∴GE∥CD．∴∠C+∠CGE=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）．∵∠C=150°，∴∠CGE=30°．∴∠AGC=∠AGE+∠CGE=40°+30°=70°．（2）如圖，過點(diǎn)G作GF∥AB∵AB∥GF，∴∠A=AGF（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）．∵AB∥GF，AB∥CD，∴GF∥CD．∴∠C=∠CGF．∴∠AGC=∠AGF+∠CGF=∠A+∠C．∵∠A=x°，∠C=y°，∴∠AGC=（x+y）°．（3）如圖所示，過點(diǎn)E作EM∥AB，過點(diǎn)F作FN∥AB，過點(diǎn)G作GQ∥CD，∵AB∥CD，∴AB∥EM∥FN∥GQ∥CD．∴∠BAE=∠AEM，∠MEF=∠EFN，∠NFG=∠FGQ，∠QGC=∠GCD（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）．∴∠AEF=∠BAE+∠EFN，∠FGC=∠NFG+GCD．∵∠EFN+∠NFG=∠EFG，∴∠BAE+∠EFG+∠GCD=∠AEF+∠FGC．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的判定與性質(zhì)，本題構(gòu)造輔助線利用平行線的傳遞性結(jié)合平行線性質(zhì)是解題關(guān)鍵．19．（2019春·上海·七年級上海市市八初級中學(xué)?？计谥校┤鐖D（a）五邊形ABCDE是張大爺十年前承包的一塊土地示意圖，經(jīng)過多年開墾荒地，現(xiàn)已經(jīng)變成圖（b）所示的形狀.但承包土地與開墾荒地的分解小路，即圖（b）中折線CDE還保留著.張大爺想過E點(diǎn)修一條直路EF，直路修好后，要保持直路左邊的土地面積與承包時的一樣多，右邊的土地面積與開墾的荒地面積一樣多.（不計(jì)分解小路與直路的占地面積）請你用有關(guān)知識，按張大爺?shù)男蘼芬笤趫D（b）中畫出相應(yīng)的圖形（請務(wù)必保留作圖痕跡）.【答案】見解析.【分析】要求面積不變且要經(jīng)過點(diǎn)E，我們可以假設(shè)這一直線已經(jīng)作出，觀察可以發(fā)現(xiàn)，實(shí)際上是將△EDC進(jìn)行等積變換，此時只要連接EC，利用尺規(guī)作圖過點(diǎn)D作EC的平行線，交EN于點(diǎn)F，交CM于點(diǎn)G，再連接EG，利用兩平行線間的距離處處相等，可得S△ECG=S△ECD，問題即得解決.【詳解】解：畫法如圖1所示（連接EC，以ED為一邊作∠EDF=∠DEC）．圖1

圖2如圖2，連接EG，由作圖知∠EDF=∠DEC，所以DF∥EC，設(shè)直線DF交EN于點(diǎn)F，交CM于點(diǎn)G，則線段EG即為所求直路的位置.理由如下：如圖2，∵EC∥FG，∴D和G點(diǎn)到EC的距離相等（平行線間的距離處處相等），又∵EC為公共邊，∴S△ECG=S△ECD（同底等高的兩三角形面積相等），∴S五邊形AEDCB=S四邊形ABCE+S△ECD=S四邊形ABCE+S△ECG，S五邊形EDCMN=S四邊形EGMN．即EF為直路的位置，可以保持直路左邊的土地面積與承包時的一樣多，右邊的土地面積與開墾的荒地面積一樣多.【點(diǎn)睛】本題考查尺規(guī)作圖、平行線間的距離和等積變換，解題的關(guān)鍵是連接EC，作∠EDF=∠DEC，亦即FG∥EC，再連接EG，利用等積變換作出相等面積來彼此替換以保持總面積不變．【易錯】一．選擇題（共4小題）1．（2022春?上海期末）如圖所示，由已知條件推出結(jié)論正確的是（）A．由∠1＝∠5，可以推出AB∥CD B．由∠3＝∠7，可以推出AD∥BC C．由∠2＝∠6，可以推出AD∥BC D．由∠4＝∠8，可以推出AD∥BC【分析】根據(jù)平行線的判定方法對各選項(xiàng)分析判斷即可利用排除法求解．【解答】解：A、由∠1＝∠5，可以推出AD∥BC，故本選項(xiàng)錯誤；B、由∠3＝∠7，可以推出AB∥CD，故本選項(xiàng)錯誤；C、由∠2＝∠6，可以推出AB∥CD，故本選項(xiàng)錯誤；D、由∠4＝∠8，可以推出AD∥BC，故本選項(xiàng)正確．故選：D．【點(diǎn)評】本題主要考查了平行線的判定，找準(zhǔn)構(gòu)成內(nèi)錯角的截線與被截線是解題的關(guān)鍵，本題容易出錯．2．（2022春?閔行區(qū)校級期中）下列圖形中，∠1和∠2是同位角的圖有（）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【分析】根據(jù)同位角：兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個角都在兩直線的同側(cè)，并且在第三條直線（截線）的同旁，則這樣一對角叫做同位角進(jìn)行分析即可．【解答】解：根據(jù)同位角定義可得第二、三個是同位角，第一、四個不是同位角，即同位角有2個．故選：C．【點(diǎn)評】此題主要考查了同位角，解題的關(guān)鍵是掌握同位角的邊構(gòu)成“F“形，內(nèi)錯角的邊構(gòu)成“Z“形，同旁內(nèi)角的邊構(gòu)成“U”形．3．（2022春?閔行區(qū)校級期中）如圖所示，圖中同位角共有（）A．4對 B．6對 C．8對 D．10對【分析】根據(jù)兩個都在截線的同旁，又分別處在被截的兩條直線同側(cè)的位置的角叫做同位角進(jìn)行判斷即可．【解答】解：如圖：由同位角的定義可知：∠B和∠FAH，∠B和∠ECG，∠BCG和∠MDG，∠ECG和∠HDG，∠BAM和∠CDM，∠BAH和∠CDH，∠MAF和∠MDG，∠FAH和∠GDH都是同位角，共有8對．故選：C．【點(diǎn)評】本題主要考查了同位角的定義．解答此題時要結(jié)合圖形和同位角的定義進(jìn)行解答．4．（2022春?靜安區(qū)期中）兩直線被第三條直線所截，∠1與∠2是同旁內(nèi)角，且∠1＝30°，則∠2的度數(shù)為（）A．150° B．30° C．30°或150° D．無法確定【分析】兩直線被第三條直線所截，只有當(dāng)兩條被截直線平行時，內(nèi)錯角相等，同位角相等，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．不平行時以上結(jié)論不成立．【解答】解：因?yàn)閮蓷l直線的位置關(guān)系不明確，所以無法判斷∠1和∠2大小關(guān)系，故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了平行線的性質(zhì)，注意性質(zhì)定理的條件是兩直線平行．解題的關(guān)鍵是正確理解平行線的性質(zhì)．二．填空題（共9小題）5．（2022春?寶山區(qū)校級月考）如圖所示，∠EDB的同旁內(nèi)角有∠BED，∠FED，∠B．【分析】根據(jù)角位于兩直線的中間，截線的同一側(cè)是同旁內(nèi)角，可得同旁內(nèi)角．【解答】解：∠EDB的同旁內(nèi)角有∠BED，∠FED，∠B．故答案為：∠BED，∠FED，∠B．【點(diǎn)評】本題考查了同旁內(nèi)角．解題的關(guān)鍵是掌握同旁內(nèi)角的定義：兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個角都在兩直線的之間，并且在第三條直線（截線）的同旁，則這樣一對角叫做同旁內(nèi)角．6．（2022春?楊浦區(qū)校級期末）如圖直線AB、CD被直線EF所截，且AB∥CD，已知∠2比∠1大50°，則∠1＝65°．【分析】根據(jù)題意可得∠2＝∠1+50°，然后利用平行線的性質(zhì)可得∠1+∠2＝180°，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：∵∠2比∠1大50°，∴∠2＝∠1+50°，∵AB∥CD，∴∠1+∠2＝180°，∴∠1+∠1+50°＝180°，∴∠1＝65°，故答案為：65．【點(diǎn)評】本題考查了平行線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．（2022春?楊浦區(qū)校級期中）如圖：與∠FDB成內(nèi)錯角的是∠EFD、∠AFD和∠CBD；與∠DFB成同旁內(nèi)角的是∠DBF、∠BDF、∠CBF和∠CDF．【分析】準(zhǔn)確識別內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角的關(guān)鍵，是弄清哪兩條直線被哪一條線所截．也就是說，在辨別這些角之前，要弄清哪一條直線是截線，哪兩條直線是被截線．【解答】解：如圖，與∠FDB成內(nèi)錯角的是∠EFD、∠AFD和∠CBD，與∠DFB成同旁內(nèi)角的是：∠DBF、∠BDF、∠CBF和∠CDF．故答案分別是：∠EFD、∠AFD和∠CBD，∠DBF、∠BDF、∠CBF和∠CDF．【點(diǎn)評】本題考查了同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角．在復(fù)雜的圖形中識別同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角時，應(yīng)當(dāng)沿著角的邊將圖形補(bǔ)全，或者把多余的線暫時略去，找到三線八角的基本圖形，進(jìn)而確定這兩個角的位置關(guān)系．8．（2022春?靜安區(qū)期中）如圖，直線AB⊥CD于點(diǎn)O，直線EF過點(diǎn)O，若∠1＝50°，∠2＝40度．【分析】根據(jù)垂直定義可得∠COB＝90°，從而求出∠COF的度數(shù)，然后根據(jù)對頂角相等即可解答．【解答】解：∵AB⊥CD，∴∠COB＝90°，∵∠1＝50°，∴∠COF＝∠COB﹣∠1＝40°，∴∠2＝∠COF＝40°，故答案為：40．【點(diǎn)評】本題考查了垂線，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形分析是解題的關(guān)鍵．9．（2022春?楊浦區(qū)校級期末）如圖，BA⊥CE于A點(diǎn)，過A點(diǎn)作DF∥BC，若∠EAF＝135°，則∠B＝45°．【分析】先根據(jù)補(bǔ)角的定義求出∠CAF的度數(shù)，再由平行線的性質(zhì)求出∠ACB的度數(shù)，再由直角三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論．【解答】解：∵∠EAF＝135°，∴∠CAF＝180°﹣135°＝45°．∵DF∥BC，∴∠ACB＝∠CAF＝45°．∵BA⊥CE，∴∠BAC＝90°，∴∠B＝90°﹣∠ACB＝90°﹣45°＝45°．故答案為：＝45°．【點(diǎn)評】本題考查平行線的性質(zhì)和垂線的定義．解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線的性質(zhì)：兩直線平行，內(nèi)錯角相等．10．（2022春?松江區(qū)校級期中）如圖所示，把一個長方形紙片沿EF折疊后，點(diǎn)C、D分別落在C′、D′的位置，若∠BFE＝75°，則∠AED′＝30°．【分析】由平行可求得∠DEF，又由折疊的性質(zhì)可得∠DEF＝∠D′EF，結(jié)合平角可求得∠AED′．【解答】解：∵四邊形ABCD為長方形，∴AD∥BC，∴∠DEF＝∠BFE＝75°，又由折疊的性質(zhì)可得∠D′EF＝∠DEF＝75°，∴∠AED′＝180°﹣75°﹣75°＝30°，故答案為：30°．【點(diǎn)評】本題主要考查平行線的性質(zhì)及折疊的性質(zhì)，掌握兩直線平行，內(nèi)錯角相等是解題的關(guān)鍵．11．（2022春?閔行區(qū)校級期末）如圖，直線AB∥CD，∠C＝45°，AE⊥CE，則∠1＝135°．【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)，可以得到∠AFC的度數(shù)，再根據(jù)三角形的外角和內(nèi)角的關(guān)系，即可得到∠1的度數(shù)．【解答】解：延長CE交AB于點(diǎn)F，如圖所示：∵AB∥CD，∠C＝45°，∴∠AFC＝∠C＝45°，∵AE⊥CE，∴∠AEF＝90°，∴∠1＝∠AEF+∠AFC＝90°+45°＝135°．故答案為：135°．【點(diǎn)評】本題考查平行線的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，運(yùn)用平行線的性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．12．（2022春?寶山區(qū)校級月考）如圖，一只因損壞而傾斜的椅子，從背后看到的形狀如圖，其中兩組對邊的平行關(guān)系沒有發(fā)生變化，若∠1＝75°，則∠2的大小是105°．【分析】先根據(jù)AD∥BC求出∠3的度數(shù)，再根據(jù)AB∥CD即可得出結(jié)論．【解答】解：如圖，∵AD∥BC，∠1＝75°，∴∠3＝∠1＝75°，∵AB∥CD，∴∠2＝180°﹣∠3＝180°﹣75°＝105°．故答案為：105°．【點(diǎn)評】本題考查的是平行線的性質(zhì)，即兩直線平行，同位角相等，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．13．（2022春?寶山區(qū)校級月考）如圖，AB∥CD，∠A＝50°，則∠1＝130°．【分析】由平行線的性質(zhì)可得出∠2，根據(jù)對頂角相得出∠1．【解答】解：如圖：∵AB∥CD，∴∠A+∠2＝180°，∵∠A＝50°，∴∠1＝∠2＝180°﹣∠A＝180°﹣50°＝130°．故答案為：130°．【點(diǎn)評】本題考查了平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是能夠根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)和對頂角相等進(jìn)行分析解答．三．解答題（共3小題）14．（2022春?閔行區(qū)校級期中）如圖：∠1＝∠2，DC∥OA，AB∥OD．求證：∠B＝∠C．（寫出括號里面的理由）【分析】通過DC∥OA，得到∠C＝∠COA，進(jìn)而得到∠COA＝∠DOB，再通過AB∥OD得到∠B＝∠DOB，等量代換得到∠B＝∠C．【解答】證明：∵DC∥OA（已知），∴∠C＝∠COA（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），∵∠COA＝∠2+∠BOC，∵∠1＝∠2（已知），∴∠COA＝∠1+∠BOC（等量代換），∴∠COA＝∠DOB（等量代換），∵AB∥OD（已知），∴∠B＝∠DOB（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），∴∠B＝∠C（等量代換）．【點(diǎn)評】本題考查平行線的性質(zhì)，兩直線平行，內(nèi)錯角相等，同位角相等，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．15．（2022春?松江區(qū)校級期中）（1）如圖（1），當(dāng)∠A、∠C、∠E滿足條件∠AEC＝∠A+∠C時，有AB∥CD．并說明理由．（2）如圖（2），當(dāng)AB∥CD時，∠1，∠2，∠E的關(guān)系是∠1+∠2﹣∠AEC＝180°．【分析】（1）如圖，過點(diǎn)E作EF∥AB，根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)證明即可；（2）如圖，過點(diǎn)E作EF∥AB，根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)證明即可．【解答】解：（1）當(dāng)∠A、∠C、∠AEC滿足條件∠AEC＝∠A+∠C時，有AB∥CD．理由如下：過點(diǎn)E作EF∥AB，如圖：∴∠A＝∠1（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），∵∠AEC＝∠A+∠C，∠AEC＝∠1+∠2，∴∠2＝∠C，∴EF∥CD（內(nèi)錯角相等，兩直線平行），∵EF∥AB，∴AB∥CD（平行于同一條直線的兩條直線互相平行）；故答案為：∠AEC＝∠A+∠C；（2）當(dāng)AB∥CD時，∠1，∠2，∠AEC的關(guān)系是∠1+∠2﹣∠AEC＝180°，理由如下：過點(diǎn)E作EF∥AB，如圖：∴∠3+∠1＝180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)），∵AB∥CD（已知），∴EF∥CD（平行于同一條直線的兩條直線互相平行），∴∠FEC＝∠2（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），即∠AEC+∠3＝∠2，∴∠3＝∠2﹣∠AEC，∴∠2﹣∠AEC+∠1＝180°（等量代換），即∠1+∠2﹣∠AEC＝180°．故答案為：∠1+∠2﹣∠AEC＝180°．【點(diǎn)評】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)．能夠正確的作輔助線并熟記平行線的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．16．（2022春?松江區(qū)校級期中）填空：如圖，已知∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B，說明DE與BC平行的理由．解：因?yàn)椤?+∠2＝180°（已知）又因?yàn)椤?+∠DFE＝180°（鄰補(bǔ)角意義）所以∠2＝∠DFE（同角的補(bǔ)角相等）所以AB∥EF（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）所以∠3＝∠ADE（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）因?yàn)椤?＝∠B（已知）所以∠ADE＝∠B（等量代換）所以DE∥BC（同位角相等，兩直線平行）【分析】根據(jù)平行線的判定方法和平行線的性質(zhì)解答即可．【解答】解：因?yàn)椤?+∠2＝180°（已知），又因?yàn)椤?+∠DFE＝180°（鄰補(bǔ)角的意義），所以∠2＝∠DFE（同角的補(bǔ)角相等），所以AB∥EF（內(nèi)錯角相等，兩直線平行），所以∠3＝∠ADE（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），因?yàn)椤?＝∠B（已知），所以∠ADE＝∠B（等量代換），∴DE∥BC（同位角相等，兩直線平行）．故答案為：DFE；同角的補(bǔ)角相等；內(nèi)錯角相等，兩直線平行；ADE；兩直線平行，內(nèi)錯角相等；B；等量代換；同位角相等，兩直線平行．【點(diǎn)評】本題主要考查了平行線的判定與性質(zhì)，熟知平行線的判定與性質(zhì)的區(qū)別是解答此題的關(guān)鍵，即性質(zhì)與判定的已知和結(jié)論正好相反，都是角的關(guān)系與平行線相關(guān)．【壓軸】一、單選題1．（2022春·上?！て吣昙墝ｎ}練習(xí)）如圖，,點(diǎn)E是邊DC上一點(diǎn)，連接AE交BC的延長線于點(diǎn)H，點(diǎn)F是邊AB上一點(diǎn)，使得，作的角平分線交BH于點(diǎn)G，若，則的度數(shù)是（

）．

A． B． C． D．【答案】B【分析】AD∥BC，∠D=∠ABC，則AB∥CD，則∠AEF=180°-∠AED-∠BEG=180°-2β，在△AEF中，100°+2α+180°-2β=180°，故β-α=40°，即可求解．【詳解】解：設(shè)FBE=∠FEB=α，則∠AFE=2α，∠FEH的角平分線為EG，設(shè)∠GEH=∠GEF=β，∵AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD=180°，而∠D=∠ABC，∴∠D+∠BAD=180°，∴AB∥CD，∠DEH=100°，則∠CEH=∠FAE=80°，∠AEF=180°-∠FEG-∠BEG=180°-2β，在△AEF中，在△AEF中，80°+2α+180-2β=180°，故β-α=40°，而∠BEG=∠FEG-∠FEB=β-α=40°，故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查平行線的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是落腳于△AEF內(nèi)角和為180°，即100°+2α+180°-2β=180°，題目難度較大．2．（2021春·上?！て吣昙壣虾Ｊ械诙跫壷袑W(xué)?？计谥校┤鐖D所示，若AB∥EF，用含、、的式子表示，應(yīng)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】過C作CD∥AB，過M作MN∥EF，推出AB∥CD∥MN∥EF，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出+∠BCD=180°，∠DCM=∠CMN，∠NMF=，求出∠BCD=180°-，∠DCM=∠CMN=-，即可得出答案．【詳解】過C作CD∥AB，過M作MN∥EF，∵AB∥EF，∴AB∥CD∥MN∥EF，∴+∠BCD=180°，∠DCM=∠CMN，∠NMF=，∴∠BCD=180°-，∠DCM=∠CMN=-，∴=∠BCD+∠DCM=，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查了學(xué)生的推理能力．3．（2022春·上?！て吣昙墝ｎ}練習(xí)）如圖，已知直線AB，CD被直線AC所截，，E是平面內(nèi)任意一點(diǎn)（點(diǎn)E不在直線AB，CD，AC上），設(shè)∠BAE＝α，∠DCE＝β．下列各式：①α+β，②α﹣β，③180°﹣α﹣β，④360°﹣α﹣β，∠AEC的度數(shù)可能是（

）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④【答案】D【分析】根據(jù)點(diǎn)E有6種可能位置，分情況進(jìn)行討論，依據(jù)平行線的性質(zhì)以及三角形外角性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算求解即可．【詳解】解：（1）如圖1，由ABCD，可得∠AOC＝∠DCE1＝β，∵∠AOC＝∠BAE1+∠AE1C，∴∠AE1C＝β﹣α．（2）如圖2，過E2作AB平行線，則由ABCD，可得∠1＝∠BAE2＝α，∠2＝∠DCE2＝β，∴∠AE2C＝α+β．當(dāng)AE2平分∠BAC，CE2平分∠ACD時，∠BAE2+∠DCE2＝（∠BAC+∠ACD）＝×180°＝90°，即α+β＝90°，又∵∠AE2C＝∠BAE2+∠DCE2，∴∠AE2C＝180°﹣（α+β）＝180°﹣α﹣β；（3）如圖3，由ABCD，可得∠BOE3＝∠DCE3＝β，∵∠BAE3＝∠BOE3+∠AE3C，∴∠AE3C＝α﹣β．（4）如圖4，由ABCD，可得∠BAE4+∠AE4C+∠DCE4＝360°，∴∠AE4C＝360°﹣α﹣β．（5）（6）當(dāng)點(diǎn)E在CD的下方時，同理可得，∠AEC＝α﹣β或β﹣α．綜上所述，∠AEC的度數(shù)可能為β﹣α，α+β，α﹣β，180°﹣α﹣β，360°﹣α﹣β．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)的運(yùn)用與外角定理，解題時注意：兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內(nèi)錯角相等．二、填空題4．（2019春·上海普陀·七年級校考期中）已知兩個完全相同的直角三角形紙片△ABC、△DEF，如圖1放置，點(diǎn)B、D重合，點(diǎn)F在BC上，AB與EF交于點(diǎn)G．∠C=∠EFB=90°，∠E=∠ABC=30°，現(xiàn)將圖1中的△ABC繞點(diǎn)F按每秒10°的速度沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)180°，在旋轉(zhuǎn)的過程中，△ABC恰有一邊與DE平行的時間為___________．【答案】3秒或12秒或15秒【詳解】①如圖（2），當(dāng)AC∥DE時，∵AC∥DE，∴∠ACB=∠CHD=90°．∵∠E=30°，∴∠D=60°，∴∠HFD=90°-60°=30°，∴t=30°÷10°=3．②如圖3，當(dāng)BC∥DE時，∵BC∥ED，∴∠BFE=∠E=30°，∴∠BFD=30°+90°=120°，∴t=120°÷10=12．③如圖4，當(dāng)BA∥ED時，延長DF交DA于G．∵∠E=30°，∴∠D=60°，∵BA∥ED，∴∠BGD=180°-∠D=120°∴∠BFD=∠B+∠BGF=30°+120°=150°，∴t=150°÷10°=15．故答案為3秒或12秒或15秒【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)．分三種不同的情況討論，解題的關(guān)鍵是畫出三種情況的圖形．三、解答題5．（2022春·上?！て吣昙壠谥校┤鐖D，已知，，，試說明：．完善下面的解答過程，并填寫理由或數(shù)學(xué)式：解：（已知）（已知）即（已知）即．【答案】見解析【分析】可先證明，可得到，結(jié)合條件可得，可得到，可證明．【詳解】解：（已知）內(nèi)錯角相等，兩直線平行）兩直線平行，內(nèi)錯角相等）（已知）（等量代換）同位角相等，兩直線平行）（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）即（已知）（等量代換）即（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）；故答案為：；內(nèi)錯角相等，兩直線平行；兩直線平行，內(nèi)錯角相等；；等量代換；同位角相等，兩直線平行；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；等量代換；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)和判定，掌握平行線的性質(zhì)和判定是解題的關(guān)鍵，即①兩直線平行同位角相等，②兩直線平行內(nèi)錯角相等，③兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)，④，．6．（2022春·上海·七年級專題練習(xí)）已知：如圖，∠BAP+∠APD=180°，∠1=∠2.求證：AE∥PF．【答案】見解析【分析】由∠BAP+∠APD=180°可得AB∥CD，進(jìn)而得到∠BAP=∠CPA,然后根據(jù)角的和差可得∠EAP=∠FPA運(yùn)用內(nèi)錯角相等、兩直線平行證