專題14添一個條件成為平行四邊形(原卷版+解析)

專題14添一個條件成為平行四邊形知識導(dǎo)航知識導(dǎo)航必備知識點(diǎn)添一個條件使四邊形成為平行四邊形利用平行四邊形的判定方法來添加條件，平行四邊形的判定方法共有五種，在四邊形中如果有：四邊形的兩組對邊分別平行；一組對邊平行且相等；兩組對邊分別相等；對角線互相平分；兩組對角分別相等，則四邊形是平行四邊形。2.判定一個四邊形是平行四邊形共有五種方法，究竟選用哪種判定方法要根據(jù)題目中的條件而定，很多情況下，一道題目有多種解法，需要我們選擇合適的條件，依據(jù)相應(yīng)的判定方法進(jìn)行判定，但每種解法的難易程度不同，需要加以選擇。經(jīng)典例題：如圖，在四邊形ABCD中，AB=CD，添一個條件，使四邊形ABCD是平行四邊形(不需作其它輔助線)分析：根據(jù)平行四邊形的判定方法，可以再加一個：AD=BC的條件，利用兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形而得證。解:根據(jù)平行四邊形的判定，可添加：AD=BC(答案不唯一)。故答案為：AD=BC或∠BAC=∠ACD.點(diǎn)晴：本題考查了平行四邊形的判定，是開放題，答案不唯一利用平行四邊形的判定方法來添加條件。題型精煉題型精煉 一、單選題1．四邊形ABCD中，對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，要使四邊形ABCD是平行四邊形，則可以增加條件（

）A．， B．，C．， D．，2．如圖，在四邊形中，AB∥CD，添加下列一個條件后，一定能判定四邊形是平行四邊形的是（

）A． B． C． D．3．如圖所示：,要使四邊形是平行四邊形，還需要補(bǔ)充的一個條件是（

）A． B． C． D．4．如圖，在矩形中，是邊的中點(diǎn)，，垂足為點(diǎn)，連接．則列四個結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的結(jié)論有：A．4個 B．3個 C．2個 D．1個5．在四邊形中，與相交于點(diǎn)，且，給出下列條件：①；②；③；④．從中選1個作為條件，能使四邊形為平行四邊形的選法有(

)A．種 B．種 C．種 D．種6．如圖，在四邊形中，，，，是的中點(diǎn)．點(diǎn)以每秒1個單位長度的速度從點(diǎn)出發(fā)，沿向點(diǎn)運(yùn)動；點(diǎn)同時以每秒3個單位長度的速度從點(diǎn)出發(fā)，沿向點(diǎn)運(yùn)動．點(diǎn)停止運(yùn)動時，點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動．若以點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，則點(diǎn)運(yùn)動的時間為（

）A．1 B． C．2或 D．1或7．如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點(diǎn)O．E、F是對角線AC上的兩個不同點(diǎn)，當(dāng)E、F兩點(diǎn)滿足下列條件時，四邊形DEBF不一定是平行四邊形（

）．A．AE＝CF B．DE＝BFC．∠ADE=∠CBF D．∠AED=∠CFB8．在四邊形中，給出下列條件：①；②；③；④，選其中兩個條件不能判斷四邊形是平行四邊形的是A．①② B．①③ C．①④ D．②④9．如圖，平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，E、F是AC上的兩點(diǎn)，當(dāng)E、F滿足下列哪個條件時，四邊形DEBF不一定是平行四邊形（）A．∠ADE=∠CBF B．∠ABE=∠CDF C．DE=BF D．OE=OF二、填空題10．如圖，兩條射線，點(diǎn)C，D分別在射線BN，AM上，只需添加一個條件，即可證明四邊形ABCD是平行四邊形，這個條件可以是____________（寫出一個即可）．11．如圖，□ABCD中，CE＝DF，則四邊形ABEF是________________.12．中，已知AB＝CD＝4，BC＝6，則當(dāng)AD＝________時，四邊形ABCD是平行四邊形．13．如圖，四邊形ABCD中，∠A＝∠ABC＝90°，點(diǎn)E是邊CD上一點(diǎn)，連接BE，并延長與AD的延長線相交于點(diǎn)F，請你只添加一個條件：__________，使四邊形BDFC為平行四邊形．14．如圖，在四邊形中，，，，，點(diǎn)是的中點(diǎn).則______．15．已知平面上有三個點(diǎn)，點(diǎn)，以點(diǎn)，點(diǎn)點(diǎn)為頂點(diǎn)畫平行四邊形，則第四個頂點(diǎn)的坐標(biāo)為____．三、解答題16．如圖，在四邊形中，，，垂足分別為點(diǎn)，．（1）請你只添加一個條件（不另加輔助線），使得四邊形為平行四邊形，你添加的條件是________；（2）添加了條件后，證明四邊形為平行四邊形．17．如圖，已知點(diǎn)E、F在四邊形ABCD的對角線BD所在的直線上，且BE=DF，AE∥CF，請再添加一個條件（不要在圖中再增加其它線段和字母），能證明四邊形ABCD是平行四邊形，并證明你的想法.你所添加的條件：____________________________________；18．如圖，在四邊形ABCD中，E是BC的中點(diǎn)，連接DE并延長，交AB的延長線于F，且AB＝BF，添加一個條件，使四邊形ABCD是平行四邊形，并證明你的結(jié)論.19．如圖，在中，，，，點(diǎn)、分別是邊、上的動點(diǎn)（點(diǎn)不與，重合），且，過點(diǎn)作的平行線，交于點(diǎn)，連接，設(shè)為．（1）求證：∽．（2）是否存在一點(diǎn)，使得四邊形為平行四邊形，若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由．專題14添一個條件成為平行四邊形知識導(dǎo)航知識導(dǎo)航必備知識點(diǎn)添一個條件使四邊形成為平行四邊形利用平行四邊形的判定方法來添加條件，平行四邊形的判定方法共有五種，在四邊形中如果有：四邊形的兩組對邊分別平行；一組對邊平行且相等；兩組對邊分別相等；對角線互相平分；兩組對角分別相等，則四邊形是平行四邊形。2.判定一個四邊形是平行四邊形共有五種方法，究竟選用哪種判定方法要根據(jù)題目中的條件而定，很多情況下，一道題目有多種解法，需要我們選擇合適的條件，依據(jù)相應(yīng)的判定方法進(jìn)行判定，但每種解法的難易程度不同，需要加以選擇。經(jīng)典例題：如圖，在四邊形ABCD中，AB=CD，添一個條件，使四邊形ABCD是平行四邊形(不需作其它輔助線)分析：根據(jù)平行四邊形的判定方法，可以再加一個：AD=BC的條件，利用兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形而得證。解:根據(jù)平行四邊形的判定，可添加：AD=BC(答案不唯一)。故答案為：AD=BC或∠BAC=∠ACD.點(diǎn)晴：本題考查了平行四邊形的判定，是開放題，答案不唯一利用平行四邊形的判定方法來添加條件。題型精煉題型精煉一、單選題1．四邊形ABCD中，對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，要使四邊形ABCD是平行四邊形，則可以增加條件（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【解析】【分析】根據(jù)平行四邊形的判定條件，對選項進(jìn)行逐一判斷即可得到答案.【詳解】解：A、如下圖所示，，四邊形ABCD是一個等腰梯形，此選項錯誤；B、如下圖所示，，，即四邊形的對角線互相平分，故四邊形ABCD是平行四邊形，此選項正確；C、，，并不能證明四邊形ABCD是平行四邊形，此選項錯誤；D、，，并不能證明四邊形ABCD是平行四邊形，此選項錯誤；故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的判定，解題的關(guān)鍵在于掌握平行四邊形的五種判定方法.2．如圖，在四邊形中，AB∥CD，添加下列一個條件后，一定能判定四邊形是平行四邊形的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】由平行線的性質(zhì)得，再由，得，證出，即可得出結(jié)論．【詳解】解：一定能判定四邊形是平行四邊形的是，理由如下：，，，，，又，四邊形是平行四邊形，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行四邊形的判定，證明出．3．如圖所示：,要使四邊形是平行四邊形，還需要補(bǔ)充的一個條件是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】直接利用一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形或者兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形判定即可．【詳解】∵在四邊形ABCD中，AD=BC，要使四邊形ABCD是平行四邊形，還需添加一個條件是：AB=CD或AD∥BC．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定，正確掌握平行四邊形的判定方法是解題的關(guān)鍵．4．如圖，在矩形中，是邊的中點(diǎn)，，垂足為點(diǎn)，連接．則列四個結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的結(jié)論有：A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【答案】A【解析】【分析】①通過證明及對頂角相等即可得到答案；②根據(jù)是邊的中點(diǎn)及①中的相似可得可得答案；③過D作DM∥BE交AC于N，利用平行四邊形的性質(zhì)證明DM垂直平分CF可得答案；④由①中的相似得到，設(shè)，利用母子三角形的性質(zhì)求出可得答案．【詳解】解：①如圖，∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，，又因為：，所以：，故①成立，②因為：E是的中點(diǎn)，所以：，因為：，所以：，設(shè)則，所以：，所以，故②成立，③過D作DM∥BE交AC于N，∵DE∥BM，BE∥DM，∴四邊形BMDE是平行四邊形，∴BM=DE=BC，∴BM=CM，∴CN=NF，∵BE⊥AC于點(diǎn)F，DM∥BE，∴DN⊥CF，∴DM垂直平分CF，∴DF=DC，故③正確；④因為：，設(shè)，則，所以：，，因為：，所以：，所以：，所以④成立；故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，圖形面積的計算以及解直角三角形的綜合應(yīng)用，正確的作出輔助線構(gòu)造平行四邊形是解題的關(guān)鍵．解題時注意：相似三角形的對應(yīng)邊成比例．5．在四邊形中，與相交于點(diǎn)，且，給出下列條件：①；②；③；④．從中選1個作為條件，能使四邊形為平行四邊形的選法有(

)A．種 B．種 C．種 D．種【答案】B【解析】【分析】根據(jù)平行四邊形的判定方法一一判斷即可．【詳解】已知AD∥BC，加上①AB∥CD可根據(jù)兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形進(jìn)行判定；加上②AB=CD不能判定是平行四邊形；加上③∠DAB=∠DCB可證明AB∥CD，可根據(jù)兩組對邊平行的四邊形是平行四邊形進(jìn)行判定；加上④OA=OC可證明△AOD≌△COB可得BO=DO，可根據(jù)兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形進(jìn)行判定；綜上所述，共3種，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的判定，關(guān)鍵是掌握兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形；兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；對角線互相平分的四邊形是平行四邊形．6．如圖，在四邊形中，，，，是的中點(diǎn)．點(diǎn)以每秒1個單位長度的速度從點(diǎn)出發(fā)，沿向點(diǎn)運(yùn)動；點(diǎn)同時以每秒3個單位長度的速度從點(diǎn)出發(fā)，沿向點(diǎn)運(yùn)動．點(diǎn)停止運(yùn)動時，點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動．若以點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，則點(diǎn)運(yùn)動的時間為（

）A．1 B． C．2或 D．1或【答案】D【解析】【分析】要使得以P、Q、E、D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，已知，即要使PD=EQ即可，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動時間為t(0≤t≤6)秒，分別表示出PD，EQ的長度，根據(jù)PD=EQ列方程求解即可．【詳解】設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動時間為t(0≤t≤6)秒，則AP=t，CQ=3t，由E是BC的中點(diǎn)可得：BE=EC=8，要使得以P、Q、E、D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，已知，即要使PD=EQ即可．（1）如圖：點(diǎn)Q位于點(diǎn)E右側(cè)時，PD=6－t，CQ=3t，EQ=8－3t，6－t=8－3t，t=1（秒）；（2）如圖：點(diǎn)Q位于點(diǎn)E左側(cè)時，PD=6－t，CQ=3t，EQ=3t－8，6－t=3t－8，t=（秒）．綜上所述：P的運(yùn)動時間為1或秒．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行四邊形的判定方法以及一元一次方程的應(yīng)用，熟記平行四邊形的判定方法，根據(jù)對應(yīng)邊相等列方程是解題關(guān)鍵．7．如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點(diǎn)O．E、F是對角線AC上的兩個不同點(diǎn)，當(dāng)E、F兩點(diǎn)滿足下列條件時，四邊形DEBF不一定是平行四邊形（

）．A．AE＝CF B．DE＝BFC．∠ADE=∠CBF D．∠AED=∠CFB【答案】B【解析】【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)以及平行四邊形的判定定理即可得出判斷．【詳解】解：A、∵在平行四邊形ABCD中，OA=OC，OB=OD，若AE=CF，則OE=OF，∴四邊形DEBF是平行四邊形；B、若DE=BF，沒有條件能夠說明四邊形DEBF是平行四邊形，則選項錯誤；C、∵在平行四邊形ABCD中，OB=OD，AD∥BC，∴∠ADB=∠CBD，若∠ADE=∠CBF，則∠EDB=∠FBO，∴DE∥BF，則△DOE和△BOF中，∴△DOE≌△BOF，∴DE=BF，∴四邊形DEBF是平行四邊形．故選項正確；D、∵∠AED=∠CFB，∴∠DEO=∠BFO，∴DE∥BF，在△DOE和△BOF中，，∴△DOE≌△BOF，∴DE=BF，∴四邊形DEBF是平行四邊形．故選項正確．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)以及判定定理，涉及到全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的判定定理是解題的關(guān)鍵．8．在四邊形中，給出下列條件：①；②；③；④，選其中兩個條件不能判斷四邊形是平行四邊形的是A．①② B．①③ C．①④ D．②④【答案】A【解析】【分析】利用平行四邊形判定特征，通過排除法解題即可.【詳解】由①④，可以推出四邊形是平行四邊形；由②④也可以提出四邊形是平行四邊形；①③或③④組合能根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，從而利用兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形來判定．①②一起不能推出四邊形ABCD是平行四邊形.故選．【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形判定特征，對于平行四邊形，可以通過兩組對邊分別平行，兩組對角分別相等或者一組對邊平行且相等來判斷四邊形為平行四邊形，9．如圖，平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，E、F是AC上的兩點(diǎn)，當(dāng)E、F滿足下列哪個條件時，四邊形DEBF不一定是平行四邊形（）A．∠ADE=∠CBF B．∠ABE=∠CDF C．DE=BF D．OE=OF【答案】C【解析】【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，以及平行四邊形的判定定理即可作出判斷．【詳解】A、在平行四邊形ABCD中，∵AO=CO，DO=BO，AD∥BC，AD=BC，∴∠DAE=∠BCF，若∠ADE=∠CBF，在△ADE與△CBF中，，∴△ADE≌△CBF，∴AE=CF，∴OE=OF，∴四邊形DEBF是平行四邊形；B、若∠ABE=∠CDF，在△ABE與△CDF中，，∴△ABE≌△CDF，∴AE=CF，∵AO=CO，∴OE=OF，∵OD=OB，∴四邊形DEBF是平行四邊形；C、若DE與AC不垂直，則滿足AC上一定有一點(diǎn)M使DM=DE，同理有一點(diǎn)N使BF=BN，則四邊形DEBF不一定是平行四邊形，則選項錯誤；D、若OE=OF，∵OD=OB，∴四邊形DEBF是平行四邊形；故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)以及判定定理，熟練掌握定理是關(guān)鍵．二、填空題10．如圖，兩條射線，點(diǎn)C，D分別在射線BN，AM上，只需添加一個條件，即可證明四邊形ABCD是平行四邊形，這個條件可以是____________（寫出一個即可）．【答案】或【解析】【分析】由“兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形”和“一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”即可填空．【詳解】由平行四邊形的判定條件即可填空為：或．故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的判定．掌握平行四邊形的判定條件是解答本題的關(guān)鍵．11．如圖，□ABCD中，CE＝DF，則四邊形ABEF是________________.【答案】平行四邊形【解析】【分析】由平行四邊形的性質(zhì)定理可得AD=BC，AD//BC，結(jié)合CE=DF，可得AF與BE平行且相等，可判定四邊形ABEF是平行四邊形.【詳解】解：∵□ABCD，∴AD//BC，AD=BC，∵CE＝DF，∴AF=BE，AF//BE，∴四邊形ABEF是平行四邊形．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)定理和判定定理，解題關(guān)鍵是性質(zhì)、判定的綜合運(yùn)用.12．中，已知AB＝CD＝4，BC＝6，則當(dāng)AD＝________時，四邊形ABCD是平行四邊形．【答案】6【解析】根據(jù)兩組對邊分別相等，可知AD＝6時，四邊形ABCD是平行四邊形．13．如圖，四邊形ABCD中，∠A＝∠ABC＝90°，點(diǎn)E是邊CD上一點(diǎn)，連接BE，并延長與AD的延長線相交于點(diǎn)F，請你只添加一個條件：__________，使四邊形BDFC為平行四邊形．【答案】BC＝DF【解析】【分析】先根據(jù)∠A=∠ABC=90°，判定BC∥DF，再根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，得出結(jié)論．【詳解】∵四邊形ABCD中，∠A＝∠ABC＝90°，∴BC∥DF，∴當(dāng)BC＝DF時，四邊形BDFC是平行四邊形，故答案為BC=DF.【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的判定，解題時注意：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，這是得出結(jié)論的依據(jù)，本題答案不唯一．14．如圖，在四邊形中，，，，，點(diǎn)是的中點(diǎn).則______．【答案】【解析】【分析】延長BC

到E

使BE＝AD，則四邊形ABED是平行四邊形，根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)得到，答案即可解得．【詳解】解：延長BC

到E，

使BE＝AD，∵，∴四邊形ABED是平行四邊形，∵，，∴C是BE的中點(diǎn)，∵M(jìn)是BD的中點(diǎn)，∴又∵，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定，三角形的中位線定理，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．15．已知平面上有三個點(diǎn)，點(diǎn)，以點(diǎn)，點(diǎn)點(diǎn)為頂點(diǎn)畫平行四邊形，則第四個頂點(diǎn)的坐標(biāo)為____．【答案】或或【解析】【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，分別以AB、AC、BC為對角線畫出平行四邊形，然后寫出第四個頂點(diǎn)D的坐標(biāo)．【詳解】如圖，以A、B、C為頂點(diǎn)的平行四邊形的第四個頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，2）或（6，6）或（4，-2）．故答案為：（0，2）或（6，6）或（4，-2）．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)．根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，結(jié)合坐標(biāo)畫出圖形，找出D點(diǎn)坐標(biāo)的三種情況．三、解答題16．如圖，在四邊形中，，，垂足分別為點(diǎn)，．（1）請你只添加一個條件（不另加輔助線），使得四邊形為平行四邊形，你添加的條件是________；（2）添加了條件后，證明四邊形為平行四邊形．【答案】（1）（答案不唯一，符合題意即可）；（2）見解析【解析】【分析】（1）由題意可知，要使得四邊形為平行四邊形，則使得即可，從而添加適當(dāng)條件即可；（2）根據(jù)（1）的思路，利用平行四邊形的定義證明即可．【詳解】（1）顯然，直接添加，可根據(jù)定義得到結(jié)果，故答案為：（答案不唯一，符合題意即可）；（2）證明：∵，，∴，∵，∴四邊形為平行四邊形．【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的判定，掌握平行四邊形的判定方法是解題關(guān)鍵．17．如圖，已知點(diǎn)E、F在四邊形ABCD的對角線BD所在的直線上，且BE=DF，AE∥CF，請再添加一個條件（不要在圖中再增加其它線段和字母），能證明四邊形ABCD是平行四邊形，并證明你的想法.你所添加的條件：____________________________________；證明：【答案】AE=CF【解析】【詳解】試題分析：要證四邊形ABCD是平行四邊形，只要得出一組對邊（AB和CD）平行且相等即可，即只要添加一個條件使得△ABE≌△CDF，由已知可得兩三角形全等的條件有∠E＝∠F，BE＝DF，故可添加AE＝CF（答案不唯一），利用SAS證明△ABE≌△CDF．試題解析：答案不唯一，例如：添加AE＝CF．證明如下：∵AE∥CF，∴∠E＝∠F，