數(shù)學(xué)名師導(dǎo)航古典概型

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精7。2古典概型名師導(dǎo)航三點(diǎn)剖析一、基本事件基本事件是指在一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的每一個基本結(jié)果稱為基本事件。若在一次試驗(yàn)中,每個基本事件發(fā)生的可能性相同，則稱這些基本事件為等可能基本事件.例如：在擲硬幣試驗(yàn)中，必然事件由基本事件“正面朝上”和“反面朝上”組成；在擲骰子試驗(yàn)中，隨機(jī)事件“出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”可以由基本事件“2點(diǎn)"“4點(diǎn)”和“6點(diǎn)"共同組成。二、古典概型1．古典概型的定義古典概型是指具有以下兩個特點(diǎn)的隨機(jī)試驗(yàn)的概率模型稱為古典概型：（1）所有的基本事件只有有限個；（2）每個基本事件的發(fā)生都是等可能的。如果一次試驗(yàn)的等可能基本事件共有n個，則每一個等可能事件發(fā)生的概率為。若某個事件A包含了其中m個等可能事件，則事件A發(fā)生的概率為P（A）=.這就是古典概型概率的計(jì)算公式。古典概型概括了許多實(shí)際問題，有很廣泛的應(yīng)用。如“體育彩票”“社會福利彩票"和抓獎等活動中就蘊(yùn)涵著古典概型的應(yīng)用。此外它也提供了一種求概率問題的嶄新的方法，也就是說不需要通過大量重復(fù)的試驗(yàn)，而只要對一次試驗(yàn)可能出現(xiàn)的結(jié)果進(jìn)行分析，就可以求得概率.2．古典概型概率的取值范圍在古典概型中，若基本事件的總數(shù)為n，某個事件A包含了其中m個基本等可能事件，則必有0≤m≤n，所以事件A發(fā)生的概率的取值范圍是0≤P（A）≤1．其中，當(dāng)m=0時，事件A是不可能事件,它發(fā)生的概率為0，當(dāng)m=n時,事件A是必然事件,它發(fā)生的概率是1，當(dāng)0<m<n時,事件A是隨機(jī)事件，此時它發(fā)生的概率的取值范圍是0<P（A)<1．3．古典概型概率的集合意義在古典概型中,所有的n個基本事件可以構(gòu)成一個含有n個元素的集合I，而事件A包含的m個基本事件可以構(gòu)成一個集合B．由古典概型概率的計(jì)算公式可知：P(A）=。4．古典概型概率的求法與步驟求古典概型概率的方法有兩種:（1)P(A）=，其中n是古典概型中所包含的基本事件的總數(shù)，m則是事件A包含的基本事件數(shù).（2）P(A）=，其中集合I是古典概型中所有基本事件構(gòu)成的集合，集合B則是事件A包含的基本事件構(gòu)成的集合.求古典概型概率的步驟:（1）求基本事件的總數(shù)(或集合I中元素的個數(shù)）；（2）求事件A包含的基本事件的個數(shù)（集合B中元素的個數(shù)）（3）代入計(jì)算公式.問題探究問題1：甲、乙兩人做擲骰子游戲，他們同時各擲一枚骰子一次，然后計(jì)算兩個骰子向上的數(shù)字之積，若得到的積為偶數(shù)，則甲得到1分，否則乙得2分。他們各擲10次,記錄得分情況，得分多者獲勝，問這個游戲?qū)?、乙雙方公平嗎？為什么？探究：這個游戲?qū)?、乙雙方是否公平，就看兩人擲得的骰子向上點(diǎn)數(shù)之積為偶數(shù)的概率是不是為奇數(shù)概率的2倍.由于擲一次骰子點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)的有3種,點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)也有3種情況，而兩次擲得點(diǎn)數(shù)之積為偶數(shù)有以下幾種可能:甲擲得偶乙奇、偶均可，有6種可能；甲擲得奇而乙擲得偶，此時有3種可能.所以兩人擲得的骰子向上點(diǎn)數(shù)之積為偶數(shù)有9種可能;而奇數(shù)只有6種.所以兩人擲得的骰子向上點(diǎn)數(shù)之積為偶數(shù)的概率不是擲得的骰子向上點(diǎn)數(shù)之積為奇數(shù)的概率的2倍，故該規(guī)則對他們來說是不公平的.問題2:成語詞典上對“萬無一失"的解釋是“比喻有絕對的把握”，從數(shù)學(xué)的角度應(yīng)如何看待“萬無一失"這一成語呢？探究：從數(shù)學(xué)的角度，雖然“萬無一失”,但是第一萬零一次就失敗了呢？盡管是“億無一失”，但十億次、百億次后出現(xiàn)失誤的可能性還是有的。因此“萬無一失”只能說出現(xiàn)失敗的可能性很小，其含義絕對不能和“有絕對把握”畫等號.在概率論中我們常把發(fā)生概率很小的事件稱為“小概率事件”，因此“萬無一失”這一成語在某種意義上可以看作發(fā)生失誤是小概率事件。問題3：多大概率是“小概率”？如何看待“小概率事件”?多大概率是“小概率”這是因人、因事、因地而定的，沒有統(tǒng)一的衡量標(biāo)準(zhǔn)。中國古代軍事學(xué)有“六十廟算”的說法.意思是說只要有六成把握就應(yīng)攻打，實(shí)際上就把0.4看成了小概率.我們平時做一件事經(jīng)常說“十拿九穩(wěn)”,即成功的概率為0.9，失敗的概率為0。1，這里我們把失敗的概率0。1看成了小概率。但是不可一概而論，比如一臺設(shè)備有1000個零件是很常見的，假設(shè)每個零件的合格率為0。999，而且其中一個零件失效，則整套設(shè)備就不能正常工作，則按照相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算，整套設(shè)備能正常工作的概率為0.9991000=0。368。這就意味著這臺機(jī)器有的時間能正常工作，這樣的機(jī)器如何能賣得出去.如果是發(fā)射宇宙飛船或航天飛機(jī)，涉及到零件和部件非常之多,其可靠性的要求必須非常嚴(yán)格，0。0001的次品率已經(jīng)很高了，不再是小概率了。除此之外,事件發(fā)生的概率是不是小概率還與人的心理素質(zhì)有關(guān).比如，有的人覺得自己買福利彩票一定會中大獎(中獎率為幾十萬分之一），卻絕對不會出車禍（概率約為五萬分之一)。確實(shí)，如何看待小概率事件是人們處理工作和生活問題必備的科學(xué)素質(zhì).完全忽視小概率事件，會因麻痹大意而釀成大禍.例如美國“哥倫比亞號”航天飛機(jī)慘劇的發(fā)生,不斷發(fā)生的交通事故以及工廠、礦山等發(fā)生的生產(chǎn)事故無不與忽視小概率事件有關(guān)。但也不必過分地害怕小概率事件，以致于謹(jǐn)小慎微，裹步不前，只要對具體的小概率事件作出具體的分析,科學(xué)的處理，就能在“十拿九穩(wěn)”“萬無一失"“絕對把握"之間作出正確的抉擇.精題精講例1．同時擲兩個骰子，計(jì)算:（1）一共有多少種不同的結(jié)果？(2）其中向上的點(diǎn)數(shù)之和是5的結(jié)果有多少種？（3）向上的點(diǎn)數(shù)之和是5的概率是多少？思路解析將兩個骰子擲一次,它出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)有（1，1)、(1，2)、（1，3）、（1，4）、(1，5)、(1，6)、（2，1）、（2，2）、（2，3）、（2，4）、（2,5)、（2，6）、（3，1）、（3，2）、（3，3)、（3，4）、（3，5)、…、(6，5）、（6，6)這36種結(jié)果，然后利用古典概型的概率計(jì)算公式進(jìn)行計(jì)算。答案：（1）擲一個骰子的結(jié)果有6種。我們把兩個骰子標(biāo)上記號1、2以便區(qū)分，由于1號骰子的每一個結(jié)果都可與2號骰子的任意一個結(jié)果配對,組成同時擲兩個骰子的一個結(jié)果，因此同時擲兩個骰子的結(jié)果共有36種.（2）在上面的所有結(jié)果中,向上的點(diǎn)數(shù)之和為5的結(jié)果有（1，4）、（2，3）、（3,2)、（4，1），其中第一個數(shù)表示1號骰子的結(jié)果，第二個數(shù)表示2號骰子的結(jié)果。(3）由于所有36種結(jié)果是等可能的，其中向上的點(diǎn)數(shù)之和為5的結(jié)果（記為事件A）有4種，因此，由古典概型的概率計(jì)算公式可得P(A)==。綠色通道計(jì)算這種概率一般要遵循這樣的步驟：①算出基本事件的總個數(shù)n;②算出事件A中包含的基本事件的個數(shù)m；③算出事件A的概率，即P（A)=。應(yīng)注意這種結(jié)果必須是等可能的.黑色陷阱類似于（1，2）和（2,1)這樣的結(jié)果是不同的基本事件，是有區(qū)別的,不要以為是同一個事件，要注意加以區(qū)分。例2．一只口袋內(nèi)裝有大小相同的5只球，其中有3只白球，2只黑球。從中摸出兩只球，求下列事件發(fā)生的概率。（1）事件A：摸出的兩只球都是白球；(2）事件B:取出的兩只球一只是白球，一只是黑球。思路解析首先列舉出所有可能的基本事件,列出所求事件包含的基本事件，再根據(jù)古典概型的概率公式進(jìn)行計(jì)算.答案：分別記白球?yàn)?、2、3，黑球?yàn)?、5，從中摸出2只球有如下基本事件：（摸到1、2號球用（1,2）表示）（1，2），（1,3），（1，4），（1，5），（2,3），（2，4），（2,5），（3，4),（3，5），(4，5)。因此，共有10個基本事件。上述10個基本事件發(fā)生的可能性相同.（1)“摸出的兩只球都是白球”包含3個基本事件:（1，2)，（1，3），(2，3)。故P(A）=.(2）“摸出的兩只球一只是白球，一只是黑球”包含6個基本事件:(1，4），（1，5），(2，4），（2，5），(3，4)，（3，5）.故P（B）==.例3．假設(shè)人的某一特征（如眼睛大小)是由他的一對基因所決定的，以d表示顯性基因，r表示隱性基因，則具有dd基因的人為純顯性，具有rr基因的人為純隱性，具有rd基因的人為混合性。純顯性與混合性的人都表露顯性基因決定的某一特征,孩子從父母身上各得到1個基因，假定父母都是混合性,問：（1）1個孩子有顯性基因決定的特征的概率是多少?(2)2個孩子中至少有一個有顯性基因決定的特征的概率是多少？思路解析列舉出基因組合的所有可能及其發(fā)生的概率,它滿足幾何概型的特征，按幾何概型的概率公式計(jì)算即可.答案:孩子的一對基因?yàn)閐d、rr、rd的概率分別為、、，孩子有顯性基因決定的特征是具有dd、rd基因，所以（1)1個孩子有顯性基因決定的特征的概率為+＝.(2）因?yàn)?個孩子如果都不具有顯性基因決定的特征，即2個孩子都具有rr基因的純隱性特征，其概率為×=，所以2個孩子中至少有一個顯性基因決定的特征的概率為1－＝.例4．甲、乙兩人做擲骰子游戲，兩人各擲一次，誰擲得的點(diǎn)數(shù)多誰就取勝,求甲取勝的概率。思路解析首先列舉出所有可能的基本事件，列出所求事件包含的基本事件，再根據(jù)古典概型的概率公式進(jìn)行計(jì)算.答案：解法一：甲將骰子拋擲一次，出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)有1、2、3、4、5、6這6種結(jié)果，對甲擲得的每個結(jié)果，乙又?jǐn)S得點(diǎn)數(shù)分別為1、2、3、4、5、6這6種結(jié)果，于是共有6×6=36種不同的結(jié)果.把甲擲得i點(diǎn)，乙擲得j點(diǎn)（1≤i，j≤6）記為（i，j).事件“甲取勝”包含下列15種結(jié)果：（2，1）,（3，1），（3，2），(4，1），(4，2）,（4，3），（5，1）,（5，2）,（5，3)，（5，4)，(6,1），（6，2),（6，3)，（6，4),（6,5