數(shù)學例題與探究：向量的分解與向量的坐標運算

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精典題精講例1如果向量=i-2j，=i+mj，其中i、j分別是x軸、y軸正方向上的單位向量，試確定實數(shù)m的值,使A、B、C三點共線.思路分析:考查平面向量共線的條件及其應用。轉(zhuǎn)化為證明向量∥。解：依題意，知i=（1，0)，j=(0，1),則=（1，0）—2(0，1)=（1，—2），=（1，0)+m(0，1）=(1，m）。∵、共線，∴1×m—1×(-2)=0.∴m=-2。即當m=—2時，A、B、C三點共線。綠色通道:點共線問題通?；瘹w為向量共線問題，坐標法實現(xiàn)了向量的代數(shù)化，運算時方便、簡潔，因此坐標法是解決向量問題的重要方法.變式訓練1（2005全國高考卷Ⅲ，理14)已知向量=(k，12)，=(4,5)，=（-k，10）,且A、B、C三點共線,則k=______________.思路解析:由于A、B、C三點共線,則∥,又=(4,5）—（k，12）=(4—k，-7）,=(4,5）-(—k，10）=(4+k,—5),所以有（4—k)(-5)-（4+k)(—7）=0，解得k=-.答案:-變式訓練2已知向量a=(3,4），b=(sinα,cosα）,且a∥b,則tanα的值為()A。B.-C.D.—思路解析:根據(jù)兩個向量平行的坐標表示，轉(zhuǎn)化為同角三角函數(shù)之間的關系.因為a∥b，且a=(3，4),b=(sinα，cosα），所以3cosα=4sinα=0，則有3cosα=4sinα,顯然cosα≠0。于是tanα==.答案:A變式訓練3(2006山東臨沂二模,理5）已知向量a=(8,x)，b=(x，1)，其中x＞0，若（a—2b）∥(2a+b），則x的值為(）A.4B。8C.0思路解析：利用向量共線的坐標表示得方程。∵(a-2b)=（8-2x,x—2)，（2a+b）=(16+x,x+1），∴（8—2x)(x+1)-(x—2)(16+x)=0.∴x=4或x=-5（舍去）。答案:A例2如圖2—2—1所示,ABCD的兩條對角線交于點M，且=a，=b，用a,b表示，,和.圖2思路分析:考查平面向量基本定理及其應用.把,，和放入三角形，利用三角形法則或平行四邊形來解決.解:∵=a+b，=a-b，∴=-=—（a+b）=—a-b，==(a-b）=a-b，==a+b,=-=-a+b。綠色通道：用已知向量（通常是向量基底)表示其他向量時,盡量把未知向量放入相關的三角形或平行四邊形中，然后利用三角形法則或平行四邊形法則來解決。要培養(yǎng)畫圖意識，自覺應用數(shù)形結(jié)合的思想方法找到解題思路.變式訓練4（2006安徽高考卷,理14)在ABCD中，=a，=b，=3，M為BC的中點，則=___________.（用a,b表示)思路解析：把向量放在△AMN中，利用三角形法則轉(zhuǎn)化為其他向量的線性表示.如圖2—2—2所示，由=3，得4=3AC，圖2-2-2即==(a+b）.在△ABM中，=a+b,則==(a+b)-(a+b)=—a+b。答案:—a+b問題探究問題在幾何中，我們經(jīng)常遇到一個點把一條線段分成兩部分,如果已經(jīng)知道了兩個端點的坐標，那么怎樣用兩個端點的坐標來表示這個分點的坐標就成為我們關心的問題.向量是解決幾何問題的有效工具，能否用向量分析這一問題？導思:線段的兩個端點和其上的一個點共線,由此轉(zhuǎn)化為向量共線的問題。探究:在數(shù)學上,我們把分線段成兩部分的點稱為定比分點，當=λ時，稱點P分有向線段AB的比為λ?！?λ=0?！?)+λ()=0?！?.如圖2—2-3所示，如果在直角坐標系中，設O為坐標原點，P（x,y)，A（x1，y1）,B（x圖2-2因為=λ，所以+λ=0，于是有(）+λ(）=0,即(1+λ）=+λ。所以=.則有（x，y)==（,）,即,所以P點的坐標為（,)。此公式就叫做線段的定比分點的坐標公式.特別是當λ=1，即點P是線段AB的中點時,點P的坐標為(,)，此坐標又稱為線段的中點坐標公式。下面探討其應用.典題精講例1設△ABC的重心(三條中線的交點)為G，并且A(x1，y1），B（x2，y2）,C(x3，y3），求G的坐標。思路分析:求出BC中點坐標,再利用定比分點的坐標公式得G的坐標。解:設點G(x，y）,BC的中點為D，則由題意,得,則即∴G的坐標是（).上面的結(jié)論稱為三角形重心坐標公式，可以作為結(jié)論直接應用。例2已知M(2,7）和A（6，3），若點P在直線MA上，且=,求點P的坐標。思路分析:有三種思路：利用定比分點的坐標公式，利用線段的長度關系,待定系數(shù)法.解法一：（利用定比分點的坐標公式）設P(x，y）,由定比分點坐標公式，得x==3，y==6,即P(3，6）。解法二:(利用兩點間的距離公式）設P(x,y）,由題意得｜｜=4||，｜|=｜|。則有解方程組，得即P（3，6).解法三：設P（x,y）,則=(2-x，7-y）,=