數(shù)學(xué)例題與探究：9三角函數(shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精典題精講例1有一長(zhǎng)為a米的斜坡，它的傾斜角為θ(0＜θ＜)，現(xiàn)在要將傾斜角改為，則坡底要伸長(zhǎng)多少米？思路分析：把實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行抽象轉(zhuǎn)化為求線(xiàn)段BC的長(zhǎng).圖3在Rt△ACD中，AD=asinθ，CD=acosθ,∴BD===2acos2=a(cosθ+1）.∴BC=BD—CD=a(cosθ+1）—acosθ=a,即坡底要伸長(zhǎng)a米。綠色通道求長(zhǎng)度問(wèn)題常轉(zhuǎn)化為求線(xiàn)段的長(zhǎng)，即轉(zhuǎn)化為三角形中的三角函數(shù)問(wèn)題.在將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，要善于運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想，利用三角函數(shù)列出相等或者不等關(guān)系.變式訓(xùn)練在200米高的山頂上，測(cè)得山下一塔頂與塔底的俯角分別為30°、60°，則塔高為（)A.米B.米C。米D。米思路解析:如圖3-3—2所示,設(shè)塔高為h米，圖3-3—2則ACtan30°=ABtan60°.∴200tan30°=（200-h)tan60°。解之,得h=.答案：A例2以一年為一個(gè)周期調(diào)查某商品出廠(chǎng)價(jià)格及該商品在商店的銷(xiāo)售價(jià)格時(shí)發(fā)現(xiàn)：該商品的出廠(chǎng)價(jià)格是在6元的基礎(chǔ)上按月份隨正弦曲線(xiàn)波動(dòng)的，已知3月份出廠(chǎng)價(jià)格最高為8元，7月份出廠(chǎng)價(jià)格最低為4元；而該商品在商店內(nèi)的銷(xiāo)售價(jià)格是在8元的基礎(chǔ)上也是按月份隨正弦曲線(xiàn)波動(dòng)的，并且已知5月份價(jià)格最高為10元，9月份價(jià)格最低為6元。假設(shè)某商店每月購(gòu)進(jìn)這種商品m件，且當(dāng)月能售完，請(qǐng)估計(jì)哪個(gè)月份贏利最大?并說(shuō)明理由.思路分析:本題的關(guān)鍵詞是“按月份隨正弦曲線(xiàn)波動(dòng)的"。因此本題的三角函數(shù)模型是y=Asin（ωx+φ）+b的形式。解:由條件得：出廠(chǎng)價(jià)格函數(shù)是y1=2sin（）+6,銷(xiāo)售價(jià)格函數(shù)為y2=2sin()+8.則利潤(rùn)函數(shù)為y=m（y2—y1)=m［2sin(x—）］+8—2sin(x-）-6]=msinx+2m（m＞0）.∴當(dāng)利潤(rùn)y取最大值時(shí)，x=2kπ—V（k∈Z），即此時(shí)x=8k-2(k∈Z）。又1≤x≤12,x∈Z，∴≤k≤?！鄈=1?！嘤衳=6?！?月份贏利最大。綠色通道：在三角函數(shù)的應(yīng)用題中，通常三角函數(shù)模型是y=Asin（ωx+φ）+b.關(guān)鍵是確定參數(shù)A、ω、φ、b的值.變式訓(xùn)練某港口水深y（米）是時(shí)間t（0≤t≤24，單位：小時(shí)）的函數(shù)，下面是水深數(shù)據(jù)：t（時(shí)）03691215182124y(米)10.013.09。97。010。013。010。17.010。0據(jù)上述數(shù)據(jù)描成的曲線(xiàn)如圖3—3-3所示，經(jīng)擬合，該曲線(xiàn)可近似地看成正弦函數(shù)y=Asinωx+b的圖像。（1)試根據(jù)數(shù)據(jù)表和曲線(xiàn)，求出y=Asinωx+b的表達(dá)式;圖3-3-3（2)一般情況下，船舶航行時(shí)船底與海底的距離不小于4。5米是安全的，如果某船的吃水深度(船底與水面的距離)為7米，那么該船在什么時(shí)間段能夠安全進(jìn)港？若該船欲當(dāng)天安全離港，它在港內(nèi)停留的時(shí)間最多不能超過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間（忽略離港所用的時(shí)間）？思路分析:(1）從擬合曲線(xiàn)可知函數(shù)y=Asinωx+b的周期;由t=0時(shí)的函數(shù)值和t=3時(shí)函數(shù)取得最大值，進(jìn)而可求得ω，A，b的值,即得函數(shù)的表達(dá)式。（2)根據(jù)（1）中求得的函數(shù)表達(dá)式，求出數(shù)值不小于4.5+7=11。5（米)的時(shí)段.解：(1)從擬合的曲線(xiàn)可知函數(shù)y=Asinωx+b在一個(gè)周期內(nèi)由最大變?yōu)樽钚⌒枰?-3=6個(gè)小時(shí)，此為半個(gè)周期，所以函數(shù)的最小正周期為12小時(shí),因此=12,ω=。又當(dāng)t=9時(shí),ymin=7；當(dāng)t=3時(shí)，ymax=13.∴A==3，b==10，即函數(shù)解析式為y=3sinx+10。（2)由于船的吃水深度為7米，船底與海底的距離不少于4.5米，故在船舶航行時(shí)水深y應(yīng)大于等于7+4.5=11。5(米）.由擬合的曲線(xiàn)可知一天24小時(shí)內(nèi)水深y變化兩個(gè)周期,故要使船舶在一天內(nèi)停留港口的時(shí)間最長(zhǎng)，則應(yīng)從凌晨3點(diǎn)前進(jìn)港,而從第二個(gè)周期中的下午15點(diǎn)后離港。令y=2sin+10≥11。5，可得sinx≥?！?kπ+≤x≤2kπ+（k∈Z).∴12k+1≤x≤12k+5(k∈Z)。取k=0,則1≤x≤5;取k=1,則13≤x≤17.而取k=2時(shí)，則25≤x≤29（不合題意）.從而可知船舶要在一天之內(nèi)在港口停留的時(shí)間最長(zhǎng),就應(yīng)從凌晨1點(diǎn)（1點(diǎn)到5點(diǎn)都可以）進(jìn)港，而下午17點(diǎn)（即13點(diǎn)到17點(diǎn)之間）前離港，在港內(nèi)停留的時(shí)間最長(zhǎng)為16小時(shí).問(wèn)題探究問(wèn)題試畫(huà)出應(yīng)用三角函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題的框圖.導(dǎo)思：首先用簡(jiǎn)潔的語(yǔ)言寫(xiě)出算法，再畫(huà)出框圖.探究：應(yīng)用三角函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題的步驟：第一步：收集數(shù)據(jù)；第二步：畫(huà)散點(diǎn)圖;第三步：選