2.6 直線系方程與圓系方程-(選擇性必修第一冊) (教師版)

直線系方程與圓系方程1直線系方程(1)過點(diǎn)(x0,y0(2)平行于直線Ax+By+C=0的直線系方程Ax+By+C3垂直于直線Ax+By+C=0的直線系方程Bx?Ay+C(4)過兩條已知直線l1:AA(λ∈R,這個(gè)直線系下不包括直線l2:A2圓系方程(1)以(a,b)為圓心的同心圓圓系方程：x?a2(2)與圓x2+y(3)過直線Ax+By+C=0與圓x2x24過兩圓C1：x2(λ≠?1,此圓系不含C特別地，當(dāng)λ=?1時(shí)，上述方程為一次方程.兩圓相交時(shí)，表示公共弦方程；兩圓相切時(shí)，表示公切線方程.3過圓上一點(diǎn)的切線方程過圓上一點(diǎn)P(x0,y0(證明向量法向量PM=(a?x0,b?∵l⊥PM，∴PM⊥PB∴?(a?即切線l方程為(a?x∵????(∴切線l方程也可以寫成(x4切點(diǎn)弦方程過圓?M:x?a2+y?b2則直線AB的方程為(x證明方法1設(shè)切點(diǎn)Ax則過點(diǎn)A的切線方程為x?ax由于點(diǎn)P(x0,y0)在切線PA上，所以有x0?ax1?a由①②得點(diǎn)A與點(diǎn)B在直線x0則直線AB的方程為(x方法2以MP為直徑的圓方程為x?ax?x0因?yàn)椤螾AM=∠PBM=π2，所以點(diǎn)A、B在圓C則A、B是圓C與圓M的兩個(gè)交點(diǎn)，由圓系方程可知，兩圓方程相減即得直線AB方程((這跟圓上點(diǎn)的切線方程形式一致)【題型一】直線系方程【典題1】求過兩直線x?2y+4=0和x+y?2=0的交點(diǎn)P，且分別滿足下列條件的直線l的方程．(1)過點(diǎn)(2,1)；(2)和直線3x?4y+5=0垂直．【解析】由x?2y+4=0x+y?2=0解得x=0y=2，(1)方法一由兩點(diǎn)的坐標(biāo)求得斜率為kl由點(diǎn)斜式求得直線方程為y?2=?1化簡得x+2y－4=0．方法二設(shè)過點(diǎn)P的直線方程為x?2y+4+λx+y?2∵過點(diǎn)(2,1)，∴2?2+4+λ=0?λ=?4，故所求直線方程為x?2y+4?4x+y?2(2)方法一依題意得所求直線的斜率為k2由點(diǎn)斜式求得直線方程為y?2=?43(x?0)方法二設(shè)所求直線為4x+3y+λ=0∵過點(diǎn)P(0,2)，∴0+6+λ=0?λ=?6，故所求直線方程為4x+3y?6=0.【點(diǎn)撥】此題是直線系問題.從本題來看，用直線系方程的方法求解對于一般的解法也沒有優(yōu)勢，這里只是拓展大家的思路.【典題2】求過點(diǎn)P(?1,4)，圓x?22+y?3【解析】方法一當(dāng)直線l斜率不存在時(shí)，方程為x=?1，顯然不是切線，故可設(shè)切線方程為y=kx+1∵直線l與圓相切，∴圓心(2,3)到直線l的距離等于半徑1，故|3k+1|1+k2=1，解得故所求直線l的方程為y=4或3x+4y?13=0．方法二如方法二，設(shè)切線方程為y=kx+1由y=kx+1+4其判別式?=2k2+2k?42故所求直線l的方程為y=4或3x+4y?13=0．方法三設(shè)所求直線的方程為Ax+1+By?4

∵直線l與圓相切，∴圓心(2,3)到直線l的距離等于半徑1，故|3A?B|整理，得A(4A?3B)=0，即A=0(這時(shí)B≠0)或A=3故所求直線l的方程為y=4或3x+4y?13=0．【點(diǎn)撥】本題的方法很多，這里利用了直線系方程，過點(diǎn)(x0,y0)的直線系方程為Ax?【題型二】圓系方程【典題1】經(jīng)過直線2x?y+3=0與圓x2+y【解析】方法一(面積最小的圓是以兩個(gè)交點(diǎn)為直徑的圓)∵圓x2+y∴圓心坐標(biāo)為(?1,2)，半徑為r=2；∴圓心到直線2x?y+3=0的距離為d=1設(shè)直線2x?y+3=0和圓x2+y則|AB|=2r∴過點(diǎn)A,B的最小圓半徑為195聯(lián)立2x?y+3=0x2+y2則圓心的橫坐標(biāo)為：12(x∴最小圓的圓心為(?3∴最小圓的方程為x+35方法二依題意，可設(shè)過點(diǎn)A、B兩點(diǎn)圓的方程為x2(利用圓系方程把滿足題意的所有圓表示出來，再用代數(shù)的方法求面積最小的圓)整理得x+λ+1若要使得圓的面積最小，則只需半徑最小，即54而54λ2此時(shí)圓的方程為x+3【點(diǎn)撥】本題是過直線與圓交點(diǎn)的圓系問題.方法一可以說是從幾何的角度得出思路求解，而方法二算是“代數(shù)法”，略顯簡潔些.【典題2】已知圓C1：x(1)求證：圓C1與圓C(2)求兩圓公共弦所在直線的方程；(3)求經(jīng)過兩圓交點(diǎn)，且圓心在直線x+y?6=0上的圓的方程．【解析】(1)證明：(圓心距C1圓C2：x2∴C2∵圓C1：x2∴|C∵4?10<2(2)(兩圓方程相減所得方程即是公共弦所在直線方程)將兩圓方程相減，可得2x+2y?4=0，即兩圓公共弦所在直線的方程為x+y?2=0；(3)方法一(先求出兩個(gè)交點(diǎn)，再求圓心與半徑得圓的方程，思路很直接)由x2+y則交點(diǎn)為A3,?1∵圓心在直線x+y?6=0上，設(shè)圓心為P(6?n,n)，則AP=BP，解得n=3，故圓心P(3,3)，半徑r=AP=4，∴所求圓的方程為(x?3)方法二設(shè)所求圓的方程為x即1+λ∴圓心坐標(biāo)為(?代入直線x+y?6=0可得：?11+λ∴所求圓的方程為x2【點(diǎn)撥】此題是過圓與圓交點(diǎn)的圓系問題.①兩圓之間的位置關(guān)系看圓心距O1O2與兩圓半徑R②過兩圓C1：x2(λ≠?1,此圓系不含C特別地，當(dāng)λ=?1(即兩圓方程相減)兩圓相交時(shí)，表示公共弦方程；兩圓相切時(shí)，表示公切線方程.③方法的選取在于思考難度、計(jì)算量、嚴(yán)謹(jǐn)性性等.【典題3】過點(diǎn)(3,1)作圓x?12+y2=1【解析】方法一由圖易得一切點(diǎn)為(1,1)，連接點(diǎn)(3,1)與圓心(1,0)直線的斜率由切線性質(zhì)可知kAB又直線AB過點(diǎn)(1,1)∴直線AB方程為y?1=?2x?1(結(jié)合圖形的特殊性，利用平幾的知識(shí)求解，不具有一般性)方法二圓x?12+y2=1以(3,1)、C(1,將兩圓的方程相減可得公共弦AB的方程2x+y－3=0，(這里把直線AB看成是兩個(gè)圓公共弦所在的直線)方法三過圓?M:x?a2+切點(diǎn)分別是A、B,則直線AB的方程為x?x所以有(3+1)(x?1)+1?y=1，化簡得2x+y?3=0．(使用結(jié)論直接快捷)【點(diǎn)撥】本題是圓的切點(diǎn)弦問題.方法三直接快捷，但若是只會(huì)直接套用，達(dá)不到鍛煉數(shù)學(xué)思維的能力,應(yīng)多比較多種方法的優(yōu)略性，掌握解題方法的本質(zhì).【典題4】已知直線l：y=kx?2，M(?2,0),N(?1,0)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)Q滿足|QM||QN|=2，動(dòng)點(diǎn)(1)求曲線C的方程；(2)若直線l與圓O：x2+y2=2交于不同的兩點(diǎn)A,B，當(dāng)(3)若k=12，P是直線l上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作曲線C的兩條切線PC、PD，切點(diǎn)為C、D，探究：直線【解析】(1)設(shè)點(diǎn)Q(x,y)，依題意知|QM||QN|整理得x2∴曲線C的方程為x2(2)∵點(diǎn)O為圓心，∠AOB=π∴點(diǎn)O到l的距離d=2∴2(3)由題意可知：O、P、C、D四點(diǎn)共圓且在以O(shè)P為直徑的圓上，(對角互補(bǔ)的四邊形的四頂點(diǎn)共圓)設(shè)P(t,12t?2)，則圓心(t得(x?即x又C、D在圓O：x2∴l(xiāng)CD(直線CD是兩圓的公共弦所在直線，故兩圓方程相減便得其方程)由x+y2=0∴直線CD過定點(diǎn)12,?1鞏固練習(xí)1(★★)求過兩條直線y=2x+3與3x?y+2=0的交點(diǎn)，且分別滿足下列條件的直線方程：(1)斜率為?12；(2)過點(diǎn)P(2,3)；(3)平行于直線【答案】(1)x+2y?11=0(2)2x+y?7=0(3)3x+y?8=0【解析】直線y=2x+3與3x－y+2=0的交點(diǎn)為(1,5)，(1)當(dāng)斜率為?12時(shí)，由直線的點(diǎn)斜式方程得：直線方程為直線方程為x+2y－11=0．(2)過點(diǎn)P(2,3)時(shí)，由兩點(diǎn)式得：y－5=3?52?1(x－1)直線方程為2x+y－7=0．(3)平行于直線3x+y=1時(shí)，得直線斜率為k=－3，直線方程為y－5=－3(x－1)，直線方程為3x+y－8=0．方法二由直線系方程可設(shè)所求直線為2x+3?y+λ((1)2x+3?y+λ直線的斜率為?12時(shí)，2+3λλ+1故所求直線方程為x+2y－11=0．(2)過點(diǎn)P(2,3)時(shí)，代入方程得4+5λ=0?λ=?故所求直線方程為2x+y－7=0．(3)平行于直線3x+y=1時(shí)，2+3λλ+1=?3，解得故所求直線方程為3x+y－8=0．2(★★)求過直線2x+y+4=0和圓x+12【答案】【解析】設(shè)所求的圓的方程為x+12即x該圓的半徑的平方為14[2λ+2故當(dāng)λ=8此時(shí)，圓的方程為x2+y3(★★)求經(jīng)過圓x2+y2+8x?6y+21=0與直線x?y+5=0【答案】x2+【解析】設(shè)所求的圓的方程為(x2+y2令x=0得(y2∴y由|y1∴k+62解得k=－10或k=18∴所求圓的方程為(x或(∴所求圓的方程為x2+y24(★★)求圓心在直線x+y=0上，且過兩圓x2+y【答案】x+3【解析】方法一(先求出兩個(gè)交點(diǎn)，再求圓心與半徑得圓的方程，思路很直接)將兩圓的方程聯(lián)立得方程組x2解方程組求得兩圓的交點(diǎn)坐標(biāo)A(－4,0),B(0,2)．(這里還是有些計(jì)算量的)弦AB的中垂線為2x+y+3=0，它與直線x+y=0交點(diǎn)M(－3,3)就是圓心，又半徑r=AM=10故所求圓的方程為x+32方法二過兩圓x2+y2－2x+10y－24=0整理得1+λ其圓心為(2λ?2又由圓心在直線x+y=0上，則有2λ?21+λ+2λ+10所以所求圓的方程為x+325(★★)過圓x2+y2=4內(nèi)一點(diǎn)A(1,1)作一弦交圓于B、C兩點(diǎn)，過點(diǎn)B、C【答案】x+y=4【解析】設(shè)B(x1,則過圓x2+yxx1+y∴x0x∴直線BC的方程為：xx直線BC過點(diǎn)A(1,1)；∴x∴點(diǎn)P的軌跡方程為x+y=4．故答案為：x+y=4．6(★★★)已知圓C的圓心在x軸的正半軸上，半徑為2，且被直線l：4x?3y－3=0截得的弦長為23(1)圓C的方程；(2)設(shè)P是直線x+y+4=0上動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作圓C的切線PA，切點(diǎn)為A，證明：經(jīng)過A，P,C三點(diǎn)的圓必過定點(diǎn)，并求所有定點(diǎn)坐標(biāo)．【答案】(1)x?22+y2=4(2)【解析】(1)設(shè)圓C的圓心為(a,0)，則圓心到直線l的距離d=|4a?3|由題意可得，d2+(3)2=r∴圓C的方程為x－22(2)證明：∵P是直線x+y+4=0上的點(diǎn)，∴P(m,－m－4)．∵PA為圓的切線，∴PA⊥AC,即過A,B,C三點(diǎn)的圓是以PC為直徑的圓．設(shè)圓上任意一點(diǎn)Q(x,y)，則PQ→∵PQ→=(x?m,y+m+4)∴PQ即x2故x2+y2?2x+4y=0因此經(jīng)過A,P,C三點(diǎn)的圓必過定點(diǎn)(－1,－3)和(2,0)7(★★★)如圖，已知圓M：x2+y?42=4，直線l的方程為x?2y=0，點(diǎn)P是直線l上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P(1)當(dāng)P的橫坐標(biāo)為165時(shí)，求∠APB(2)求證：經(jīng)過A、P、M三點(diǎn)的圓N必過定點(diǎn)，并求出所有定點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)60°(2)【解析】(1)由題可知，圓M的半徑r=2，P(16因?yàn)镻A是圓M的一條切線，所以∠MAP=90°又因MP=(0?又∠MPA=30°，∠(2)設(shè)P(2b,b)，因?yàn)椤螹AP=90所以經(jīng)過A、P、M三點(diǎn)的圓N以MP為直徑，方程為：(x?b)即(2x+y－4)b－(由2x+y?4=0x2+所以圓過定點(diǎn)(0,4),(858(★★★★)已知圓C經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O和點(diǎn)G(?2,2)，且圓心C在直線x+y?2=0上．(1)求圓C的方程；(2)設(shè)PA、PB是圓C的兩條切線，其中A、B為切點(diǎn)．①若點(diǎn)P在直線x?y?2=0上運(yùn)動(dòng)，求證：直線AB經(jīng)過定點(diǎn)；②若點(diǎn)P在曲線y=14x2(其中x>4)上運(yùn)動(dòng)，記直線PA、PB與【答案】(1)x2①直線AB恒過定點(diǎn)(1,1)；②△PMN的面積取得最小值32【解析】(1)由題意設(shè)圓C的圓心坐標(biāo)(m,2－m)，由題意OC2=CG解得m=0，即C(0,2)，所以可得半徑r=|OC|=2，所以圓的方程為x2(2)①由點(diǎn)P在直線x－y－2=0上運(yùn)動(dòng)，可設(shè)P(t,t－2)，由PA和PB為圓C的兩條切線，可得AC⊥PA，BC⊥PB，則P,A,C,B四