福建省福清市海口鎮(zhèn)高中數(shù)學(xué) 第三章 三角恒等變換 3.1 兩角差的余弦公式教案 新人教A版必修4

福建省福清市?？阪?zhèn)高中數(shù)學(xué)第三章三角恒等變換3.1兩角差的余弦公式教案新人教A版必修4課題：科目：班級(jí)：課時(shí)：計(jì)劃3課時(shí)教師：單位：一、教學(xué)內(nèi)容本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容源自福建省福清市?？阪?zhèn)高中數(shù)學(xué)新人教A版必修4第三章《三角恒等變換》的3.1節(jié)《兩角差的余弦公式》。該章節(jié)主要介紹兩角差的余弦公式的概念、推導(dǎo)過程及其應(yīng)用。學(xué)生需要掌握以下幾個(gè)方面的內(nèi)容：

1.兩角差的余弦公式的定義與表達(dá)式；

2.兩角差的余弦公式的推導(dǎo)過程；

3.兩角差的余弦公式的應(yīng)用，包括解決三角函數(shù)求值、證明等題目。

在本節(jié)課中，教師需要通過講解、示范、練習(xí)等方式，幫助學(xué)生理解并掌握兩角差的余弦公式，提高他們在實(shí)際問題中的應(yīng)用能力。同時(shí)，教師還需關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，針對(duì)不同學(xué)生的掌握程度進(jìn)行有針對(duì)性的輔導(dǎo)，確保教學(xué)效果的達(dá)成。二、核心素養(yǎng)目標(biāo)本節(jié)課的核心素養(yǎng)目標(biāo)為：

1.邏輯推理：通過推導(dǎo)兩角差的余弦公式，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力，使他們能夠理解并運(yùn)用公式解決實(shí)際問題。

2.數(shù)學(xué)建模：培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用兩角差的余弦公式解決三角函數(shù)求值、證明等問題的能力，提高他們的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)。

3.直觀想象：通過圖形演示和實(shí)際例子，幫助學(xué)生建立直觀的數(shù)學(xué)想象，加深對(duì)兩角差的余弦公式的理解。

4.數(shù)學(xué)運(yùn)算：訓(xùn)練學(xué)生運(yùn)用兩角差的余弦公式進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算，提高他們的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力。

5.數(shù)據(jù)分析：培養(yǎng)學(xué)生分析三角函數(shù)問題，運(yùn)用兩角差的余弦公式進(jìn)行數(shù)據(jù)處理和分析的能力。三、教學(xué)難點(diǎn)與重點(diǎn)1.教學(xué)重點(diǎn)：

（1）兩角差的余弦公式的定義與表達(dá)式：本節(jié)課的核心內(nèi)容是兩角差的余弦公式，學(xué)生需要掌握公式的定義和表達(dá)式。公式如下：

cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ

（2）兩角差的余弦公式的推導(dǎo)過程：學(xué)生需要理解并掌握兩角差的余弦公式的推導(dǎo)過程，推導(dǎo)過程如下：

以直角三角形ABC為例，設(shè)∠A=α，∠B=β，則∠C=α-β。根據(jù)余弦定理，有：

cosC=cos(α-β)=(AB2+BC2-AC2)/(2AB·BC)

同時(shí)，根據(jù)正弦定理，有：

sinC=sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ

將cosC和sinC的表達(dá)式相加，得到：

cos(α-β)+sin(α-β)=(AB2+BC2-AC2)/(2AB·BC)+(AB·sinβ-BC·cosβ)/(AB·BC)

化簡上式，得到兩角差的余弦公式：

cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ

（3）兩角差的余弦公式的應(yīng)用：學(xué)生需要能夠運(yùn)用兩角差的余弦公式解決三角函數(shù)求值、證明等題目。

2.教學(xué)難點(diǎn)：

（1）兩角差的余弦公式的推導(dǎo)過程：學(xué)生可能對(duì)推導(dǎo)過程中使用的直角三角形和三角函數(shù)的概念理解不深刻，導(dǎo)致難以理解推導(dǎo)過程。

（2）兩角差的余弦公式的應(yīng)用：學(xué)生可能對(duì)如何運(yùn)用兩角差的余弦公式解決實(shí)際問題感到困惑，特別是在解決復(fù)雜題目時(shí)，難以找到解題切入點(diǎn)。

（3）理解并掌握兩角差的余弦公式中的符號(hào)“α-β”：學(xué)生可能對(duì)兩個(gè)角差的概念理解不清晰，導(dǎo)致在書寫和理解公式時(shí)出現(xiàn)錯(cuò)誤。

針對(duì)以上難點(diǎn)，教師在教學(xué)過程中應(yīng)采取以下措施：

1.通過圖形演示和實(shí)際例子，幫助學(xué)生建立直觀的數(shù)學(xué)想象，加深對(duì)兩角差的余弦公式的理解。

2.分步驟講解兩角差的余弦公式的推導(dǎo)過程，引導(dǎo)學(xué)生跟隨步驟，理解每一步的邏輯推理。

3.提供豐富的練習(xí)題目，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用兩角差的余弦公式解決實(shí)際問題，鞏固所學(xué)知識(shí)。

4.強(qiáng)調(diào)兩角差的余弦公式中的符號(hào)“α-β”，讓學(xué)生明確表示兩個(gè)角差時(shí)應(yīng)使用該符號(hào)。

5.在教學(xué)過程中關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，針對(duì)不同學(xué)生的掌握程度進(jìn)行有針對(duì)性的輔導(dǎo)。四、教學(xué)方法與手段教學(xué)方法：

1.引導(dǎo)探究法：教師通過提出問題，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)探究兩角差的余弦公式的推導(dǎo)過程，激發(fā)學(xué)生的思考和探索能力。

2.案例教學(xué)法：教師通過提供具體的例題，讓學(xué)生運(yùn)用兩角差的余弦公式解決問題，培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)際應(yīng)用能力。

3.小組合作法：教師組織學(xué)生進(jìn)行小組討論和合作，促進(jìn)學(xué)生之間的交流和合作，提高他們的團(tuán)隊(duì)協(xié)作能力。

教學(xué)手段：

1.多媒體演示：教師利用多媒體設(shè)備，通過動(dòng)畫演示和圖形展示，直觀地呈現(xiàn)兩角差的余弦公式的推導(dǎo)過程，增強(qiáng)學(xué)生的直觀想象力。

2.教學(xué)軟件輔助：教師運(yùn)用教學(xué)軟件，設(shè)計(jì)互動(dòng)性和趣味性的教學(xué)活動(dòng)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高教學(xué)效果。

3.在線學(xué)習(xí)平臺(tái)：教師利用在線學(xué)習(xí)平臺(tái)，提供豐富的學(xué)習(xí)資源和學(xué)習(xí)任務(wù)，方便學(xué)生進(jìn)行自主學(xué)習(xí)和鞏固知識(shí)。

4.練習(xí)與評(píng)價(jià)系統(tǒng)：教師使用練習(xí)與評(píng)價(jià)系統(tǒng)，發(fā)布練習(xí)題目，及時(shí)了解學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，給予針對(duì)性的反饋和指導(dǎo)。五、教學(xué)流程1.導(dǎo)入新課（用時(shí)：5分鐘）

教師通過提出一個(gè)問題：“如何求解cos(30°-45°)的值？”引導(dǎo)學(xué)生思考和回憶起之前學(xué)過的知識(shí)，激發(fā)學(xué)生對(duì)兩角差的余弦公式的興趣。然后，教師簡要介紹本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)和內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)入新課的學(xué)習(xí)。

2.新課講授（用時(shí)：20分鐘）

（1）教師首先講解兩角差的余弦公式的定義與表達(dá)式，明確公式中各個(gè)符號(hào)的含義和用法。舉例說明公式在不同角度情況下的應(yīng)用，如cos(α-β)、cos(α+β)等。

（2）接著，教師通過圖形演示和實(shí)際例子，引導(dǎo)學(xué)生理解和掌握兩角差的余弦公式的推導(dǎo)過程。以直角三角形ABC為例，設(shè)∠A=α，∠B=β，則∠C=α-β。根據(jù)余弦定理和正弦定理，推導(dǎo)出兩角差的余弦公式：cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ。

（3）最后，教師講解兩角差的余弦公式的應(yīng)用，包括解決三角函數(shù)求值、證明等題目。舉例說明如何運(yùn)用公式解決實(shí)際問題，如求解cos(30°-45°)的值。

3.實(shí)踐活動(dòng)（用時(shí)：10分鐘）

（1）教師布置一道練習(xí)題目，要求學(xué)生運(yùn)用兩角差的余弦公式求解。例如：求解cos(60°-30°)的值。

（2）學(xué)生獨(dú)立完成練習(xí)題目，教師巡回指導(dǎo)，及時(shí)解答學(xué)生的問題并提供幫助。

（3）教師選取幾位學(xué)生的解答進(jìn)行點(diǎn)評(píng)和講解，指出其中的錯(cuò)誤和不足之處，并給予正確的解答和解釋。

4.學(xué)生小組討論（用時(shí)：10分鐘）

（1）教師提出一個(gè)問題，要求學(xué)生小組討論并回答：“兩角差的余弦公式在實(shí)際問題中的應(yīng)用有哪些？”

（2）學(xué)生分組討論，分享各自的想法和例子，進(jìn)行交流和合作。

（3）各小組派代表進(jìn)行回答，教師對(duì)各組的回答進(jìn)行點(diǎn)評(píng)和講解，指出其中的優(yōu)點(diǎn)和不足之處，并進(jìn)行總結(jié)和歸納。

5.總結(jié)回顧（用時(shí)：5分鐘）

教師對(duì)本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容進(jìn)行總結(jié)回顧，強(qiáng)調(diào)兩角差的余弦公式的定義、推導(dǎo)過程和應(yīng)用。提醒學(xué)生注意公式中各個(gè)符號(hào)的含義和用法，以及如何在實(shí)際問題中運(yùn)用公式。鼓勵(lì)學(xué)生在課后進(jìn)行自主學(xué)習(xí)，鞏固所學(xué)知識(shí)。

總用時(shí)：40分鐘六、學(xué)生學(xué)習(xí)效果1.知識(shí)掌握：學(xué)生能夠理解并掌握兩角差的余弦公式的定義與表達(dá)式，知道如何運(yùn)用該公式解決三角函數(shù)求值、證明等實(shí)際問題。

2.能力提升：學(xué)生通過實(shí)踐活動(dòng)和小組討論，運(yùn)用兩角差的余弦公式解決實(shí)際問題，提高了他們的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力和問題解決能力。

3.思維發(fā)展：學(xué)生通過推導(dǎo)兩角差的余弦公式，培養(yǎng)了邏輯推理和數(shù)學(xué)建模的思維能力，能夠運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析和解決實(shí)際問題。

4.自主學(xué)習(xí)：學(xué)生在課后能夠自主學(xué)習(xí)，通過在線學(xué)習(xí)平臺(tái)和練習(xí)與評(píng)價(jià)系統(tǒng)，進(jìn)一步鞏固所學(xué)知識(shí)，提高自主學(xué)習(xí)的能力。

5.合作交流：學(xué)生在小組討論中能夠積極發(fā)表自己的想法和例子，與同伴進(jìn)行交流和合作，提高了團(tuán)隊(duì)協(xié)作和溝通交流的能力。

6.學(xué)習(xí)興趣：通過導(dǎo)入新課、實(shí)踐活動(dòng)和總結(jié)回顧等環(huán)節(jié)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使他們更加主動(dòng)地參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。七、作業(yè)布置與反饋1.作業(yè)布置：

(1)請學(xué)生運(yùn)用兩角差的余弦公式解決以下三角函數(shù)求值問題：

-cos(30°-45°)

-sin(60°-30°)

-cos(π/3-π/6)

(2)請學(xué)生運(yùn)用兩角差的余弦公式證明以下三角等式：

-cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ

-sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ

(3)請學(xué)生選擇一個(gè)實(shí)際問題，運(yùn)用兩角差的余弦公式進(jìn)行解決，并將解題過程和答案寫下來。

2.作業(yè)反饋：

(1)教師應(yīng)及時(shí)批改學(xué)生的作業(yè)，并對(duì)每個(gè)學(xué)生的作業(yè)給出具體的反饋。

(2)在批改作業(yè)時(shí)，教師應(yīng)關(guān)注學(xué)生的掌握情況，指出學(xué)生在解答過程中存在的問題，如公式使用錯(cuò)誤、計(jì)算錯(cuò)誤等。

(3)對(duì)于學(xué)生作業(yè)中的正確解答，教師應(yīng)給予肯定和鼓勵(lì)，以增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)信心。

(4)對(duì)于學(xué)生作業(yè)中的錯(cuò)誤解答，教師應(yīng)指出錯(cuò)誤所在，并給出正確的解答方法和思路。

(5)教師還可以通過作業(yè)反饋，了解學(xué)生的學(xué)習(xí)困難和學(xué)習(xí)需求，為后續(xù)的教學(xué)提供參考和調(diào)整。

(6)教師應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生通過作業(yè)反饋，主動(dòng)發(fā)現(xiàn)和糾正自己的錯(cuò)誤，提高自我學(xué)習(xí)和改進(jìn)的能力。八、板書設(shè)計(jì)1.兩角差的余弦公式：

①cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ

②cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ

③sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ

2.推導(dǎo)過程：

①以直角三角形ABC為例，設(shè)∠A=α，∠B=β，則∠C=α-β。

②根據(jù)余弦定理，有：cosC=(AB2+BC2-AC2)/(2AB·BC)

③根據(jù)正弦定理，有：sinC=sinαcosβ-cosαsinβ

④化簡得到兩角差的余弦公式：cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ

3.應(yīng)用示例：

①求解cos(30°-45°)的值。

②證明cos(α-