2022年人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊第二十八章-銳角三角函數(shù)專項(xiàng)測試試題（含答案及詳細(xì)解析）

人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊第二十八章-銳角三角函數(shù)專項(xiàng)測試

考試時(shí)間：90分鐘；命題人：數(shù)學(xué)教研組

考生注意：

1、本卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分，滿分100分，考試時(shí)間90分鐘

2、答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級(jí)填寫在試卷規(guī)定位置上

3、答案必須寫在試卷各個(gè)題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)的位置，如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的

答案；不準(zhǔn)使用涂改液、膠帶紙、修正帶，不按以上要求作答的答案無效。

第I卷（選擇題30分）

一、單選題（10小題，每小題3分，共計(jì)30分）

1、在正方形網(wǎng)格中，A/回的位置如圖所示，點(diǎn)力、B、。均在格點(diǎn)上，則cos6的值為（）

B.fC.。.今

2、如圖，4c是電桿47的一根拉線，測得BC=6米，ZACB=52°,則拉線47的長為（）

A.’—米B.6sin52°米C.6-cos52。米D-高米

sin52

3、如圖，等邊三角形4%和正方形力頗都內(nèi)接于。。，則/〃：AB=（)

A

A.2&:&B.近:乖＞C.G：應(yīng)D.6:2夜

4、如圖，在AABC中，ZACB=90。，點(diǎn)〃為46邊的中點(diǎn)，連接微若BC=4,CD=3,則sinNOCB的

值為（）

4

5、在Rt△力回中，ZC=90°,sinJ=-,則cosZ的值等于（）

6、在RtZUSC中，NC=90°,1。=4,BC=3,則下列選項(xiàng)正確的是（）

3433

A.sin/l=-B.cosA=—C.cos8=-D.tan￡=-

4545

3

7、已知，在矩形ABC。中，￡>E_LAC于E,設(shè)ZADE=a,且cosa=《，AB=4,則4）的長為（）

AD

BC

16

A.3C型D.

BT.3T

8、如圖，在放△/!比1中，/ABC=90°,劭是4C邊上的高，則下列選項(xiàng)中不能表示tan4的是

（）

A?空B."CD.瞿

ABAD席BDAC

9、如圖所示，九（二）班的同學(xué)準(zhǔn)備在坡角為。的河堤上栽樹，要求相鄰兩棵樹之間的水平距離為8

m,那么這兩棵樹在坡面上的距離47為（）

88

A.8COS6rmB.----mC.8sinamD.——m

cosasina

10、在“比1中，（2cosA-忘y+"tanB|=O,則一定是（）

A.直角三角形B.等腰三角形C.等邊三角形D.等腰直角三角形

第n卷（非選擇題70分）

二、填空題（5小題，每小題4分，共計(jì)20分）

4

1、如圖，在菱形4抗力中，DELAB,cosA=-,則tanN頌'=

4

2、如圖，已知/?大△/歐中，斜邊8c上的高/。=4,COSB=M，則4

3、某人沿著坡度為1：2.4的斜坡向上前進(jìn)了130m,那么他的高度上升了m.

4、如圖，小明家附近有一觀光塔切，他發(fā)現(xiàn)當(dāng)光線角度變化時(shí)，觀光塔的影子在地面上的長度也發(fā)生

變化.經(jīng)測量發(fā)現(xiàn)，當(dāng)小明站在點(diǎn)4處時(shí)，塔頂〃的仰角為37°,他往前再走5米到達(dá)點(diǎn)6(點(diǎn)4

B,C在同一直線上)，塔頂〃的仰角為53°,則觀光塔切的高度約為.(精確到0.1米，參考

34

數(shù)值：tan37°七二,tan53°^-)

43

5、已知斜坡48的水平寬度為12米，斜面坡度為1：百，則斜坡的長為；坡角為

三、解答題(5小題，每小題10分，共計(jì)50分)

1、如圖，拋物線y=“(x+4)(x-1)的圖像與x軸的交分別為點(diǎn)4、點(diǎn)昆與y軸交于點(diǎn)C,且

tanZ.CBA=2.

(1)求拋物線解析式

、3

（2）點(diǎn)〃是對稱軸左側(cè)拋物線上一點(diǎn)，過點(diǎn)〃作DE_LAO于點(diǎn)色交力C于點(diǎn)RDP：求點(diǎn)〃的坐

標(biāo).

（3）在（2）的條件下，連接4?并延長交y軸于點(diǎn)凡點(diǎn)G在4C的延長線上，點(diǎn)C關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)

為點(diǎn)〃，連接/〃，GF、GH,點(diǎn)芯在上，GH^AK+AH,NKCH=；NCAO,GF:GH=3:4,過點(diǎn)C作

CRLGH,垂足為點(diǎn)兄延長底交拋物線于點(diǎn)Q,求點(diǎn)0坐標(biāo).

2、某鎮(zhèn)為創(chuàng)建特色小鎮(zhèn)，助力鄉(xiāng)村振興，決定在轄區(qū)的一條河上修建一座步行觀光橋.如圖，河旁有

一座小山，山高5c=8（）m,點(diǎn)C、A與河岸E、尸在同一水平線上，從山頂5處測得河岸E和對岸廠的

俯角分別為ND8E=45。，"M=31。.若在此處建橋，求河寬E廠的長.（結(jié)果精確到1m）[參考數(shù)

據(jù)：sin3—.52,cos31o：==0.86,lan31°?0.60]

3、計(jì)算下列各式：

(1)&s/〃60°-4co/300+57/745°?tan600；

(2)J2cos230"-2cos30"+sin230”?

4、如圖，平地上兩棟建筑物A?和切相距30m,在建筑物4?的頂部測得建筑物切底部的俯角為

26.6°,測得建筑物切頂部的仰角為45°.求建筑物切的高度.（參考數(shù)據(jù)：sin26.6°^0.45,

cos26.6°比0.89,tan26.6°-0.50）

5、如圖1,在AABC中A5=AC,BC=24cm,tanZABC=—.

圖1圖2

(1)求AB的長;

(2)如圖2,點(diǎn)。沿線段8c從6點(diǎn)向C點(diǎn)以每秒2cm的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)。沿線段C4向4點(diǎn)以每秒

1cm的速度運(yùn)動(dòng)，且當(dāng)。點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，另一點(diǎn)0也隨之停止運(yùn)動(dòng)，若P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為1秒.

①若ZAPQ=4時(shí)，求證：^ABP^PCQ；并求此時(shí)￡的值.

②點(diǎn)夕沿線段8c從8點(diǎn)向。點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在X的值，使△PQC的面積最大；若存在，請求出

/的值；若不存在，請說明理由.

---------參考答案

一、單選題

1、B

【分析】

如圖所示，過點(diǎn)力作力。垂直比1的延長線于點(diǎn)〃得出△力劭為等腰直角三角形，再根據(jù)45°角的余弦

值即可得出答案.

【詳解】

解：如圖所示，過點(diǎn)力作力〃，6。交比'延長線于點(diǎn)〃，

?：AD=BD=4,ZADB=90°,

...△46〃為等腰直角三角形，

...N后45°

.④

??cosBD=——

2

故選B.

本題主要考查了求特殊角三角函數(shù)值，解題的關(guān)鍵在于根據(jù)根據(jù)題意構(gòu)造直角三角形求解.

2、D

【分析】

根據(jù)余弦定義：cosN4CB=MBC；即可解答.

AC

【詳解】

解：,/cosZACB=

AC

AC=cos

?.?3C=6米，ZACB=52°

故選D.

【點(diǎn)睛】

此題考查了解直角三角形的應(yīng)用，將其轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題是本題的關(guān)鍵，用到的知識(shí)點(diǎn)是余

弦的定義.

3、B

【分析】

過點(diǎn)。作ONLAD,設(shè)圓的半徑為r,根據(jù)垂徑定理可得△應(yīng)瀝與△OW是直角三角形，根

據(jù)三角函數(shù)值進(jìn)行求解即可得到結(jié)果.

【詳解】

如圖，過點(diǎn)。作ONLAD,設(shè)圓的半徑為r,

.?.△如”與4如川是直角三角形，OD=OB=r,

???等邊三角形和正方形4頌都內(nèi)接于。。，

...NO8M=30°,Z0DN=ADON=45°,

DN=OD.tan450=—r,BM=60.cos30°=—r,

22

AD=2DN=&r,BC=2BM=0r,

AD:AB=亞:技=&幣■

故選B

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了圓的垂徑定理知識(shí)點(diǎn)應(yīng)用，結(jié)合等邊三角形和正方形的性質(zhì)，利用三角函數(shù)求解是解

題的關(guān)鍵.

4、D

【分析】

根據(jù)直角三角形斜邊中線等于斜邊一半求出48,再根據(jù)三角函數(shù)的意義，可求出答案.

【詳解】

解：?.?在中，N/==90°,點(diǎn)〃為邊的中點(diǎn)，

：.AD=BD=CD=^AB,

又,：CD=3,

."6=6,

AC=^AB2-BC2=>/62-42=2x/5，

Z.sinZDCB=sinB=—=還=好,

AB63

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查直角三角形的性質(zhì)和三角函數(shù)，理解直角三角形的邊角關(guān)系是得出正確答案的前提.

5、A

【分析】

由三角函數(shù)的定義可知si.加二巴，可設(shè)折4,c=5,由勾股定理可求得比3,再利用余弦的定義代入計(jì)算

c

即可.

【詳解】

解：VsinA--,

，可設(shè)爐4,c=5,由勾股定理可求得爐3,

：.cosA=-=~,

c5

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查三角函數(shù)的定義，掌握正弦、余弦函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.

6、B

【分析】

根據(jù)勾股定理求出力反再根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求出sin/,cosA,cos6和tan￡即可.

【詳解】

由勾股定理得：AB=JAC2+BC2="+3?=5，

所以sinA=生、，cosA二生，，cos八生二，ta團(tuán)生，

AB5AB5AB5BC3

即只有選項(xiàng)6正確，選項(xiàng)/、選項(xiàng)C、選項(xiàng)〃都錯(cuò)誤.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題主要是考查了銳角三角函數(shù)的定義以及勾股定理，熟練掌握每個(gè)銳角三角函數(shù)的定義，是求解該

類問題的關(guān)鍵.

7、B

【分析】

根據(jù)同角的余角相等求出/4〃斤/4切，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得/的俏//切，然后求出

AC,再利用勾股定理求出6G然后根據(jù)矩形的對邊相等可得4＞比：

【詳解】

解："：DEVAC,

.,.N/1//。分90°,

VZACIAZCAD=90o,

ZACD=ZADB=a,

,,,矩形ABCD的對邊AB//CD,

:.NBAO/ACD,

.cosa

.AB3

AC5

由勾股定理得，BC=y]AC2-AB2=J(y)2-42=y,

???四邊形力6（力是矩形，

:.AD=B*.

3

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)的定義，同角的余角相等的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并求

出a'是解題的關(guān)鍵.

【分析】

根據(jù)題意可推出△力尻、XADB、△劭C均為直角三角形,再在三個(gè)直角三角形中分別表示出tan4即

可.

【詳解】

解：?在服△力比'中，ZABO9Q0,即是47邊上的高，

:N里、XADB、△胸均為直角三角形，

又?.?/?!+/俏90°,N8NDBO90。,

：./歸NDBC,

在/△4%中，tan片R荒C，故A選項(xiàng)不符合題意；

AB

在?！髁又?，tan/=||,故B選項(xiàng)不符合題意；

AD

CD

在應(yīng)△劭。中，tan/二tanN的萬，故D選項(xiàng)不符合題意；

選項(xiàng)D表示的是sinC,故D選項(xiàng)符合題意；

故選D.

【點(diǎn)睛】

本題考查解直角三角形相關(guān)知識(shí)，熟練掌握銳角三角函數(shù)在直角三角形中的應(yīng)用是解題關(guān)鍵.

9、B

【分析】

運(yùn)用余弦函數(shù)求兩樹在坡面上的距離AB.

【詳解】

解：???坡角為a,相鄰兩樹之間的水平距離為8米，

兩樹在坡面上的距離48=^（米）.

cosa

故選：B.

【點(diǎn)睛】

此題主要考查解直角三角形中的坡度坡角問題及學(xué)生對坡度坡角的掌握及三角函數(shù)的運(yùn)用能力.

10、D

【分析】

結(jié)合題意，根據(jù)乘方和絕對值的性質(zhì)，得（2cosA-何=o,|l-tanfi|=0,從而得cosA考，tanB=l,

根據(jù)特殊角度三角函數(shù)的性質(zhì)，得ZA=45。，NB=45。；根據(jù)等腰三角形和三角形內(nèi)角和性質(zhì)計(jì)算，即

可得到答案.

【詳解】

解：V（2cosA-V2）1+|l-tanZ?|=0

?，.（2cos=0,|l-tanB|=0

2cosA-血=0,l-tanB=0

cosA=,tanB=1

2

AZA=45°,4=45。

AZC=180°-ZA-ZB=90°,BC=AC

???阿一定是等腰直角三角形

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了絕對值、三角函數(shù)、三角形內(nèi)角和、等腰三角形的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握絕對值、

三角函數(shù)的性質(zhì)，從而完成求解.

二、填空題

1、3

【解析】

【分析】

4__________?-----------------

根據(jù)弧1四，cosA=~,設(shè)四=4x,AD=5x,根據(jù)勾股定理DE=jAh-AE?=J（5x]-（旬？=3x,根

據(jù)四邊形ABCD為菱形，可得菱形的邊46=4?=5x,可求小4azi氏5『4產(chǎn)x,根據(jù)正切定義求

tanN分田々=把=3即可.

BEx

【詳解】

4

解：'：DELAB,cos/=w，

設(shè)AE=4x,AD=5x,

在RtAADE中，DE=>JAD2-AE2=>/（5x）2-（4x）2=3x,

?.?四邊形ABCD為菱形,

??.菱形的邊AB=AD=5x,

BB=AB-AE=5x-4x=x,

AtanZ/^—=—=3.

BEx

故答案為：3.

【點(diǎn)睛】

本題考查了菱形的性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理，根據(jù)根據(jù)菱形的四條邊都相等求出菱形的邊長是

解題的關(guān)鍵，利用的余弦設(shè)1后4x,4分5%使求解更加簡便.

2、5

【解析】

【分析】

根據(jù)題意ND4C=N3,則cosNZMC=cos3,即可求得AC

【詳解】

解：,l?Rt^ABC中,AD1BC

??.ZBAD+ZB=ABAD+ADAC=90°

/./B=NDAC

八4

?/cosB=一

5

AD4

cosNDAC-----——

AC5

,/AD=4

AC=5

故答案為：5

【點(diǎn)睛】

本題考查了同角的余角互余，余弦的定義，求得"=是解題的關(guān)鍵.

3、50

【解析】

【分析】

設(shè)高度上升了〃，則水平前進(jìn)了2.4力，然后根據(jù)勾股定理解答即可.

【詳解】

設(shè)高度上升了力，則水平前進(jìn)了2.4萬，

由勾股定理得：J"+(2.4爐=130,

解得：71=50.

故答案為：50.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了坡度比與勾股定理得應(yīng)用，根據(jù)坡度比和勾股定理列出關(guān)于力的方程成為解答本題的

關(guān)鍵.

4、8.6米

【解析】

【分析】

根據(jù)題意，利用銳角三角函數(shù)解直角三角形即可.

【詳解】

解：由題意知，ZJ=37°,Z2^053°,Z^=90°,4比5,

CD

在Rt△狽中，tanNM>—,

CD———3

在Rta?！ㄖ?，tan//=三，即<3「c=tan37°生

AC5+-C￡>4

4

解得：CD=-^-^8.6,

答：觀光塔切的高度約為8.6米.

【點(diǎn)

本題考查解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，熟練掌握銳角三角函數(shù)解直角三角形的方法是解答的關(guān)鍵.

5、8y[330°##30度

【解析】

【分析】

如圖，由題意得：1,=12,:=/:6再利用坡度的含義求解/=30°,再利

用/的余弦函數(shù)值求解48即可.

【詳解】

解：如圖，由題意得:1=12,

B

:.N=30°,

而cos=—,

故答案為：8c30°

【點(diǎn)睛】

本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用，坡度，坡角的含義，由坡度求解出坡角為30。是解本題的關(guān)鍵.

三、解答題

1Q325

1、(1)y=~x2-x+2；(2)0(-3,2)；(3)彳)

2228

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)tanNCB4=2求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，把點(diǎn)C的坐標(biāo)代入y=a(x+4)(x-l)即可求出a,即可得出拋物

線解析式；

(2)先求直線/。解析式，設(shè)以狐-g療-|〃?+2),則可表示點(diǎn)尸坐標(biāo)，y值相減即可得出答案；

(3)作NC4O的角平分線為4獷，作MN_LAC交于點(diǎn)兒過點(diǎn)《作KT^y軸交于點(diǎn)北

由(2)得點(diǎn)，坐標(biāo)，求出直線加解析式，令x=0,求出廠點(diǎn)坐標(biāo)，由對稱得出點(diǎn)〃坐標(biāo)，求出直線

/〃的解析式，求出/從力〃的值，可得GAFG,"滿足勾股定理，即FGLHG,求出點(diǎn)G坐標(biāo)，得出

直線內(nèi)G解析式，即可得出直線解析式，與拋物線解析式聯(lián)立，即可求出點(diǎn)。的坐標(biāo).

【詳解】

(1)由題得：4-4,0),8(1,0),

：.OB=\,

VtanZC^4=2,

OC

A—=2,即OC=2,

OB

：.C(0,2),

把C(0,2)代入y=a(x+4)(x—1)得：a=~,

117

二?拋物線解析式為：y=--(-^+4)(x-l)=--x2--x+2；

(2)設(shè)直線4C的解析式為尸區(qū)+"

1Z+b=0

把A(-4,0),。(0,2)代入得：人。，

[0=2

k=—

解得：2,

6=2

...直線熊的解析式為y=gx+2,

1、31

]^D(rn,--m2-—m+2),則P(祖,/"z+2),

.13_Ac\12c3

z——m2——加+2x)-(一根+2)=——m-2m=一,

22222

解得：6=-3或加=-1,

3

13一73

?.?y=-92-9+2的對稱軸為直線》=——2r=-9,點(diǎn)〃是對稱軸左側(cè)拋物線上一點(diǎn),

222x(-1)2

:?m=—3,

，D(-3,2)；

(3)

如圖，作/C4O的角平分線為AM,作MN±AC交于點(diǎn)N,過點(diǎn)｛作KTLy軸交于點(diǎn)T,

由A(T,0),0(-3⑵得直線AD解析式為y=2x+8,

AC=ylo/r+OC2=A/42+22=2石，F(xiàn)(0,8)，

???〃是點(diǎn)C的對稱點(diǎn)，

/.”(0,-2),

由A(Y,0),"(0,-2)得直線〃/解析式為y=-：x-2,

AH=AC=2也,

設(shè)何(0,f),

則。A/=WCM=2—t,CN=AC—AN=4C—OA=26—4,

/+(26-心(27)2,

解得：Z=4A/5-8,

丁ZKCH=-ZCAO,

2

，/KCT=NMAO,

:4CTK=ZAOM=90°,

，ACTX,

CTKT2+(-n+2)

----=------，即2-n

AOMO----------------45/5-8

解得："="星竺，

5

1c875-10

——n-2=-------------,

25

-16后-4084-10、

K(一一-「)，

由題知：AHTKfHOA,

16石-40

HKKT

,即HK二

~HA~~AO5

2垂)-4

解得：HK=4石-8,

AK=2后-(4石-8)=8-2退，

GH=AK+A//=8-2石+2后=8,

?；GF:G"=3:4,

AGF=6,

,/FH=8+2=10,

???△FGH是直角三角形,

設(shè)G(x,gx+2),

5ra/=^x6x8=^xl0x,

解得：后日，

L+23

25

???G(y,y),

24223

由“。，8）,G（f《）得直線FG的解析式為k一片+8,

?:CRIGH,

：.CR//FG,

3

???直線CR解析式為尸亍+c,

3

把CQ2)代入得：,=---2.

3「

y=——x+2

.4

123「

y=-x—x+2

22

3

x-——

x=°廣2

解得:G或1

y=225

y=一

「8

325

???。（-萬，石）

【點(diǎn)睛】

本題考查二次函數(shù)綜合問題，還涉及了解直角三角形以及相似三角形的判定與性質(zhì)，屬于中考?jí)狠S

題，掌握用待定系數(shù)法求解析式是解題的關(guān)鍵.

2、河寬EF的長約為53m

【解析】

【分析】

根據(jù)等腰三角形的判定可得CE=3C=80m,在MA3c尸中，由三角函數(shù)的定義求出CF的長，根據(jù)線段

的和差即可求出￡下的長度.

【詳解】

解：在RfVBCE中，BC=80m,NBEC=QBE=45。,

：.NCBE=45。,

：.NBEC=NCBE=45。,

：.CE=5C=80m.

在RABCF中，BC=80m,NBFC=/DBF=31°,tanZBFC=—,

CF

：.—x0.60,

CF

：.CF?133.3,

，EF=CF-CE=133.3-80=53.3?53(m).

答：河寬E尸的長約為53m.

【點(diǎn)睛】

此題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用一-仰角俯角問題，正確記憶銳角三角函數(shù)關(guān)系是解題關(guān)鍵.

3、(1)V6-3(2)

2

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值化簡，故可求解;

(2)根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值化簡，故可求解.

【詳解】

(1)6sinQO°-4cos*30°+s力?45°,tan6Q°

=72X^-4x[f

且一4x3+遠(yuǎn)

242

V6-3

（2）J2cos230"-2cos300+sin2300

=“-4肉3

2-73

【點(diǎn)睛】

此題主要考查實(shí)數(shù)的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟知特殊角的三角函數(shù)值、二次根式的運(yùn)算即完全平方公式

的運(yùn)算.

4、建筑物切的高度約為45m.

【解析】

【分析】

如圖所示，過點(diǎn)4作力反1切于反先證明/后四，然后證明四邊形4?應(yīng)是矩形，則/后劭=30m,

年=0斤30m,DE=AEtanZE4D=3Otan26.6°?15m,由此即可得到答案.

【詳解】

解：如圖所示，過點(diǎn)力作熊J_G?于￡,

.?.//3//力90°,

,：ZCAB=45°,

年45°,

：.ZC=ZCAE,

:.A拄CE,

,：ABVBD,CD1BD,

:./ABANBD片90°,

四邊形48龍是矩形，

心勿=30m,

6^=4田30m,DE=AE-tanN￡AD=3Otan26.6°x15m,

：.CD=CE^DE^^m,

答：建筑物切的高度約為451n.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了矩形的性質(zhì)與判定，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，解直角三角形，解題的關(guān)鍵在于

能夠正確