第03講相似三角形的性質(zhì)（知識(shí)解讀真題演練課后鞏固）（原卷版）

第03講相似三角形的性質(zhì)1.理解并掌握相似三角形的性質(zhì)，注意對(duì)應(yīng)點(diǎn)、對(duì)應(yīng)線段、對(duì)應(yīng)角寫在對(duì)應(yīng)位置上；2.靈活運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行證明、計(jì)算；3.理解并掌握射影定理，運(yùn)用相似的性質(zhì)解決有關(guān)射影定理圖模；4.運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)解決綜合問(wèn)題。知識(shí)點(diǎn)1相似三角形的性質(zhì)性質(zhì)1：相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊對(duì)應(yīng)成比例.性質(zhì)2：相似三角形中的重要線段的比等于相似比.相似三角形對(duì)應(yīng)高，對(duì)應(yīng)中線，對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比.注意：要特別注意“對(duì)應(yīng)”兩個(gè)字，在應(yīng)用時(shí)，要注意找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)線段.性質(zhì)3：相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比如圖一：∽，則由比例性質(zhì)可得：圖一性質(zhì)4：相似三角形面積的比等于相似比的平方如圖二，∽，則分別作出與的高和，則圖二注意：相似三角形的性質(zhì)是通過(guò)比例線段的性質(zhì)推證出來(lái)的.知識(shí)點(diǎn)2相似三角形的性質(zhì)與判定綜合知識(shí)點(diǎn)3射影定理射影定理：如圖，Rt△ABC，∠C＝90o，CD⊥AB則，1．CD2＝AD·BD2．BC2＝BD·ABAC2＝AD·AB很容易推出：．AC·BC＝AB·CD．BC2＋AC2＝AB2．．AC＋BC＜AB＋CD．用圖中小寫字母a、b、c、p、q、h（常稱為勾股六線段）表達(dá)以上關(guān)系：①h2＝pq；②a2＝pc；③b2＝qc；④；⑤ab＝ch；⑥a2＋b2＝c2；⑦；⑧a＋b＜c＋h；⑨c＝p＋q．利用上述關(guān)系式，“知二可求四”，即在a、b、c、p、q、h這六個(gè)量中，已知兩個(gè)量就可求出其余四個(gè)量來(lái)。同學(xué)們自己可任意設(shè)出兩個(gè)量，練習(xí)求另外四個(gè)量（在設(shè)的時(shí)候，要注意構(gòu)成直角三角形的基本條件：斜邊大于直角邊【題型1相似三角形的性質(zhì)】【典例1】（2022秋?昌圖縣期末）已知兩個(gè)相似三角形的相似比是1：3，那么它們的面積比是（）A．1：3 B．1：6 C．1：9 D．3：1【變式11】（2023?南明區(qū)校級(jí)模擬）若兩個(gè)相似三角形的對(duì)應(yīng)高的比為3：5，則它們對(duì)應(yīng)周長(zhǎng)的比為（）A．3：5 B．9：25 C．1：3 D．1：5【變式12】（2023?鼓樓區(qū)校級(jí)模擬）如圖，△ABC∽△ADE，若∠A＝60°，∠ABC＝45°，那么∠E＝（）A．75° B．105° C．60° D．45°【變式13】（2023?江安縣一模）如圖，△ABC∽△ADE，S△ABC：S四邊形BDEC＝1：3，BC＝，則DE的長(zhǎng)為（）A． B． C． D．【變式14】（2023?瀘縣一模）如圖，△ABC∽△A′B′C′，AD和A′D′分別是△ABC和△A′B′C′的高，若AD＝2，A′D′＝3，則△ABC與△A′B′C′的面積的比為（）A．4：9 B．9：4 C．2：3 D．3：2【題型2相似三角形的性質(zhì)與判定綜合應(yīng)用】【典例2】（2023?蕉城區(qū)校級(jí)一模）如圖，已知AD，BC相交于點(diǎn)E，且△AEB∽△DEC，CD＝2AB，延長(zhǎng)DC到點(diǎn)G，使CG＝CD，連接AG．（1）求證：四邊形ABCG是平行四邊形；（2）若∠GAD＝90°，AE＝2，CG＝3，求AG的長(zhǎng)．【變式21】（2022春?成武縣期末）如圖在△ABC中，D為AB邊上一點(diǎn)，且△CBD∽△ACD．（1）求∠ADC度數(shù)；（2）如果AC＝4，BD＝6，求CD的長(zhǎng)．【變式22】（2023春?海陽(yáng)市期末）如圖，在正方形ABCD中，CD＝4，在BC邊上取中點(diǎn)E，連接DE，過(guò)點(diǎn)E做EF⊥ED與AB交于點(diǎn)G，與DA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F．（1）求證：△BEG∽△CDE；（2）求△AFG的面積．【變式23】（2022秋?細(xì)河區(qū)期末）如圖，平行四邊形ABCD，DE交BC于F，交AB的延長(zhǎng)線于E，且∠EDB＝∠C．（1）求證：△ADE∽△DBE；（2）若DC＝7cm，BE＝9cm，求DE的長(zhǎng)．【題型3作圖相似變換】【典例3】（2023秋?永安市期中）已知△ABC中，，，BC＝6，點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)．（1）在線段AC上求作一點(diǎn)N，使△AMN∽△ABC（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；（2）在（1）的條件下求線段MN的長(zhǎng)．【變式31】（2023秋?南安市期中）如圖，在△ABC中，∠A＝90°，BD是∠ABC的平分線，交AC于點(diǎn)D．（1）在斜邊BC上求作點(diǎn)E，使△BDE∽△BAD；（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）（2）在（1）的條件下，若AB＝6，BE＝8，求DE的長(zhǎng)．【變式32】（2023秋?魯山縣期中）如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．（1）在AB上求作一點(diǎn)D，使△ABC∽△CBD（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）；（2）在（1）的條件下，求△BCD的周長(zhǎng)．【變式33】（2023?白山模擬）已知圖1和圖2中的每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1個(gè)單位，請(qǐng)?jiān)诜礁窦埳习匆螽嫺顸c(diǎn)三角形：（1）在圖1中畫△A1B1C1，使得△A1B1C1∽△ABC，且相似比為2：1．（2）在圖2中畫△MNP，使得△MNP∽△DEF，且面積比為2：1．【題型1相似三角形的性質(zhì)】【典例4】（2023春?梁溪區(qū)校級(jí)期末）如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是邊AB上的高．（1）求證：△ACD∽△CBD；（2）若AB＝8，AD＝6，求CD的長(zhǎng)．【變式41】（2023?湘潭）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜邊BC上的高．（1）證明：△ABD∽△CBA；（2）若AB＝6，BC＝10，求BD的長(zhǎng)．【變式42】（2022秋?普蘭店區(qū)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是邊AB上的高．（1）求證：△ACD∽△ABC；（2）若AC＝3，BC＝4，求BD的長(zhǎng)．【典例5】（2023春?煙臺(tái)期末）如圖，在△ABC中，BC＝12，高AD＝6，正方形EFGH一邊在BC上，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，AC上，AD交EF于點(diǎn)N，求AN的長(zhǎng)．【變式5】（2022秋?江都區(qū)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AC＝9，BC＝15．（1）求BC邊上的高AD的長(zhǎng)度；（2）正方形的一邊FG在BC上，另兩個(gè)頂點(diǎn)E、H分別在邊AB、AC上，求正方形EFGH的邊長(zhǎng)．1．（2023?哈爾濱）如圖，AC，BD相交于點(diǎn)O，AB∥DC，M是AB的中點(diǎn)，MN∥AC，交BD于點(diǎn)N，若DO：OB＝1：2，AC＝12，則MN的長(zhǎng)為（）A．2 B．4 C．6 D．82．（2023?恩施州）如圖，在△ABC中，DE∥BC分別交AC，AB于點(diǎn)D，E，EF∥AC交BC于點(diǎn)F，，BF＝8，則DE的長(zhǎng)為（）A． B． C．2 D．33．（2023?重慶）如圖，已知△ABC∽△EDC，AC：EC＝2：3，若AB的長(zhǎng)度為6，則DE的長(zhǎng)度為（）A．4 B．9 C．12 D．13.54．（2022?云南）如圖，在△ABC中，D、E分別為線段BC、BA的中點(diǎn)，設(shè)△ABC的面積為S1，△EBD的面積為S2，則＝（）A． B． C． D．5．（2023?廣東）邊長(zhǎng)分別為10，6，4的三個(gè)正方形拼接在一起，它們的底邊在同一直線上（如圖），則圖中陰影部分的面積為．6．（2023?江西）《周髀算經(jīng)》中記載了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指兩條邊呈直角的曲尺（即圖中的ABC）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可測(cè)量物體的高度．如圖，點(diǎn)A，B，Q在同一水平線上，∠ABC和∠AQP均為直角，AP與BC相交于點(diǎn)D．測(cè)得AB＝40cm，BD＝20cm，AQ＝12m，則樹高PQ＝m．7．（2023?南通）如圖，△ABC中，D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)，連接DE，則＝8．（2023?樂(lè)山）如圖，在平行四邊形ABCD中，E是線段AB上一點(diǎn)，連結(jié)AC、DE交于點(diǎn)F．若，則＝．9．（2023?云南）如圖，BC是⊙O的直徑，A是⊙O上異于B、C的點(diǎn)．⊙O外的點(diǎn)E在射線CB上，直線EA與CD垂直，垂足為D，且DA?AC＝DC?AB．設(shè)△ABE的面積為S1，△ACD的面積為S2．（1）判斷直線EA與⊙O的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（2）若BC＝BE，S2＝mS1，求常數(shù)m的值．1．（2023秋?永春縣期中）如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E在AD上，連接CE并延長(zhǎng)與BA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，若AE：AD＝2：3，CD＝3cm，則AF的長(zhǎng)為（）A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm2．（2023秋?順德區(qū)期中）兩個(gè)相似三角形的相似比為1：2，較小的三角形的面積為4，則另一個(gè)三角形的面積為（）A．2 B．8 C．16 D．13．（2023秋?秦都區(qū)期中）如圖所示，在邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，A，B，C，E，F(xiàn)五個(gè)點(diǎn)均在格點(diǎn)上，AB∥DE，AC∥DF，則的值為（）A． B． C． D．4．（2023秋?商河縣期中）如圖，矩形EFGH內(nèi)接于△ABC，且邊FG落在BC上，若AD⊥BC，BC＝3，AD＝2，，那么EH的長(zhǎng)為（）A． B． C． D．5．（2023秋?灤州市期中）如圖，在?ABCD中，點(diǎn)E是邊AD的中點(diǎn)，EC交對(duì)角線BD于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)F作AD的平行線分別交DC、AB于點(diǎn)M、N，則S△BNF：S△DMF等于（）A．9：4 B．4：1 C．3：1 D．2：16．（2023秋?宜興市月考）如圖，點(diǎn)D是△ABC邊AC的上一點(diǎn)，且∠ABD＝∠C，如果，那么＝（）A． B． C． D．7．（2023?鶴峰縣一模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足為點(diǎn)D，如果＝，AD＝9，那么BC的長(zhǎng)是（）A．4 B．6 C．2 D．38．（2023秋?福田區(qū)校級(jí)期中）如圖，在平行四邊形ABCD中E為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為AD上一點(diǎn)，EF與AC交于點(diǎn)H，F(xiàn)H＝3cm，EH＝6cm，AH＝4cm，則HC的長(zhǎng)為（）A．22cm B．20cm C．18cm D．16cm9．（2023秋?慈溪市校級(jí)期中）如圖，已知⊙O的直徑AB＝4，弦AC與弦BD交于點(diǎn)E，且OD⊥AC，垂足為點(diǎn)F．若AC＝BD．則EC的長(zhǎng)為（）A． B．1 C． D．10．（2023?廣水市模擬）如圖，D、E分別是△ABC的邊AB、BC上的點(diǎn)，且DE∥AC，AE、CD相交于點(diǎn)O，若S△DOE：S△COA＝1：25，則S△BDE與S△CDE的比是（）A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：2511．（2023秋?虹口區(qū)期中）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，∠BAD的平分線交BD于E，交DC于F，交BC的延長(zhǎng)線于G．那么下列結(jié)論正確的是（）A．AE2＝EF?FG B．AE2＝EF?AG C．AE2＝EG?FG D．AE2＝EF?EG12．（2023秋?昌平區(qū)期中）網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1．（1）在圖1中畫一個(gè)格點(diǎn)△A1B1C1，使△A1B1C1∽△ABC，且相似比為2：1；（2）在圖2中畫一個(gè)格點(diǎn)△A2B2C2，使△A2B2C2∽△ABC，且相似比為：1．13．（2023秋?立山區(qū)期中）已知：如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在邊BC上，AE∥BC，BE與AD、AC分別相交于點(diǎn)F、G，AF2＝FG?FE．（1）求證：△CAD∽△CBG；（2）若AC＝8，BC＝9，G為AC中點(diǎn)，求CD的長(zhǎng)．14．（2023秋?虹口區(qū)期中）如圖，在△ABC中，點(diǎn)P、D分別