高數(shù)下第十二章級數(shù)

高數(shù)下第十二章級數(shù)一、級數(shù)得概念與性質(zhì)1、級數(shù)得定義:(常數(shù)項)無窮級數(shù)一般項級數(shù)得部分和2、級數(shù)得收斂與發(fā)散:解

收斂

發(fā)散

發(fā)散

發(fā)散

綜上解3、基本性質(zhì)結(jié)論:級數(shù)得每一項同乘一個不為零得常數(shù),斂散性不變、結(jié)論:收斂級數(shù)可以逐項相加與逐項相減、證明類似地可以證明在級數(shù)前面加上有限項不影響級數(shù)得斂散性、證明大家學(xué)習(xí)辛苦了，還是要堅持繼續(xù)保持安靜注意收斂級數(shù)去括弧后所成得級數(shù)不一定收斂、

收斂

發(fā)散證明級數(shù)收斂得必要條件:性質(zhì)5注意1、如果級數(shù)得一般項不趨于零,則級數(shù)發(fā)散;

發(fā)散2、必要條件不充分、但發(fā)散、二、正項級數(shù)及其審斂法2、正項級數(shù)收斂得充要條件:定理正項級數(shù)3、比較審斂法解由圖可知重要參考級數(shù):幾何級數(shù),P-級數(shù),調(diào)和級數(shù)、證明4、比較審斂法得極限形式:設(shè)?￥=1nnu與?￥=1nnv都是正項級數(shù),如果則(1)當(dāng)時,二級數(shù)有相同的斂散性;(2)當(dāng)時，若收斂,則收斂;(3)當(dāng)時,若?￥=1nnv發(fā)散,則?￥=1nnu發(fā)散;解原級數(shù)發(fā)散、故原級數(shù)收斂、比值審斂法得優(yōu)點:不必找參考級數(shù)、注意:解比值審斂法失效,改用比較審斂法級數(shù)收斂、三、交錯級數(shù)及其審斂法定義:正、負(fù)項相間得級數(shù)稱為交錯級數(shù)、四、絕對收斂與條件收斂定義:正項和負(fù)項任意出現(xiàn)得級數(shù)稱為任意項級數(shù)、證明上定理得作用:任意項級數(shù)正項級數(shù)解故由定理知原級數(shù)絕對收斂、四、小結(jié)正項級數(shù)任意項級數(shù)審斂法1.2.4.充要條件5.比較法6.比值法7.根值法4.絕對收斂5.交錯級數(shù)(萊布尼茨定理)3.按基本性質(zhì);思考題思考題解答由比較審斂法知收斂.反之不成立、例如:收斂,發(fā)散.五、函數(shù)項級數(shù)得一般概念1、定義:2、收斂點與收斂域:函數(shù)項級數(shù)得部分和3、和函數(shù):解由達(dá)朗貝爾判別法原級數(shù)絕對收斂、原級數(shù)發(fā)散、收斂;發(fā)散;六、冪級數(shù)及其收斂性1、定義:2、收斂性:幾何說明收斂區(qū)域發(fā)散區(qū)域發(fā)散區(qū)域推論定義:正數(shù)R稱為冪級數(shù)得收斂半徑、冪級數(shù)得收斂域稱為冪級數(shù)得收斂區(qū)間、規(guī)定例2求下列冪級數(shù)得收斂區(qū)間:解該級數(shù)收斂該級數(shù)發(fā)散發(fā)散收斂故收斂區(qū)間為(0,1]、解缺少偶次冪得項級數(shù)收斂,級數(shù)發(fā)散,級數(shù)發(fā)散,級數(shù)發(fā)散,原級數(shù)得收斂區(qū)間為3、冪級數(shù)得分析運算(收斂半徑不變)(收斂半徑不變)解兩邊積分得練習(xí)題練習(xí)題答案七、泰勒級數(shù)上節(jié)例題存在冪級數(shù)在其收斂域內(nèi)以f(x)為和函數(shù)問題:1.如果能展開,是什么?2、展開式就是否唯一?3、在什么條件下才能展開成冪級數(shù)?問題定義泰勒級數(shù)在收斂區(qū)間就是否收斂于f(x)?不一定、二、函數(shù)展開成冪級數(shù)1、直接法(泰勒級數(shù)法)步驟:(2)驗證:例1解由于M得任意性,即得例2解