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小題基礎(chǔ)練(一)集合與常用邏輯用語1.(2024·新高考卷Ⅰ)若集合M={x|eq\r(x)<4},N={x|3x≥1},則M∩N=()A.{x|0≤x<2} B.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|\f(1,3)≤x<2))C.{x|3≤x<16} D.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|\f(1,3)≤x<16))解析:由eq\r(x)<4,得0≤x<16,所以M={x|eq\r(x)<4}={x|0≤x<16},由3x≥1,得x≥eq\f(1,3),所以N={x|3x≥1}={x|x≥eq\f(1,3)},所以M∩N={x|0≤x<16}∩eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x≥\f(1,3)))=eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|\f(1,3)≤x<16)).故選D.答案:D2.(2024·光明區(qū)校級(jí)模擬)設(shè)全集U=R,集合A={x|x2-3x≤0},B={y|y=2x},則A∩(?UB)=()A.(0,3] B.{0}C.(-∞,0] D.[-3,1]解析:因?yàn)锳={x|x2-3x≤0}={x|0≤x≤3}=[0,3],B={y|y=2x}={y|y>0}=(0,+∞),所以?UB=(-∞,0],所以A∩(?UB)={0}.故選B.答案:B3.(2024·光明區(qū)校級(jí)模擬)集合A={-1,0,1,2,3},B={0,2,4},則圖中陰影部分所表示的集合為()A.{0,2} B.{-1,1,3,4}C.{-1,0,2,4} D.{-1,0,1,2,3,4}解析:因?yàn)锳={-1,0,1,2,3},B={0,2,4},則A∩B={0,2},A∪B={-1,0,1,2,3,4},所以陰影部分表示集合為{-1,1,3,4}.故選B.答案:B4.(2024·汕頭三模)已知全集為R,A={x|x2-1>0},B={x|x-a<0},(?RA)∩B={x|-1≤x<0},則a=()A.1 B.2C.-1 D.0解析:A={x|x2-1>0}={x|x<-1或x>1},B={x|x-a<0}={x|x<a},所以(?RA)∩B={x|-1≤x≤1}∩{x|x<a}={x|-1≤x<0},所以a=0,故選D.答案:D5.(2024·湛江二模)已知α,β是兩個(gè)不同的平面,m,n是兩條不同的直線,且α∩β=m,則“m⊥n”是“n⊥β”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件解析:由α∩β=m,m⊥n,推不到n⊥β;由α∩β=m,n⊥β,m?β,利用線面垂直的性質(zhì)可得m⊥n.所以“m⊥n”是“n⊥β”的必要不充分條件.故選B.答案:B6.(2024·廣州三模)若a∈{1,3,a2},則a的可能取值有()A.0 B.0,1C.0, 3D.0,1,3解析:集合元素要滿意互異性,a=0時(shí),該集合為{1,3,0}符合,a=3時(shí),該集合為{1,3,9}符合,其他均不符合.故選C.答案:C7.(2024·景德鎮(zhèn)模擬)函數(shù)f(x)=sin(2x+φ+eq\f(π,6))為偶函數(shù)的一個(gè)充分條件是()A.φ=eq\f(π,6) B.φ=-eq\f(π,6)C.φ=eq\f(π,3) D.φ=-eq\f(π,3)解析:因?yàn)閿?shù)f(x)=sin(2x+φ+eq\f(π,6))為偶函數(shù)的等價(jià)條件為φ+eq\f(π,6)=eq\f(π,2)·(2k+1),k∈Z,即為φ=eq\f(π,3)+kπ,k∈Z,所以函數(shù)f(x)=sin(2x+φ+eq\f(π,6))為偶函數(shù)的一個(gè)充分條件是φ=eq\f(π,3),故選C.答案:C8.(2024·河南三模)已知集合A={x|x2≤4},B=eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(y|y=\r(4-2x))),則A∩B=()A.? B.[-2,2]C.[0,2) D.[-2,2)解析:因?yàn)锳={x|-2≤x≤2},B={y|0≤y<2},所以A∩B=[0,2).故選C.答案:C9.(2024·廣東三模)已知直線l:y=kx+1與圓O:x2+y2=4相交于A、B兩點(diǎn),則“k=0”是“|AB|=2eq\r(3)”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件解析:圓心到直線的距離d=eq\f(|1|,\r(k2+1))=eq\f(1,\r(1+k2)),當(dāng)k=0時(shí),d=1,|AB|=2eq\r(R2-d2)=2eq\r(4-1)=2eq\r(3),即充分性成立,若|AB|=2eq\r(3),則|AB|=2eq\r(R2-d2)=2eq\r(4-d2)=2eq\r(3),即4-d2=3,即d=1,則由圓心到直線的距離d=eq\f(|1|,\r(k2+1))=eq\f(1,\r(1+k2))=1得1+k2=1,即k2=0,則k=0,即“k=0”是“|AB|=2eq\r(3)”的充要條件,故選C.答案:C10.(2024·廣東三模)已知集合A={x|ex<1},B={x|lnx<0},則()A.A∪B={x|x<1} B.A∩B=?C.A?B D.B?A解析:集合A={x|ex<1}={x|x<0},B={x|lnx<0}={x|0<x<1},故A∩B=?,A∪B={x|x<0或0<x<1},A?B,B?A,故選B.答案:B11.(2024·惠州一模)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,若bn=2an,則“d<0”是“bn+1<bn(n∈N*)”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件解析:充分性:若d<0,則an+1-an=d<0,即an+1<an,所以2an+1<2an,即bn+1<bn,所以充分性成立;必要性:若bn+1<bn,即2an+1<2an,所以an+1<an,則an+1-an=d<0,必要性成立.因此,“d<0”是“bn+1<bn(n∈N*)”的充要條件.故選C.答案:C12.(2024·天河區(qū)三模)已知集合U={x∈Z|1<x<6},A={2,3},則?UA的子集個(gè)數(shù)為()A.3 B.4C.7 D.8解析:因?yàn)閁={x∈Z|1<x<6}={2,3,4,5},A={2,3},所以?UA={4,5},所以?UA的子集個(gè)數(shù)為:22=4.故選B.答案:B13.(2024·佛山二模)設(shè)x,y∈R,則“x<y”是“(x-y)·y2<0”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件解析:則由x<y推不出(x-y)·y2<0,比如y=0時(shí),不是充分條件,由(x-y)·y2<0,得x-y<0,則x<y,是必要條件,故“x<y”是“(x-y)·y2<0”的必要不充分條件,故選B.答案:B14.(2024·汕頭三模)下列說法錯(cuò)誤的是()A.命題“?x∈R,cosx≤1”的否定是“?x0∈R,cosx0>1”B.在△ABC中,sinA≥sinB是A≥B的充要條件C.若a,b,c∈R,則“ax2+bx+c≥0”的充要條件是“a>0,且b2-4ac≤0”D.“若sinα≠eq\f(1,2),則α≠eq\f(π,6)”是真命題解析:對(duì)于A:命題“?x∈R,cosx≤1”的否定是“?x0∈R,cosx0>1”,故A正確;對(duì)于B:在△ABC中,sinA≥sinB?a≥b?A≥B,故sinA≥sinB是A≥B的充要條件,故B正確;對(duì)于C:若a,b,c,c∈R,則“ax2+bx+c≥0(a≠0)”的充要條件是“a>0,且b2-4ac≤0”,故C錯(cuò)誤;對(duì)于D:“若sinα≠eq\f(1,2),則α≠eq\f(π,6)”是真命題,故D正確;故選C.答案:C15.(2024·潮安區(qū)校級(jí)三模)已知集合A=eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(-1,\f(1,2))),B={x|mx-1=0},若A∩B=B,則全部實(shí)數(shù)m組成的集合是________________.解析:因?yàn)锳=eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(-1,\f(1,2))),B={x|mx-1=0},A∩B=B,所以B?A,所以B=?,或B={-1}或B=eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))),所以m=0或m=-1或m=2,所以全部實(shí)數(shù)m組成的集合是{-1,0,2}.答案:{-1,0,2}16.(2024·梅州模擬)已知命題p:?x∈R,x2+x-a>0為假命題,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是____
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