專題16矩形(原卷版+解析)

專題16矩形目錄TOC\o"1-1"\h\u必備知識點(diǎn) 1考點(diǎn)一利用矩形的性質(zhì)求解 2考點(diǎn)二直角三角形斜邊上的中線 5考點(diǎn)三矩形的判定 7知識導(dǎo)航知識導(dǎo)航必備知識點(diǎn)1矩形的定義:有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形。2.矩形性質(zhì):(1)矩形的四個(gè)角都是直角；(2)矩形的對角線相等；(3)矩形具有平行四邊形的所有性質(zhì)；(4)矩形是軸對稱圖形，鄰邊不相等的矩形有兩條對稱軸；要點(diǎn)解析:(1)從邊看：對邊相等；(2)從角看：四個(gè)角都是直角；(3)從對角線看：對角線相等且互相平分；(4)對稱性：是軸對稱圖形，鄰邊不相等的矩形有兩條對稱軸；(5)面積：矩形面積=長寬;矩形的面積=被對角線分成的四個(gè)等積的小三角形面積之和；3.矩形的判定:(1)定義判定：有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形；(2)對角線判定：對角線相等的平行四邊形是矩形:或?qū)蔷€相等且互相平分的四邊形是矩形；(3)角判定：有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形；(4)矩形的判定與性質(zhì)是互逆定理。判定矩形的常見思路如下:(5)用定義判定一個(gè)四邊形是矩形必須滿足兩個(gè)條件：一是有一個(gè)角是直角，二是四邊形是平行四邊形，也就是說有一個(gè)角是直角的四邊形不一定是矩形，必須加上“平行四邊形”這個(gè)條件它才是矩形。(6)用對角線相等的平行四邊形是矩形判定一個(gè)四邊形是矩形，必須滿足兩個(gè)條件：一是對角線相等；二是四邊形是平行四邊形，也就是說兩條對角線相等的四邊形不一定是矩形，必須加上“平行四邊形”這個(gè)條件它才是矩形?？键c(diǎn)一利用矩形的性質(zhì)求解1．如圖，矩形的兩條對角線相交于點(diǎn)，已知，，則矩形對角線的長為（

）A． B． C． D．2．如圖，矩形的對角線AC和BD相交于O，，，則BD的長是（

）A．20 B．17 C．18 D．103．在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，E是BC上一點(diǎn)，且與B、C不重合，若AE是整數(shù)，則AE等于（）A．3 B．4 C．5 D．64．已知的對角線與交于點(diǎn)，下列結(jié)論不正確的是（）A．當(dāng)時(shí)，是菱形 B．當(dāng)時(shí)，是菱形C．當(dāng)時(shí)，是矩形 D．當(dāng)時(shí)，是矩形5．一個(gè)長方形的三個(gè)頂點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分別為，，，那么第四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．6．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC，OA=3，OC=6，將△ABC沿對角線AC翻折，使點(diǎn)B落在點(diǎn)B′處，AB′與y軸交于點(diǎn)D，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為（）A．（0，-） B．（0，-） C．（0，-） D．（0，-）7．如圖，四邊形ABCD是長方形，AB=3，AD=4．已知A（﹣，﹣1），則點(diǎn)C的坐標(biāo)是（）A．（﹣3，） B．（，﹣3） C．（3，） D．（，3）8．如圖，將一個(gè)邊長分別為4，8的矩形紙片折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，則折痕的長是（

）．A． B． C． D．9．如圖，折疊長方形紙片的一邊，使點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處，已知，，則折痕的長為（

）．A． B． C． D．10．如圖，長方形ABCD中，E是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是BC上的一點(diǎn)，且CF=BC，則長方形ABCD的面積是陰影部分面積的（

）倍．A．2 B．3 C．4 D．511．如圖，長方形ABCD的長為6，寬為4，將長方形先向上平移2個(gè)單位，再向右平移2個(gè)單位得到長方形，則陰影部分面積是(

)A．12 B．10 C．8 D．612．若矩形一個(gè)內(nèi)角的角平分線分長邊為兩部分，長分別為2和3．則該矩形的面積為（

）A．6 B．10 C．15 D．10或1513．如圖,將長方形ABCD沿AE折疊,使點(diǎn)D落在BC邊上的點(diǎn)F,若∠BAF=60°,則∠DAE=(

)A．35° B．30° C．15° D．60°14．如圖，四邊形ABCD是矩形，連接BD，，延長BC到E使CE=BD，連接AE，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．考點(diǎn)二直角三角形斜邊上中線15．如圖，菱形ABCD中，AC交BD于點(diǎn)O，于點(diǎn)E，連接OE，若，則（）A．20° B．30° C．40° D．50°16．如圖，在中，于點(diǎn)F，于點(diǎn)E，M為的中點(diǎn)，，則的周長是（

）A．7 B．10 C．11 D．1417．如圖，在中，是高，是中線，那么在結(jié)論①∠B=∠BAM，②∠B=∠MAH，③∠B=∠CAH中正確的是（

）A．①② B．②③ C．①③ D．①②③18．直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的________．19．如圖，在中，，、、分別為、、的中點(diǎn)，若，則_______．考點(diǎn)三矩形的判定20．如圖，在平行四邊形ABCD中，AC、BD相交于O，請?zhí)砑右粋€(gè)條件_____，可得平行四邊形ABCD是矩形．21．如圖所示，已知ABCD中，下列條件：①AC=BD；②AB=AD；③∠1=∠2；④AB⊥BC中，能說明ABCD是矩形的有______________（填寫序號）22．如圖，將平行四邊形ABCD的邊DC延長到點(diǎn)E，使CE=DC，連接AE，交BC于點(diǎn)F．（1）求證：AC=BE；（2）若∠AFC=2∠D，連接AC，BE．求證：四邊形ABEC是矩形．23．如圖，將平行四邊形ABCD的邊DC延長到點(diǎn)E，使CE＝DC，連接AE交BC于點(diǎn)F，連接AC，BE；若∠AFC＝2∠D，AB＝2，BC＝4．（1）求證：四邊形ABEC是矩形；（2）求BE的長．24．如圖，將平行四邊形ABCD的邊DC延長到點(diǎn)E，使CE＝DC，連結(jié)AE，交BC于點(diǎn)F，∠AFC＝2∠D，連結(jié)AC、BE．求證：四邊形ABEC是矩形．25．在?ABCD中，對角線AC、BD相交于O，EF過點(diǎn)O，連接AF、CE．（1）求證：△BFO≌△DEO；（2）若AF⊥BC，試判斷四邊形AFCE的形狀，并加以證明；（3）若在（2）的條件下再添加EF平分∠AEC，試判斷四邊形AFCE的形狀，無需說明理由．26．如圖，平行四邊形ABCD中，AB＝6cm，BC＝10cm，∠B＝60°，G是CD的中點(diǎn)，E是邊AD上的動點(diǎn)，EG的延長線與BC的延長線交于點(diǎn)F，連接CE、DF．（1）求證：四邊形CEDF是平行四邊形；（2）當(dāng)AE的長是多少時(shí)，四邊形CEDF是矩形？專題16矩形目錄TOC\o"1-1"\h\u必備知識點(diǎn) 1考點(diǎn)一利用矩形的性質(zhì)求解 2考點(diǎn)二直角三角形斜邊上的中線 14考點(diǎn)三矩形的判定 18知識導(dǎo)航知識導(dǎo)航必備知識點(diǎn)1矩形的定義:有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形。2.矩形性質(zhì):(1)矩形的四個(gè)角都是直角；(2)矩形的對角線相等；(3)矩形具有平行四邊形的所有性質(zhì)；(4)矩形是軸對稱圖形，鄰邊不相等的矩形有兩條對稱軸；要點(diǎn)解析:(1)從邊看：對邊相等；(2)從角看：四個(gè)角都是直角；(3)從對角線看：對角線相等且互相平分；(4)對稱性：是軸對稱圖形，鄰邊不相等的矩形有兩條對稱軸；(5)面積：矩形面積=長寬;矩形的面積=被對角線分成的四個(gè)等積的小三角形面積之和；3.矩形的判定:(1)定義判定：有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形；(2)對角線判定：對角線相等的平行四邊形是矩形:或?qū)蔷€相等且互相平分的四邊形是矩形；(3)角判定：有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形；(4)矩形的判定與性質(zhì)是互逆定理。判定矩形的常見思路如下:(5)用定義判定一個(gè)四邊形是矩形必須滿足兩個(gè)條件：一是有一個(gè)角是直角，二是四邊形是平行四邊形，也就是說有一個(gè)角是直角的四邊形不一定是矩形，必須加上“平行四邊形”這個(gè)條件它才是矩形。(6)用對角線相等的平行四邊形是矩形判定一個(gè)四邊形是矩形，必須滿足兩個(gè)條件：一是對角線相等；二是四邊形是平行四邊形，也就是說兩條對角線相等的四邊形不一定是矩形，必須加上“平行四邊形”這個(gè)條件它才是矩形?？键c(diǎn)一數(shù)圖形中平行四邊形的個(gè)數(shù)1．如圖，矩形的兩條對角線相交于點(diǎn)，已知，，則矩形對角線的長為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)得到OA=OB=OD，結(jié)合得到，進(jìn)一步得到BD=2AB．【詳解】因?yàn)樗倪呅螢榫匦危?，，，所以，所以，因?yàn)樗砸驗(yàn)?，所以，故．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)和含的直角三角形的邊角關(guān)系，本題也可用等邊三角形的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)進(jìn)行求解．2．如圖，矩形的對角線AC和BD相交于O，，，則BD的長是（

）A．20 B．17 C．18 D．10【答案】D【解析】【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)求出OB=OA，根據(jù)等邊三角形的判定得出△AOB是等邊三角形，求出BO，即可求出答案．【詳解】解：∵∠BOC=120°，∴∠AOB=180°-∠BOC=60°，∵四邊形ABCD是矩形，∴BO=OD，AO=CO，BD=AC，∴OA=OB，∴△AOB是等邊三角形，∵AB=5m，∴BO=AB=5m，∴BD=2BO=10m，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)和判定和矩形的性質(zhì)，能熟記矩形的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵，注意：矩形的對角線互相平分且相等．3．在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，E是BC上一點(diǎn)，且與B、C不重合，若AE是整數(shù)，則AE等于（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【解析】【分析】由勾股定理可求AC的長，即可得AE的范圍，則可求解．【詳解】解：連接AC，∵在矩形ABCD中，AB=3，BC=4∴AC==5∴E是BC上一點(diǎn)，且與B、C不重合∴3＜AE＜5，且AE為整數(shù)∴AE=4故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，熟練運(yùn)用矩形的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．4．已知的對角線與交于點(diǎn)，下列結(jié)論不正確的是（）A．當(dāng)時(shí)，是菱形 B．當(dāng)時(shí)，是菱形C．當(dāng)時(shí)，是矩形 D．當(dāng)時(shí)，是矩形【答案】D【解析】【分析】利用矩形的判定,四邊形的性質(zhì)及菱形的判定方法分別判斷后即可確定正確的選項(xiàng).【詳解】解:A,根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形可以得到該結(jié)論正確;B,根據(jù)對角線互相垂直的平行四邊形是菱形可以得到該選項(xiàng)正確;C,根據(jù)對角線相等的平行四邊形是矩形可以判斷該選項(xiàng)正確;D,不能得到一個(gè)角是直角,故錯(cuò)誤,故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查矩形、菱形的判定及平行四邊形的性質(zhì).5．一個(gè)長方形的三個(gè)頂點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分別為，，，那么第四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根據(jù)長方形對邊平行且相等，利用橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)和已知點(diǎn)的橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)相同即可求出第四點(diǎn)坐標(biāo)．【詳解】在平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分別為（-1，-1），（-1，2），兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同，這兩點(diǎn)連線平行y軸，第四點(diǎn)與（3，-1）連線也平行y軸，則第四點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，由于在平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分別為（-1，-1），（3，-1）縱坐標(biāo)相同，此兩點(diǎn)連線平行x軸，為此（-1，2），與第四點(diǎn)兩線平行x軸，則第四點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，所以第四點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，2），故選擇：A．【點(diǎn)睛】本題考查長方形的第四點(diǎn)坐標(biāo)問題，掌握長方形的性質(zhì)，會利用平行x軸或y軸，兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)相等來解決問題是關(guān)鍵．6．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC，OA=3，OC=6，將△ABC沿對角線AC翻折，使點(diǎn)B落在點(diǎn)B′處，AB′與y軸交于點(diǎn)D，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為（）A．（0，-） B．（0，-） C．（0，-） D．（0，-）【答案】B【解析】【詳解】由折疊的性質(zhì)可知，∠B′AC=∠BAC，∵四邊形OABC為矩形，∴OC∥AB，∴∠BAC=∠DCA，∴∠B′AC=∠DCA，∴AD=CD，設(shè)OD=x，則DC=6-x，在Rt△AOD中，由勾股定理得，OA2+OD2=AD2，即9+x2=（6-x）2，解得：x=，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為：（0，-），故選B．7．如圖，四邊形ABCD是長方形，AB=3，AD=4．已知A（﹣，﹣1），則點(diǎn)C的坐標(biāo)是（）A．（﹣3，） B．（，﹣3） C．（3，） D．（，3）【答案】D【解析】【分析】由矩形的性質(zhì)可知CD=AB=3，BC=AD=4，結(jié)合A點(diǎn)坐標(biāo)即可求得C點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】∵四邊形ABCD是長方形，∴CD=AB=3，BC=AD=4，∵點(diǎn)A（﹣，﹣1），∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（﹣+3，﹣1+4），即點(diǎn)C的坐標(biāo)為（，3），故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)和坐標(biāo)的平移，根據(jù)平移的性質(zhì)解決問題是解答此題的關(guān)鍵．8．如圖，將一個(gè)邊長分別為4，8的矩形紙片折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，則折痕的長是（

）．A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】由折疊前后的兩圖形全等，得到一些線段相等，連接后轉(zhuǎn)化到一個(gè)直角三角形中，由勾股定理可求出線段AF的長，由折疊A與C重合，折痕EF垂直平分AC，進(jìn)而即可求出EF的長．【詳解】解：連接AC交EF于點(diǎn)O，連接FC，由折疊得：AF=FC，EF垂直平分AC，設(shè)AF=x，則DF=8﹣x，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠D=∠B=90°，在Rt△CDF中，由勾股定理得：，即：，解得：x=5，在Rt△ABC中，由勾股定理得：，∴OA=CO=，在Rt△FOC中，，EF=2OF=，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查折疊的性質(zhì)、勾股定理、矩形的性質(zhì)等知識，將所求線段轉(zhuǎn)化到一個(gè)直角三角形中是解決問題的關(guān)鍵，利用勾股定理建立方程求解是常用的方法．9．如圖，折疊長方形紙片的一邊，使點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處，已知，，則折痕的長為（

）．A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】根據(jù)折疊可得，AD=AF，然后根據(jù)勾股定理求出BF，易得CF，再由勾股定理即可求得．【詳解】根據(jù)折疊可得，AD=AF=10，DE=EF在Rt△ABF中，根據(jù)勾股定理得，BF=6∴CF=4在Rt△CEF中，EF2=CE2+CF2即EF2=（8－EF）2+42解得EF=5cm故選D【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理，掌握折疊的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．10．如圖，長方形ABCD中，E是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是BC上的一點(diǎn)，且CF=BC，則長方形ABCD的面積是陰影部分面積的（

）倍．A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】【分析】設(shè)長方形ABCD的長為a，寬為b，則其面積為ab，再根據(jù)E是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)C=a，用a、b表示出△BEF及△ABC的面積，進(jìn)而可求出陰影部分的面積．【詳解】設(shè)長方形ABCD的長為a，寬為b，則其面積為ab．在△ABC中，∵E是AB的中點(diǎn)，∴BE=b，又∵FC=a，∴BF=a，∴△EBF的面積為，但△ABC的面積=ab，∴陰影部分的面積=，∴長方形的面積是陰影部分面積的3倍．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查的是長方形的性質(zhì)及三角形的面積公式，分別設(shè)出長方形的長和寬，再用a、b表示出△BEF及△ABC的面積是解答此題的關(guān)鍵．11．如圖，長方形ABCD的長為6，寬為4，將長方形先向上平移2個(gè)單位，再向右平移2個(gè)單位得到長方形，則陰影部分面積是(

)A．12 B．10 C．8 D．6【答案】C【解析】【分析】利用平移的性質(zhì)得到AB∥A′B′，BC∥B′C′，則A′B′⊥BC，延長A′B′交BC于F，AD交A′B′于E，CD交B′C′于G，根據(jù)平移的性質(zhì)得到FB′=2，AE=2，易得四邊形ABFE、四邊形BEDG都為矩形，然后計(jì)算出DE和B′E后可得到陰影部分面積．【詳解】解：∵長方形ABCD先向上平移2個(gè)單位，再向右平移2個(gè)單位得到長方形A′B′C′D′，∴AB∥A′B′，BC∥B′C′，∴A′B′⊥BC，延長A′B′交BC于F，AD交A′B′于E，CD交B′C′于G，∴FB′=2，AE=2，易得四邊形ABFE、四邊形BEDG都為矩形，∴DE=AD-AE=6-2=4，B′E=EF-B′F=AB-B′F=4-2=2，∴陰影部分面積=4×2=8．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了平移的性質(zhì)：把一個(gè)圖形整體沿某一直線方向移動，會得到一個(gè)新的圖形，新圖形與原圖形的形狀和大小完全相同；新圖形中的每一點(diǎn)，都是由原圖形中的某一點(diǎn)移動后得到的，這兩個(gè)點(diǎn)是對應(yīng)點(diǎn)．連接各組對應(yīng)點(diǎn)的線段平行且相等．12．若矩形一個(gè)內(nèi)角的角平分線分長邊為兩部分，長分別為2和3．則該矩形的面積為（

）A．6 B．10 C．15 D．10或15【答案】D【解析】【分析】利用角平分線得到∠ABE=∠CBE，矩形對邊平行得到∠AEB=∠CBE．那么可得到∠ABE=∠AEB，可得到AB=AE．那么根據(jù)AE的不同情況得到矩形各邊長，進(jìn)而求得面積．【詳解】如圖：∵矩形ABCD中，BE是角平分線．∴∠ABE=∠EBC．∵AD∥BC．∴∠AEB=∠EBC．∴∠AEB=∠ABE．∴AB=AE．平分線把矩形的一邊分成3和2．當(dāng)AE=2時(shí)：則AB=CD=2，AD=CB=5，則矩形的面積是：10；當(dāng)AE=3時(shí)：AB=CD=3，AD=CB=5，則面積是：15．∴該矩形的面積為10或15，故選D【點(diǎn)睛】本題主要運(yùn)用了矩形性質(zhì)和等角對等邊知識，正確地分情況討論是解題的關(guān)鍵．13．如圖,將長方形ABCD沿AE折疊,使點(diǎn)D落在BC邊上的點(diǎn)F,若∠BAF=60°,則∠DAE=(

)A．35° B．30° C．15° D．60°【答案】C【解析】【分析】利用翻折變換的性質(zhì)得出∠DAE=∠EAF，進(jìn)而求出∠DAE的度數(shù)．【詳解】∵將長方形ABCD沿AE折疊，使點(diǎn)D落在BC邊上的點(diǎn)F處，∴∠DAE=∠EAF，∵∠BAF=60°，∴∠DAE=∠EAF=∠DAF=×(90°?60°)=15°.故選C.【點(diǎn)睛】此題考查翻折變換（折疊問題），矩形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵在于得出∠DAE=∠EAF.14．如圖，四邊形ABCD是矩形，連接BD，，延長BC到E使CE=BD，連接AE，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】如圖，連接AC．只要證明CE=CA，推出∠E=∠CAE，求出∠ACE即可解決問題．【詳解】如圖，連接AC．∵四邊形ABCD是矩形，∴AC=BD．∵EC=BD，∴AC=CE，∴∠AEB=∠CAE，易證∠ACB=∠ADB=30°．∵∠ACB=∠AEB+∠CAE，∴∠AEB=∠CAE=15°．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造等腰三角形解決問題．考點(diǎn)二直角三角形斜邊上中線15．如圖，菱形ABCD中，AC交BD于點(diǎn)O，于點(diǎn)E，連接OE，若，則（）A．20° B．30° C．40° D．50°【答案】A【解析】【分析】根據(jù)直角三角形的斜邊中線性質(zhì)可得OE=OB=OD，根據(jù)菱形性質(zhì)可得∠DBE=∠ABC=70°，從而得到∠OEB度數(shù)，再依據(jù)∠OED=90°-∠OEB即可．【詳解】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴O為BD中點(diǎn)，∠DBE=∠ABC=70°，∵DE⊥BC，∴在Rt△BDE中，OE=OB=OD，∴∠OEB=∠OBE=70°，∴∠OED=90°-70°=20°，故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)、直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，解決這類問題的方法是四邊形轉(zhuǎn)化為三角形．16．如圖，在中，于點(diǎn)F，于點(diǎn)E，M為的中點(diǎn)，，則的周長是（

）A．7 B．10 C．11 D．14【答案】C【解析】【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得EM＝FM＝BC，再根據(jù)三角形的周長的定義列式計(jì)算即可得解．【詳解】∵，M為的中點(diǎn)，∴，∴的周長故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．17．如圖，在中，是高，是中線，那么在結(jié)論①∠B=∠BAM，②∠B=∠MAH，③∠B=∠CAH中正確的是（

）A．①② B．②③ C．①③ D．①②③【答案】C【解析】【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)得出∠B＝∠BAM，根據(jù)已知條件判斷∠B＝∠MAH不一定成立；根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理及余角的性質(zhì)得出∠B＝∠CAH．【詳解】①∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AH是高，AM是中線，∴AM＝BM，∴∠B＝∠BAM，①正確；②∵∠B＝∠BAM，不能判定AM平分∠BAH，∴∠B＝∠MAH不一定成立，②錯(cuò)誤；③∵∠BAC＝90°，AH是高，∴∠B＋∠BAH＝90°，∠CAH＋∠BAH＝90°，∴∠B＝∠CAH，③正確．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查對直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)等知識點(diǎn)的理解和掌握，能根據(jù)這些性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．18．直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的________．【答案】一半【解析】符號語言：Rt△ABC中，∵∠ABC＝90°，OA＝OC，∴BO＝AC．19．如圖，在中，，、、分別為、、的中點(diǎn)，若，則_______．【答案】5【解析】【分析】根據(jù)直角三角形斜邊中線等于斜邊一半可得AC的長度，再根據(jù)題意判斷DE為中位線，根據(jù)中位線的性質(zhì)即可求出DE的長度．【詳解】∵在中，，、、分別為、、的中點(diǎn)，，則根據(jù)直角三角形斜邊中線等于斜邊一半可得AC＝10．根據(jù)題意判斷DE為中位線，根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)，得DE∥AC且DE=AC，可得DE=5．故答案為DE=5【點(diǎn)睛】本題掌握直角三角形斜邊中線等于斜邊一半及中位線的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．考點(diǎn)三矩形的判定20．如圖，在平行四邊形ABCD中，AC、BD相交于O，請?zhí)砑右粋€(gè)條件_____，可得平行四邊形ABCD是矩形．【答案】AC＝BD或∠ABC＝90°【解析】【分析】矩形是特殊的平行四邊形，矩形有而平行四邊形不具有的性質(zhì)是：矩形的對角線相等，矩形的四個(gè)內(nèi)角是直角；可針對這些特點(diǎn)來添加條件．【詳解】解：若使?ABCD變?yōu)榫匦危商砑拥臈l件是：AC＝BD；(對角線相等的平行四邊形是矩形)，∠ABC＝90°等(有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形)，故答案為任意寫出一個(gè)正確答案即可，如：AC＝BD或∠ABC＝90°．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)與矩形的判定，熟練掌握矩形是特殊的平行四邊形是解題關(guān)鍵．21．如圖所示，已知ABCD中，下列條件：①AC=BD；②AB=AD；③∠1=∠2；④AB⊥BC中，能說明ABCD是矩形的有______________（填寫序號）【答案】①④【解析】【詳解】矩形的判定方法由：①有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形；②有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形；③對角線相等的平行四邊形是矩形，由此可得能使平行四邊形ABCD是矩形的條件是①和④.22．如圖，將平行四邊形ABCD的邊DC延長到點(diǎn)E，使CE=DC，連接AE，交BC于點(diǎn)F．（1）求證：AC=BE；（2）若∠AFC=2∠D，連接AC，BE．求證：四邊形ABEC是矩形．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到AB∥CD，AB=CD，然后根據(jù)CE=DC，得到AB=EC，AB∥EC，利用一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形判斷即可；（2）由四邊形ABEC是平行四邊形，通過角的關(guān)系得出FA=FE=FB=FC，AE=BC，得證．【詳解】證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AB=CD，∵CE=DC，∴AB=EC，AB∥EC，∴四邊形ABEC是平行四邊形，∴AC=BE；（2）∵四邊形ABEC是平行四邊形，∴FA=FE，F(xiàn)B=FC，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠ABC=∠D，又∵∠AFC=2∠D，∴∠AFC=2∠ABC，∵∠AFC=∠ABC+∠BAF，∴∠ABC=∠BAF，∴FA=FB，∴FA=FE=FB=FC，∴AE=BC，∴四邊形ABEC是矩形．【點(diǎn)睛】此題考查的知識點(diǎn)是平行四邊形的判定與性質(zhì)及矩形的判定，關(guān)鍵是由平行四邊形的性質(zhì)通過角的關(guān)系證矩形．23．如圖，將平行四邊形ABCD的邊DC延長到點(diǎn)E，使CE＝DC，連接AE交BC于點(diǎn)F，連接AC，BE；若∠AFC＝2∠D，AB＝2，BC＝4．（1）求證：四邊形ABEC是矩形；（2）求BE的長．【答案】（1）見解析；（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到，進(jìn)而得到，然后利用一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形證明四邊形ABEC是平行四邊形，然后根據(jù)等邊對等角證明，進(jìn)而得到，即可證明平行四邊形ABEC是矩形；（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)得到，然后在應(yīng)用勾股定理即可求得BE．【詳解】（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，，∴，∴，∴四邊形ABEC是平行四邊形，∴，，∵∴，∴，∴，∴平行四邊形ABEC是矩形．（2）四邊形ABEC是矩形，∴，，∴．故答案為．【點(diǎn)睛】此題考查的知識點(diǎn)是平行四邊形的判定與性質(zhì)及矩形的判定，關(guān)鍵是由平行四邊形的性質(zhì)通過角的關(guān)系證矩形．24．如圖，將平行四邊形ABCD的邊DC延長到點(diǎn)E，使CE＝DC，連結(jié)AE，交BC于點(diǎn)F，∠AFC＝2∠D，連結(jié)AC、BE．求證：四邊形ABEC是矩形．【答案】見解析【解析】【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到AB∥CD，AB=CD，然后根據(jù)CE=DC，得到AB=EC，AB∥EC，利用一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形證得四邊形ABEC是平行四邊形；通過角的關(guān)系得出FA=FE=FB=FC，AE=BC，得證．【詳解】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AB=CD，∵CE=DC，∴AB=EC，AB∥EC，∴四邊形ABEC是平行四邊形，∴FA=FE，F(xiàn)B=FC，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠ABC=∠D，又∵∠AFC=2∠D，∴∠AFC=2∠ABC，∵∠AFC=∠ABC+∠BAF，∴∠ABC=∠BAF，∴FA=FB，∴FA=FE=FB=FC，∴AE=BC，∴四邊形ABEC是矩形．【點(diǎn)睛】此題考查的知識點(diǎn)是平行四邊形的判定與性質(zhì)及矩形的判定，熟練掌握和運(yùn)用平行四邊形的判定性質(zhì)及矩形的判定是解題的關(guān)鍵．25．在?ABCD中，對角線AC、BD相交于O，EF過點(diǎn)O，連接AF、CE．（1）求證：△BFO≌△DEO；（2）若AF⊥BC，試判斷四邊形AFCE的形狀，并加以證明；（3）若在（2）的條件下再添加EF平分∠AEC，試判斷四邊形AFCE的形狀，無需說明理由．【答案】（1）詳見解析；（2）四邊形AFCE是矩形，證明見解析；（3）四邊形AFCE是正方形.【解析】【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)得出OB＝OD，OA＝OC，AD∥BC，得出∠OBF＝∠ODE，由ASA證明