專題02二次根式的運(yùn)算（考點(diǎn)剖析）-2018-2019學(xué)年浙江省八年級(jí)數(shù)學(xué)下學(xué)期期末必考點(diǎn)復(fù)習(xí)（浙教版）2

專題02二次根式的運(yùn)算【考點(diǎn)剖析】1、最簡二次根式的概念：（1）被開方數(shù)不含分母；（2）被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式．注意：（1）在二次根式的被開方數(shù)中，只要含有分?jǐn)?shù)或小數(shù)，就不是最簡二次根式；（2）在二次根式的被開方數(shù)中的每一個(gè)因式（或因數(shù)），如果冪的指數(shù)大于或等于2，也不是最簡二次根式．2、分母有理化（1）分母有理化是指把分母中的根號(hào)化去．分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一項(xiàng)）或與原分母組成平方差公式．例如：①1a=aa（2）兩個(gè)含二次根式的代數(shù)式相乘時(shí)，它們的積不含二次根式，這樣的兩個(gè)代數(shù)式成互為有理化因式．一個(gè)二次根式的有理化因式不止一個(gè)．例如：2-3的有理化因式可以是2+3、二次根式的運(yùn)算（1）二次根式的混合運(yùn)算是二次根式乘法、除法及加減法運(yùn)算法則的綜合運(yùn)用．學(xué)習(xí)二次根式的混合運(yùn)算應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：①與有理數(shù)的混合運(yùn)算一致，運(yùn)算順序先乘方再乘除，最后加減，有括號(hào)的先算括號(hào)里面的．②在運(yùn)算中每個(gè)根式可以看做是一個(gè)“單項(xiàng)式”，多個(gè)不同類的二次根式的和可以看作“多項(xiàng)式”．（2）二次根式的運(yùn)算結(jié)果要化為最簡二次根式．（3）在二次根式的混合運(yùn)算中，如能結(jié)合題目特點(diǎn)，靈活運(yùn)用二次根式的性質(zhì)，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}途徑，往往能事半功倍．4、二次根式的化簡求值二次根式的化簡求值，一定要先化簡再代入求值．二次根式運(yùn)算的最后，注意結(jié)果要化到最簡二次根式，二次根式的乘除運(yùn)算要與加減運(yùn)算區(qū)分，避免互相干擾．最簡二次根式【典例】例1．在16x3、-23、-0.5、aA．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】解：在所列二次根式中，最簡二次根式有-23，x2故選：B．【點(diǎn)睛】根據(jù)最簡二次根式的定義對(duì)二次根式分析判斷即可得．本題考查最簡二次根式的定義．根據(jù)最簡二次根式的定義，最簡二次根式必須滿足兩個(gè)條件：（1）被開方數(shù)不含分母；（2）被開方數(shù)不含能開得盡方的因數(shù)或因式．【鞏固練習(xí)】1．下列二次根式中，是最簡二次根式的是（）A．12 B．11 C．27 D．【答案】B【解析】解：12=2B，11是最簡二次根式；27=33，Ca3=aa，故選：B．2．下列根式9，10，7，8，0.2，13A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【解析】解：在所列二次根式中，最簡二次根式有10，7這2個(gè)，故選：B．3．下列式子中：35，12，7，20，23，其中屬于最簡二次根式的有幾個(gè)（A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】解：最簡二次根式有7，23，共2個(gè)，故選：B．二次根式的混合運(yùn)算【典例】例1．計(jì)算：2bab?（-32a3b【答案】見解析【解析】解：2bab?（-32a3b=-3b?a2＝﹣9a2a=-【點(diǎn)睛】直接利用二次根式的性質(zhì)化簡進(jìn)而得出答案．此題主要考查了二次根式的乘除運(yùn)算，正確化簡二次根式是解題關(guān)鍵．例2．計(jì)算：（1）23（2）324x-（15x25-【答案】見解析【解析】解：（1）原式＝23+63-＝43；（2）原式=32×2x-（＝3x-3x＝2x．【點(diǎn)睛】（1）先將二次根式化簡，再將被開方數(shù)相同的二次根式合并即可；（2）先將二次根式化簡，再利用去括號(hào)法則去括號(hào)，再將被開方數(shù)相同的二次根式合并即可．本題主要考查二次根式的加減，解決此類問題的關(guān)鍵是要先將二次根式化簡，此外還要注意，只有被開方數(shù)相同的二次根式才能合并，當(dāng)被開方數(shù)不相同時(shí)是不能合并的．例3．計(jì)算：（20+5+5【答案】見解析【解析】解：原式=20÷5+＝2+5+1﹣＝3﹣22．【點(diǎn)睛】先根據(jù)二次根式的乘除法則運(yùn)算，然后化簡后合并即可．本題考查了二次根式的混合運(yùn)算：先把二次根式化為最簡二次根式，然后進(jìn)行二次根式的乘除運(yùn)算，再合并即可．在二次根式的混合運(yùn)算中，如能結(jié)合題目特點(diǎn)，靈活運(yùn)用二次根式的性質(zhì)，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}途徑，往往能事半功倍．【鞏固練習(xí)】1．計(jì)算：13【答案】見解析【解析】解：13=1=1=52．計(jì)算：14yx6x【答案】見解析【解析】解：原式=14yx?x=14yx?xy=73．計(jì)算：12+3【答案】見解析【解析】解：原式＝23+3×33＝23+3=-4．計(jì)算：12+31【答案】見解析【解析】解：原式＝23+3×2＝23+2＝33．5．計(jì)算：18-212-3【答案】見解析【解析】解：原式＝32-2-3＝52-336．計(jì)算：48÷2【答案】見解析【解析】解：原式=1248＝2﹣32+2＝2-27．計(jì)算：55【答案】見解析【解析】解：原式=5-10=5＝﹣1．8．計(jì)算：（523-54【答案】見解析【解析】解：原式＝（5×63-36）=532-3=149．化簡求值：x1x+4y-x2+【答案】見解析【解析】解：原式=x+=x2+當(dāng)x＝4，y=19時(shí)，原式=42+3分母有理化【典例】例1．閱讀理解材料：把分母中的根號(hào)去掉叫做分母有理化，例如：①25=255（1）化簡：1（2）計(jì)算：1（3）12【答案】見解析【解析】解：（1）13（2）1=2-1=10-（3）1=2-1=n-【點(diǎn)睛】（1）直接找出有理化因式，進(jìn)而分母有理化得出答案；（2）利用已知分別化簡各二次根式，進(jìn)而求出答案；（3）利用已知分別化簡各二次根式，進(jìn)而求出答案．此題主要考查了分母有理化，正確找出有理化因式是解題關(guān)鍵．例2．觀察下列一組等式，然后解答后面的問題：（2+1）（2-1）＝1，（3+2）（3-2）＝1，（4+3）（4-（1）觀察上面的規(guī)律，計(jì)算下列式子的值：（12+1+（2）利用上面的規(guī)律，試比較12-11與【答案】見解析【解析】解：（1）由題意可得1n+1原式＝（2-1+3-2+4＝（2013-1）?（2013+＝2013﹣1＝2012；（2）112-11∵12+∴112∴12-【點(diǎn)睛】（1）根據(jù)題中給出的式子找出規(guī)律，根據(jù)此規(guī)律即可得出結(jié)論；（2）把題中的式子取倒數(shù)，再比較大小即可．本題考查的是分母有理數(shù)，根據(jù)題中給出的例子找出規(guī)律是解答此題的關(guān)鍵．【鞏固練習(xí)】1．已知a=13-2（1）求ab，a+b的值；（2）求ba【答案】見解析【解析】解：（1）∵a=13-2∴ab＝（3+2）×（3-a+b=3+2（2）b＝（3-2）2+（3＝5﹣26+5+2＝10．2．在進(jìn)行二次根式的運(yùn)算時(shí)，如遇到23+1這樣的式子，還需做進(jìn)一步的23+1=還可以用以下方法化簡：23+1這種化去分母中根號(hào)的運(yùn)算叫分母有理化．分別用上述兩種方法化簡：25【答案】見解析【解析】解：25或：253．觀察下面的變形規(guī)律：12+1=2-1，13解答下面的問題：（1）若n為正整數(shù)，請(qǐng)你猜想1n+1（2）計(jì)算：（12+1+13【答案】見解析【解析】解：（1）1n+1故答案為：n+1-（2）原式＝[（2-1）+（