第09講圓心角與圓周角（4種題型）（原卷版）

第09講圓心角與圓周角（4種題型）【知識(shí)梳理】一．圓心角、弧、弦的關(guān)系（1）定理：在同圓和等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦也相等．（2）推論：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等．說(shuō)明：同一條弦對(duì)應(yīng)兩條弧，其中一條是優(yōu)弧，一條是劣弧，而在本定理和推論中的“弧”是指同為優(yōu)弧或劣?。?）正確理解和使用圓心角、弧、弦三者的關(guān)系三者關(guān)系可理解為：在同圓或等圓中，①圓心角相等，②所對(duì)的弧相等，③所對(duì)的弦相等，三項(xiàng)“知一推二”，一項(xiàng)相等，其余二項(xiàng)皆相等．這源于圓的旋轉(zhuǎn)不變性，即：圓繞其圓心旋轉(zhuǎn)任意角度，所得圖形與原圖形完全重合．（4）在具體應(yīng)用上述定理解決問(wèn)題時(shí)，可根據(jù)需要，選擇其有關(guān)部分．二．圓周角定理（1）圓周角的定義：頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角．注意：圓周角必須滿足兩個(gè)條件：①頂點(diǎn)在圓上．②角的兩條邊都與圓相交，二者缺一不可．（2）圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半．推論：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑．（3）在解圓的有關(guān)問(wèn)題時(shí)，常常需要添加輔助線，構(gòu)成直徑所對(duì)的圓周角，這種基本技能技巧一定要掌握．（4）注意：①圓周角和圓心角的轉(zhuǎn)化可通過(guò)作圓的半徑構(gòu)造等腰三角形．利用等腰三角形的頂點(diǎn)和底角的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化．②圓周角和圓周角的轉(zhuǎn)化可利用其“橋梁”﹣﹣﹣圓心角轉(zhuǎn)化．③定理成立的條件是“同一條弧所對(duì)的”兩種角，在運(yùn)用定理時(shí)不要忽略了這個(gè)條件，把不同弧所對(duì)的圓周角與圓心角錯(cuò)當(dāng)成同一條弧所對(duì)的圓周角和圓心角．三．圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)（1）圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：①圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)．②圓內(nèi)接四邊形的任意一個(gè)外角等于它的內(nèi)對(duì)角（就是和它相鄰的內(nèi)角的對(duì)角）．（2）圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)是溝通角相等關(guān)系的重要依據(jù)，在應(yīng)用此性質(zhì)時(shí)，要注意與圓周角定理結(jié)合起來(lái)．在應(yīng)用時(shí)要注意是對(duì)角，而不是鄰角互補(bǔ)．四．相交弦定理（1）相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長(zhǎng)的積相等．（經(jīng)過(guò)圓內(nèi)一點(diǎn)引兩條線，各弦被這點(diǎn)所分成的兩段的積相等）．幾何語(yǔ)言：若弦AB、CD交于點(diǎn)P，則PA?PB＝PC?PD（相交弦定理）（2）推論：如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項(xiàng)．幾何語(yǔ)言：若AB是直徑，CD垂直AB于點(diǎn)P，則PC2＝PA?PB（相交弦定理推論）．【考點(diǎn)剖析】一．圓心角、弧、弦的關(guān)系（共9小題）1．（2023?杭州二模）如圖，A，B，C是⊙O上三個(gè)點(diǎn)，∠AOB＝2∠BOC，則下列說(shuō)法中正確的是（）A．∠OBA＝∠OCA B．四邊形OABC內(nèi)接于⊙O C．AB＝2BC D．∠OBA+∠BOC＝90°2．（2022秋?鄞州區(qū)校級(jí)期末）如圖，AB，CD是⊙O的直徑，，若∠AOE＝32°，則∠COE的度數(shù)是．3．（2022秋?越城區(qū)期末）如圖，AB是⊙O的直徑，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，若BC＝CD＝DA＝4，則⊙O的周長(zhǎng)為（）A．4π B．6π C．8π D．9π4．（2023?越城區(qū)模擬）如圖，AB，AC是⊙O的兩條弦，OD⊥AB于點(diǎn)D，OE⊥AC于點(diǎn)E，連結(jié)OB，OC．若∠DOE＝140°，則∠BOC的度數(shù)為（）A．70° B．80° C．90° D．100°5．（2023?路橋區(qū)校級(jí)二模）如圖，弧AB所對(duì)圓心角∠AOB＝90°，半徑為8，點(diǎn)C是OB中點(diǎn)，點(diǎn)D弧AB上一點(diǎn)，CD繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到CE，則AE的最小值是．6．（2023?寧波模擬）傳統(tǒng)服飾日益受到關(guān)注，如圖1為明清時(shí)期女子主要裙式之一的馬面裙，如圖2馬面裙可以近似地看作扇環(huán)，其中AD長(zhǎng)度為米，BC長(zhǎng)度為米，圓心角∠AOD＝60°，則裙長(zhǎng)AB為．7．（2023?蕭山區(qū)校級(jí)模擬）如圖，BD是⊙O的直徑，點(diǎn)A，C在⊙O上，AB＝AD，AC交BD于點(diǎn)E，已知∠COD＝135°．（1）求∠AEB的度數(shù)，（2）若CO＝1，求OE的長(zhǎng)．8．（2023?玉環(huán)市二模）如圖，點(diǎn)A、B、C、D是⊙O上的點(diǎn)，AD為直徑，AB∥OC．（1）求證：點(diǎn)C平分弧BD．（2）利用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)作出AB的中點(diǎn)P（保留作圖痕跡）．9．（2023?婺城區(qū)模擬）如圖，AB是⊙O的直徑，C是的中點(diǎn)，CE⊥AB于點(diǎn)E，BD交CE于點(diǎn)F．（1）求證：CF＝BF；（2）若CD＝6，AC＝8，求⊙O的半徑及CE的長(zhǎng)．二．圓周角定理（共11小題）10．（2023?鹿城區(qū)一模）如圖，AC是⊙O的直徑，B，D是⊙O上的兩點(diǎn)，連結(jié)AB，BC，CD，BD，若∠A+∠D＝80°，則∠ACB的度數(shù)為（）A．40° B．50° C．60° D．80°11．（2023?西湖區(qū)校級(jí)三模）如圖，點(diǎn)A、B、C在圓O上，若∠A＝50°，則∠OBC的度數(shù)為（）?A．40° B．45° C．50° D．55°12．（2023?寧波模擬）如圖，AB是⊙O的直徑，C，D兩點(diǎn)在圓上，連接AD，CD，且＝，∠CAB＝25°，P為上一動(dòng)點(diǎn)，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，DP與AC相交于點(diǎn)M，當(dāng)△CDM為等腰三角形時(shí)，∠PDC的度數(shù)為．13．（2023?西湖區(qū)校級(jí)模擬）如圖，已知AB是⊙O的直徑，弦CD與AB交于點(diǎn)E，若∠ABD＝60°，∠AED＝100°，則∠ABC＝．14．（2023?杭州）如圖，在⊙O中，半徑OA，OB互相垂直，點(diǎn)C在劣弧AB上．若∠ABC＝19°，則∠BAC＝（）A．23° B．24° C．25° D．26°15．（2023?余杭區(qū)模擬）如圖，AB是半圓O的直徑，點(diǎn)D是弧AC的中點(diǎn)，若∠DAC＝25°．則∠BAC等于（）A．40° B．42° C．44° D．46°16．（2023?杭州模擬）如圖是以點(diǎn)O為圓心，AB為直徑的圓形紙片，點(diǎn)C在⊙O上，將該圓形紙片沿直線CO對(duì)折，點(diǎn)B落在⊙O上的點(diǎn)D處（不與點(diǎn)A重合），連接CB，CD，AD．設(shè)CD與直徑AB交于點(diǎn)E．若AD＝ED，則∠B＝度；的值等于．17．（2023?錢(qián)塘區(qū)三模）如圖，AB是⊙O的直徑，半徑OD⊥AB，點(diǎn)E在OB上，連接DE并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)C，連接BC．?（1）求∠B﹣∠D的值．（2）當(dāng)∠B＝75°時(shí)，求的值．（3）若BC＝CE，△DOE與△CBE的面積分別記為S1，S2，求的值．18．（2023?衢州二模）如圖，在⊙O中，OA，OB是直徑，C是劣弧上的一點(diǎn)．且∠AOB＝120°．（1）求∠ACB的度數(shù)；（2）若AC＝BC．求證：四邊形ACBO是菱形．19．（2023?金東區(qū)二模）如圖，已知AB，CD是⊙O的直徑，點(diǎn)E是CA延長(zhǎng)線的一點(diǎn)，射線ED交⊙O點(diǎn)于F，連結(jié)AD，CF，∠CDA＝∠EDA，∠CAB＝30°，AB＝8．（1）求證：AB∥FE．（2）求∠FCA的度數(shù)．（3）求CE的長(zhǎng)．20．（2023?濱江區(qū)一模）如圖1，AB為⊙O的直徑，CD⊥AB于點(diǎn)E，，BF與CD交于點(diǎn)G．（1）求證：CD＝BF．（2）若BE＝1，BF＝4，求GE的長(zhǎng)．（3）連結(jié)GO，OF，如圖2，求證：．三．圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)（共11小題）21．（2022秋?嘉興期末）已知，在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，∠A：∠B：∠C＝1：2：5，則∠D的度數(shù)為（）A．30° B．60° C．120° D．150°22．（2023?寧波模擬）圓內(nèi)接四邊形ABCD，兩組對(duì)邊的延長(zhǎng)線分別相交于點(diǎn)E、F，且∠E＝40°，∠F＝60°，求∠A＝°．23．（2023?龍港市一模）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，BE是⊙O的直徑，連結(jié)CE，若∠BAD＝110°，則∠DCE＝度．24．（2022秋?仙居縣期末）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，點(diǎn)C是弧BD的中點(diǎn)，連接BD，若∠CBD＝35°，求∠A的度數(shù)．25．（2023?紹興）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于圓O，若∠D＝100°，則∠B的度數(shù)是．26．（2023?蕭山區(qū)二模）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)C是弧BD的中點(diǎn)，延長(zhǎng)AB到點(diǎn)E，使得BE＝AD，連結(jié)AC，CE．（1）求證：AC＝CE．（2）若，，∠BCD＝120°，求BC的長(zhǎng)．27．（2023?金華三模）在⊙O中，點(diǎn)A，B，C，D都在圓周上，OB∥DC，OD∥BC，則∠A的度數(shù)為（）A．45° B．50° C．55° D．60°28．（2023?蕭山區(qū)校級(jí)模擬）如圖，A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)均在⊙O上，∠AOD＝α，AO∥DC，∠B＝β，則α，β滿足關(guān)系為（）A．2α﹣β＝90° B．α+β＝90° C．2β+α＝180° D．α+9β＝540°29．（2022秋?上城區(qū)期末）如圖，四邊形ABCD是半圓O的內(nèi)接四邊形，AB是直徑，CD＝BC．若∠DCB＝100°，則∠ADC的度數(shù)為（）A．100° B．110° C．120° D．130°30．（2022秋?嵊州市期末）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，分別延長(zhǎng)BC，AD，使它們相交于點(diǎn)E，AB＝8，且DC＝DE．（1）求證：∠A＝∠AEB．（2）若∠EDC＝90°，點(diǎn)C為BE的中點(diǎn)，求⊙O的半徑．31．（2023?杭州二模）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，點(diǎn)F是CD延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且AD平分∠BDF，AE⊥CD于點(diǎn)E．（1）求證：AB＝AC．（2）若BD＝11，DE＝2，求CD的長(zhǎng)．四．相交弦定理（共4小題）32．（2021秋?東陽(yáng)市月考）已知四邊形ABCD兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)E，AB＝AC＝AD，AE＝3，EC＝1，則BE?DE的值為（）A．6 B．7 C．12 D．1633．（2021秋?余姚市期中）如圖，⊙O的弦AB、CD相交于點(diǎn)P，若AP＝6，BP＝8，CP＝4，則CD長(zhǎng)為（）A．16 B．24 C．12 D．不能確定34．（2022秋?溫州期末）已知四邊形ABCD兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)E，AB＝AC＝AD，AE＝3，EC＝1，則BE?DE的值為（）A．6 B．7 C．12 D．16．35．（2022秋?嵊州市期末）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD與AB相交于點(diǎn)E，若AE＝2，BE＝8，CE＝2DE，則O到CD的距離為．【過(guò)關(guān)檢測(cè)】一、單選題1．（2022秋·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在中，則（

）A． B． C． D．2．（2023·浙江·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，點(diǎn)A，B，C，D在上，則圖中一定與相等的角是（

）

A． B． C． D．3．（2023·浙江·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，四邊形內(nèi)接于⊙O，為直徑，，連接．若，則的度數(shù)為（

）

A．70° B．60° C．50° D．40°4．（2023·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知弦AB把圓周分成兩部分，則弦AB所對(duì)圓心角的度數(shù)為（

）A． B． C．或 D．或5．（2023秋·浙江臺(tái)州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，是的直徑，弦垂直于點(diǎn)，連接，，，，則下列結(jié)論不一定成立的是（

）A． B． C． D．6．（2023·浙江·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，一塊直角三角板的斜邊與量角器的直徑重合，點(diǎn)D對(duì)應(yīng)的刻度值為，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．7．（2023·浙江·九年級(jí)假期作業(yè)）在中，滿足，則下列說(shuō)法正確的是（

）A． B． C． D．無(wú)法確定8．（2023·浙江溫州·統(tǒng)考三模）如圖，點(diǎn)A，B，C，D均在以點(diǎn)O為圓心的圓O上，連接，及順次連接O，B，C，D得到四邊形，若，，則的度數(shù)為（）

A． B． C． D．9．（2023·浙江·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，在的內(nèi)接四邊形中，，，，則的直徑為（

）

A． B． C． D．10．（2023·浙江·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，是半圓O的直徑，以弦為痕折疊后，恰好過(guò)點(diǎn)O則等于（

）

A． B． C． D．二、填空題11．（2023·浙江·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，、、是上的三個(gè)點(diǎn)，，則的度數(shù)是___________．

12．（2023·浙江·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，內(nèi)接于，是的直徑，點(diǎn)是上一點(diǎn)，，則________．

13．（2023·浙江·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，，，是上三點(diǎn)，，則的度數(shù)是______°．

14．（2022秋·浙江·九年級(jí)期末）如圖，點(diǎn)A在半圓O上，是直徑，．若，則的長(zhǎng)為_(kāi)_．15．（2022秋·浙江杭州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，正內(nèi)接于，的半徑為10，則的弧長(zhǎng)為_(kāi)____________．16．（2023·浙江·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，的半徑為，是的內(nèi)接三角形，半徑于，當(dāng)時(shí)，的長(zhǎng)是________．17．（2023春·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，已知是的直徑，弦與交于點(diǎn)E，若，，則___________．

18．（2023·浙江·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖所示，A、B是半徑為2的上的兩點(diǎn)，若，點(diǎn)C是弧的中點(diǎn)，則四邊形的周長(zhǎng)為_(kāi)______．三、解答題19．（2023·浙江·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，以等邊三角形的邊為直徑作交于，交于，連接．試判斷，，之間的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由．20．（2023·浙江·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，A是上一點(diǎn)，是直徑，點(diǎn)D在上且平分．

(1)連接，求證：平分；(2)若，，求的長(zhǎng)．21．（2023·浙江溫州·?？级＃┤鐖D，在上依次取點(diǎn)B，A，C使，連接，取的中點(diǎn)D，連接，在弦右側(cè)取點(diǎn)E，使，且，連接．

(1)求證：