第04講圓與圓的對稱性（核心考點講與練）-2022年暑假新九年級數(shù)學核心考點講與練（蘇科版）原卷版

第04講圓與圓的對稱性（核心考點講與練）【基礎知識】一．圓的認識（1）圓的定義定義①：在一個平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個端點O旋轉一周，另一個端點A所形成的圖形叫做圓．固定的端點O叫做圓心，線段OA叫做半徑．以O點為圓心的圓，記作“⊙O”，讀作“圓O”．定義②：圓可以看做是所有到定點O的距離等于定長r的點的集合．（2）與圓有關的概念弦、直徑、半徑、弧、半圓、優(yōu)弧、劣弧、等圓、等弧等．連接圓上任意兩點的線段叫弦，經(jīng)過圓心的弦叫直徑，圓上任意兩點間的部分叫圓弧，簡稱弧，圓的任意一條直徑的兩個端點把圓分成兩條弧，每條弧都叫做半圓，大于半圓的弧叫做優(yōu)弧，小于半圓的弧叫做劣?。?）圓的基本性質：①軸對稱性．②中心對稱性．二．垂徑定理（1）垂徑定理垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條?。?）垂徑定理的推論推論1：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧．推論2：弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條?。普?：平分弦所對一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧．三．垂徑定理的應用垂徑定理的應用很廣泛，常見的有：（1）得到推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條?。?）垂徑定理和勾股定理相結合，構造直角三角形，可解決計算弦長、半徑、弦心距等問題．這類題中一般使用列方程的方法，這種用代數(shù)方法解決幾何問題即幾何代數(shù)解的數(shù)學思想方法一定要掌握．四．圓心角、弧、弦的關系（1）定理：在同圓和等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等．（2）推論：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應的其余各組量都分別相等．說明：同一條弦對應兩條弧，其中一條是優(yōu)弧，一條是劣弧，而在本定理和推論中的“弧”是指同為優(yōu)弧或劣?。?）正確理解和使用圓心角、弧、弦三者的關系三者關系可理解為：在同圓或等圓中，①圓心角相等，②所對的弧相等，③所對的弦相等，三項“知一推二”，一項相等，其余二項皆相等．這源于圓的旋轉不變性，即：圓繞其圓心旋轉任意角度，所得圖形與原圖形完全重合．（4）在具體應用上述定理解決問題時，可根據(jù)需要，選擇其有關部分．五．點與圓的位置關系（1）點與圓的位置關系有3種．設⊙O的半徑為r，點P到圓心的距離OP＝d，則有：①點P在圓外?d＞r②點P在圓上?d＝r①點P在圓內(nèi)?d＜r（2）點的位置可以確定該點到圓心距離與半徑的關系，反過來已知點到圓心距離與半徑的關系可以確定該點與圓的位置關系．（3）符號“?”讀作“等價于”，它表示從符號“?”的左端可以得到右端，從右端也可以得到左端．【考點剖析】一．圓的認識（共5小題）1．（2022?興化市模擬）如圖所示，MN為⊙O的弦，∠N＝52°，則∠MON的度數(shù)為（）A．38° B．52° C．76° D．104°2．（2020秋?東麗區(qū)期末）已知⊙O的半徑是6cm，則⊙O中最長的弦長是（）A．6cm B．12cm C．16cm D．20cm3．（2020秋?白云區(qū)校級期中）如圖，在Rt△ABC中，以點C為圓心，BC為半徑的圓交AB于點D，交AC于點E，∠BCD＝40°，則∠A＝．4．（2019秋?宜興市期中）如圖所示，AB為⊙O的直徑，CD是⊙O的弦，AB、CD的延長線交于點E，已知AB＝2DE，∠AEC＝20°．求∠AOC的度數(shù)．5．（2021春?巨野縣期末）已知⊙O的半徑是6cm，則⊙O中最長的弦長是cm．二．垂徑定理（共3小題）6．（2022?南沙區(qū)一模）如圖，⊙O的直徑為10，弦AB＝8，P是弦AB上一動點，那么OP長的取值范圍是．7．（2021秋?鼓樓區(qū)校級期末）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，若BE＝5，CD＝6，求AE的長．8．（2022?南京一模）如圖，在平面直角坐標系中，一個圓與兩坐標軸分別交于A、B、C、D四點．已知A（6，0），B（﹣2，0），C（0，3），則點D的坐標為．三．垂徑定理的應用（共3小題）9．（2020秋?伊通縣期末）在直徑為200cm的圓柱形油箱內(nèi)裝入一些油以后，截面如圖（油面在圓心下）：若油面的寬AB＝160cm，則油的最大深度為．10．（2021秋?姜堰區(qū)期末）《九章算術》記載：今有圓材，埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺，問徑幾何？翻譯：現(xiàn)有圓柱形木材，埋在墻壁里（如圖①），不知道其直徑的大小，于是用鋸子（沿橫截面）鋸它（如圖②），當量得深度CE為1寸時，鋸開的寬度AB為1尺，問木材的直徑CD是寸．（1尺＝10寸）11．（2021?裕華區(qū)校級模擬）如圖所示，某地欲搭建一座圓弧型拱橋，跨度AB＝32米，拱高CD＝8米（C為AB的中點，D為弧AB的中點）．（1）求該圓弧所在圓的半徑；（2）在距離橋的一端4米處欲立一橋墩EF支撐，求橋墩的高度．四．圓心角、弧、弦的關系（共3小題）12．（2021秋?臨邑縣期末）如圖，AB是⊙O的直徑，點C、D是⊙O上的點，若∠CAB＝25°，則∠ADC的度數(shù)為（）A．65° B．55° C．60° D．75°13．（2021秋?鼓樓區(qū)校級月考）下列說法中，不正確的是（）A．在同圓或等圓中，若兩弧相等，則他們所對的弦相等 B．在同一個圓中，若弦長等于半徑，則該弦所對的劣弧的度數(shù)為60° C．在同一個圓中，若兩弧不等，則大弧所對的圓心角較大 D．若兩弧的度數(shù)相等，則這兩條弧是等弧14．（2022?玄武區(qū)一模）如圖，在△ABC中，E是BC邊上的點，以AE為直徑的⊙O與AB，BC，AC分別交于點F，D，G，且D是FG的中點．（1）求證AB＝AC；（2）連接DF，當DF∥AC時，若AB＝10，BC＝12，求CE的長．五．點與圓的位置關系（共3小題）15．（2021秋?沭陽縣期末）若⊙O的直徑為10，點A到圓心O的距離為6，那么點A與⊙O的位置關系是（）A．點A在圓外 B．點A在圓上 C．點A在圓內(nèi) D．不能確定16．（2022?常州模擬）如圖，A，B，C是某社區(qū)的三棟樓，若在AC中點D處建一個5G基站，其覆蓋半徑為300m，則這三棟樓中在該5G基站覆蓋范圍內(nèi)的是（）A．A，B，C都不在 B．只有B C．只有A，C D．A，B，C17．（2021秋?贛榆區(qū)期中）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝25，BC＝4，點D是AB的中點，若以點D為圓心，r為半徑作⊙D，使點B在⊙D內(nèi)，點C在⊙D外，試求r的取值范圍．【過關檢測】一、單選題1．（2021·江蘇泰州市·）的半徑為，點到圓心的距離為，點與的位置關系是（）A．點在內(nèi) B．點在上 C．點在外 D．無法確定2．（江蘇泰州市·八年級期中）如圖，⊙O的弦AB=6，M是AB上任意一點，且OM最小值為4，⊙O的半徑為（）A．5 B．4 C．3 D．23．（2020·射陽縣第二初級中學）平面內(nèi)，若⊙O的半徑為3，OP＝2，則點P在（）A．⊙O內(nèi) B．⊙O上 C．⊙O外 D．以上都有可能4．（2020·江蘇宿遷市·八年級期中）直角三角形三邊垂直平分線的交點位于三角形的（）A．三角形內(nèi) B．三角形外 C．斜邊的中點 D．不能確定5．（2020·鎮(zhèn)江市江南學校八年級月考）在平面直角坐標系內(nèi)點A、點B的坐標是分別為（0,3）、（4,3），在坐標軸上找一點C，使是等腰三角形，則符合條件的點C的個數(shù)是（）A．5個 B．6個C．7個 D．8個6．（2020·蘇州市吳江區(qū)盛澤第二中學）往直徑為的圓柱形容器內(nèi)裝入一些水以后，截面如圖所示，若水面寬，則水的最大深度為（）A． B． C． D．7．（2020·江蘇省蘇州工業(yè)園區(qū)金雞湖學校八年級月考）如圖，在平面直角坐標系中，已知點A(0，1)、B(0，3)、C(0，1)、D(4，4)，點P為平面內(nèi)一點且滿足PC⊥PB，則線段PD的最大值為（）A．10 B．8 C．7 D．9二、填空題8．（2020·射陽縣第二初級中學）下列說法①直徑是弦；②圓心相同，半徑相同的兩個圓是同心圓；③兩個半圓是等??；④經(jīng)過圓內(nèi)一定點可以作無數(shù)條直徑．正確的是______填序號．9．（2020·江蘇蘇州市·蘇州草橋中學八年級期中）如圖，在平面直角坐標系內(nèi)，以點為圓心，5為半徑作圓，則該圓與軸分別交于點，則三角形的面積為________．10．（2021·江蘇泰州市·）如圖，的直徑，弦，垂足為，，則的長為______．11．（2021·江蘇鹽城市·景山中學八年級期末）如圖，⊙O的半徑是2，AB是⊙O的弦，P是弦AB上的動點，且1≤OP≤2，則弦AB所對的圓心角的度數(shù)是__________．12．（2020·揚州市江都區(qū)國際學校八年級期中）如圖是一個俱樂部的徽章.徽章的圖案是一個金色的圓圈，中間是一個矩形，矩形中間又有一個藍色的菱形，徽章的直徑為10cm，則徽章內(nèi)的菱形的邊長為_____cm．13．（2020·蘇州市吳江區(qū)盛澤第二中學）如圖，AB為的直徑，弦于點H，若，，則OH的長度為__．14．（2020·蘇州市吳江區(qū)盛澤第二中學）已知⊙O的半徑為13cm，弦AB的長為10cm，則圓心O到AB的距離為_____cm．15．（2017·江蘇鹽城市·東臺市實驗中學八年級月考）如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2，點A、C分別在x軸、y軸上，當點A在x軸上運動時，點C隨之在y軸上運動．在運動過程中，點B到原點的最大距離是________16．（2019·沭陽縣修遠中學八年級期末）已知以點C（a，b）為圓心，半徑為r的圓的標準方程為（x－a）2＋（y－b）2＝r2.例如：以A（2，3）為圓心，半徑為2的圓的標準方程為（x－2）2＋（y－3）2＝4，則以原點為圓心，過點P（1，0）的圓的標準方程為____.17．（2019·江蘇揚州市·八年級期中）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，P是直線AB上的動點（不與點B重合），將△BCP沿CP所在的直線翻折，得到△B/CP，連接B/A，B/A長度的最小值是m，B/A長度的最大值是n，則m+n的值等于______.18．（2021·江蘇八年級期末）如圖，在平面直角坐標系中，，，以點為圓心，長為半徑畫弧，交軸的負半軸于點，則點的坐標為__________．19．（2021·江蘇鹽城市·）如圖，在矩形紙片ABCD中，邊AB=12，AD=5，點P為DC邊上的動點（點P不與點D，C重合，將紙片沿AP折疊，則CD′的最小值為___．三、解答題20．（2020·蘇州市吳江區(qū)盛澤第二中學）已知四邊形ABCD為菱形，點E、F、G、H分別為各邊中點，判斷E、F、G、H四點是否在同一個圓上，如果在同一圓上，找到圓心，并證明四點共圓；如果不在，說明理由．21．（2020·蘇州市吳江區(qū)盛澤第二中學）如圖，在△ABC中，已知∠ACB=130°，∠BAC=20°，BC=2，以點C為圓心，CB為半徑的圓交AB于點D，求弦BD的長22．（2020·蘇州市吳江區(qū)盛澤第二中學）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為E，如果AB＝10，CD＝8，求線段AE的長．23．（2019·江蘇揚州市·八年級期中）（1）發(fā)現(xiàn)：如圖1，點A為一動點，點B和點C為兩個定點，且BC=a，AB=b.（a>b）填空：當點A位于______時，線段AC的長取得最小值，且最小值為______(用含a，b的式子表示)（2）應用：點A為線段BC外一動點，且BC=3，AB=1，如圖2所示，分別以AB，AC為邊，作等邊三角形ABD和等邊三角形ACE，連接CD，BE.①請找出圖中與BE相等的線段，并說明理由；②直接寫出線段BE長的最小值.③如圖3所示，分別以AB，AC為邊，作正方形ADEB和正方形ACFG，連接CD，BG.圖中線段CD，BG的關系是____________，線段BG的最大值是__________.24．（2021·江蘇鹽城市·景山中學八年級期末）我們