專項(xiàng)26反比例函數(shù)圖像和性質(zhì)(3大類型)(原卷版+解析)

專項(xiàng)26反比例函數(shù)圖像和性質(zhì)（3大類型）【考點(diǎn)1反比例函數(shù)性質(zhì)】1．若反比例函數(shù)y＝的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，﹣3），則k＝．2．若反比例函數(shù)的圖象在第二、四象限，m的值為．3．已知反比例函數(shù)y＝圖象位于一、三象限，則m的取值范圍是．4．在反比例函數(shù)y＝的圖象的每一支上，y都隨x的增大而增大，則m的取值范圍是．5．已知點(diǎn)A（2，a）、B（b，﹣3）都在函數(shù)的圖象y＝上，若將這個(gè)函數(shù)圖象向左平行3個(gè)單位長(zhǎng)度，則曲線AB所掃過(guò)的圖形的面積是．【考點(diǎn)2反比例大小比較】6．若點(diǎn)A（﹣1，y1）、B（﹣，y2）、C（1，y3）都在反比例函數(shù)y＝（k為常數(shù)）的圖象上，則y1、y2、y3的大小關(guān)系為．7．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y1＝kx+b的圖象與反比例函數(shù)y2＝的圖象交于點(diǎn)A（﹣2，2），B（n，﹣1）．當(dāng)y1＜y2時(shí)，x的取值范圍是．8．如圖，正比例函數(shù)y1＝k1x（k1≠0）與反比例函數(shù)y2＝（k2≠0）的圖象相交于A，B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為1．當(dāng)k1x＜時(shí)，x的取值范圍是．【考點(diǎn)3反比例函數(shù)與其他綜合運(yùn)用】9．在一個(gè)不透明的紙箱內(nèi)裝有形狀、質(zhì)地、大小、顏色完全相同的5張卡片，卡片上分別標(biāo)有數(shù)字﹣3，﹣1，0，1，2，將它們洗勻后，背面朝上，從中隨機(jī)抽取1張，把抽得的數(shù)字記作a，再?gòu)氖Ｏ碌目ㄆ须S機(jī)抽取1張，把抽得的數(shù)字記作b，則使得反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)第一、三象限的概率為．10．反比例函數(shù)y＝（k為整數(shù)，且k≠0）在第一象限的圖象如圖所示，已知圖中點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，1），則k的值是．11．當(dāng)≤x≤2時(shí)，函數(shù)y＝的圖象為曲線段CD，y＝﹣2x﹣b的圖象分別與x軸、y軸交于A、B兩點(diǎn)，若曲線段CD在△AOB的內(nèi)部（且與三條邊無(wú)交點(diǎn)），則b的取值范圍為．12．當(dāng)1≤x≤2時(shí)，反比例函數(shù)y＝（k＞﹣3且k≠0）的最大值與最小值之差是1，則k的值是．13．如圖，曲線AB是拋物線y＝﹣4x2+8x+1的一部分（其中A是拋物線與y軸的交點(diǎn)，B是頂點(diǎn)），曲線BC是雙曲線y＝（k≠0）的一部分．曲線AB與BC組成圖形W．由點(diǎn)C開始不斷重復(fù)圖形W形成一組“波浪線”．若點(diǎn)P（2020，m），Q（x，n），在該“波浪線”上，則m的值為，n的最大值為．14．如圖，在△ABO中，∠ABO＝90°，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，4）．寫出一個(gè)反比例函數(shù)y＝（k≠0），使它的圖象與△ABO有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，這個(gè)函數(shù)的表達(dá)式為．15．如圖，點(diǎn)P（4a，a）是反比例函數(shù)y＝（k＞0）與⊙O的一個(gè)交點(diǎn)，圖中陰影部分的面積為17π，則反比例函數(shù)的解析式為．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，矩形OABC，OA＝2，OC＝1，寫出一個(gè)函數(shù)y＝，使它的圖象與矩形OABC的邊有兩個(gè)公共點(diǎn)，這個(gè)函數(shù)的表達(dá)式可以為（答案不唯一）．17．給定函數(shù)y＝，下列說(shuō)法正確的有．①不等式y(tǒng)＞0的解為：x＜或x＞1；②無(wú)論t為何值，方程y＝t一定有解；③若點(diǎn)（x1、y1），（x2，y2）在該函數(shù)圖象上而且x1＜x2，則y1＞y2；④經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線和該函數(shù)的圖象一定有交點(diǎn)；⑤該函數(shù)的圖象既是中心對(duì)稱圖形，又是軸對(duì)稱圖形．18．函數(shù)y1＝x與y2＝的圖象如圖所示，下列關(guān)于函數(shù)y＝y(tǒng)1+y2的結(jié)論：①函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱；②當(dāng)x＜2時(shí)，y隨x的增大而減??；③當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)的圖象最低點(diǎn)的坐標(biāo)是（2，4），其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是．19．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝x+1與x軸，y軸分別交于點(diǎn)A，B，與反比例函數(shù)y＝的圖象在第一象限交于點(diǎn)C，若AB＝BC，則k的值為．20．已知點(diǎn)A在反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上，點(diǎn)B在x軸正半軸上，若△OAB為等腰三角形，且腰長(zhǎng)為5，則AB的長(zhǎng)為．21．已知點(diǎn)A為直線y＝﹣2x上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作AB∥x軸，交雙曲線y＝于點(diǎn)B．若點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于y軸對(duì)稱，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為．22．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝x與函數(shù)y＝（x＞0）的圖象交于點(diǎn)A，直線y＝x﹣1與函數(shù)y＝（x＞0）的圖象交于點(diǎn)B，與x軸交于點(diǎn)C．若點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是點(diǎn)A的橫坐標(biāo)的2倍，則k的值為．23．已知點(diǎn)A是反比例函數(shù)y＝﹣（x＜0）的圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接OA，若將線段OA繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段OB，則點(diǎn)B所在圖象的函數(shù)關(guān)系式是．24．如圖，△OA1B1，△A1A2B2，△A2A3B3…是分別以A1，A2，A3…為直角頂點(diǎn)，一條直角邊在x軸正半軸上的等腰直角三角形，其斜邊的中點(diǎn)C1，C2，C3…均在反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上，則點(diǎn)A2021的坐標(biāo)為．專項(xiàng)26反比例函數(shù)圖像和性質(zhì)（3大類型）【考點(diǎn)1反比例函數(shù)性質(zhì)】1．若反比例函數(shù)y＝的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，﹣3），則k＝．【答案】﹣6【解答】解：∵反比例函數(shù)y＝的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，﹣3），∴﹣3＝，解得，k＝﹣6，故答案為：﹣6．2．若反比例函數(shù)的圖象在第二、四象限，m的值為．【答案】-2【解答】解：∵是反比例函數(shù)，∴3﹣m2＝﹣1．解得：m＝±2．∵函數(shù)圖象在第二、四象限，∴m+1＜0，解得：m＜﹣1．∴m＝﹣2．故答案為：﹣2．3．已知反比例函數(shù)y＝圖象位于一、三象限，則m的取值范圍是．【答案】m＜6【解答】解：∵反比例函數(shù)y＝圖象位于一、三象限，∴﹣（m﹣6）＞0，解得m＜6．故答案是：m＜6．4．在反比例函數(shù)y＝的圖象的每一支上，y都隨x的增大而增大，則m的取值范圍是．【答案】m＜2【解答】解：依題意得：m﹣2＜0，解得m＜2故答案是：m＜2．5．已知點(diǎn)A（2，a）、B（b，﹣3）都在函數(shù)的圖象y＝上，若將這個(gè)函數(shù)圖象向左平行3個(gè)單位長(zhǎng)度，則曲線AB所掃過(guò)的圖形的面積是．【答案】9【解答】解：將A、B兩點(diǎn)代入函數(shù)解析式，得：a＝﹣6，b＝4，∴A（2、﹣6）、B（4，﹣3），∴向左平行3個(gè)單位長(zhǎng)度后A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A'（﹣1，﹣6），B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B'（1，﹣3）．∴平行四邊形ABB'A'的底＝3，高＝﹣3﹣（﹣6）＝3，∴平行四邊形ABB'A'的面積＝3×3＝9，∴曲線AB所掃過(guò)的圖形的面積＝平行四邊形ABB'A'的面積＝9．故答案為：9．【考點(diǎn)2反比例大小比較】6．若點(diǎn)A（﹣1，y1）、B（﹣，y2）、C（1，y3）都在反比例函數(shù)y＝（k為常數(shù)）的圖象上，則y1、y2、y3的大小關(guān)系為．【答案】y2＜y1＜y3【解答】解：∵反比例函數(shù)y＝（k為常數(shù)），k2+1＞0，∴該函數(shù)圖象在第一、三象限，在每個(gè)象限內(nèi)y隨x的增大而減小，∵點(diǎn)A（﹣1，y1）、B（﹣，y2）、C（1，y3）都在反比例函數(shù)y＝（k為常數(shù)）的圖象上，﹣1＜﹣，點(diǎn)A、B在第三象限，點(diǎn)C在第一象限，∴y2＜y1＜y3，故答案為：y2＜y1＜y3．7．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y1＝kx+b的圖象與反比例函數(shù)y2＝的圖象交于點(diǎn)A（﹣2，2），B（n，﹣1）．當(dāng)y1＜y2時(shí)，x的取值范圍是．【答案】﹣2＜x＜0或x＞4【解答】解：∵反比例函數(shù)y2＝的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣2，2），B（n，﹣1），∴﹣1×n＝（﹣2）×2，∴n＝4．∴B（4，﹣1）．由圖象可知：第二象限中點(diǎn)A的右側(cè)部分和第四象限中點(diǎn)B右側(cè)的部分滿足y1＜y2，∴當(dāng)y1＜y2時(shí)，x的取值范圍是﹣2＜x＜0或x＞4．故答案為：﹣2＜x＜0或x＞4．8．如圖，正比例函數(shù)y1＝k1x（k1≠0）與反比例函數(shù)y2＝（k2≠0）的圖象相交于A，B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為1．當(dāng)k1x＜時(shí)，x的取值范圍是．【答案】0＜x＜1或x＜﹣1【解答】解：由正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的對(duì)稱性可得點(diǎn)B橫坐標(biāo)為﹣1，由圖象可得當(dāng)k1x＜時(shí)，x的取值范圍是0＜x＜1或x＜﹣1．故答案為：0＜x＜1或x＜﹣1．【考點(diǎn)3反比例函數(shù)與其他綜合運(yùn)用】9．在一個(gè)不透明的紙箱內(nèi)裝有形狀、質(zhì)地、大小、顏色完全相同的5張卡片，卡片上分別標(biāo)有數(shù)字﹣3，﹣1，0，1，2，將它們洗勻后，背面朝上，從中隨機(jī)抽取1張，把抽得的數(shù)字記作a，再?gòu)氖Ｏ碌目ㄆ须S機(jī)抽取1張，把抽得的數(shù)字記作b，則使得反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)第一、三象限的概率為．【答案】【解答】解：∵反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)第一、三象限，∴ab＞0，畫樹狀圖得：則共有20種等可能的結(jié)果，ab為正數(shù)的所有可能值為：3，3，2，2；∴使得反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)第一、三象限的概率為＝．故答案為：．10．反比例函數(shù)y＝（k為整數(shù)，且k≠0）在第一象限的圖象如圖所示，已知圖中點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，1），則k的值是．【答案】1【解答】解：假設(shè)點(diǎn)A（2，1）在反比例函數(shù)y＝（k為正整數(shù)）第一象限的圖象上，則1＝，∴k＝2，但是點(diǎn)A在反比例函數(shù)y＝（k為正整數(shù)）第一象限的圖象的上方，∴k＜2，∵k為整數(shù)，且k≠0，k＞0，∴k＝1，故答案為：1．11．當(dāng)≤x≤2時(shí)，函數(shù)y＝的圖象為曲線段CD，y＝﹣2x﹣b的圖象分別與x軸、y軸交于A、B兩點(diǎn)，若曲線段CD在△AOB的內(nèi)部（且與三條邊無(wú)交點(diǎn)），則b的取值范圍為．【答案】b＜﹣【解答】解：反比例函數(shù)y＝，當(dāng)≤x≤2時(shí)，≤y≤2，∵曲線段CD在△AOB的內(nèi)部（且與三條邊無(wú)交點(diǎn)），∴當(dāng)x＝，﹣2×﹣b＞2①，當(dāng)x＝2時(shí)，﹣2×2﹣b＞②，解①得b＜﹣3，解②得b＜﹣，因此，b的取值范圍為b＜﹣．故答案為：b＜﹣．12．當(dāng)1≤x≤2時(shí)，反比例函數(shù)y＝（k＞﹣3且k≠0）的最大值與最小值之差是1，則k的值是．【答案】±2【解答】解：當(dāng)k＞0時(shí)，在其每一象限內(nèi)，反比例函數(shù)y隨x的增大而減?。啵獾胟＝2，當(dāng)﹣3＜k＜0時(shí)，在其每一象限內(nèi)，反比例函數(shù)y隨x的增大而增大．，解得k＝﹣2，綜上所述，k＝±2．答案：±2．13．如圖，曲線AB是拋物線y＝﹣4x2+8x+1的一部分（其中A是拋物線與y軸的交點(diǎn)，B是頂點(diǎn)），曲線BC是雙曲線y＝（k≠0）的一部分．曲線AB與BC組成圖形W．由點(diǎn)C開始不斷重復(fù)圖形W形成一組“波浪線”．若點(diǎn)P（2020，m），Q（x，n），在該“波浪線”上，則m的值為，n的最大值為．【答案】1，5【解答】解：∵y＝﹣4x2+8x+1＝﹣4（x﹣1）2+5，∴當(dāng)x＝0時(shí)，y＝1，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，1），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，5），∵點(diǎn)B（1，5）在y＝的圖象上，∴k＝5，∵點(diǎn)C在y＝的圖象上，點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為5，∴點(diǎn)C的縱坐標(biāo)是1，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（5，1），∵2020÷5＝404，∴P（2020，m）在拋物線y＝﹣4x2+8x+1的圖象上，m＝﹣4×0+8×0+1＝1，∵點(diǎn)Q（x，n）在該“波浪線”上，∴n的最大值是5，故答案為：1，5．14．如圖，在△ABO中，∠ABO＝90°，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，4）．寫出一個(gè)反比例函數(shù)y＝（k≠0），使它的圖象與△ABO有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，這個(gè)函數(shù)的表達(dá)式為．【答案】y＝（答案不唯一）【解答】解：∵∠ABO＝90°，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，4），反比例函數(shù)y＝（k≠0），使它的圖象與△ABO有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，∴這個(gè)函數(shù)的表達(dá)式為：y＝（答案不唯一）．故答案為：y＝（答案不唯一）．15．如圖，點(diǎn)P（4a，a）是反比例函數(shù)y＝（k＞0）與⊙O的一個(gè)交點(diǎn)，圖中陰影部分的面積為17π，則反比例函數(shù)的解析式為．【答案】y＝【解答】解：∵圖中陰影部分的面積為17π，∴圓的面積＝4×17π＝68π，∴圓的半徑＝2，∵P（4a，a）在圓上，∴16a2+a2＝（2）2，解得a＝2或﹣2（舍去），∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（8，2），把P（8，2）代入y＝得k＝8×2＝16，∴反比例函數(shù)的解析式為y＝．故答案為y＝．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，矩形OABC，OA＝2，OC＝1，寫出一個(gè)函數(shù)y＝，使它的圖象與矩形OABC的邊有兩個(gè)公共點(diǎn)，這個(gè)函數(shù)的表達(dá)式可以為（答案不唯一）．【答案】y＝，（答案不唯一，0＜k＜2的任何一個(gè)數(shù)）【解答】解：∵矩形OABC，OA＝2，OC＝1，∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（2，1），當(dāng)函數(shù)y＝（k≠0）過(guò)B點(diǎn)時(shí)，k＝2×1＝2，∴滿足條件的一個(gè)反比例函數(shù)解析式為y＝．故答案為：y＝，（答案不唯一，0＜k＜2的任何一個(gè)數(shù)）；17．給定函數(shù)y＝，下列說(shuō)法正確的有．①不等式y(tǒng)＞0的解為：x＜或x＞1；②無(wú)論t為何值，方程y＝t一定有解；③若點(diǎn)（x1、y1），（x2，y2）在該函數(shù)圖象上而且x1＜x2，則y1＞y2；④經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線和該函數(shù)的圖象一定有交點(diǎn)；⑤該函數(shù)的圖象既是中心對(duì)稱圖形，又是軸對(duì)稱圖形．【答案】①④⑤【解答】解：函數(shù)y＝可化為：y＝＝3+①當(dāng)y＞0時(shí)，或解得：x＞1或x＜故①正確；②∵y＝3+∴y≠3∴當(dāng)t＝3時(shí)，y＝3，方程無(wú)解；故②錯(cuò)誤；③若取x＝0，則y＝1；x＝3，y＝40＜3，1＜4，故③錯(cuò)誤；④∵y＝3+可看作由y＝向右平移一個(gè)單位，再向上平移三個(gè)單位∴經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線和該函數(shù)的圖象一定有交點(diǎn)故④正確；⑤∵y＝既是軸對(duì)稱圖形，也是中心對(duì)稱圖形，y＝3+是y＝平移之后的圖形，故其既是軸對(duì)稱圖形，也是中心對(duì)稱圖形故⑤正確綜上，正確的選項(xiàng)有：①④⑤故答案為：①④⑤．18．函數(shù)y1＝x與y2＝的圖象如圖所示，下列關(guān)于函數(shù)y＝y(tǒng)1+y2的結(jié)論：①函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱；②當(dāng)x＜2時(shí)，y隨x的增大而減小；③當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)的圖象最低點(diǎn)的坐標(biāo)是（2，4），其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是．【答案】①③【解答】解：①由圖象可以看出函數(shù)圖象上的每一個(gè)點(diǎn)都可以找到關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)，故正確；②在每個(gè)象限內(nèi)，不同自變量的取值，函數(shù)值的變化是不同的，故錯(cuò)誤；③y＝x+＝（﹣）2+4≥4，當(dāng)且僅當(dāng)x＝2時(shí)取“＝”．即在第一象限內(nèi)，最低點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，4），故正確；∴正確的有①③．故答案為：①③．19．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝x+1與x軸，y軸分別交于點(diǎn)A，B，與反比例函數(shù)y＝的圖象在第一象限交于點(diǎn)C，若AB＝BC，則k的值為．【答案】2【解答】解：過(guò)點(diǎn)C作CH⊥x軸于點(diǎn)H．∵直線y＝x+1與x軸，y軸分別交于點(diǎn)A，B，∴A（﹣1，0），B（0，1），∴OA＝OB＝1，∵OB∥CH，∴＝＝1，∴OA＝OH＝1，∴CH＝2OB＝2，∴C（1，2），∵點(diǎn)C在y＝的圖象上，∴k＝2，故答案為：2．20．已知點(diǎn)A在反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上，點(diǎn)B在x軸正半軸上，若△OAB為等腰三角形，且腰長(zhǎng)為5，則AB的長(zhǎng)為．【答案】5或2或【解答】解：當(dāng)AO＝AB時(shí)，AB＝5；當(dāng)AB＝BO時(shí)，AB＝5；當(dāng)OA＝OB時(shí)，設(shè)A（a，）（a＞0），B（5，0），∵OA＝5，∴＝5，解得：a1＝3，a2＝4，∴A（3，4）或（4，3），∴AB＝＝2或AB＝＝；綜上所述，AB的長(zhǎng)為5或2或．故答案為：5或2或．21．已知點(diǎn)A為直線y＝﹣2x上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作AB∥x軸，交雙曲線y＝于點(diǎn)B．若點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于y軸對(duì)稱，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為．【答案】（，﹣2）或（﹣，2）【解答】解：因?yàn)辄c(diǎn)A為直線y＝﹣2x上，因此可設(shè)A（a，﹣2a），則點(diǎn)A關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)B（﹣a，﹣2a），由點(diǎn)B在反比例函數(shù)y＝的圖象上可得2a2＝4，解得a＝±所以A（，﹣2）或（﹣，2），故答案為：（，﹣2）或（﹣，2）．22．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝x與函數(shù)y＝（x＞0）的圖象交于點(diǎn)A，直線y＝x﹣1與函數(shù)y＝（x＞0）的圖象交于點(diǎn)B，與x軸交于點(diǎn)C．若點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是點(diǎn)A的橫坐標(biāo)的2倍，則k的值為．【答案】【解答】解：直線y＝x與函數(shù)y＝（x＞0）的圖象交于點(diǎn)A，∴k＞0，設(shè)A（a，a），則B（2a，2a﹣1），代入y＝，，即a＝2a﹣1，解得，a＝，把a(bǔ)＝，代入a＝，得k＝，故答案為：．23．已知點(diǎn)A是反比例函數(shù)y＝﹣（x＜0）的圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接OA，若將線段OA繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段OB，則點(diǎn)B所在圖象的函數(shù)關(guān)系式是．【答案】y＝（x＞0）【解答】解：如圖，∵點(diǎn)A是反比例函數(shù)y＝﹣（x＜0）的圖象上∴