專(zhuān)題15.1分式方程含參問(wèn)題專(zhuān)項(xiàng)講練

專(zhuān)題15.1分式方程含參問(wèn)題專(zhuān)項(xiàng)講練專(zhuān)題1.分式方程的含參問(wèn)題分式方程含參問(wèn)題的解題步驟：①參數(shù)當(dāng)成“常數(shù)”解出分式方程；②根據(jù)“分式方程有增根”、“分式方程有解與無(wú)解”、“分式方程的解為正或負(fù)數(shù)”、“分式方程有整數(shù)解”等類(lèi)型，利用各條件自確定出參數(shù)的取值范圍；注：分式方程含參問(wèn)題特別注意要排除增根的情況。1）根據(jù)分式方程解的情況求待定系數(shù)值或取值范圍（一）有增根解題技巧：含有參數(shù)的分式方程有增根求參數(shù)的一般方法：①解含有參數(shù)的分式方程(用含有參數(shù)的代數(shù)式表示未知數(shù)的值)；②確定增根(最簡(jiǎn)公分母為0)；③將增根的值代入整式方程的解，求出參數(shù)；例1．（2022·陜西·八年級(jí)期末）已知關(guān)于x的分式方程的增根是，則m的值為_(kāi)_______．【答案】8【分析】先將分式方程去分母求得，然后根據(jù)方程的增根為，最后代入求解即可．【詳解】解：方程去分母得：，∴解得，，∵分式方程的增根為，∴，解得，故答案為：8．【點(diǎn)睛】本題考查分式方程的解，熟練掌握分式方程有增根的條件是解題的關(guān)鍵．變式1．（2022·江蘇九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）關(guān)于x的分式方程(其中a為常數(shù))有增根，則增根為_(kāi)____．【答案】．【分析】增根是化為整式方程后產(chǎn)生的不適合分式方程的根．所以應(yīng)先確定增根的可能值，讓最簡(jiǎn)公分母，得到或，然后代入化為整式方程的方程算出的值，檢驗(yàn)是否符合題意即可．【詳解】分式方程的最簡(jiǎn)公分母為x(x﹣2)，去分母得：，

令，得或，

把代入得：整式方程無(wú)解，即分式方程無(wú)解；把代入得：，

綜上，分式方程的增根為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查分式方程的增根的確定方法，確定增根問(wèn)題可按如下步驟進(jìn)行：①讓最簡(jiǎn)公分母為0確定可能的增根；②化分式方程為整式方程；③把可能的增根代入整式方程，檢驗(yàn)是否符合題意，將不合題意的舍去．例2．（2022·廣西賀州市·中考真題）若關(guān)于的分式方程有增根，則的值為（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【分析】根據(jù)分式方程有增根可求出，方程去分母后將代入求解即可.【詳解】解：∵分式方程有增根，∴，去分母，得，將代入，得，解得．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的無(wú)解問(wèn)題，掌握分式方程中增根的定義及增根產(chǎn)生的原因是解題的關(guān)鍵．變式2．（2022·上海市國(guó)和中學(xué)八年級(jí)期中）已知關(guān)于x的分式方程有增根，則m＝_____．【答案】【分析】方程兩邊都乘x4，化為整式方程，解整式方程，根據(jù)方程有增根，可得，即可求得的值．【詳解】方程兩邊都乘x4，得m＝6x∵原方程有增根，∴最簡(jiǎn)公分母x4＝0，解得x＝4，當(dāng)x＝4時(shí)，m＝10，故答案為：10．【點(diǎn)睛】此題主要考查了分式方程的增根，解答此題的關(guān)鍵是要明確：（1）化分式方程為整式方程；（2）把增根代入整式方程即可求得相關(guān)字母的值．例3．（2022·四川省樂(lè)至實(shí)驗(yàn)中學(xué)）若關(guān)于的分式方程有增根，則的值為_(kāi)_______．【答案】【分析】把分式方程化為整式方程，進(jìn)而把可能的增根代入，可得ｋ的值．【詳解】解：去分母得即當(dāng)增根為x=2時(shí)，∴，∴故答案為：．【點(diǎn)睛】考查分式方程的增根問(wèn)題；增根問(wèn)題可按如下步驟進(jìn)行：①讓最簡(jiǎn)公分母為0確定增根；②化分式方程為整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相關(guān)字母的值．變式3．（2022·江西九年級(jí)階段練習(xí)）解關(guān)于x的方程不會(huì)產(chǎn)生增根，則k的值是（）A．2 B．1 C．且 D．無(wú)法確定【答案】C【分析】先將分式方程化為整式方程，解得，根據(jù)題意可得，從而求出k的值．【詳解】解：去分母得，，解得，∵方程不會(huì)產(chǎn)生增根，∴，∴，即．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的增根，增根確定后可按如下步驟進(jìn)行：①化分式方程為整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相關(guān)字母的值．2）根據(jù)分式方程解的情況求待定系數(shù)值或取值范圍（二）無(wú)解與有解解題技巧：含有參數(shù)的分式方程無(wú)解求參數(shù)的一般方法：①將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，并整理成一般形式(ax=b)；②討論整式方程無(wú)解的情況：1）當(dāng)a=0時(shí)，方程滿足無(wú)解；2）當(dāng)a≠0時(shí)，整式方程有解，則討論該解為增根的情況。當(dāng)分式方程無(wú)解時(shí)，既要考慮分式方程有增根的情形，又要考慮整式方程無(wú)解的情形．分式方程有解，特別要注意考慮排除增根的情況。例1．（2022·西安·陜西師大附中）若關(guān)于的分式方程無(wú)解，則的值是________．【答案】【分析】分式方程無(wú)解，即有增根，此時(shí)，解分式方程得，令得解．【詳解】解：將變形為：即：方程兩邊同時(shí)乘以得：去括號(hào)得：移項(xiàng)得：合并同類(lèi)項(xiàng)得：解得：∵分式方程無(wú)解∴，即∴∴故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查的是分式方程的求解以及增根問(wèn)題，根據(jù)相關(guān)知識(shí)點(diǎn)化解求值即可．變式1．（2022·湖南·八年級(jí)階段練習(xí)）若關(guān)于x的方程無(wú)解，則m的值是___________________．【答案】7【分析】將分式方程化簡(jiǎn)，根據(jù)分式方程無(wú)解，得出，即可求出值．【詳解】解：去分母得：移項(xiàng)合并得：因?yàn)樵匠虩o(wú)解，即解得故答案為7．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程，熟練掌握分式方程無(wú)解情況，即分式方程化為一元一次方程，唯一解為增根時(shí)無(wú)解，是解題關(guān)鍵．例2．（2022·日照市九年級(jí)）已知關(guān)于x的方程無(wú)解，則m的值是___．【答案】或1【分析】分方程有增根，增根是化為整式方程后產(chǎn)生的不適合分式方程的根．所以應(yīng)先確定增根的可能值，讓最簡(jiǎn)公分母，得到，然后代入化為整式方程的方程算出m的值和方程沒(méi)有增根兩種情況進(jìn)行討論.【詳解】解：①當(dāng)方程有增根時(shí),方程兩邊都乘，得，∴最簡(jiǎn)公分母，解得，當(dāng)時(shí)，故m的值是1，②當(dāng)方程沒(méi)有增根時(shí),方程兩邊都乘，得，解得，當(dāng)分母為0時(shí)，此時(shí)方程也無(wú)解，∴此時(shí)，解得，∴綜上所述，當(dāng)或1時(shí)，方程無(wú)解.故答案為：或1.【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的的無(wú)解問(wèn)題．增根問(wèn)題可按如下步驟進(jìn)行：①讓最簡(jiǎn)公分母為0確定增根；②化分式方程為整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相關(guān)字母的值④當(dāng)方程吳增根時(shí)一定要考慮求得的方程的解分母為0的情況．變式2．（2022·山東泰安八年級(jí)階段練習(xí)）若關(guān)于x的方程無(wú)解，求m的值．【答案】m的值或或【分析】將原分式方程去分母轉(zhuǎn)換為整式方程，先令一元一次方程無(wú)解得出的值，然后表示出的值，根據(jù)原方程無(wú)解可得，分別代入計(jì)算即可得出結(jié)果．【詳解】解：方程兩邊同時(shí)乘以，得：，整理得：，當(dāng)時(shí)，一元一次方程無(wú)解，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，∵關(guān)于x的方程無(wú)解，∴，當(dāng)時(shí)，解得：；當(dāng)時(shí)，解得：；綜上：m的值或或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式方程的解，分式方程無(wú)解包括轉(zhuǎn)換為整式方程時(shí)一元一次方程無(wú)解和原分式方程的分母為兩種情況，注意分類(lèi)討論．例3．（2022·石家莊市八年級(jí)期末）關(guān)于的分式方程有解，則字母的取值范圍是（）A．或 B． C． D．且【答案】D【分析】先解關(guān)于x的分式方程，求得x的值，然后再依據(jù)“關(guān)于x的分式方程有解”，即x≠0且x≠2建立不等式即可求a的取值范圍．【詳解】解：，去分母得：5（x2）=ax，去括號(hào)得：5x10=ax，移項(xiàng)，合并同類(lèi)項(xiàng)得：（5a）x=10，∵關(guān)于x的分式方程有解，∴5a≠0，x≠0且x≠2，即a≠5，系數(shù)化為1得：，∴且，即a≠5，a≠0，綜上所述：關(guān)于x的分式方程有解，則字母a的取值范圍是a≠5，a≠0，故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查了求分式方程的解，由于我們的目的是求a的取值范圍，根據(jù)方程的解列出關(guān)于a的不等式．另外，解答本題時(shí)，容易漏掉5a≠0，這應(yīng)引起同學(xué)們的足夠重視．變式3．（2022·山東）當(dāng)k取何值時(shí)，分式方程有解？【答案】且【分析】先解分式方程，然后根據(jù)分式方程有解進(jìn)行求解即可得到答案．【詳解】解：∵∴，∴，∵分式方程要有解，∴即且，∴，解得且，故答案為：且．【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)分式方程的解的情況求解參數(shù)，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握分式方程有解的條件．3）根據(jù)分式方程解的情況求待定系數(shù)值或取值范圍（三）解為正或負(fù)數(shù)等解題技巧：用含有參數(shù)的代數(shù)式將方程的解表示出來(lái)，進(jìn)而根據(jù)原方程解的范圍，建立與參數(shù)有關(guān)的關(guān)系式子。（1）方程的解為正值，先求解出含有字母的方程根，令這個(gè)根＞0，再考慮排除增根的情況，求解出字母取值范圍；（2）方程的解為負(fù)值，先求解出含有字母的方程根，令這個(gè)根＜0，再考慮排除增根的情況，求解出字母取值范圍。例1．（2022·四川渠縣·八年級(jí)期末）若關(guān)于的方程的解為正數(shù)，則的取值范圍是_______．【答案】m＜2且m≠4【分析】先解方程求得方程的解，據(jù)方程的解是正數(shù)，即可得到一個(gè)關(guān)于m的不等式，從而求得m的范圍．【詳解】解：∵關(guān)于x的方程有解，∴x2≠0，去分母得：2x+mx+2=0，即x=m2，根據(jù)題意得：m2＞0且m2≠2，解得：m＜2且m≠4．故答案是：m＜2且m≠4．【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式方程的解的符號(hào)的確定，正確求解分式方程是解題的關(guān)鍵．變式1．（2022·湖南·永州市劍橋?qū)W校八年級(jí)階段練習(xí)）如果方程的解是正數(shù)，那么的取值范圍為_(kāi)_____．【答案】且【分析】先將分式方程的解用關(guān)于k的代數(shù)式表示出來(lái)，再結(jié)合題意和分式有意義的條件求解即可．【詳解】解：，∵該分式方程解為正數(shù)和使分式有意義的條件，∴且，∴且．故答案為：且．【點(diǎn)睛】本題考查了分時(shí)方程的解，解決本題的關(guān)鍵是注意分式有意義的條件．例2．（2022·靖江市靖城中學(xué)）已知關(guān)于的分式方程的解是負(fù)數(shù)，則的取值范圍是____．【答案】m<4且m≠3【分析】直接解分式方程，然后根據(jù)分式的解為負(fù)數(shù)，再利用x≠﹣1求出答案．【詳解】解：∵，∴解得：x=m﹣4．∵關(guān)于x的分式方程1的解是負(fù)數(shù)，∴m﹣4＜0，解得：m＜4，當(dāng)x=m﹣4=﹣1時(shí)，方程無(wú)解，則m≠3，故m的取值范圍是：m＜4且m≠3．故答案為m＜4且m≠3．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的解，正確得出分母不為零是解題的關(guān)鍵．變式2．（2022成都·中考模擬）已知關(guān)于的分式方程的解為負(fù)數(shù)，則的取值范圍是.【答案】且．分析：分式方程去分母得：.【解析】∵分式方程解為負(fù)數(shù)，∴.由得和∴的取值范圍是且．考點(diǎn)：1.分式方程的解；2.分式有意義的條件；3.解不等式；4.分類(lèi)思想的應(yīng)用．例3．（2022·遼寧丹東·八年級(jí)期末）關(guān)于的分式方程的解為非負(fù)數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍______．【答案】且【分析】先解得分式方程的解為，再由題意可得≥0，又由x≠3，即可求m的取值范圍．【詳解】解：，方程兩邊同時(shí)乘以x?3，得x＋m?2m＝4（x?3），去括號(hào)得，x?m＝4x?12，移項(xiàng)、合并同類(lèi)項(xiàng)得，3x＝12?m，解得：，∵解為非負(fù)數(shù)，∴≥0，∴m≤12，∵x≠3，∴m≠3，∴m的取值范圍為m≤12且m≠3，故答案為為：m≤12且m≠3．【點(diǎn)睛】本題考查分式方程的解，熟練掌握分式方程的解法，注意增根的情況是解題的關(guān)鍵．變式3．（2022·河南八年級(jí)期末）如果關(guān)于x的方程的解為非負(fù)數(shù)，且關(guān)于x，y的二元一次方程組解滿足，則滿足條件的整數(shù)a有（）個(gè)．A．7 B．6 C．5 D．4【答案】D【分析】先解分式方程求出a的取值范圍，然后由二元一次方程組求出a的范圍，最后求出a的值．【詳解】解：解方程，得，，，但當(dāng)時(shí)，是增根，，，且，由二元一次方程組得，，足，，，，，且，為整數(shù)，滿足條件的整數(shù)a有，，，0，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程與二元一次方程組，能熟練解方程是解題的關(guān)鍵例4．（2022·安徽霍邱·七年級(jí)期末）已知關(guān)于x的分式方程的解滿足2＜x＜5，則k的取值范圍是（）A．﹣7＜k＜14 B．﹣7＜k＜14且k≠0 C．﹣14＜k＜7且k≠0 D．﹣14＜k＜7【答案】C【分析】先解分式方程，然后根據(jù)分式方程的解滿足2＜x＜5和分式有意義的條件進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵，∴，∴，∵分式方程的解滿足2＜x＜5，∴，解得且，故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解一元一次不等式組，解分式方程，分式方程的解，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解．變式4．（2020·湖北荊門(mén)市·中考真題）已知關(guān)于x的分式方程的解滿足，且k為整數(shù)，則符合條件的所有k值的乘積為（）A．正數(shù) B．負(fù)數(shù) C．零 D．無(wú)法確定【答案】A【分析】先解出關(guān)于x的分式方程得到x=，代入求出k的取值，即可得到k的值，故可求解．【詳解】關(guān)于x的分式方程得x=，∵∴解得7＜k＜14∴整數(shù)k為6，5，4，3，2，1，0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，又∵分式方程中x≠2且x≠3∴k≠35且k≠0∴所有符合條件的k中，含負(fù)整數(shù)6個(gè)，正整數(shù)13個(gè)，∴k值的乘積為正數(shù),故選A．【點(diǎn)睛】此題主要考查分式方程與不等式綜合，解題的關(guān)鍵是熟知分式方程的求解方法．4）根據(jù)分式方程解的情況求待定系數(shù)值或取值范圍（四）整數(shù)解問(wèn)題解題技巧：先解分式方程，得到方程的解為某分式值，再根據(jù)分式值為整數(shù)的條件和試值法逐一檢驗(yàn)即可。例1．（2022·四川達(dá)州市·中考真題）若分式方程的解為整數(shù)，則整數(shù)___________．【答案】【分析】直接移項(xiàng)后通分合并同類(lèi)項(xiàng)，化簡(jiǎn)、用來(lái)表示，再根據(jù)解為整數(shù)來(lái)確定的值．【詳解】解：，整理得：若分式方程的解為整數(shù)，為整數(shù)，當(dāng)時(shí)，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)：成立；當(dāng)時(shí)，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)：分母為0沒(méi)有意義，故舍去；綜上:，故答案是：．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程，解題的關(guān)鍵是：化簡(jiǎn)分式方程，最終用來(lái)表示，再根據(jù)解為整數(shù)來(lái)確定的值，易錯(cuò)點(diǎn)，容易忽略對(duì)根的檢驗(yàn)．變式1．（2022·山東棗莊二模）若整數(shù)a使關(guān)于x的分式方程﹣2＝有整數(shù)解，則符合條件的所有a之和為（）A．7 B．11 C．12 D．13【答案】D【分析】根據(jù)分式方程的解為整數(shù)解，即可得出a＝﹣1，1，2，4，7，據(jù)此計(jì)算即可．【詳解】解：解分式方程﹣2＝，得：x＝，∵分式方程的解為整數(shù)，且x≠2，∴當(dāng)a＝﹣1時(shí)，x＝1；當(dāng)a＝1時(shí)，x＝2；當(dāng)a＝2時(shí)，x＝4；當(dāng)a＝4時(shí)，x＝4；當(dāng)a＝5時(shí)，x＝2（不符合題意，故舍去）；當(dāng)a＝7時(shí)，x＝1；故符合條件的所有a之和為：﹣1+1+2+4+7＝13．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的解，注意分式方程中的解要滿足分母不為0的情況．例2．（2022·河南南陽(yáng)·八年級(jí)階段練習(xí)）若實(shí)數(shù)使得關(guān)于的分式方程有正整數(shù)解，則所有滿足條件的的值之和是（

）A．20 B．17 C．15 D．12【答案】C【分析】根據(jù)分式方程有正整數(shù)解，可得的值，即可得到答案．【詳解】解：分式方程，去分母得：，去括號(hào)合并得：，∴，由題意得：，即且是正整數(shù)，∴或或，∴或或，∴所有滿足條件的的值之和為3+4+8=15，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的正整數(shù)解等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是求出的范圍，容易忽略的條件．變式2．（2020·黑龍江穆棱·中考真題）若關(guān)于x的分式方程有正整數(shù)解，則整數(shù)m的值是（）A．3 B．5 C．3或5 D．3或4【答案】D【分析】解帶參數(shù)m的分式方程，得到，即可求得整數(shù)m的值．【解析】解：，兩邊同時(shí)乘以得：，去括號(hào)得：，移項(xiàng)得：，合并同類(lèi)項(xiàng)得：，系數(shù)化為1得：，若m為整數(shù)，且分式方程有正整數(shù)解，則或，當(dāng)時(shí)，是原分式方程的解；當(dāng)時(shí)，是原分式方程的解；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查分式方程的解，始終注意分式方程的分母不為0這個(gè)條件．購(gòu)買(mǎi)方案，方案①：購(gòu)進(jìn)商品65個(gè)、商品15個(gè)；方案②：購(gòu)進(jìn)商品64個(gè)、商品16個(gè)．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程；（2）根據(jù)各數(shù)量之例3．（2022·重慶實(shí)驗(yàn)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校）關(guān)于x的分式方程有整數(shù)解，且關(guān)于y的不等式組有解，則所有滿足條件的正整數(shù)a的和是（）A．6 B．12 C．14 D．20【答案】A【分析】先用a表示出分式方程的解，再根據(jù)整數(shù)解求出a的可能值，然后再通過(guò)不等式組進(jìn)一步確定a的值，最后求和即可．【詳解】解：∵∴y＜，y≥∵關(guān)于y的不等式組有解∴不等式組的解集為≤y＜，∴＜，即a3＜5，可得a＜8由有整數(shù)解,可得：x=,即a為偶數(shù)∵x≠1∴x≠6∵正整數(shù)a∴a=2或a=4∴4+2=6．故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解分式方程、解不等式組等知識(shí)點(diǎn)，正確求解分式方程成為解答本題的關(guān)鍵．變式3．（2022·重慶市育才中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）若關(guān)于x的一元一次不等式組無(wú)解，且關(guān)于y的分式方程的解是整數(shù)，則所有滿足條件的整數(shù)a的值之和為（

）A．6 B．4 C．2 D．1【答案】A【分析】先解不等式組，然后根據(jù)一元一次不等式組無(wú)解確定的取值范圍，最后根據(jù)分式方程的解為正數(shù)確定的值即可解答．【詳解】解：，解不等式①得：，解不等式②得：，∵不等式組無(wú)解，∴，解得：，，去分母得：，解得：且，∴或或或或，∴，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元一次不等式組，分式方程的解，熟練掌握解一元一次不等式組，解分式方程是解題的關(guān)鍵．例4．（2022·重慶中考真題）若關(guān)于x的一元一次不等式組的解集為，且關(guān)于y的分式方程的解是正整數(shù)，則所有滿足條件的整數(shù)a的值之和是（）A．5 B．8 C．12 D．15【答案】B【分析】先計(jì)算不等式組的解集，根據(jù)“同大取大”原則，得到解得，再解分式方程得到，根據(jù)分式方程的解是正整數(shù)，得到，且是2的倍數(shù)，據(jù)此解得所有符合條件的整數(shù)a的值，最后求和．【詳解】解：解不等式①得，，解不等式②得，不等式組的解集為：解分式方程得整理得，則分式方程的解是正整數(shù)，，且是2的倍數(shù)，，且是2的倍數(shù)，整數(shù)a的值為1,1,3,5,故選：．【點(diǎn)睛】本題考查解含參數(shù)的一元一次不等式、解分式方程等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，難度一般，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．變式4．（2022·重慶九年級(jí)階段練習(xí)）若關(guān)于y的不等式組的解集為y≤－4，且關(guān)于x的分式方程的解是非負(fù)整數(shù)，則所有滿足條件的整數(shù)a的值之和是（）A．12 B．14 C．19 D．21【答案】C【分析】先解分式方程得，再由題意可得，且，可求得且而且為3的倍數(shù)，；再解不等式組，結(jié)合題意可得，則可得所有滿足條件的整數(shù)有4，1，5，8，11，求和即可．【詳解】解：，，，，方程的解為非負(fù)整數(shù)，，為整數(shù)，，而且為3的倍數(shù)，又，，，且，而且為3的倍數(shù)，，由①得，由②得，不等式組的解集為y≤－4，∴，∴符合條件的整數(shù)有4，1，5，8，11，符合條件的所有整數(shù)的和為=，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查分式方程的整數(shù)解，一元一次不等式組的解集，熟練掌握一元一次不等式組的解集取法，分式方程的解法，注意分式方程增根的情況是解題的關(guān)鍵．問(wèn)題2.分式方程的應(yīng)用題1）工程問(wèn)題解題技巧：工程問(wèn)題，常設(shè)工程總量為單位“1”，然后利用公式：工作效率×工作時(shí)間=工作總量來(lái)列寫(xiě)等量方程。例1．（2022·廣東·深圳市二模）某工程隊(duì)經(jīng)過(guò)招標(biāo)，中標(biāo)2500米的人才公園跑道翻修任務(wù)，但在實(shí)際開(kāi)工時(shí)．……，求實(shí)際每天修路多少米？在這個(gè)題目中，若設(shè)實(shí)際每天翻修跑道x米，可得方程．則題目中用“……”表示的條件應(yīng)是（

）A．每天比原計(jì)劃多修50米的跑道，結(jié)果延期10天完成B．每天比原計(jì)劃少修50米的跑道，結(jié)果提前10天完成C．每天比原計(jì)劃少修50米的跑道，結(jié)果延期10天完成D．每天比原計(jì)劃多修50米的跑道，結(jié)果提前10天完成【答案】D【分析】根據(jù)分式方程以及題意，求解即可．【詳解】解：由題意可得，實(shí)際每天修路x米，x?50表示計(jì)劃每天修路的長(zhǎng)，則實(shí)際每天比原計(jì)劃多修50米的路，表示計(jì)劃工期，表示實(shí)際工期則表示實(shí)際工期比計(jì)劃工期少10天，即結(jié)果提前10天完成，故選：D【點(diǎn)睛】此題考查了分式方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解分式方程中每個(gè)式子的含義是解題的關(guān)鍵．變式1．（2022·江蘇·泰州市八年級(jí)階段練習(xí)）甲、乙兩名工人加工某種零件，已知甲每天比乙多加工5個(gè)零件，甲加工80個(gè)零件和乙加工70個(gè)零件所用的天數(shù)相同．設(shè)甲每天加工x個(gè)零件，則根據(jù)題意列出的方程是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意列出乙每天加工零件的個(gè)數(shù)x5，由等量關(guān)系式甲加工80個(gè)零件和乙加工70個(gè)零件所用的天數(shù)相同，列出方程即可．【詳解】解：據(jù)題意列出方程得，，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查由實(shí)際問(wèn)題抽象出分式方程，分析題意，找到合適的等量關(guān)系是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．例2．（2022·吉林鐵西·八年級(jí)期末）某危險(xiǎn)品工廠采用甲型、乙型兩種機(jī)器人代替人力搬運(yùn)產(chǎn)品．甲型機(jī)器人比乙型機(jī)器人每小時(shí)多搬運(yùn)10kg，甲型機(jī)器人搬運(yùn)800kg所用時(shí)間與乙型機(jī)器人搬運(yùn)600kg所用時(shí)間相等．問(wèn)乙型機(jī)器人每小時(shí)搬運(yùn)多少kg產(chǎn)品？根據(jù)以上信息，解答下列問(wèn)題．（1）小華同學(xué)設(shè)乙型機(jī)器人每小時(shí)搬運(yùn)kg產(chǎn)品，可列方程為_(kāi)_____．小惠同學(xué)設(shè)甲型機(jī)器人搬運(yùn)800kg所用時(shí)間為小時(shí)，可列方程為_(kāi)_____．（2）請(qǐng)你按照（1）中小華同學(xué)的解題思路，寫(xiě)出完整的解答過(guò)程．【答案】（1）；；（2）乙型機(jī)器人每小時(shí)搬運(yùn)30kg產(chǎn)品，見(jiàn)解析．【分析】（1）設(shè)乙型機(jī)器人每小時(shí)搬運(yùn)xkg產(chǎn)品，則甲型機(jī)器人每小時(shí)搬運(yùn)（x＋10）kg產(chǎn)品，根據(jù)甲型機(jī)器人搬運(yùn)800kg所用時(shí)間與乙型機(jī)器人搬運(yùn)600kg所用時(shí)間相等，即可得出關(guān)于x的分式方程；設(shè)甲型機(jī)器人搬運(yùn)800kg所用時(shí)間為y小時(shí)，根據(jù)甲型機(jī)器人比乙型機(jī)器人每小時(shí)多搬運(yùn)10kg，即可得出關(guān)于y的分式方程；（2）根據(jù)小華同學(xué)的解題思路，解分式方程即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）設(shè)乙型機(jī)器人每小時(shí)搬運(yùn)xkg產(chǎn)品，則甲型機(jī)器人每小時(shí)搬運(yùn)（x＋10）kg產(chǎn)品，

依題意得：；設(shè)甲型機(jī)器人搬運(yùn)800kg所用時(shí)間為y小時(shí)，依題意得：．故答案為：；；（2）設(shè)乙型機(jī)器人每小時(shí)搬運(yùn)kg產(chǎn)品，根據(jù)題意可得：，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)得：是原方程的解，且符合題意，答：乙型機(jī)器人每小時(shí)搬運(yùn)30kg產(chǎn)品．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵．變式2．（2022·吉林·長(zhǎng)春市第八十七中學(xué)九年級(jí)期中）根據(jù)市場(chǎng)需求，某藥廠要加速生產(chǎn)一批藥品，現(xiàn)在平均每天生產(chǎn)藥品比原計(jì)劃平均每天多生產(chǎn)500箱，現(xiàn)在生產(chǎn)6000箱藥品所需時(shí)間與原計(jì)劃生產(chǎn)4500箱藥品所需時(shí)間相同，求原計(jì)劃平均每天生產(chǎn)藥品的箱數(shù)．【答案】原計(jì)劃平均每天生產(chǎn)藥品箱【分析】設(shè)原計(jì)劃平均每天可生產(chǎn)x箱藥品，則現(xiàn)在平均每天可生產(chǎn)箱藥品，根據(jù)工作時(shí)間工作總量工作效率，結(jié)合現(xiàn)在生產(chǎn)箱藥品所需時(shí)間與原計(jì)劃生產(chǎn)箱藥品所需時(shí)間相同，即可得出關(guān)于x的分式方程，求解檢驗(yàn)即可．【詳解】解：設(shè)原計(jì)劃平均每天可生產(chǎn)x箱藥品，則現(xiàn)在平均每天可生產(chǎn)箱藥品，依題意得：，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)是分式方程的根，答：原計(jì)劃平均每天生產(chǎn)藥品箱．【點(diǎn)睛】本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出分式方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵．例3．（2022·河南安陽(yáng)·八年級(jí)期末）某一工程，在工程招標(biāo)時(shí)，接到甲乙兩個(gè)工程隊(duì)的投標(biāo)書(shū)．施工一天需付甲工程隊(duì)工程款1.5萬(wàn)元，付乙工程隊(duì)工程款1.1萬(wàn)元．工程領(lǐng)導(dǎo)們根據(jù)甲乙兩隊(duì)的投標(biāo)書(shū)測(cè)算，可有三種施工方案：方案：甲隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程剛好如期完成；方案：乙隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程比規(guī)定日期多用5天；方案：若甲乙兩隊(duì)合作4天后，余下的工程由乙隊(duì)單獨(dú)做也正好如期完成．在不耽誤工期的前提下，你覺(jué)得哪一種施工方案最節(jié)省工程款？【答案】選擇方案，理由見(jiàn)解析【分析】設(shè)甲單獨(dú)完成這一工程需天，則乙單獨(dú)完成這一工程需天．根據(jù)方案，可列方程得，解方程即可解決問(wèn)題．【詳解】解：設(shè)甲單獨(dú)完成這一工程需天，則乙單獨(dú)完成這一工程需天．根據(jù)方案，可列方程得，解這個(gè)方程得，經(jīng)檢驗(yàn)：是所列方程的根．即甲單獨(dú)完成這一工程需20天，乙單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需25天．所以方案的工程款為（萬(wàn)元），方案的工程款為（萬(wàn)元），但乙單獨(dú)做超過(guò)了日期，因此不能選．方案的工程款為（萬(wàn)元），所以選擇方案．【點(diǎn)睛】本題考查分式方程的應(yīng)用，列分式方程解應(yīng)用題的一般步驟：設(shè)、列、解、驗(yàn)、答．解題的關(guān)鍵是熟練掌握路程＝速度×?xí)r間的關(guān)系，正確尋找等量關(guān)系構(gòu)建方程解決問(wèn)題．變式3．（2022·廣西貴港·八年級(jí)期中）某校改造維修田徑運(yùn)動(dòng)場(chǎng)所，項(xiàng)目承包單位派遣了一號(hào)施工隊(duì)進(jìn)場(chǎng)施工，計(jì)劃用30天完成整個(gè)工程．當(dāng)一號(hào)施工隊(duì)施工10天后，由于實(shí)際需要，要求整個(gè)工程比原計(jì)劃提前8天完成，于是承包單位再派遣二號(hào)施工隊(duì)與一號(hào)施工隊(duì)共同施工，結(jié)果按實(shí)際需要如期完成整個(gè)工程(1)如果二號(hào)施工隊(duì)單獨(dú)施工，完成整個(gè)工程需要多少天？(2)如果一號(hào)、二號(hào)施工隊(duì)同時(shí)進(jìn)場(chǎng)共同施工，完成整個(gè)工程需要多少天？【答案】(1)(2)若由一、二號(hào)施工隊(duì)同時(shí)進(jìn)場(chǎng)施工，完成整個(gè)工程需要18天【分析】（1）設(shè)二號(hào)施工隊(duì)單獨(dú)施工需要x天，根據(jù)題意列出分式方程進(jìn)行求解即可；（2）直接列算式求解即可．【詳解】（1）解：設(shè)二號(hào)施工隊(duì)單獨(dú)施工需要x天，根據(jù)題意得：，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)，是原分式方程的解．答：若由二號(hào)施工隊(duì)單獨(dú)施工，完成整個(gè)工期需要45天．（2）根據(jù)題意得：（天），答：若由一、二號(hào)施工隊(duì)同時(shí)進(jìn)場(chǎng)施工，完成整個(gè)工程需要18天．【點(diǎn)睛】本題考查分式方程的應(yīng)用．根據(jù)題意正確的列出分式方程是解題的關(guān)鍵．注意驗(yàn)根．2）行程問(wèn)題解題技巧：行程問(wèn)題需要注意是相遇問(wèn)題還是追擊問(wèn)題相遇問(wèn)題：（甲速度+乙速度）×?xí)r間=總路程追擊問(wèn)題：（快－慢）×?xí)r間=距離例1．（2022·廣東·佛山市華英學(xué)校三模），兩地相距千米，一輛大汽車(chē)從地開(kāi)出小時(shí)后，又從地開(kāi)出另一輛小汽車(chē)，已知小汽車(chē)的速度是大汽車(chē)速度的倍，結(jié)果小汽車(chē)比大汽車(chē)早分鐘到達(dá)地，求兩種汽車(chē)每小時(shí)各走多少千米．設(shè)大汽車(chē)的速度為，則下面所列方程正確的是（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】設(shè)大汽車(chē)的速度為，則小汽車(chē)的速度為，根據(jù)題意可得，同樣走千米，小汽車(chē)比大汽車(chē)少用小時(shí)，據(jù)此列方程．【詳解】解：設(shè)大汽車(chē)的速度為，則小汽車(chē)的速度為，由題意得，．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出分式方程，解答本題的關(guān)鍵是讀懂題意，設(shè)出未知數(shù)，找出合適的等量關(guān)系，列方程．變式1．（2022·江蘇·濱?？h八巨初級(jí)中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）某中學(xué)組織學(xué)生去離學(xué)校的東山農(nóng)場(chǎng)，先遣隊(duì)與大隊(duì)同時(shí)出發(fā)，先遣隊(duì)的速度是大隊(duì)的速度的1.2倍，若先遣隊(duì)比大隊(duì)早到了，設(shè)大隊(duì)的速度為，可得方程為_(kāi)____________．【答案】【分析】設(shè)大隊(duì)的速度為xkm/h，則先遣隊(duì)的速度為1.2xkm/h，根據(jù)先遣隊(duì)比大隊(duì)早到0.5h列出分式方程求解即可．【詳解】解：設(shè)大隊(duì)的速度為xkm/h，則先遣隊(duì)的速度為1.2xkm/h，根據(jù)題意得：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查分式方程的應(yīng)用，理解題意，正確列出分式方程是解答的關(guān)鍵．例2．（2022·新疆·八年級(jí)期中）一艘輪船在靜水中的最大航速為千米/時(shí)，它沿江以最大航速順流航行千米所用時(shí)間，與以最大航速逆流航行千米所用時(shí)間相等．求江水的流速為多少千米/時(shí)．【答案】16千米/時(shí)【分析】設(shè)江水的流速為千米/時(shí)，根據(jù)題意列出方程，解方程即可求解．【詳解】設(shè)江水的流速為千米/時(shí)，根據(jù)題意得，，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解，答：江水的流速為16千米/時(shí)．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用，根據(jù)題意列出方程是解題的關(guān)鍵．變式2．（2022·河北張家口·初三二模）甲、乙兩船從相距300km的A、B兩地同時(shí)出發(fā)相向而行，甲船從A地順流航行180km時(shí)與從B地逆流航行的乙船相遇，水流的速度為6km/h，若甲、乙兩船在靜水中的速度均為xkm/h，則求兩船在靜水中的速度可列方程為（）A．=B．=C．=D．=【答案】A分析：直接利用兩船的行駛距離除以速度=時(shí)間，得出等式求出答案．【解析】設(shè)甲、乙兩船在靜水中的速度均為xkm/h，則求兩船在靜水中的速度可列方程為：=．故選A．點(diǎn)睛：此題主要考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出分式方程，正確表示出行駛的時(shí)間和速度是解題關(guān)鍵．例3．（2022·河南汝州·）為了響應(yīng)打贏“藍(lán)天保衛(wèi)戰(zhàn)”的號(hào)召，張老師上下班的交通方式由駕車(chē)改為騎自行車(chē)，張老師的家距學(xué)校的路程是8千米；在相同的路線上，駕車(chē)的平均速度是騎自行車(chē)平均速度的3倍，這樣，張老師每天上班要比開(kāi)車(chē)早出發(fā)一小時(shí)，才能按原駕車(chē)時(shí)間到達(dá)學(xué)校．（1）求張老師騎自行車(chē)的平均速度；（2）據(jù)測(cè)算，張老師的汽車(chē)在上下班行駛過(guò)程中平均每小時(shí)碳排放量約為12千克，這樣張老師一天（按一個(gè)往返計(jì)算）可以減少碳排放量多少千克？【答案】（1）千米/時(shí)；（2）12．【分析】（1）設(shè)張老師騎自行車(chē)的平均速度為x千米/時(shí)，則張老師駕車(chē)的平均速度為3x千米/時(shí)，根據(jù)“張老師每天上班要比開(kāi)車(chē)早出發(fā)一小時(shí)，才能按原駕車(chē)時(shí)間到達(dá)學(xué)校．”可列出方程，解出即可；（2）由（1）得到張老師駕車(chē)的平均速度為千米/時(shí)，即可求出張老師一天（按一個(gè)往返計(jì)算）可以減少碳排放量．【詳解】解：（1）設(shè)張老師騎自行車(chē)的平均速度為x千米/時(shí)，則張老師駕車(chē)的平均速度為3x千米/時(shí)，根據(jù)題意得：，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)：是原方程的解，且符合題意，答：張老師騎自行車(chē)的平均速度為千米/時(shí)；（2）由（1）得張老師駕車(chē)的平均速度為千米/時(shí)，∴（千克），即張老師一天（按一個(gè)往返計(jì)算）可以減少碳排放量12千克．【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式方程的應(yīng)用，明確題意，準(zhǔn)確得到等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．變式3．（2022·山西中考真題）太原武宿國(guó)際機(jī)場(chǎng)簡(jiǎn)稱(chēng)“太原機(jī)場(chǎng)”，是山西省開(kāi)通的首條定期國(guó)際客運(yùn)航線．游客從太原某景區(qū)乘車(chē)到太原機(jī)場(chǎng)，有兩條路線可供選擇，路線一：走迎賓路經(jīng)太輸路全程是25千米，但交通比較擁堵；路線二：走太原環(huán)城高速全程是30千米，平均速度是路線一的倍，因此到達(dá)太原機(jī)場(chǎng)的時(shí)間比走路線一少用7分鐘，求走路線一到達(dá)太原機(jī)場(chǎng)需要多長(zhǎng)時(shí)間．【答案】25分鐘【分析】設(shè)走路線一到達(dá)太原機(jī)場(chǎng)需要分鐘，用含x的式子表示路線一、二的速度，再根據(jù)路線二平均速度是路線一的倍列等式計(jì)算即可．【詳解】解：設(shè)走路線一到達(dá)太原機(jī)場(chǎng)需要分鐘．根據(jù)題意，得．解得：．經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解．答：走路線一到達(dá)太原機(jī)場(chǎng)需要25分鐘．【點(diǎn)睛】本題考查分式方程的應(yīng)用，根據(jù)題意找出等量關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，注意分式方程需要驗(yàn)根．3）銷(xiāo)售問(wèn)題解題技巧：銷(xiāo)售問(wèn)題需要抓住的等量關(guān)系式為：利潤(rùn)=售價(jià)－進(jìn)價(jià)利潤(rùn)率=例1．（2020·遼寧朝陽(yáng)市·中考真題）某體育用品商店出售毽球，有批發(fā)和零售兩種售賣(mài)方式，小明打算為班級(jí)購(gòu)買(mǎi)鍵球，如果給每個(gè)人買(mǎi)一個(gè)毽球，就只能按零售價(jià)付款，共需80元；如果小明多購(gòu)買(mǎi)5個(gè)毽球，就可以享受批發(fā)價(jià)，總價(jià)是72元．已知按零售價(jià)購(gòu)買(mǎi)40個(gè)毽球與按批發(fā)價(jià)購(gòu)買(mǎi)50個(gè)毽球付款相同，則小明班級(jí)共有多少名學(xué)生？設(shè)班級(jí)共有x名學(xué)生，依據(jù)題意列方程得（）A．B．C．D．【答案】B【分析】根據(jù)“按零售價(jià)購(gòu)買(mǎi)40個(gè)毽球與按批發(fā)價(jià)購(gòu)買(mǎi)50個(gè)毽球付款相同”建立等量關(guān)系，分別找到零售價(jià)與批發(fā)價(jià)即可列出方程．【詳解】設(shè)班級(jí)共有x名學(xué)生，依據(jù)題意列方程得，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查列分式方程，讀懂題意找到等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．變式1．（2022·北京海淀·清華附中八年級(jí)月考）自帶水杯已成為人們良好的健康衛(wèi)生習(xí)慣．某公司為員工購(gòu)買(mǎi)甲、乙兩種型號(hào)的水杯，用720元購(gòu)買(mǎi)甲種水杯的數(shù)量和用540元購(gòu)買(mǎi)乙種水杯的數(shù)量相同，已知甲種水杯的單價(jià)比乙種水杯的單價(jià)多15元．設(shè)甲種水杯的單價(jià)為元，則列出方程正確的是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)甲種水杯的單價(jià)為元，則乙種水杯的單價(jià)為（15）元，根據(jù)720元購(gòu)買(mǎi)甲種水杯的數(shù)量和用540元購(gòu)買(mǎi)乙種水杯的數(shù)量相同列方程即可得解．【詳解】解：設(shè)甲種水杯的單價(jià)為元，則乙種水杯的單價(jià)為（15）元根據(jù)題意列出方程得：．故選項(xiàng)A．【點(diǎn)睛】本題考查列分式方程解應(yīng)用題，掌握列分式方程解應(yīng)用題的方法與步驟，抓住等量關(guān)系列方程是解題關(guān)鍵．例2．（2022·長(zhǎng)沙市開(kāi)福區(qū)青竹湖湘一外國(guó)語(yǔ)學(xué)校九年級(jí)期中）某學(xué)校計(jì)劃從商店購(gòu)買(mǎi)測(cè)溫槍和洗手液，已知購(gòu)買(mǎi)一個(gè)測(cè)溫槍比購(gòu)買(mǎi)一瓶洗手液多用20元，若用400元購(gòu)買(mǎi)測(cè)溫槍和用160元購(gòu)買(mǎi)洗手液，則購(gòu)買(mǎi)測(cè)溫槍的數(shù)量是購(gòu)買(mǎi)洗手液數(shù)量的一半．（1）求購(gòu)買(mǎi)一個(gè)測(cè)溫槍、一瓶洗手液各需多少元；（2）經(jīng)商談，商店給予該學(xué)校購(gòu)買(mǎi)一個(gè)測(cè)溫槍贈(zèng)送一瓶洗手液的優(yōu)惠，如果該學(xué)校需要洗手液的數(shù)量是測(cè)溫槍數(shù)量的2倍還多8個(gè)，且該學(xué)校購(gòu)買(mǎi)測(cè)溫槍和洗手液的總費(fèi)用不超過(guò)1540元，那么該學(xué)校最多可購(gòu)買(mǎi)多少個(gè)測(cè)溫槍?zhuān)俊敬鸢浮浚?）購(gòu)買(mǎi)一個(gè)測(cè)溫槍需要25元，購(gòu)買(mǎi)一瓶洗手液需要5元；（2）該學(xué)校最多可購(gòu)買(mǎi)50個(gè)測(cè)溫槍?zhuān)痉治觥浚?）設(shè)購(gòu)買(mǎi)一瓶洗手液需要元，則購(gòu)買(mǎi)一個(gè)測(cè)溫槍需要元，根據(jù)“用400元購(gòu)買(mǎi)測(cè)溫槍和用160元購(gòu)買(mǎi)洗手液，則購(gòu)買(mǎi)測(cè)溫槍的數(shù)量是購(gòu)買(mǎi)洗手液數(shù)量的一半．”，可列出方程，解出即可；（2）設(shè)該學(xué)校購(gòu)買(mǎi)個(gè)測(cè)溫槍?zhuān)瑒t購(gòu)買(mǎi)瓶洗手液，根據(jù)“購(gòu)買(mǎi)測(cè)溫槍和洗手液的總費(fèi)用不超過(guò)1540元，”可列出不等式，即可求解．【詳解】（1）設(shè)購(gòu)買(mǎi)一瓶洗手液需要元，則購(gòu)買(mǎi)一個(gè)測(cè)溫槍需要元，依題意，得：，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解，且符合題意，．答：購(gòu)買(mǎi)一個(gè)測(cè)溫槍需要25元，購(gòu)買(mǎi)一瓶洗手液需要5元．（2）設(shè)該學(xué)校購(gòu)買(mǎi)個(gè)測(cè)溫槍?zhuān)瑒t購(gòu)買(mǎi)瓶洗手液，依題意，得：，解得：．答：該學(xué)校最多可購(gòu)買(mǎi)50個(gè)測(cè)溫槍?zhuān)军c(diǎn)睛】本題主要考查了分式方程的應(yīng)用和一元一次不等式的應(yīng)用，明確題意，準(zhǔn)確得到數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．變式2．（2022·吉林鐵西·八年級(jí)期末）某商店計(jì)劃今年的圣誕節(jié)購(gòu)進(jìn)、兩種紀(jì)念品若干件．若花費(fèi)480元購(gòu)進(jìn)的種紀(jì)念品的數(shù)量是花費(fèi)480元購(gòu)進(jìn)種紀(jì)念品的數(shù)量的，已知每件種紀(jì)念品比每件種紀(jì)念品多4元．（1）求一件種紀(jì)念品、一件種紀(jì)念品的進(jìn)價(jià)各是多少元？（2）老板花費(fèi)480元種紀(jì)念品后，以每個(gè)20元的價(jià)格銷(xiāo)售種紀(jì)念品，當(dāng)種紀(jì)念品售出時(shí)，出現(xiàn)了滯銷(xiāo)，于是決定降價(jià)促銷(xiāo)，若要使種紀(jì)念品的銷(xiāo)售利潤(rùn)不低于224元，剩余的種紀(jì)念品每個(gè)售價(jià)至少要多少元？【答案】（1）購(gòu)買(mǎi)一件種紀(jì)念品需16元，購(gòu)買(mǎi)一件種紀(jì)念品需12元；（2）剩余的種紀(jì)念品每個(gè)售價(jià)至少要為14元【分析】（1）設(shè)購(gòu)買(mǎi)一件B種紀(jì)念品需x元，則購(gòu)買(mǎi)一件A種紀(jì)念品需(x+4)

元，根據(jù)數(shù)量=總價(jià)÷單價(jià)，結(jié)合花費(fèi)480元購(gòu)進(jìn)的A種紀(jì)念品的數(shù)量是花費(fèi)480元購(gòu)進(jìn)B種紀(jì)念品的數(shù)量的出關(guān)于x的分式方程，解之經(jīng)檢驗(yàn)后即可得出結(jié)論；（2）設(shè)剩余的B種紀(jì)念品每個(gè)售價(jià)為y元，根據(jù)銷(xiāo)售利潤(rùn)不低于224元，列出關(guān)于y的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）設(shè)購(gòu)買(mǎi)一件種紀(jì)念品需元，則購(gòu)買(mǎi)一件種紀(jì)念品需元，依題意，得：解得：，經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解，且符合題意，∴．答：購(gòu)買(mǎi)一件種紀(jì)念品需16元，購(gòu)買(mǎi)一件種紀(jì)念品需12元．（2）設(shè)剩余的種紀(jì)念品每個(gè)售價(jià)為元依題意，得：解得：答：剩余的種紀(jì)念品每個(gè)售價(jià)至少要為14元．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：(1)找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程；(2)根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式．例3．（2022·重慶一中九年級(jí)階段練習(xí)）“遙知漣水蟹，九月已經(jīng)霜，巨實(shí)黃金重，舒肥白玉香”，金秋時(shí)節(jié)，是吃螃蟹的最佳季節(jié)．某螃蟹經(jīng)銷(xiāo)商出售梭子蟹、青蟹、大閘蟹三種產(chǎn)品．10月1日，梭子蟹、青蟹的銷(xiāo)量之比為，青蟹、大閘蟹的銷(xiāo)量之比為，梭子蟹、青蟹的單價(jià)之比為，大閘蟹的單價(jià)比青餐高．10月8日，隨著假期結(jié)束，梭子蟹、青蟹的購(gòu)買(mǎi)熱度與10月1日相比有所下降，單價(jià)也有所變化，梭子蟹下降的銷(xiāo)量占當(dāng)天三種螃蟹總銷(xiāo)量的，梭子蟹、青蟹的銷(xiāo)量之比為．10月8日，大閘蟹因?yàn)閱蝺r(jià)降低50%，銷(xiāo)量反而有所增長(zhǎng)，結(jié)果發(fā)現(xiàn)，10月8日大閘蟹的銷(xiāo)售額恰好等于10月1日大閘蟹的銷(xiāo)售額，梭子蟹和青蟹在10月8日的總銷(xiāo)售額之比為，梭子蟹兩天的總銷(xiāo)售額與青蟹兩天的總銷(xiāo)售額之比為，則10月8日，梭子蟹與大閘蟹的單價(jià)之比為_(kāi)__________．【答案】【分析】設(shè)10月1日，大閘蟹的銷(xiāo)量為，則青蟹的銷(xiāo)量為，梭子蟹的銷(xiāo)量為，設(shè)梭子蟹的單價(jià)為，則青蟹的單價(jià)為，大閘蟹的單價(jià)為，則10月1日，大閘蟹的銷(xiāo)售額為，青蟹的銷(xiāo)售額為，梭子蟹的銷(xiāo)售額為，由題意得：10月8日，大閘蟹單價(jià)降低50%，即，設(shè)10月8日，大閘蟹的銷(xiāo)量為m，可得在10月8日，大閘蟹的銷(xiāo)量為，設(shè)10月8日，青蟹的銷(xiāo)量為，則梭子蟹的銷(xiāo)量為，即10月8日，青蟹的銷(xiāo)量為，梭子蟹的銷(xiāo)量為，設(shè)10月8日，梭子蟹的單價(jià)為M，青蟹的單價(jià)為N，由題意得：，即10月8日，梭子蟹與大閘蟹的單價(jià)之比為，則問(wèn)題隨之得解．【詳解】∵10月1日，梭子蟹、青蟹的銷(xiāo)量之比為，青蟹、大閘蟹的銷(xiāo)量之比為，∴10月1日，梭子蟹、青蟹、大閘蟹的銷(xiāo)量之比為，∵10月1日，梭子蟹、青蟹的單價(jià)之比為，大閘蟹的單價(jià)比青餐高，∴10月1日，梭子蟹、青蟹、大閘蟹的單價(jià)之比為，設(shè)10月1日，大閘蟹的銷(xiāo)量為，則青蟹的銷(xiāo)量為，梭子蟹的銷(xiāo)量為，設(shè)梭子蟹的單價(jià)為，則青蟹的單價(jià)為，大閘蟹的單價(jià)為，則10月1日，大閘蟹的銷(xiāo)售額為，青蟹的銷(xiāo)售額為，梭子蟹的銷(xiāo)售額為，由題意得：10月8日，大閘蟹單價(jià)降低50%，即，設(shè)10月8日，大閘蟹的銷(xiāo)量為m，由題意得：，解得，即在10月8日，大閘蟹的銷(xiāo)量為，設(shè)10月8日，青蟹的銷(xiāo)量為，則梭子蟹的銷(xiāo)量為，由題意得：，解得，則，即10月8日，青蟹的銷(xiāo)量為，梭子蟹的銷(xiāo)量為，設(shè)10月8日，梭子蟹的單價(jià)為M，青蟹的單價(jià)為N，則在10月8日梭子蟹的總銷(xiāo)售額為，青蟹的總銷(xiāo)售額為，由題意得：，解得：，即10月8日，梭子蟹與大閘蟹的單價(jià)之比為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查應(yīng)用類(lèi)問(wèn)題，重點(diǎn)是假設(shè)未知數(shù)，解題的關(guān)鍵是厘清題中給出的眾多的量之間的關(guān)系．變式3．（2022·黑龍江·哈爾濱市第四十七中學(xué)階段練習(xí)）寧寧的媽媽在市場(chǎng)賣(mài)服裝，平均每天進(jìn)貨費(fèi)用為390元，在扣除每天的成本(進(jìn)貨和租攤位等費(fèi)用)后，寧寧的媽媽把利潤(rùn)(剩余的錢(qián))存入銀行，根據(jù)圖示回答下面的問(wèn)題：(1)寧寧的媽媽每天賣(mài)服裝的成本是多少元錢(qián)；(2)如果按下來(lái)平均每天都能有同樣多的利潤(rùn)，寧寧的媽媽將在一個(gè)月(31天)中獲得的總利潤(rùn)的捐獻(xiàn)給愛(ài)心基金會(huì)，那么寧寧的媽媽這次捐獻(xiàn)了多少元錢(qián)；(3)在(2)的條件下，寧寧的媽媽在月末還要把存入銀行的錢(qián)(捐款之后剩余的錢(qián))全部轉(zhuǎn)到新開(kāi)設(shè)的賬戶上(賬戶里只有這一筆錢(qián))，由于疫情原因，寧寧居家上網(wǎng)課，為保證網(wǎng)課的效果，媽媽用這筆錢(qián)為寧寧購(gòu)買(mǎi)了學(xué)習(xí)用品，已知購(gòu)買(mǎi)打印機(jī)花了帳戶里的，購(gòu)買(mǎi)攝像頭291.3元，網(wǎng)絡(luò)安裝560元，比購(gòu)買(mǎi)電腦少花，此時(shí)賬戶里還有多少錢(qián)．【答案】(1)520元(2)806元(3)3800元【分析】（1）平均每天進(jìn)貨費(fèi)為390元，占平均每天總收入的，攤位費(fèi)占平均每天總收入的，每天成本包括進(jìn)貨費(fèi)和攤位費(fèi)，為元；（2）每天的總收入為元，每天的利潤(rùn)為每天總收入減去成本元，寧寧的媽媽把在一個(gè)月(31天)中獲得的總利潤(rùn)的捐獻(xiàn)給愛(ài)心基金會(huì)，這次捐獻(xiàn)的錢(qián)為元；（3）新賬戶上的錢(qián)為月總利潤(rùn)減去捐獻(xiàn)的款元，設(shè)電腦為x元，，解得，驗(yàn)根是所列方程的解，買(mǎi)電腦花掉2240元，安裝網(wǎng)絡(luò)花掉560元，買(mǎi)攝像頭花掉291.3元，買(mǎi)打印機(jī)花掉了帳戶里的，賬戶里還剩元．（1）解：每天成本：(元)；（2）解：每天總收入：(元)，每天總利潤(rùn)：(元)，月捐獻(xiàn)的款：(元)；（3）解：設(shè)電腦為x元，，，檢驗(yàn)：是原方程的解，新賬戶里的款：(元)，新賬戶里剩余的款：(元)．【點(diǎn)睛】本題主要考查了扇形統(tǒng)計(jì)圖和有理數(shù)的四則運(yùn)算的應(yīng)用，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練掌握扇形統(tǒng)計(jì)圖的意義，按收支的加減關(guān)系列出算式進(jìn)行計(jì)算．4）方案問(wèn)題解題技巧：方案問(wèn)題首先按照一般應(yīng)用題的思路進(jìn)行求解。分別求解出幾種方案各自的情況，然后比較選出最優(yōu)方案。例1．（2022·山東德州·八年級(jí)期末）某商店準(zhǔn)備購(gòu)進(jìn)A、B兩種商品，A種商品每件的進(jìn)價(jià)比B種商品每件的進(jìn)價(jià)多20元，用2000元購(gòu)進(jìn)A種商品和用1200元購(gòu)進(jìn)B種商品的數(shù)量相同．商店將A種商品每件的售價(jià)定為80元，B種商品每件的售價(jià)定為45元．(1)A種商品每件的進(jìn)價(jià)和B種商品每件的進(jìn)價(jià)各是多少元？(2)商店計(jì)劃用不超過(guò)1560元的資金購(gòu)進(jìn)A、B兩種商品共40件，其中A種商品的數(shù)量不低于B種商品數(shù)量的一半，該商店有幾種進(jìn)貨方案？【答案】(1)A種商品每件進(jìn)價(jià)50元，B種商品每件進(jìn)價(jià)30元；(2)商店共有5種進(jìn)貨方案【分析】（1）設(shè)A種商品每件的進(jìn)價(jià)是x元，根據(jù)用2000元購(gòu)進(jìn)A種商品和用1200元購(gòu)進(jìn)B種商品的數(shù)量相同，列分式方程，解出可得結(jié)論；（2）設(shè)購(gòu)買(mǎi)A種商品a件，根據(jù)用不超過(guò)1560元的資金購(gòu)進(jìn)A、B兩種商品共40件，A種商品的數(shù)量不低于B種商品數(shù)量的一半，列不等式組，解出取正整數(shù)可得結(jié)論．【解析】(1)設(shè)A種商品每件進(jìn)價(jià)x元，則B種商品每件進(jìn)價(jià)元，由題意得：，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解，且符合題意，（元），答：A種商品每件進(jìn)價(jià)50元，B種商品每件進(jìn)價(jià)30元．(2)設(shè)購(gòu)買(mǎi)A種商品a件，則B種商件，由題意得：，解得，，∵a為整數(shù)，∴、15、16、17、18，∴商店共有5種進(jìn)貨方案．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程和一元一次不等式組的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是讀懂題意，設(shè)出未知數(shù)，找出合適的等量關(guān)系，列方程可不等式組求解，分式方程要注意檢驗(yàn)．變式1.（2022·河南·初二期中）某市組織學(xué)術(shù)研討會(huì)，需租用客車(chē)接送參會(huì)人員往返賓館和觀摩地點(diǎn)，客車(chē)租賃公司現(xiàn)有座和座兩種型號(hào)的客車(chē)可供租用，已知60座的客車(chē)每輛每天的租金比座的貴元．（1）會(huì)務(wù)組第一天在這家公司租了輛座和輛座的客車(chē)，一天的租金為元，求座和座的客車(chē)每輛每天的租金各是多少元？（2）由于第二天參會(huì)人員發(fā)生了變化，因此會(huì)務(wù)組需重新確定租車(chē)方案，方案：若只租用座的客車(chē)，會(huì)有一輛客車(chē)空出個(gè)座位；方案：若只租用座客車(chē)，正好坐滿且比只租用座的客車(chē)少用兩輛。①請(qǐng)計(jì)算方案的費(fèi)用；②如果你是會(huì)務(wù)組負(fù)責(zé)人，從經(jīng)濟(jì)角度考慮，還有其他方案嗎？【答案】（1）45座的客車(chē)每輛每天的租金為200元，60座的客車(chē)每輛每天的租金為300元；（2）①方案1的費(fèi)用為1200元，方案2的費(fèi)用為1200元；②有，方案為：租用45座的客車(chē)4輛，60座的客車(chē)1輛【分析】（1）設(shè)45座的客車(chē)每輛每天的租金為x元，則60座的客車(chē)每輛每天的租金為（x+100）元，根據(jù)題意可得等量關(guān)系：2輛60座的一天的租金+5輛45座的一天的客車(chē)的租金=一天的租金為1600元；根據(jù)等量關(guān)系列出方程，再解即可；

（2）①設(shè)參會(huì)人員為y人，由題意列出方程，得出y=240，即可求出方案1、2的費(fèi)用；

②方案3：共240人，租用45座的客車(chē)4輛，60座的客車(chē)1輛，求出費(fèi)用=1100元，即可得出結(jié)論．【解析】解：（1）設(shè)45座的客車(chē)每輛每天的租金為x元，則60座的客車(chē)每輛每天的租金為（x+100）元，

則：2（x+100）+5x=1600，解得：x=200，∴x+100=300，

答：45座的客車(chē)每輛每天的租金為200元，60座的客車(chē)每輛每天的租金為300元；

（2）設(shè)參會(huì)人員為y人，由題意得：，解得：y=240，

①方案1的費(fèi)用：（240+30）÷45×200=1200（元），方案2的費(fèi)用：240÷60×300=1200（元），

②有方案3：租用45座的客車(chē)4輛，60座的客車(chē)1輛，理由如下：

共240人，租用45座的客車(chē)4輛，60座的客車(chē)1輛，

費(fèi)用：4×200+300=1100（元）＜1200元，∴最終租車(chē)方案為：租用45座的客車(chē)4輛，60座的客車(chē)1輛．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用以及分式方程的應(yīng)用；根據(jù)題意列出方程是解題的關(guān)鍵．變式2.（2022·內(nèi)蒙古烏?！こ醵谀┰凇半p十二”期間，兩個(gè)超市開(kāi)展促銷(xiāo)活動(dòng)，活動(dòng)方式如下：超市：購(gòu)物金額打9折后，若超過(guò)2000元再優(yōu)惠300元；超市：購(gòu)物金額打8折．某學(xué)校計(jì)劃購(gòu)買(mǎi)某品牌的籃球做獎(jiǎng)品，該品牌的籃球在兩個(gè)超市的標(biāo)價(jià)相同，根據(jù)商場(chǎng)的活動(dòng)方式：（1）若一次性付款4200元購(gòu)買(mǎi)這種籃球，則在商場(chǎng)購(gòu)買(mǎi)的數(shù)量比在商場(chǎng)購(gòu)買(mǎi)的數(shù)量多5個(gè)，請(qǐng)求出這種籃球的標(biāo)價(jià)；（2）學(xué)校計(jì)劃購(gòu)買(mǎi)100個(gè)籃球，請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)購(gòu)買(mǎi)方案，使所需的費(fèi)用最少．（直接寫(xiě)出方案）【答案】（1）這種籃球的標(biāo)價(jià)為每個(gè)50元；（2）見(jiàn)解析【分析】（1）設(shè)這種籃球的標(biāo)價(jià)為每個(gè)x元，根據(jù)題意可知在B超市可買(mǎi)籃球個(gè)，在A超市可買(mǎi)籃球個(gè)，根據(jù)在B商場(chǎng)比在A商場(chǎng)多買(mǎi)5個(gè)列方程進(jìn)行求解即可；（2）分情況，單獨(dú)在A超市買(mǎi)100個(gè)、單獨(dú)在B超市買(mǎi)100個(gè)、兩家超市共買(mǎi)100個(gè)進(jìn)行討論即可得.【解析】（1）設(shè)這種籃球的標(biāo)價(jià)為每個(gè)x元，依題意，得，解得：x=50，經(jīng)檢驗(yàn)：x=50是原方程的解，且符合題意，答：這種籃球的標(biāo)價(jià)為每個(gè)50元；（2）購(gòu)買(mǎi)100個(gè)籃球，最少的費(fèi)用為3850元，單獨(dú)在A超市一次買(mǎi)100個(gè)，則需要費(fèi)用：100×50×0.9300=4200元，在A超市分兩次購(gòu)買(mǎi)，每次各買(mǎi)50個(gè)，則需要費(fèi)用：2（50×50×0.9300）=3900元，單獨(dú)在B超市購(gòu)買(mǎi)：100×50×0.8=4000元，在A、B兩個(gè)超市共買(mǎi)100個(gè)，根據(jù)A超市的方案可知在A超市一次購(gòu)買(mǎi)：=44，即購(gòu)買(mǎi)45個(gè)時(shí)花費(fèi)最小，為45×50×0.9300=1725元，兩次購(gòu)買(mǎi)，每次各買(mǎi)45個(gè)，需要1725×2=3450元，其余10個(gè)在B超市購(gòu)買(mǎi)，需要10×50×0.8=400元，這樣一共需要3450+400=3850元，綜上可知最少費(fèi)用的購(gòu)買(mǎi)方案：在A超市分兩次購(gòu)買(mǎi)，每次購(gòu)買(mǎi)45個(gè)籃球，費(fèi)用共為3450元；在B超市購(gòu)買(mǎi)10個(gè)，費(fèi)用400元，兩超市購(gòu)買(mǎi)100個(gè)籃球總費(fèi)用3850元.【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用，弄清題意，找準(zhǔn)等量關(guān)系列出方程是解題的關(guān)鍵.例2．（2022·湖南長(zhǎng)沙·八年級(jí)期末）某電腦公司經(jīng)銷(xiāo)甲種型號(hào)電腦，受市場(chǎng)影響，電腦價(jià)格不斷下降．今年三月份的電腦售價(jià)比去年同期每臺(tái)降價(jià)500元，如果賣(mài)出相同數(shù)量的電腦，去年銷(xiāo)售額為90000元，今年銷(xiāo)售額只有80000元．(1)今年三月份甲種電腦每臺(tái)售價(jià)多少元？(2)為了提高收入，電腦公司決定增加經(jīng)銷(xiāo)乙種型號(hào)電腦，已知甲種電腦每臺(tái)進(jìn)價(jià)為3500元，乙種電腦每臺(tái)進(jìn)價(jià)為3000元，公司預(yù)計(jì)用不多于66000元且不少于64000元的資金購(gòu)進(jìn)這兩種電腦共20臺(tái)，問(wèn)有幾種進(jìn)貨方案？(3)如果乙種電腦每臺(tái)售價(jià)為3700元，為擴(kuò)大乙種電腦的銷(xiāo)量，公司決定每售出一臺(tái)乙種電腦，返還顧客現(xiàn)金元，要使（2）中所有方案獲利相同，值應(yīng)是多少？【答案】(1)今年三月份甲種電腦每臺(tái)售價(jià)4000元(2)一共有5種進(jìn)貨方案(3)的值為200【分析】（1）設(shè)今年三月份甲種電腦每臺(tái)售價(jià)元，則去年每臺(tái)元，然后由賣(mài)出相同數(shù)量的電腦，而去年銷(xiāo)售額為90000元，今年銷(xiāo)售額只有80000元列出方程求解即可；（2）設(shè)購(gòu)甲種電腦臺(tái)，則乙種電腦臺(tái)，然后由甲種電腦每臺(tái)進(jìn)價(jià)為3500元，乙種電腦每臺(tái)進(jìn)價(jià)為3000元，公司預(yù)計(jì)用不多于66000元且不少于64000元的資金購(gòu)進(jìn)這兩種電腦共20臺(tái)，列出不等式求解即可得到答案；（3）設(shè)甲種電腦臺(tái)，總獲利為元，然后根據(jù)題意求出關(guān)系式，再由使（2）中所有方案獲利相同，求解即可．【解析】(1)設(shè)今年三月份甲種電腦每臺(tái)售價(jià)元，則去年每臺(tái)元．依題意，得：，解得．檢驗(yàn)可知是方程的解，且符合題意．答：今年三月份甲種電腦每臺(tái)售價(jià)4000元．(2)設(shè)購(gòu)甲種電腦臺(tái)，則乙種電腦臺(tái)．依題意，得：，解得：．∵為正整數(shù)，∴，9，10，11，12∴共有5種進(jìn)貨方案．答：一共有5種進(jìn)貨方案；(3)設(shè)甲種電腦臺(tái)，總獲利為元．則：．∵要使（2）中所有方案獲利相同，∴的結(jié)果與無(wú)關(guān)，∴，∴．∴購(gòu)買(mǎi)甲種電腦8臺(tái)，乙種電腦12臺(tái)時(shí)對(duì)公司更有利答：的值為200．【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式方程的實(shí)際應(yīng)用，一元一次不等式組的實(shí)際應(yīng)用，函數(shù)關(guān)系式的使用，解題的關(guān)鍵在于能夠準(zhǔn)確讀懂題意，找到等量關(guān)系與不等關(guān)系，列出分式方程與不等式求解即可．變式3．（2022·湖南·長(zhǎng)沙市八年級(jí)開(kāi)學(xué)考試）2022年冬奧會(huì)吉祥物冰墩墩一夜之間火遍全球，各種冰墩墩的玩偶，掛件，燈飾等應(yīng)運(yùn)而生．某學(xué)校決定購(gòu)買(mǎi)A，B兩種型號(hào)的冰墩墩飾品作為紀(jì)念品，已知A種比B種每件多25元，預(yù)算資金為1700元：其中800元購(gòu)買(mǎi)A種商品，其余資金購(gòu)買(mǎi)B種商品，且購(gòu)買(mǎi)B種的數(shù)量是A種的3倍．(1)求A，B兩種飾品的單價(jià)．(2)購(gòu)買(mǎi)當(dāng)日，正逢開(kāi)學(xué)季搞促銷(xiāo)，所有商品均按原價(jià)八折銷(xiāo)售，學(xué)校調(diào)整了購(gòu)買(mǎi)方案：不超過(guò)預(yù)算資金且購(gòu)買(mǎi)A種飾品的資金不少于720元，A，B兩種飾品共100件：?jiǎn)栙?gòu)買(mǎi)A，B兩種飾品有哪幾種方案？【答案】(1)A飾品的單價(jià)為40元，B飾品的單價(jià)為15元．(2)有三種方案：①購(gòu)買(mǎi)A型號(hào)飾品23件，B型號(hào)飾品77件；②購(gòu)買(mǎi)A型號(hào)飾品24件，B型號(hào)飾品76件；③購(gòu)買(mǎi)A型號(hào)飾品25件，B型號(hào)飾品75件．【分析】（1）設(shè)A飾品的單價(jià)為x元，則B獎(jiǎng)品的單價(jià)為（）元，根據(jù)購(gòu)買(mǎi)A，B兩種型號(hào)的冰墩墩飾品的金額可計(jì)算可購(gòu)買(mǎi)A，B兩種型號(hào)飾品的數(shù)量，由購(gòu)買(mǎi)B種的數(shù)量是A種的3倍這一條件建立方程求解即可．（2）設(shè)購(gòu)買(mǎi)A飾品的數(shù)量為m件，購(gòu)買(mǎi)B飾品的數(shù)量為件，由題意建立不等式組，求m的取值范圍，再根據(jù)m為正整數(shù)確定購(gòu)買(mǎi)A，B兩種型號(hào)飾品的數(shù)量即可獲得購(gòu)買(mǎi)方案．【解析】(1)設(shè)A飾品的單價(jià)為x元，則B獎(jiǎng)品的單價(jià)為（）元，由題意可得：，解得經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解，則答：A飾品的單價(jià)為40元，B飾品的單價(jià)為15元．(2)設(shè)購(gòu)買(mǎi)A飾品的數(shù)量為m件，則購(gòu)買(mǎi)B飾品的數(shù)量為件，由題意得：，解得，∵m為正整數(shù)，∴m的值為23，24，25，∴有三種方案：①購(gòu)買(mǎi)A型號(hào)飾品23件，B型號(hào)飾品77件；②購(gòu)買(mǎi)A型號(hào)飾品24件，B型號(hào)飾品76件；③購(gòu)買(mǎi)A型號(hào)飾品25件，B型號(hào)飾品75件．【點(diǎn)睛】本題考查了利用分式方程和不等式組解決實(shí)際問(wèn)題，根據(jù)題意找到相應(yīng)數(shù)量關(guān)系，準(zhǔn)確列出分式方程和不等式組是解題關(guān)鍵．變式4．（2022·山東濟(jì)南·二模）濟(jì)南某社區(qū)為倡導(dǎo)健康生活，推進(jìn)全民健身，去年購(gòu)進(jìn)A，B兩種健身器材若干件．經(jīng)了解，B種健身器材的單價(jià)是A種健身器材的1.5倍，用6000元購(gòu)買(mǎi)A種健身器材比用3600元購(gòu)買(mǎi)B種健身器材多15件．(1)A，B兩種健身器材的單價(jià)分別是多少元？(2)若今年兩種健身器材的單價(jià)和去年保持不變，該社區(qū)計(jì)劃再購(gòu)進(jìn)A，B兩種健身器材共60件，且B種健身器材的數(shù)量不少于A種健身器材的4倍，請(qǐng)你確定一種購(gòu)買(mǎi)方案使得購(gòu)進(jìn)A，B兩種健身器材的費(fèi)用最少．【答案】(1)A，B兩種健身器材的單價(jià)分別是240元，360元(2)購(gòu)買(mǎi)A種健身器材12件B種健身器材48件時(shí)費(fèi)用最小【分析】（1）設(shè)A種健身器材的單價(jià)為x元/件，B種健身器材的單價(jià)為1.5x元/件，根據(jù)“用6000元購(gòu)買(mǎi)A種健身器材比用3600元購(gòu)買(mǎi)B種健身器材多15件”，列出分式方程，解之即可得出結(jié)論；（2）設(shè)購(gòu)買(mǎi)A種健身器材m件，則購(gòu)買(mǎi)B種的健身器材（60m）件，B種健身器材的數(shù)量不少于A種健身器材的4倍列出不等式和購(gòu)買(mǎi)兩種器材的費(fèi)用列出函數(shù)關(guān)系式然后進(jìn)行討論即可．【解析】(1)設(shè)A種健身器材的單價(jià)為x元，B種健身器材的單價(jià)為1.5x元，根據(jù)題意得：﹣＝15，解得：x＝240，經(jīng)檢驗(yàn)x＝240是原方程的解，且符合題意，則1.5×240＝360（元），答：A，B兩種健身器材的單價(jià)分別是240元，360元；(2)設(shè)購(gòu)買(mǎi)A種型號(hào)健身器材m件，則購(gòu)買(mǎi)B種型號(hào)的健身器材（60﹣m）件，總費(fèi)用為y元，根據(jù)題意得：，解得：0≤x≤12，y＝240m+360（60﹣m）＝﹣120m+21600，∵﹣120＜0，∴y隨m的增大而減小，∴當(dāng)m取最大值12時(shí)，即購(gòu)買(mǎi)A種器材12件，購(gòu)買(mǎi)B種健身器材60﹣12＝48件時(shí)y最?。穑嘿?gòu)買(mǎi)A種健身器材12件B種健身器材48件時(shí)費(fèi)用最小．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用和分式方程的應(yīng)用，關(guān)鍵是找準(zhǔn)數(shù)量關(guān)系列出方程和函數(shù)關(guān)系式以及m的取值范圍．課后專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練11．（2022·四川宜賓市·中考真題）若關(guān)于x的分式方程有增根，則m的值是（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2【答案】C【分析】先把分式方程化為整式方程，再把增根x=2代入整式方程，即可求解．【詳解】解：，去分母得：，∵關(guān)于x的分式方程有增根，增根為：x=2，∴，即：m=2，故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查解分式方程以及分式方程的增根，把分式方程化為整式方程是解題的關(guān)鍵．2．（2022·廣東順德德勝學(xué)校八年級(jí)階段練習(xí)）關(guān)于x的方程無(wú)解，則a的值為（

）A．1 B．3 C．1或 D．1或3【答案】D【分析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，再分整式方程無(wú)解和整式方程的解是分式方程的增根兩種情況進(jìn)行討論，即可得出答案．【詳解】解：分式方程去分母得：，整理得：，當(dāng)a?1＝0，即a＝1時(shí)，此時(shí)整式方程無(wú)解，分式方程無(wú)解；當(dāng)a?1≠0，即a≠1時(shí)，由得x＝，若此時(shí)分式方程無(wú)解，則分式方程有增根，即，增根為x＝2，∴，解得：a＝3，∴關(guān)于x的方程無(wú)解時(shí)，則a的值為1或3，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程無(wú)解問(wèn)題，理解分式方程無(wú)解有整式方程無(wú)解和整式方程的解是分式方程的增根兩種情況是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．3．（2020·黑龍江鶴崗·中考真題）已知關(guān)于的分式方程的解為非正數(shù)，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】表示出分式方程的解，由解為非正數(shù)得出關(guān)于k的不等式，解出k的范圍即可．【解析】解：方程兩邊同時(shí)乘以得：，∴，∴，∴，∵解為非正數(shù)，∴，∴，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的解及解一元一次不等式，熟練掌握分式方程的解法和一元一次不等式的解法是解題的關(guān)鍵．4．（2022·山東九年級(jí)階段練習(xí)）關(guān)于x的分式方程的解為正數(shù)，則a的取值范圍為（

）A．a(chǎn)＜5 B．a(chǎn)＞5 C．a(chǎn)＜5且a≠3 D．a(chǎn)＜5且a≠2【答案】C【分析】先去分母，然后得出方程的解，進(jìn)而根據(jù)題意可列出不等式進(jìn)行求解．【詳解】解：由分式方程可得：，∵該分式方程的解為正數(shù)，∴，且，解得：且；故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查分式方程及一元一次不等式，熟練掌握分式方程的解法是解題的關(guān)鍵．5．（2022·四川·威遠(yuǎn)縣八年級(jí)期中）若關(guān)于x的方程＝1的解是負(fù)數(shù)，則a的取值范圍是（）A．a(chǎn)＜2 B．a(chǎn)＞2 C．a(chǎn)＜2，且a≠﹣4 D．a(chǎn)＞2，且a≠4【答案】C【分析】先用a表示出分式方程的根，再根據(jù)方程的根為負(fù)數(shù)以及分式有意義的條件即可求解．【詳解】解分式方程，得，∵分式方程的解為負(fù)數(shù)，且，∴，，解得，且，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了解分式方程以及分式有意義的條件等知識(shí)，正確用a表示出分式方程的解是解答本題的關(guān)鍵．6．（2022·重慶實(shí)驗(yàn)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校八年級(jí)階段練習(xí)）若整數(shù)a滿足關(guān)于x的分式方程的解為非負(fù)整數(shù)，且使關(guān)于y的不等式組的解集為，則符合條件的所有整數(shù)a的和為（

）A．5 B．8 C．9 D．12【答案】C【分析】先解分式方程，用含有a的代數(shù)式表示方程的解，再根據(jù)解為非負(fù)數(shù)求出a的范圍，然后根據(jù)不等式組的解集求出a的范圍，進(jìn)而得出答案．【詳解】解:，解得，且，∵原方程得解為非負(fù)數(shù)，∴，且，解得，且．解不等式組，解不等式①得：解不等式②得：∴，∵使關(guān)于y的不等式組的解集為，∴解得，所以，且．可知?jiǎng)t．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式方程的解，不等式組的解集，及如何解分式方程，解不等式組，注意：解分式方程時(shí)分式的分母不等于0．7．（2020·山東濰坊·中考真題）若關(guān)于x的分式方程有增根，則_________．【答案】．【分析】先把分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，然后由分式方程有增根求出的值，代入到轉(zhuǎn)化以后的整式方程中計(jì)算即可求出的值．【解析】解：去分母得：，整理得：，∵關(guān)于的分式方程有增根，即，∴，把代入到中得：，解得：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用增根求字母的值，增根就是使最簡(jiǎn)公分母為零的未知數(shù)的值；解決此類(lèi)問(wèn)題的步驟：①化分式方程為整式方程；②讓最簡(jiǎn)公分母等于零求出增根的值；③把增根代入到整式方程中即可求得相關(guān)字母的值．8．（2022·西藏·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）若關(guān)于x的分式方程有整數(shù)解，整數(shù)m的值是_____．【答案】4或3或0【分析】首先化分式方程為整式方程，然后解整式方程，最后討論整數(shù)解即可求解．【詳解】解：，∴mx﹣1﹣1＝2（x﹣2），∴x＝﹣，而分式方程有整數(shù)解，∴m﹣2＝1，m﹣2＝﹣1，m﹣2＝2，m﹣2＝﹣2，但是m﹣2＝﹣1時(shí)，x＝2，是分式方程的增根，不合題意，舍去∴m﹣2＝1，m﹣2＝2，m﹣2＝﹣2，∴m＝4，m＝3，m＝0．故答案為：m＝4，m＝3，m＝0．【點(diǎn)睛】此題主要考查了解分式方程，其中：（1）解分式方程的基本思想是“轉(zhuǎn)化思想”，把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要驗(yàn)根．9．（2022·江蘇·泰州八年級(jí)階段練習(xí)）若關(guān)于x的分式方程有正整數(shù)解，則整數(shù)m為_(kāi)_____．【答案】0、1【分析】解分式方程，得x＝，因?yàn)榉质椒匠逃姓麛?shù)解，進(jìn)而可得整數(shù)m的值．【詳解】解：解分式方程，得x＝，因?yàn)榉质椒匠逃姓麛?shù)解，所以≠1，即可m≠3，則整數(shù)m的值是0、1．故答案為0、1．【點(diǎn)睛】本題考查分式方程的解和解分式方程，理解方程的解的概念是解題關(guān)鍵．10．（2022·石家莊市八年級(jí)期末）關(guān)于的分式方程有解，則字母的取值范圍是【答案】且【分析】先解關(guān)于x的分式方程，求得x的值，然后再依據(jù)“關(guān)于x的分式方程有解”，即x≠0且x≠2建立不等式即可求a的取值范圍．【詳解】解：，去分母得：5（x2）=ax，去括號(hào)得：5x10=ax，移項(xiàng)，合并同類(lèi)項(xiàng)得：（5a）x=10，∵關(guān)于x的分式方程有解，∴5a≠0，x≠0且x≠2，即a≠5，系數(shù)化為1得：，∴且，即a≠5，a≠0，綜上所述：關(guān)于x的分式方程有解，則字母a的取值范圍是a≠5，a≠0．【點(diǎn)睛】此題考查了求分式方程的解，由于我們的目的是求a的取值范圍，根據(jù)方程的解列出關(guān)于a的不等式．另外，解答本題時(shí)，容易漏掉5a≠0，這應(yīng)引起同學(xué)們的足夠重視．11．（2022·廣東·深圳市坪山區(qū)弘金地學(xué)校八年級(jí)期中）若整數(shù)使關(guān)于的不等式組有且只有個(gè)整數(shù)解，且使關(guān)于的方程的解為非負(fù)數(shù)，則滿足條件的整數(shù)有______．【答案】，，，【分析】解不等式組，根據(jù)其整數(shù)解的個(gè)數(shù)確定a的取值范圍，解分式方程，根據(jù)其解的非負(fù)性確定a的取值范圍，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：解不等式組得：，不等式組有且只有個(gè)整數(shù)解，，解得：，整理分式方程，得：，方程兩邊同時(shí)乘以，得：，解得：，分式方程的解為非負(fù)數(shù)，且，且，解得：且，滿足條件的整數(shù)有，，，，【點(diǎn)睛】本題考查解一元一次不等式組，解分式方程，掌握解不等式組和解方程的步驟準(zhǔn)確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．課后專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練21．（2020·四川綿陽(yáng)市·中考真題）甲、乙二人同駕一輛車(chē)出游，各勻速行駛一半路程，共用3小時(shí)，到達(dá)目的地后，甲對(duì)乙說(shuō)：“我用你所花的時(shí)間，可以行駛180km”，乙對(duì)甲說(shuō)：“我用你所花的時(shí)間，只能行駛80km”．從他們的交談中可以判斷，乙駕車(chē)的時(shí)長(zhǎng)為（）A．1.2小時(shí) B．1.6小時(shí) C．1.8小時(shí) D．2小時(shí)【答案】C【分析】設(shè)乙駕車(chē)時(shí)長(zhǎng)為x小時(shí)，則甲駕車(chē)時(shí)長(zhǎng)為（3﹣x）小時(shí)，根據(jù)兩人對(duì)話可知：甲的速度為km/h，乙的速度為km/h，根據(jù)“各勻速行駛一半路程”列出方程求解即可．【詳解】解：設(shè)乙駕車(chē)時(shí)長(zhǎng)為x小時(shí)，則甲駕車(chē)時(shí)長(zhǎng)為（3﹣x）小時(shí)，根據(jù)兩人對(duì)話可知：甲的速度為km/h，乙的速度為km/h，根據(jù)題意得：，解得：x1＝1.8或x2＝9，經(jīng)檢驗(yàn)：x1＝1.8或x2＝9是原方程的解，x2＝9不合題意，舍去，故答案為：C．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是正確理解題意，熟練掌握速度時(shí)間和路程之間的關(guān)系，找到題意中的等量關(guān)系．2．（2022·浙江·義烏市七年級(jí)階段練習(xí)）同學(xué)聚餐預(yù)定的酒席價(jià)格為2400元，但有兩位同學(xué)因時(shí)間沖突缺席，若總費(fèi)用由實(shí)際參加的人平均分?jǐn)?，則每人比原來(lái)多支付40元，設(shè)原來(lái)有x人參加聚餐，由題意可列方程（）A．B．C．D．【答案】D【分析】設(shè)原來(lái)有x人參加聚餐，則實(shí)際有（x﹣2）人參加聚餐，根據(jù)“總費(fèi)用由實(shí)際參加的人平均分?jǐn)?，則每人比原來(lái)多支付40元”列出方程，此題得解．【詳解】解：設(shè)原來(lái)有x人參加聚餐，則實(shí)際有（x﹣2）人參加聚餐，根據(jù)題意，得．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查由實(shí)際問(wèn)題抽象出分式方程，找到關(guān)鍵描述語(yǔ)，找到合適的等量關(guān)系是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．3．（2022·浙江嘉興·一模）某文具店分別用400元和600元兩次購(gòu)進(jìn)同一款筆記本，兩次進(jìn)價(jià)相同，而且第二次數(shù)量比第一次多50本．若設(shè)該文具店第一次購(gòu)進(jìn)x本，根據(jù)題意，列方程正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)“第一次購(gòu)進(jìn)的單價(jià)=第二次購(gòu)進(jìn)的單價(jià)”可列方程．【詳解】解：設(shè)該文具店第一次購(gòu)進(jìn)x本，則第二次購(gòu)進(jìn)(x+50)本，根據(jù)題意可列方程：，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出分式方程，解答本題的關(guān)鍵是讀懂題意，設(shè)出未知數(shù)，找出合適的等量關(guān)系，列方程．4．（2022·山西·大同市九年級(jí)期中）隨著晉商博物院的開(kāi)放，學(xué)校組織學(xué)生們?nèi)ゾ嚯x學(xué)校6千米的晉商博物館參觀，一部分同學(xué)步行先走，過(guò)了15分鐘后，其余同學(xué)騎自行車(chē)出發(fā)，結(jié)果他們同時(shí)到達(dá)．已知騎自行車(chē)的速度是步行速度的倍，求步行的速度和騎自行車(chē)的速度各是多少，設(shè)步行的速度為千米/時(shí)，根據(jù)題意，列出的方程為_(kāi)_____．【答案】【分析】設(shè)步行的速度為千米/時(shí)，則騎自行車(chē)的速度是千米/時(shí)，根據(jù)題意，列出方程，即可求解．【詳解】解：設(shè)步行的速度為千米/時(shí)，則騎自行車(chē)的速度是千米/時(shí)，根據(jù)題意得：．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查實(shí)際問(wèn)題抽象出分式方程，讀懂題目信息，理解兩種行駛方式的時(shí)間的關(guān)系是解題關(guān)鍵．5．（2022·江西中考模擬）斑馬線前“車(chē)讓人”，不僅體現(xiàn)著一座城市對(duì)生命的尊重，也直接反映著城市的文明程度．如圖，某路口的斑馬線路段橫穿雙向行駛車(chē)道，其中米，在綠燈亮?xí)r，小明共用11秒通過(guò)，其中通過(guò)的速度是通過(guò)速度的1.2倍，求小明通過(guò)時(shí)的速度．設(shè)小明通過(guò)時(shí)的速度是米/秒，根據(jù)題意列方程得：_____________________．【答案】【分析】設(shè)小明通過(guò)時(shí)的速度是米秒，根據(jù)題意列出分式方程解答即可．【詳解】解：設(shè)小明通過(guò)時(shí)的速度是米秒，可得：，故答案為，【點(diǎn)睛】此題考查由實(shí)際問(wèn)題抽象分式方程，關(guān)鍵是根據(jù)題意列出分式方程解答．6．（2022·湖南學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）某地為某校師生交通方便，在通往該學(xué)校原道路的一段全長(zhǎng)為360m的舊路上進(jìn)行整修鋪設(shè)柏油路面．鋪設(shè)120m后，為了盡量減少施工對(duì)城市交通所造成的影響，后來(lái)每天的工效比原