專題01平行線的判定與性質(zhì)壓軸題四種模型全攻略(原卷版+解析)

專題01平行線的判定與性質(zhì)壓軸題四種模型全攻略【類型一平行線的判定與性質(zhì)問(wèn)題】例1．（2021·云南峨山·七年級(jí)期末）如圖，∠AGF=∠ABC，∠1+∠2=180°．（1）BF與DE平行嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）若DE垂直于AC，∠AFG=60°，求∠2的度數(shù)．【變式訓(xùn)練1】（2022·廣東揭西·八年級(jí)期末）如圖，已知AC∥FE，∠1＋∠2＝180°(1)求證：∠FAB＝∠BDC；(2)若AC平分∠FAD，EF⊥BE于點(diǎn)E，∠FAD＝80°，求∠BCD的度數(shù)．【變式訓(xùn)練2】（2022·湖南·長(zhǎng)沙市開(kāi)福區(qū)青竹湖湘一外國(guó)語(yǔ)學(xué)校七年級(jí)期末）如圖，已知EFAB，∠DEF=∠A．(1)求證：DEAC；(2)若CD平分∠ACB，∠BED=60°，求∠ACD的度數(shù)．【變式訓(xùn)練3】（2021·山東濰坊·八年級(jí)期中）如圖，MN∥BC，BD⊥DC，∠1=∠2=60°，DC是∠NDE的平分線（1）AB與DE平行嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）試說(shuō)明∠ABC=∠C；（3）試說(shuō)明BD是∠ABC的平分線．【類型二含一個(gè)拐點(diǎn)模型】例2．如圖1，已知AB∥CD，直線AB、CD把平面分成①、②、③三個(gè)區(qū)域（直線AB、CD不屬于①、②、③中任何一個(gè)區(qū)域）．點(diǎn)P是直線AB、CD、AC外一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)PA、PC，可得∠PAB、∠PCD、∠APC．(1)如圖2，當(dāng)點(diǎn)P位于第①區(qū)域一位置時(shí)，請(qǐng)?zhí)顚憽螦PC＝∠PAB+∠PCD的理由．解：過(guò)點(diǎn)P作PE//AB，因?yàn)锳B//CD，PE//AB，所以PE//CD（）．因?yàn)镻E//AB，所以∠APE＝∠PAB（）．同理∠CPE＝∠PCD．因此∠APE+∠CPE＝∠PAB+∠PCD．即∠APC＝∠PAB+∠PCD．(2)在第（1）小題中改變點(diǎn)P的位置，如圖3所示，求∠APC+∠PAB+∠PCD等于多少度？為什么？(3)當(dāng)點(diǎn)P在第②區(qū)域時(shí)，∠PAB、∠PCD、∠APC有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)畫出圖形，并直接寫出相應(yīng)的結(jié)論．【變式訓(xùn)練1】如圖所示，AB∥CD，分別寫出下面四個(gè)圖形中∠A與∠P，∠C的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)你從所得到的關(guān)系中任選一圖的結(jié)論加以說(shuō)明．【變式訓(xùn)練2】感知與填空：如圖①，直線AB∥CD．求證：∠B+∠D=∠BED．證明：過(guò)點(diǎn)E作直線EF∥CD，∠2=______，（）AB∥CD(已知），EF∥CD_____∥EF，（）∠B=∠1，（）∠1+∠2=∠BED，∠B+∠D=∠BED，（）方法與實(shí)踐：如圖②，直線AB∥CD．若∠D=53°，∠B=22°，則∠E=______度．【變式訓(xùn)練3】已知直線AB∥CD，P為平面內(nèi)一點(diǎn)，連接PA、PD．（1）如圖1，已知∠A＝50°，∠D＝150°，求∠APD的度數(shù)；（2）如圖2，判斷∠PAB、∠CDP、∠APD之間的數(shù)量關(guān)系為．（3）如圖3，在（2）的條件下，AP⊥PD，DN平分∠PDC，若∠PAN+∠PAB＝∠APD，求∠AND的度數(shù)．【類型三含兩個(gè)或多個(gè)拐點(diǎn)模型】例3．如圖，AB∥EF，則∠A，∠C，∠D，∠E滿足的數(shù)量關(guān)系是（）A．∠A+∠C+∠D+∠E＝360° B．∠A+∠D＝∠C+∠EC．∠A﹣∠C+∠D+∠E＝180° D．∠E﹣∠C+∠D﹣∠A＝90°【變式訓(xùn)練1】如圖，ABCD，∠ABE＝∠EBF，∠DCE＝∠ECF，設(shè)∠ABE＝α，∠E＝β，∠F＝γ，則α，β，γ的數(shù)量關(guān)系是（）A．4β﹣α+γ＝360° B．3β﹣α+γ＝360°C．4β﹣α﹣γ＝360° D．3β﹣2α﹣γ＝360°【變式訓(xùn)練2】綜合與探究問(wèn)題情境：“公路村村通”的政策讓公路修到了山里，蜿蜒的盤山公路連接了山里與外面的世界．?dāng)?shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師把山路抽象成圖1所示的樣子，并提出了一個(gè)問(wèn)題：如圖1，，，，求的度數(shù)．小康的解法如下：解：如圖1，過(guò)點(diǎn)P作．∵，∴（根據(jù)1）．∵，∴（根據(jù)2）．……(1)①小康的解法中的根據(jù)1是指_______________；②根據(jù)2是指______________．(2)按照上面小康的解題思路，完成小康剩余的解題過(guò)程．(3)聰明的小明在圖1的基礎(chǔ)上，將圖1變?yōu)閳D2，其中，，，，求的度數(shù)．【變式訓(xùn)練3】如圖①，直線AB∥CD，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在直線AB，CD上．(1)若∠1=135°，∠2=155°，試猜想∠P=______．(2)在圖①中探究∠1，∠P，∠2之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．(3)將圖①變?yōu)閳D②，仍有AB∥CD，若∠1+∠2=325°，∠EPG=75°，求∠PGF的度數(shù)．【類型四生活中應(yīng)用模型】例4.潛望鏡中的兩面鏡子是互相平行放置的，如圖1，光線經(jīng)過(guò)鏡子反射時(shí)，，，那么和有什么關(guān)系？為什么進(jìn)入潛望鏡的光線和離開(kāi)潛望鏡的光線是平行的？先畫幾何圖形，如圖2，再寫已知未知．如圖，，（1）猜想和有什么關(guān)系，并進(jìn)行證明；（2）求證：．【變式訓(xùn)練1】（1）若組成和的兩條邊互相平行，且是的2倍小，求的度數(shù)．（2）如圖，放置在水平操場(chǎng)上的籃球架的橫梁始終平行于與上拉桿形成的，主柱垂直于地面，通過(guò)調(diào)整和后拉桿的位置來(lái)調(diào)整籃筐的高度．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)H，D，B在同一直線上，求的度數(shù)．【變式訓(xùn)練2】如圖，政府規(guī)劃由西向東修一條公路．從A修至B后為了繞開(kāi)村莊，改為沿南偏東25°方向修建BC段，在C處又改變方向修建CD段，測(cè)得∠BCD＝70°，在D處繼續(xù)改變方向，朝與出發(fā)時(shí)相同的方向修至E．（1）補(bǔ)全施工路線示意圖，求∠CDE的度數(shù)；（2）原計(jì)劃在AB的延長(zhǎng)線上依次修建兩個(gè)公交站M，N（均在CD右側(cè)），連結(jié)DM和MN，求∠CDM與∠DMN的數(shù)量關(guān)系．【變式訓(xùn)練3】實(shí)驗(yàn)證明，平面鏡反射光線的規(guī)律是：射到平面鏡上的光線和被反射出的光線與平面鏡所夾的銳角相等．（1）如圖，一束光線m射到平面鏡a上，被a反射到平面鏡b上，又被b反射．若被b反射出的光線n與光線m平行，且∠1=38°，則∠2=°，∠3=°．（2）在（1）中，若∠1=55°，則∠3=°；若∠1=40°，則∠3=°．（3）由（1）、（2），請(qǐng)你猜想：當(dāng)兩平面鏡a、b的夾角∠3=°時(shí)，可以使任何射到平面鏡a上的光線m，經(jīng)過(guò)平面鏡a、b的兩次反射后，入射光線m與反射光線n平行．你能說(shuō)明理由嗎？【課后訓(xùn)練】1．（2022·福建·泉州五中七年級(jí)期末）如圖，直線a、b被直線c所截，下列說(shuō)法不正確的是（）A．1與5是同位角 B．3與6是同旁內(nèi)角C．2與4是對(duì)頂角 D．5與2是內(nèi)錯(cuò)角2．（2021·江蘇·開(kāi)明中學(xué)九年級(jí)期末）如圖，直線a∥b，直線AB⊥AC，若∠1＝52°，則∠2的度數(shù)是（）A．38° B．42° C．48° D．52°3．（2022·福建·晉江市季延中學(xué)七年級(jí)期末）如圖，和分別為直線與直線和相交所成角．如果，那么添加下列哪個(gè)條件后，可判定．（）．A． B． C． D．4．（2022·湖南·長(zhǎng)沙市開(kāi)福區(qū)青竹湖湘一外國(guó)語(yǔ)學(xué)校七年級(jí)期末）如圖，給出下列條件，①∠1=∠2，②∠3=∠4，③ADBE，且∠D=∠B，④ADBE，且∠DCE=∠D，其中能推出ABDC的條件為（）A．①② B．②③ C．③④ D．②③④二、填空題5．（2021·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖所示，直線a，b被c所截，∠1＝30°，∠2:∠3＝1:5，則直線a與b的位置關(guān)系是________．6．（2021·上海浦東新·七年級(jí)期中）如圖，已知AB∥CD，∠ABC＝120°，∠1＝27°，則直線CB和CE的夾角是_____°．7．（2021·山東·濟(jì)寧市第十五中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，已知的面積為16，．現(xiàn)將沿直線向右平移個(gè)單位到的位置．當(dāng)所掃過(guò)的面積為32時(shí)，那么的值為_(kāi)_________．8．（2021·北京市海淀區(qū)清華附中稻香湖學(xué)校七年級(jí)期末）一副直角三角板疊放如圖所示，現(xiàn)將含30°角的三角板ABC固定不動(dòng)，把含45°角的三角板ADE繞頂點(diǎn)A順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，若0°＜∠BAD＜180°，要使兩塊三角板至少有一組互相平行，則符合要求的∠BAD的值為_(kāi)_______．三、解答題9．（2021·上海奉賢·七年級(jí)期末）如圖，已知AE平分∠BAC交BC于點(diǎn)E，AF平分∠CAD交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，∠B＝64°，∠EAF＝58°，試判斷AD與BC是否平行．解：∵AE平分∠BAC，AF平分∠CAD（已知），∴∠BAC＝2∠1，∠CAD＝（）．又∵∠EAF＝∠1+∠2＝58°，∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝2（∠1+∠2）＝°（等式性質(zhì)）．又∵∠B＝64°（已知），∴∠BAD+∠B＝°．∴（）．10．（2022·廣東陽(yáng)山·八年級(jí)期末）如圖，AB∥DG，∠1+∠2＝180°．（1）試說(shuō)明：AD∥EF；（2）若DG是∠ADC的平分線，∠2＝142°，求∠B的度數(shù)．11．問(wèn)題情景：如圖1，AB∥CD，∠PAB＝140°，∠PCD＝135°，求∠APC的度數(shù)．（1）麗麗同學(xué)看過(guò)圖形后立即口答出：∠APC＝85°，請(qǐng)補(bǔ)全她的推理依據(jù)．如圖2，過(guò)點(diǎn)P作PE∥AB，因?yàn)锳B∥CD，所以PE∥CD．（）所以∠A+∠APE＝180°，∠C+∠CPE＝180°．（）因?yàn)椤螾AB＝140°，∠PCD＝135°，所以∠APE＝40°，∠CPE＝45°，∠APC＝∠APE+∠CPE＝85°．問(wèn)題遷移：（2）如圖3，AD∥BC，當(dāng)點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β，求∠CPD與∠α、∠β之間有什么數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）在（2）的條件下，如果點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)外側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)P與點(diǎn)A、B、O三點(diǎn)不重合），請(qǐng)直接寫出∠CPD與∠α、∠β之間的數(shù)量關(guān)系．12．已知AB∥CD，點(diǎn)E在AB上，點(diǎn)F在DC上，點(diǎn)G為射線EF上一點(diǎn)．【基礎(chǔ)問(wèn)題】如圖1，試說(shuō)明：∠AGD＝∠A＋∠D．（完成圖中的填空部分）．證明：過(guò)點(diǎn)G作直線MN∥AB，又∵AB∥CD，∴MN∥CD（）∵M(jìn)N∥AB，∴∠A＝（）（）∵M(jìn)N∥CD，∴∠D＝（）∴∠AGD＝∠AGM＋∠DGM＝∠A＋∠D．【類比探究】如圖2，當(dāng)點(diǎn)G在線段EF延長(zhǎng)線上時(shí)，直接寫出∠AGD、∠A、∠D三者之間的數(shù)量關(guān)系．【應(yīng)用拓展】如圖3，AH平分∠GAB，DH交AH于點(diǎn)H，且∠GDH＝2∠HDC，∠HDC＝22°，∠H＝32°，直接寫出∠DGA的度數(shù)．13．如圖，，點(diǎn)E為兩直線之間的一點(diǎn)(1)如圖1，若，，則____________；(2)如圖2，試說(shuō)明，；(3)①如圖3，若的平分線與的平分線相交于點(diǎn)F，判斷與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；②如圖4，若設(shè)，，，請(qǐng)直接用含、的代數(shù)式表示的度數(shù)．14．如圖，AB//CD，定點(diǎn)E，F(xiàn)分別在直線AB，CD上，在平行線AB，CD之間有一動(dòng)點(diǎn)P，且滿足0°＜∠EPF＜180°，QE，QF分別平分∠PEB和∠PFD．在探究∠EPF與∠EQF之間的數(shù)量關(guān)系時(shí)，我們需要對(duì)點(diǎn)P的位置進(jìn)行分類討論：（1）如圖1，當(dāng)P點(diǎn)在EF的右側(cè)時(shí)，若∠EPF＝110°，則∠EQF＝；猜想∠EPF與∠EQF的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)直接寫出結(jié)果；（2）如圖2，當(dāng)P點(diǎn)在EF的左側(cè)時(shí)，探究∠EPF與∠EQF的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）若∠BEQ與∠DFQ的角平分線交于點(diǎn)Q1，∠BEQ1與∠DFQ1的角平分線交于點(diǎn)Q2，∠BEQ2與∠DFQ2的角平分線交于點(diǎn)Q3；…以此類推，則∠EPF與∠EQ2021F滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？15．如圖，已知AB∥CD．（1）如圖1所示，∠1+∠2＝；（2）如圖2所示，∠1+∠2+∠3＝；并寫出求解過(guò)程．（3）如圖3所示，∠1+∠2+∠3+∠4＝；（4）如圖4所示，試探究∠1+∠2+∠3+∠4+?+∠n＝．16．圖1展示了光線反射定律：EF是鏡面AB的垂線，一束光線m射到平面鏡AB上，被AB反射后的光線為n，則入射光線m，反射光線n與垂線EF所夾的銳角．（1）在圖1中，證明：∠1＝∠2．（2）圖2中，AB，BC是平面鏡，入射光線m經(jīng)過(guò)兩次反射后得到反射光線n，已知，，判斷直線m與直線n的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．（3）圖3是潛望鏡工作原理示意圖，AB，CD是平行放置的兩面平面鏡．請(qǐng)解釋進(jìn)入潛望鏡的光線m為什么和離開(kāi)潛望鏡的光線n是平行的？17．在數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)課上，小亮同學(xué)利用一副三角尺探索與研究共直角頂點(diǎn)的兩個(gè)直角三角形中的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系．（其中，，）（1）將三角尺如圖1所示疊放在一起．①與大小關(guān)系是_____，依據(jù)是_____．②與的數(shù)量關(guān)系是_____．（2）小亮固定其中一塊三角尺不變，繞點(diǎn)順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)另一塊三角尺，從圖2的與重合開(kāi)始，到圖3的與在一條直線上時(shí)結(jié)束．探索的一邊與的一邊平行的情況．①求當(dāng)時(shí)，如圖4所示，的大?。谥苯訉懗龅钠溆嗨锌赡苤担?8．如圖，錢塘江入?？谀程幒拥纼砂端谥本€（PQ，MN）夾角為20°，在河道兩岸安裝探照燈B和A，若燈A射線自AM順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至AN便立即回轉(zhuǎn)，燈B射線自BQ逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至BP便立即回轉(zhuǎn)，兩燈不停交叉照射巡視．設(shè)燈A轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是a度/秒，燈B轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是b度/秒．已知∠BAN＝50°．（1）當(dāng)b＝2時(shí)，問(wèn)燈B轉(zhuǎn)動(dòng)幾秒后，射出的光束第一次經(jīng)過(guò)燈A？（2）當(dāng)a＝3，b＝6時(shí)，若兩燈同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)，在1分鐘內(nèi)（包括1分鐘），問(wèn)A燈轉(zhuǎn)動(dòng)幾秒，兩燈的光束互相平行？（3）若A、B兩燈同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)（a＞b），在45秒與90秒時(shí)，兩燈的光束各平行一次，求a，b的值．專題01平行線的判定與性質(zhì)壓軸題四種模型全攻略【類型一平行線的判定與性質(zhì)問(wèn)題】例1．（2021·云南峨山·七年級(jí)期末）如圖，∠AGF=∠ABC，∠1+∠2=180°．（1）BF與DE平行嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）若DE垂直于AC，∠AFG=60°，求∠2的度數(shù)．【答案】（1）平行，見(jiàn)解析；（2）150°．【解析】【分析】（1）根據(jù)同位角相等兩直線平行，得到GF//BC，再利用兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，解得∠1＝∠FBC，最后根據(jù)同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行解題即可；（2）由BF//DE，DE垂直于AC，可證得∠AFB＝90°，結(jié)合題意，可解得∠1的度數(shù)，再由∠1＝∠FBC，兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，即可解得∠2的度數(shù)．【詳解】(1)解：平行．理由：∴∠AGF＝∠ABC∴GF//BC，∴∠1＝∠FBC∵∠1+∠2＝180°∴∠2+∠FBC＝180°，∴BF//DE；(2)∵DE垂直于AC∴∠AED=90°，由（1）知BF//DE∴∠AFB＝90°∵∠AFG＝60°，∴∠1＝30°，由（1）知∠1＝∠FBC∴∠FBC=30°∵BF//DE∴∠2=180°－∠FBC＝180°－30°＝150°.【點(diǎn)睛】本題考查平行線的判定與性質(zhì)，是重要考點(diǎn)，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵.【變式訓(xùn)練1】（2022·廣東揭西·八年級(jí)期末）如圖，已知AC∥FE，∠1＋∠2＝180°(1)求證：∠FAB＝∠BDC；(2)若AC平分∠FAD，EF⊥BE于點(diǎn)E，∠FAD＝80°，求∠BCD的度數(shù)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)50°【解析】【分析】（1）由已知可證得∠2=∠FAC，根據(jù)平行線的判定得到FA∥CD，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到∠FAB=∠BDC；（2）根據(jù)角平分線的定義得到∠FAD=2∠FAC，即∠FAD=2∠2，由平行線的性質(zhì)可求得∠2，再平行線的判定和性質(zhì)定理求出∠ACB，繼而求出∠BCD．(1)證明：∵AC∥EF，∴∠1+∠FAC=180°，又∵∠1+∠2=180°，∴∠FAC=∠2，∴FA∥CD，∴∠FAB=∠BDC；(2)解：∵AC平分∠FAD，∴∠FAC=∠CAD，∠FAD=2∠FAC，由（1）知∠FAC=∠2，∴∠FAD=2∠2，∴∠2=∠FAD，∵∠FAD=80°，∴∠2=×80°=40°，∵EF⊥BE，AC∥EF，∴AC⊥BE，∴∠ACB=90°，∴∠BCD=90°∠2=50°．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的定義求出∠2是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練2】（2022·湖南·長(zhǎng)沙市開(kāi)福區(qū)青竹湖湘一外國(guó)語(yǔ)學(xué)校七年級(jí)期末）如圖，已知EFAB，∠DEF=∠A．(1)求證：DEAC；(2)若CD平分∠ACB，∠BED=60°，求∠ACD的度數(shù)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)30°【解析】【分析】（1）根據(jù)EFAB，可得∠BDE=∠DEF，又∠DEF=∠A等量代換可得∠BDE=∠A，進(jìn)而可得DEAC；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論可得，根據(jù)角平分線的定義即可求得∠ACD的度數(shù)．(1)∵EFAB，∴∠BDE=∠DEF，又∠DEF=∠A∴∠BDE=∠A，∴DEAC；(2)DEAC，∠BED=60°，CD平分∠ACB，【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)與判定，角平分線的意義，掌握平行線的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練3】（2021·山東濰坊·八年級(jí)期中）如圖，MN∥BC，BD⊥DC，∠1=∠2=60°，DC是∠NDE的平分線（1）AB與DE平行嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）試說(shuō)明∠ABC=∠C；（3）試說(shuō)明BD是∠ABC的平分線．【答案】（1）AB∥DE，理由見(jiàn)解析，（2）見(jiàn)解析，（3）見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）首先根據(jù)平行線的性質(zhì)，兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等即可證得∠ABC＝∠1＝60°，進(jìn)而證明∠ABC＝∠2，根據(jù)同位角相等，兩直線平行，即可證得；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)，兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)求得∠NDE的度數(shù)，然后根據(jù)角平分線的定義，以及平行線的性質(zhì)即可求得∠C的度數(shù)，從而判斷；（3）先求得∠ADB的度數(shù)，根據(jù)平行求出∠DBC的度數(shù)，然后求得∠ABD的度數(shù)，即可證得．【詳解】解：（1）AB∥DE，理由如下：∵M(jìn)N∥BC，（已知）∴∠ABC＝∠1＝60°．（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）又∵∠1＝∠2，（已知）∴∠ABC＝∠2．（等量代換）∴AB∥DE．（同位角相等，兩直線平行）；（2）∵M(jìn)N∥BC，∴∠NDE+∠2＝180°，∴∠NDE＝180°﹣∠2＝180°﹣60°＝120°．∵DC是∠NDE的平分線，∴∠EDC＝∠NDC＝∠NDE＝60°．∵M(jìn)N∥BC，∴∠C＝∠NDC＝60°．∴∠ABC＝∠C．（3）∠ADC＝180°﹣∠NDC＝180°﹣60°＝120°，∵BD⊥DC，∴∠BDC＝90°．∴∠ADB＝∠ADC﹣∠BDC＝120°﹣90°＝30°．∵M(jìn)N∥BC，∴∠DBC＝∠ADB＝30°．∵∠ABC＝∠C＝60°．∴∠ABD＝30°∴∠ABD＝∠DBC＝∠ABC．∴BD是∠ABC的平分線．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)和判定定理，垂線的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟練運(yùn)用平行線的性質(zhì)與判定進(jìn)行推理證明和計(jì)算．【類型二含一個(gè)拐點(diǎn)模型】例2．如圖1，已知AB∥CD，直線AB、CD把平面分成①、②、③三個(gè)區(qū)域（直線AB、CD不屬于①、②、③中任何一個(gè)區(qū)域）．點(diǎn)P是直線AB、CD、AC外一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)PA、PC，可得∠PAB、∠PCD、∠APC．(1)如圖2，當(dāng)點(diǎn)P位于第①區(qū)域一位置時(shí)，請(qǐng)?zhí)顚憽螦PC＝∠PAB+∠PCD的理由．解：過(guò)點(diǎn)P作PE//AB，因?yàn)锳B//CD，PE//AB，所以PE//CD（）．因?yàn)镻E//AB，所以∠APE＝∠PAB（）．同理∠CPE＝∠PCD．因此∠APE+∠CPE＝∠PAB+∠PCD．即∠APC＝∠PAB+∠PCD．(2)在第（1）小題中改變點(diǎn)P的位置，如圖3所示，求∠APC+∠PAB+∠PCD等于多少度？為什么？(3)當(dāng)點(diǎn)P在第②區(qū)域時(shí)，∠PAB、∠PCD、∠APC有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)畫出圖形，并直接寫出相應(yīng)的結(jié)論．【答案】(1)平行的傳遞性；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；(2)360°，理由見(jiàn)解析；(3)∠PCD=∠PAB+∠APC，見(jiàn)解析．【解析】【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)解題；（2）過(guò)點(diǎn)P作PE//AB，由兩直線平行，同旁內(nèi)角相等解得∠APE+∠PAB=180°，∠EPC+∠PCD=180°，再根據(jù)∠APC+∠PAB+∠PCD=∠APE+∠EPC+∠PAB+∠PCD解題；（3）根據(jù)題意，畫出圖形，再由兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等得到∠APE=∠PAB，∠PCD=∠CPE，結(jié)合∠CPE=∠APE+∠APC解題．(1)解：因?yàn)锳B//CD，PE//AB，所以PE//CD(平行的傳遞性)因?yàn)镻E//AB，所以∠APE＝∠PAB（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）．故答案為：平行的傳遞性；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；(2)∠APC+∠PAB+∠PCD=360°，見(jiàn)解析：過(guò)點(diǎn)P作PE//AB，所以∠APE+∠PAB=180°，因?yàn)镻E//CD，所以∠EPC+∠PCD=180°，所以∠APC+∠PAB+∠PCD=∠APE+∠EPC+∠PAB+∠PCD=180°+180°=360°；(3)∠PCD=∠PAB+∠APC，理由如下，當(dāng)點(diǎn)P在第②區(qū)域時(shí)，如圖，過(guò)點(diǎn)P作PE//AB，所以∠APE=∠PAB，因?yàn)镻E//CD，所以∠PCD=∠CPE因?yàn)椤螩PE=∠APE+∠APC所以∠PCD=∠PAB+∠APC．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的拐角問(wèn)題、平行線的性質(zhì)等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練1】如圖所示，AB∥CD，分別寫出下面四個(gè)圖形中∠A與∠P，∠C的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)你從所得到的關(guān)系中任選一圖的結(jié)論加以說(shuō)明．【答案】（1）∠A+∠C＝∠P；（2）∠A+∠P+∠C＝360°；（3）∠A＝∠P+∠C；（4）∠C＝∠P+∠A，證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）作PE∥AB，利用兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等證明即可；（2）作PE∥AB，利用兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)證明即可；（3）作PH∥AB，利用兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)證明即可；（4）作PE∥AB，利用兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等證明即可；【詳解】解：（1）∠A+∠C＝∠P；證明如下：如圖所示，作PE∥AB，則PE∥CD，∴∠A=∠1，∠C=∠2，∵∠APC=∠1+∠2，∴∠APC=∠A+∠C，即：∠A+∠C＝∠P；（2）∠A+∠P+∠C＝360°；證明如下：如圖所示，作PE∥AB，則PE∥CD，∴∠A+∠1=180°，∠C+∠2=180°，∴∠A+∠C+∠1+∠2=360°，∵∠APC=∠1+∠2，∴∠A+∠C+∠APC=360°，即：∠A+∠P+∠C＝360°；（3）∠A＝∠P+∠C；證明如下：如圖所示，作PH∥AB，則PH∥CD，∴∠HPA＋∠A＝180°，∴∠HPA＝180°－∠A，∵∠HPA＋∠APC＋∠C＝180°，∴180°－∠A＋∠P＋∠C＝180°，即：∠A＝∠P+∠C；（4）∠C＝∠P+∠A；證明如下：如圖所示，作PE∥AB，則PE∥CD，∴∠EPC=∠C，∠EPA=∠A，∵∠APC=∠EPC－∠EPA，∴∠APC=∠C－∠A，即：∠C＝∠P+∠A．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)運(yùn)用，理解并熟練運(yùn)用平行線的性質(zhì)，靈活構(gòu)造輔助線是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練2】感知與填空：如圖①，直線AB∥CD．求證：∠B+∠D=∠BED．證明：過(guò)點(diǎn)E作直線EF∥CD，∠2=______，（）AB∥CD(已知），EF∥CD_____∥EF，（）∠B=∠1，（）∠1+∠2=∠BED，∠B+∠D=∠BED，（）方法與實(shí)踐：如圖②，直線AB∥CD．若∠D=53°，∠B=22°，則∠E=______度．【答案】∠D；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；AB；兩直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；等量代換；31．【解析】【分析】過(guò)點(diǎn)E作直線EF//CD，由兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等得出∠2=∠D；由兩直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行得出AB//EF；由兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等得出∠B=∠1；由∠1+∠2=∠BED，等量代換得出∠B+∠D=∠BED；方法與實(shí)踐：如圖②，由平行的性質(zhì)可得∠BOD=∠D=53°，然后再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)解答即可【詳解】解：過(guò)點(diǎn)E作直線EF∥CD，∠2=∠D，（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）AB∥CD(已知），EF∥CDAB//EF，（兩直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行）∠B=∠1，（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）∠1+∠2=∠BED，∠B+∠D=∠BED，（等量代換）方法與實(shí)踐：如圖②，∵直線AB∥CD∴∠BOD=∠D=53°∵∠BOD=∠E+∠B∴∠E=∠BOD-∠B=53°-22°=31°．故答案依次為：∠D；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；AB；兩直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；等量代換；31．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的判定與性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)點(diǎn)；熟練掌握平行線的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練3】已知直線AB∥CD，P為平面內(nèi)一點(diǎn)，連接PA、PD．（1）如圖1，已知∠A＝50°，∠D＝150°，求∠APD的度數(shù)；（2）如圖2，判斷∠PAB、∠CDP、∠APD之間的數(shù)量關(guān)系為．（3）如圖3，在（2）的條件下，AP⊥PD，DN平分∠PDC，若∠PAN+∠PAB＝∠APD，求∠AND的度數(shù)．【答案】（1）∠APD=80°；（2）∠PAB+∠CDP-∠APD=180°；（3）∠AND=45°．【解析】【分析】（1）首先過(guò)點(diǎn)P作PQ∥AB，則易得AB∥PQ∥CD，然后由兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)以及內(nèi)錯(cuò)角相等，即可求解；（2）作PQ∥AB，易得AB∥PQ∥CD，根據(jù)平行線的性質(zhì)，即可證得∠PAB+∠CDP-∠APD=180°；（3）先證明∠NOD=∠PAB，∠ODN=∠PDC，利用（2）的結(jié)論即可求解．【詳解】解：（1）∵∠A=50°，∠D=150°，過(guò)點(diǎn)P作PQ∥AB，∴∠A=∠APQ=50°，∵AB∥CD，∴PQ∥CD，∴∠D+∠DPQ=180°，則∠DPQ=180°-150°=30°，∴∠APD=∠APQ+∠DPQ=50°+30°=80°；（2）∠PAB+∠CDP-∠APD=180°，如圖，作PQ∥AB，∴∠PAB=∠APQ，∵AB∥CD，∴PQ∥CD，∴∠CDP+∠DPQ=180°，即∠DPQ=180°-∠CDP，∵∠APD=∠APQ-∠DPQ，∴∠APD=∠PAB-(180°-∠CDP)=∠PAB+∠CDP-180°；∴∠PAB+∠CDP-∠APD=180°；(3)設(shè)PD交AN于O，如圖，∵AP⊥PD，∴∠APO=90°，由題知∠PAN+∠PAB=∠APD，即∠PAN+∠PAB=90°，又∵∠POA+∠PAN=180°-∠APO=90°，∴∠POA=∠PAB，∵∠POA=∠NOD，∴∠NOD=∠PAB，∵DN平分∠PDC，∴∠ODN=∠PDC，∴∠AND=180°-∠NOD-∠ODN=180°-(∠PAB+∠PDC)，由(2)得∠PAB+∠CDP-∠APD=180°，∴∠PAB+∠PDC=180°+∠APD，∴∠AND=180°-(∠PAB+∠PDC)=180°-(180°+∠APD)=180°-(180°+90°)=45°，即∠AND=45°．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)以及角平分線的定義．注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．【類型三含兩個(gè)或多個(gè)拐點(diǎn)模型】例3．如圖，AB∥EF，則∠A，∠C，∠D，∠E滿足的數(shù)量關(guān)系是（）A．∠A+∠C+∠D+∠E＝360° B．∠A+∠D＝∠C+∠EC．∠A﹣∠C+∠D+∠E＝180° D．∠E﹣∠C+∠D﹣∠A＝90°【答案】C【解析】【分析】如圖，過(guò)點(diǎn)C作CG∥AB，過(guò)點(diǎn)D作DH∥EF，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠A＝∠ACG，∠EDH＝180°﹣∠E，根據(jù)AB∥EF可得CG∥DH，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠CDH＝∠DCG，進(jìn)而根據(jù)角的和差關(guān)系即可得答案．【詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)C作CG∥AB，過(guò)點(diǎn)D作DH∥EF，∴∠A＝∠ACG，∠EDH＝180°﹣∠E，∵AB∥EF，∴CG∥DH，∴∠CDH＝∠DCG，∴∠ACD＝∠ACG+∠CDH＝∠A+∠CDE﹣（180°﹣∠E），∴∠A﹣∠ACD+∠CDE+∠E＝180°．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；熟練掌握平行線的性質(zhì)，正確作出輔助線是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練1】如圖，ABCD，∠ABE＝∠EBF，∠DCE＝∠ECF，設(shè)∠ABE＝α，∠E＝β，∠F＝γ，則α，β，γ的數(shù)量關(guān)系是（）A．4β﹣α+γ＝360° B．3β﹣α+γ＝360°C．4β﹣α﹣γ＝360° D．3β﹣2α﹣γ＝360°【答案】A【解析】【分析】過(guò)E作EN∥AB，過(guò)F作FQ∥AB，根據(jù)已知條件得出∠ABF＝3α，∠DCF＝4∠ECD，求出AB∥EN∥CD，AB∥FQ∥CD，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠ABE＝∠BEN＝α，∠ECD＝∠CEN，∠ABF+∠BFQ＝180°，∠DCF+∠CFQ＝180°，求出α+∠ECD＝β，3α+γ+4∠DCE＝360°，再求出答案即可．【詳解】解：過(guò)E作EN∥AB，過(guò)F作FQ∥AB，∵∠ABE＝∠EBF，∠DCE＝∠ECF，∠ABE＝α，∴∠ABF＝3α，∠DCF＝4∠ECD，∵AB∥CD，∴AB∥EN∥CD，AB∥FQ∥CD，∴∠ABE＝∠BEN＝α，∠ECD＝∠CEN，∠ABF+∠BFQ＝180°，∠DCF+∠CFQ＝180°，∴∠ABE+∠ECD＝∠BEN+∠CEN＝∠BEC，∠ABF+∠BFQ+∠CFQ+∠DCF＝180°+180°＝360°，即α+∠ECD＝β，3α+γ+4∠DCE＝360°，∴∠ECD＝β﹣α，∴3α+γ+4（β﹣α）＝360°，即4β﹣α+γ＝360°，故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握平行線的性質(zhì)．【變式訓(xùn)練2】綜合與探究問(wèn)題情境：“公路村村通”的政策讓公路修到了山里，蜿蜒的盤山公路連接了山里與外面的世界．?dāng)?shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師把山路抽象成圖1所示的樣子，并提出了一個(gè)問(wèn)題：如圖1，，，，求的度數(shù)．小康的解法如下：解：如圖1，過(guò)點(diǎn)P作．∵，∴（根據(jù)1）．∵，∴（根據(jù)2）．……(1)①小康的解法中的根據(jù)1是指_______________；②根據(jù)2是指______________．(2)按照上面小康的解題思路，完成小康剩余的解題過(guò)程．(3)聰明的小明在圖1的基礎(chǔ)上，將圖1變?yōu)閳D2，其中，，，，求的度數(shù)．【答案】(1)①如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線平行；②兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)(2)(3)【解析】【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)和判定即可的得出答案；（2）過(guò)點(diǎn)P作得，根據(jù)，得，即知，從而得出答案；（3）過(guò)點(diǎn)P作，過(guò)點(diǎn)作，從而得出，再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得出答案；(1)解：①如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線平行．②兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．(2)解：∵，∴．∵，，∴．(3)解：如圖，過(guò)點(diǎn)P作，過(guò)點(diǎn)作．∵，∴，∴，，．∵，，，∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵是作平行線，利用平行線的性質(zhì)轉(zhuǎn)化角．【變式訓(xùn)練3】如圖①，直線AB∥CD，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在直線AB，CD上．(1)若∠1=135°，∠2=155°，試猜想∠P=______．(2)在圖①中探究∠1，∠P，∠2之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．(3)將圖①變?yōu)閳D②，仍有AB∥CD，若∠1+∠2=325°，∠EPG=75°，求∠PGF的度數(shù)．【答案】(1)70°；(2)∠EPF+(∠1+∠2)=360°，理由見(jiàn)解析；(3)∠PGF的度數(shù)為140°．【解析】【分析】（1）過(guò)點(diǎn)P作PQ∥AB，由平行線的性質(zhì)得到∠1+∠EPQ=180°，∠2+∠FPQ=180°，進(jìn)一步計(jì)算即可求得∠EPF的度數(shù)；（2）同（1）法即可求得∠EPF+(∠1+∠2)=360°；（3）過(guò)點(diǎn)P作PQ∥AB，過(guò)點(diǎn)G作GH∥AB，由平行線的性質(zhì)即可求解．(1)解：過(guò)點(diǎn)P作PQ∥AB，∴∠1+∠EPQ=180°，∵∠1=135°，∴∠EPQ=180°-∠1=45°，∵AB∥CD，∴PQ∥AB∥CD，∴∠2+∠FPQ=180°，∵∠2=155°，∴∠FPQ=180°-∠2=25°，∴∠EPF=∠EPQ+∠FPQ=70°；故答案為：70°；(2)解：∠EPF+(∠1+∠2)=360°，理由如下：過(guò)點(diǎn)P作PQ∥AB，∵AB∥CD，∴PQ∥AB∥CD，∴∠1+∠EPQ=180°，∠2+∠FPQ=180°，即∠EPQ=180°-∠1，∠FPQ=180°-∠2，∴∠EPF=∠EPQ+∠FPQ=360°-(∠1+∠2)；即∠EPF+(∠1+∠2)=360°；(3)解：過(guò)點(diǎn)P作PQ∥AB，過(guò)點(diǎn)G作GH∥AB，∵AB∥CD，∴PQ∥AB∥GH∥CD，∴∠1+∠3=180°，∠4+∠5=180°，∠6+∠2=180°，∴∠1+∠3+∠4+∠5+∠6+∠2=540°，∵∠EPG=75°，∴∠3+∠4=75°，∵∠1+∠2=325°，∴∠5+∠6=540°-(∠1+∠2)-(∠3+∠4)=540°-325°-75°=140°．∴∠PGF的度數(shù)為140°．．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．【類型四生活中應(yīng)用模型】例4.潛望鏡中的兩面鏡子是互相平行放置的，如圖1，光線經(jīng)過(guò)鏡子反射時(shí)，，，那么和有什么關(guān)系？為什么進(jìn)入潛望鏡的光線和離開(kāi)潛望鏡的光線是平行的？先畫幾何圖形，如圖2，再寫已知未知．如圖，，（1）猜想和有什么關(guān)系，并進(jìn)行證明；（2）求證：．【答案】（1），證明見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）根據(jù)兩面鏡子是互相平行放置的可知，再根據(jù)平行線的性質(zhì)（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）即可直接證明．（2）結(jié)合題意可證明，再由，，即可證明，最后由平行線的判定定理（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行），即可證明．【詳解】解：（1）根據(jù)題意可知，∴（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）.（2）∵，∴；∵，，∴，∴（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的判定與性質(zhì)在生活中的應(yīng)用．掌握平行線的性質(zhì)與判定是解答本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練1】（1）若組成和的兩條邊互相平行，且是的2倍小，求的度數(shù)．（2）如圖，放置在水平操場(chǎng)上的籃球架的橫梁始終平行于與上拉桿形成的，主柱垂直于地面，通過(guò)調(diào)整和后拉桿的位置來(lái)調(diào)整籃筐的高度．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)H，D，B在同一直線上，求的度數(shù)．【答案】（1）15°或115°；（2）120°【解析】【分析】（1）根據(jù)∠1，∠2的兩邊分別平行，所以∠1，∠2相等或互補(bǔ)列出方程求解則得到答案．（2）過(guò)D點(diǎn)作DI∥EF，根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)可求∠FDI=35°，根據(jù)平角的定義可求∠ADB=30°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可求∠ABH=60°，再根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)可求∠H．【詳解】解：（1）①當(dāng)∠1=∠2時(shí)，∵∠1=2∠2-15°，∴∠1=2∠1-15°，解得∠1=15°；②當(dāng)∠1+∠2=180°時(shí)，∵∠1=2∠2-15°，∴∠2+2∠2-15°=180°，解得∠2=65°，∴∠1=180°-∠2=115°；（2）過(guò)D點(diǎn)作DI∥EF，∵∠F=145°，∴∠FDI=35°，∴∠ADB=180°-90°-35°-25°=30°，∴∠ABH=90°-30°=60°．∵GH∥AB，∴∠H=180°-60°=120°．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，平行線性質(zhì)定理：兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；

兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等．【變式訓(xùn)練2】如圖，政府規(guī)劃由西向東修一條公路．從A修至B后為了繞開(kāi)村莊，改為沿南偏東25°方向修建BC段，在C處又改變方向修建CD段，測(cè)得∠BCD＝70°，在D處繼續(xù)改變方向，朝與出發(fā)時(shí)相同的方向修至E．（1）補(bǔ)全施工路線示意圖，求∠CDE的度數(shù)；（2）原計(jì)劃在AB的延長(zhǎng)線上依次修建兩個(gè)公交站M，N（均在CD右側(cè)），連結(jié)DM和MN，求∠CDM與∠DMN的數(shù)量關(guān)系．【答案】（1）畫圖見(jiàn)解析，135°；（2）∠DMN-∠CDM=45°【解析】【分析】（1）補(bǔ)全DE∥AB即可，過(guò)C作l⊥AB的延長(zhǎng)線于G，過(guò)D作直線m⊥AB的延長(zhǎng)線于H，則l∥m，由平行線性質(zhì)可得到∠CDH=45°，又∠HDE=90°，從而可得∠CDE的度數(shù)；（2）設(shè)∠DMN=x，∠CDM=y，由于DE∥FN，所以∠EDM=180°-x．∠CDM=y=135°-（180°-x）=x-45°，則x-y=45°，從而得∠DMN-∠CDM=45°．【詳解】解：（1）補(bǔ)全施工路線如圖1所示．過(guò)C作l⊥AB的延長(zhǎng)線于G，過(guò)D作直線m⊥AB的延長(zhǎng)線于H，則l∥m，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得：∠BCG=25°，∠CDH=∠GCD=70°-∠BCG=70°-25°=45°，又∠HDE=90°，∴∠CDE=∠CDH+∠HDE=45°+90°=135°．（2）如圖所示，設(shè)∠DMN=x，∠CDM=y，由于DE∥FN，∴∠EDM=180°-∠DMN=180°-x，又∠CDM=y=∠CDE-∠EDM=135°-（180°-x）=x-45°，則x-y=45°，即∠DMN-∠CDM=45°．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，作出正確的輔助線以及得到∠CDF=135°是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練3】實(shí)驗(yàn)證明，平面鏡反射光線的規(guī)律是：射到平面鏡上的光線和被反射出的光線與平面鏡所夾的銳角相等．（1）如圖，一束光線m射到平面鏡a上，被a反射到平面鏡b上，又被b反射．若被b反射出的光線n與光線m平行，且∠1=38°，則∠2=°，∠3=°．（2）在（1）中，若∠1=55°，則∠3=°；若∠1=40°，則∠3=°．（3）由（1）、（2），請(qǐng)你猜想：當(dāng)兩平面鏡a、b的夾角∠3=°時(shí)，可以使任何射到平面鏡a上的光線m，經(jīng)過(guò)平面鏡a、b的兩次反射后，入射光線m與反射光線n平行．你能說(shuō)明理由嗎？【答案】（1）76°，90°；（2）90°，90°（3）90°．【解析】【分析】（1）根據(jù)平面鏡反射光線的規(guī)律，可得∠1=∠5，∠7=∠6，根據(jù)平角的定義可得∠4=104°，根據(jù)m∥n，所以∠2=76°，∠5=38°，根據(jù)三角形內(nèi)角和為180°，即可求出答案；（2）結(jié)合題（1）可得∠3的度數(shù)都是90°；（3）證明m∥n，由∠3=90°，證得∠2與∠4互補(bǔ)即可．【詳解】（1）由平面鏡反射光線的規(guī)律可得：∠1=∠5，∠7=∠6．又∵∠1=38°，∴∠5=38°，∴∠4=180°﹣∠1﹣∠5=104°．∵m∥n，∴∠2=180°﹣∠4=76°，∴∠6=（180°﹣76°）÷2=52°，∴∠3=180°﹣∠6﹣∠5=90°；（2）同（1）可得當(dāng)∠1=55°和∠1=40°時(shí)，∠3的度數(shù)都是90°；（3）∵∠3=90°，∴∠6+∠5=90°，又由題意知∠1=∠5，∠7=∠6，∴∠2+∠4=180°﹣（∠7+∠6）+180°﹣（∠1+∠5）=360°﹣2∠5﹣2∠6=360°﹣2（∠5+∠6）=180°．由同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行，可知：m∥n．故答案為76°，90°，90°，90°90°．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，本題是數(shù)學(xué)知識(shí)與物理知識(shí)的有機(jī)結(jié)合，充分體現(xiàn)了各學(xué)科之間的滲透性．【課后訓(xùn)練】1．（2022·福建·泉州五中七年級(jí)期末）如圖，直線a、b被直線c所截，下列說(shuō)法不正確的是（）A．1與5是同位角 B．3與6是同旁內(nèi)角C．2與4是對(duì)頂角 D．5與2是內(nèi)錯(cuò)角【答案】D【解析】【分析】根據(jù)同位角、對(duì)頂角、同旁內(nèi)角以及內(nèi)錯(cuò)角的定義對(duì)各選項(xiàng)作出判斷即可．【詳解】解：A、∠1與∠5是同位角，故本選項(xiàng)不符合題意；B、∠3與∠6是同旁內(nèi)角，故本選項(xiàng)不符合題意．C、∠2與∠4是對(duì)頂角，故本選項(xiàng)不符合題意；D、∠5與2不是內(nèi)錯(cuò)角，故本選項(xiàng)符合題意．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了同位角、對(duì)頂角、同旁內(nèi)角、內(nèi)錯(cuò)角的定義，解答此題的關(guān)鍵是確定三線八角，可直接從截線入手．對(duì)平面幾何中概念的理解，一定要緊扣概念中的關(guān)鍵詞語(yǔ)，要做到對(duì)它們正確理解，對(duì)不同的幾何語(yǔ)言的表達(dá)要注意理解它們所包含的意義．2．（2021·江蘇·開(kāi)明中學(xué)九年級(jí)期末）如圖，直線a∥b，直線AB⊥AC，若∠1＝52°，則∠2的度數(shù)是（）A．38° B．42° C．48° D．52°【答案】A【解析】【分析】利用直角三角形的性質(zhì)先求出∠B，再利用平行線的性質(zhì)求出∠2．【詳解】解：∵AB⊥AC，∠1＝52°，∴∠B＝90°﹣∠1＝90°﹣52°＝38°∵a∥b，∴∠2＝∠B＝38°．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)、兩直線平行同位角相等，直角三角形兩個(gè)銳角互余等知識(shí)，在基礎(chǔ)考點(diǎn)，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．3．（2022·福建·晉江市季延中學(xué)七年級(jí)期末）如圖，和分別為直線與直線和相交所成角．如果，那么添加下列哪個(gè)條件后，可判定．（）．A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】通過(guò)同位角相等兩直線平行進(jìn)行判定即可.【詳解】A.∵，∴∠3=180o-∠2=62o=∠1，∴能判定，此選項(xiàng)正確；B.∵，∴∠3=180o-∠4=52o≠∠1，∴不能判定，此選項(xiàng)錯(cuò)誤；C.∵，∴∠3≠∠1，∴不能判定，此選項(xiàng)錯(cuò)誤；D.∵，∴∠3=∠28o≠∠1，∴不能判定，此選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：A【點(diǎn)睛】此題考查平行線的判定，掌握同位角相等兩直線平行是解答此題的關(guān)鍵.4．（2022·湖南·長(zhǎng)沙市開(kāi)福區(qū)青竹湖湘一外國(guó)語(yǔ)學(xué)校七年級(jí)期末）如圖，給出下列條件，①∠1=∠2，②∠3=∠4，③ADBE，且∠D=∠B，④ADBE，且∠DCE=∠D，其中能推出ABDC的條件為（）A．①② B．②③ C．③④ D．②③④【答案】B【解析】【分析】根據(jù)平行線的判定逐個(gè)判斷即可．【詳解】①∠1=∠2，②∠3=∠4，③ADBE，∠D=∠B，④∠DCE=∠D，能推出ABDC的條件為②③故選B【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)與判定定理，掌握平行線的判定定理是解題的關(guān)鍵．二、填空題5．（2021·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖所示，直線a，b被c所截，∠1＝30°，∠2:∠3＝1:5，則直線a與b的位置關(guān)系是________．【答案】平行【解析】【分析】根據(jù)∠2:∠3＝1:5，求出的度數(shù)，然后根據(jù)同位角相等兩直線平行進(jìn)行解答即可．【詳解】解：∵∠2:∠3＝1:5，∴∠2＝30°，∴∠1＝∠2，∴a∥b，故答案為：平行．【點(diǎn)睛】本題考查了角的和差倍分求角度以及平行的判定，根據(jù)題意求出∠2＝30°是解本題的關(guān)鍵．6．（2021·上海浦東新·七年級(jí)期中）如圖，已知AB∥CD，∠ABC＝120°，∠1＝27°，則直線CB和CE的夾角是_____°．【答案】93【解析】【分析】AB∥CD，∠DCB＝∠ABC＝120°，將角度代入∠BCE＝∠DCB-∠1求解即可．【詳解】解：∵AB∥CD∴∠DCB＝∠ABC＝120°又∵∠1＝27°∴∠BCE＝∠DCB-∠1=93°故答案為93．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線中關(guān)于內(nèi)錯(cuò)角的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵在于熟練使用兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等的性質(zhì)．7．（2021·山東·濟(jì)寧市第十五中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，已知的面積為16，．現(xiàn)將沿直線向右平移個(gè)單位到的位置．當(dāng)所掃過(guò)的面積為32時(shí)，那么的值為_(kāi)_________．【答案】4【解析】【分析】作AH⊥BC于H，根據(jù)△ABC的面積為16，BC=8，可先求出AH的長(zhǎng)，△ABC所掃過(guò)的面積為32，即可求出a的值.【詳解】解：如圖，連接AD，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BC交BC于H.∵SΔABC=16,BC=8,即BC?AH=×8×AH=16,∴AH=4,∴S梯形ABFD=∴a=4,故答案為4.【點(diǎn)睛】本題考查了圖形的平移，靈活運(yùn)用圖形面積間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.8．（2021·北京市海淀區(qū)清華附中稻香湖學(xué)校七年級(jí)期末）一副直角三角板疊放如圖所示，現(xiàn)將含30°角的三角板ABC固定不動(dòng)，把含45°角的三角板ADE繞頂點(diǎn)A順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，若0°＜∠BAD＜180°，要使兩塊三角板至少有一組互相平行，則符合要求的∠BAD的值為_(kāi)_______．【答案】45°或90°或120°【解析】【分析】分三種情況根據(jù)平行線的性質(zhì)解答即可．【詳解】解：如圖1，當(dāng)AE//BC時(shí)，則∠BAE+∠ABC=180°，∴∠BAE=180°-90°=90°,∴∠BAD＝90°-45°=45°；如圖2，當(dāng)DE//AB時(shí)，∠BAD＝∠D=90°；如圖3，當(dāng)DE//AC時(shí)，則∠CAD=∠D=90°，∴∠BAD＝30°+90°=120°；綜上所述，滿足條件的∠BAD的值為45°或90°或120°．故答案為：45°或90°或120°．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．平行線的性質(zhì)：①兩直線平行同位角相等，②兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等，③兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)．在運(yùn)用平行線的性質(zhì)定理時(shí)，一定要找準(zhǔn)同位角，內(nèi)錯(cuò)角和同旁內(nèi)角．三、解答題9．（2021·上海奉賢·七年級(jí)期末）如圖，已知AE平分∠BAC交BC于點(diǎn)E，AF平分∠CAD交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，∠B＝64°，∠EAF＝58°，試判斷AD與BC是否平行．解：∵AE平分∠BAC，AF平分∠CAD（已知），∴∠BAC＝2∠1，∠CAD＝（）．又∵∠EAF＝∠1+∠2＝58°，∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝2（∠1+∠2）＝°（等式性質(zhì)）．又∵∠B＝64°（已知），∴∠BAD+∠B＝°．∴（）．【答案】2∠2；角平分線的定義；116；180；AD；BC；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行【解析】【分析】由AE平分∠BAC，AF平分∠CAD，利用角平分線的定義可得出∠BAC＝2∠1，∠CAD＝2∠2，結(jié)合∠EAF＝∠1+∠2＝58°可得出∠BAD＝116°，由∠B＝64°，∠BAD＝116°，可得出∠BAD+∠B＝180°，再利用“同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行”即可得出AD∥BC．【詳解】解：∵AE平分∠BAC，AF平分∠CAD（已知），∴∠BAC＝2∠1，∠CAD＝2∠2（角平分線的定義）．又∵∠EAF＝∠1+∠2＝58°，∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝2（∠1+∠2）＝116°（等式性質(zhì)）．又∵∠B＝64°（已知），∴∠BAD+∠B＝180°．∴AD∥BC（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）．故答案為：2∠2；角平分線的定義；116；180；AD；BC；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行．【點(diǎn)睛】此題考查了角平分線的定義，角的計(jì)算，平行線的判定．正確掌握線段、角、相交線與平行線的知識(shí)是解題的關(guān)鍵，還需掌握推理能力．10．（2022·廣東陽(yáng)山·八年級(jí)期末）如圖，AB∥DG，∠1+∠2＝180°．（1）試說(shuō)明：AD∥EF；（2）若DG是∠ADC的平分線，∠2＝142°，求∠B的度數(shù)．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）∠B＝38°．【解析】【分析】（1）由AB∥DG，得到∠BAD＝∠1，再由∠1+∠2＝180°，得到∠BAD+∠2＝180°，由此即可證明；（2）先求出∠1＝38°，由DG是∠ADC的平分線，得到∠CDG＝∠1＝38°，再由AB∥DG，即可得到∠B＝∠CDG＝38°．【詳解】（1）∵AB∥DG，∴∠BAD＝∠1，∵∠1+∠2＝180°，∴∠BAD+∠2＝180°.∵AD∥EF.（2）∵∠1+∠2＝180°且∠2＝142°，∴∠1＝38°，∵DG是∠ADC的平分線，∴∠CDG＝∠1＝38°，∵AB∥DG，∴∠B＝∠CDG＝38°．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)與判定，角平分線的定義，熟知平行線的性質(zhì)與判定條件是解題的關(guān)鍵．11．問(wèn)題情景：如圖1，AB∥CD，∠PAB＝140°，∠PCD＝135°，求∠APC的度數(shù)．（1）麗麗同學(xué)看過(guò)圖形后立即口答出：∠APC＝85°，請(qǐng)補(bǔ)全她的推理依據(jù)．如圖2，過(guò)點(diǎn)P作PE∥AB，因?yàn)锳B∥CD，所以PE∥CD．（）所以∠A+∠APE＝180°，∠C+∠CPE＝180°．（）因?yàn)椤螾AB＝140°，∠PCD＝135°，所以∠APE＝40°，∠CPE＝45°，∠APC＝∠APE+∠CPE＝85°．問(wèn)題遷移：（2）如圖3，AD∥BC，當(dāng)點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β，求∠CPD與∠α、∠β之間有什么數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）在（2）的條件下，如果點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)外側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)P與點(diǎn)A、B、O三點(diǎn)不重合），請(qǐng)直接寫出∠CPD與∠α、∠β之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】（1）平行于同一條直線的兩條直線平行（或平行公理推論），兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；（2），理由見(jiàn)解析；（3）或【解析】【分析】（1）根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)填寫即可；（2）過(guò)P作PE∥AD交CD于E，推出AD∥PE∥BC，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出答案；（3）畫出圖形（分兩種情況①點(diǎn)P在BA的延長(zhǎng)線上，②點(diǎn)P在AB的延長(zhǎng)線上），根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出答案．【詳解】解：（1）如圖2，過(guò)點(diǎn)P作PE∥AB，因?yàn)锳B∥CD，所以PE∥CD．（平行于同一條直線的兩條直線平行）所以∠A+∠APE＝180°，∠C+∠CPE＝180°．（兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)）因?yàn)椤螾AB＝140°，∠PCD＝135°，所以∠APE＝40°，∠CPE＝45°，∠APC＝∠APE+∠CPE＝85°．故答案為：平行于同一條直線的兩條直線平行；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；（2）∠CPD=∠α+∠β，理由如下：如圖3所示，過(guò)P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠α+∠β；（3）當(dāng)P在BA延長(zhǎng)線時(shí)，如圖4所示：過(guò)P作PE∥AD交CD于E，同（2）可知：∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，∴∠CPD=∠β-∠α；當(dāng)P在AB延長(zhǎng)線時(shí)，如圖5所示：同（2）可知：∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，∴∠CPD=∠α-∠β．綜上所述，∠CPD與∠α、∠β之間的數(shù)量關(guān)系為：∠CPD=∠β-∠α或∠CPD=∠α-∠β．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)和判定定理，正確作出輔助線是解答此題的關(guān)鍵．12．已知AB∥CD，點(diǎn)E在AB上，點(diǎn)F在DC上，點(diǎn)G為射線EF上一點(diǎn)．【基礎(chǔ)問(wèn)題】如圖1，試說(shuō)明：∠AGD＝∠A＋∠D．（完成圖中的填空部分）．證明：過(guò)點(diǎn)G作直線MN∥AB，又∵AB∥CD，∴MN∥CD（）∵M(jìn)N∥AB，∴∠A＝（）（）∵M(jìn)N∥CD，∴∠D＝（）∴∠AGD＝∠AGM＋∠DGM＝∠A＋∠D．【類比探究】如圖2，當(dāng)點(diǎn)G在線段EF延長(zhǎng)線上時(shí)，直接寫出∠AGD、∠A、∠D三者之間的數(shù)量關(guān)系．【應(yīng)用拓展】如圖3，AH平分∠GAB，DH交AH于點(diǎn)H，且∠GDH＝2∠HDC，∠HDC＝22°，∠H＝32°，直接寫出∠DGA的度數(shù)．【答案】基礎(chǔ)問(wèn)題：平行于同一條直線的兩條直線平行；∠AGM；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；∠DGM，兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；類比探究：∠AGD＝∠A-∠D；應(yīng)用拓展：42°．【解析】【分析】基礎(chǔ)問(wèn)題：由MN∥AB，可得∠A＝∠AGM，由MN∥CD，可得∠D＝∠DGM，則∠AGD＝∠AGM＋∠DGM＝∠A＋∠D；類比探究：如圖所示，過(guò)點(diǎn)G作直線MN∥AB，同理可得∠A＝∠AGM，∠D＝∠DGM，則∠AGD＝∠AGM-∠DGM＝∠A-∠D．應(yīng)用拓展：如圖所示，過(guò)點(diǎn)G作直線MN∥AB，過(guò)點(diǎn)H作直線PQ∥AB，由MN∥AB，PQ∥AB，得到∠BAG＝∠AGM，∠BAH=∠AHP，由MN∥CD，PQ∥CD，得到∠CDG＝∠DGM，∠CDH=∠DHP，再由∠GDH＝2∠HDC，∠HDC＝22°，∠AHD＝32°，可得∠GDH=44°，∠DHP=22°，則∠CDG=66°，∠AHP=54°，∠DGM=66°，∠BAH=54°，再由AH平分∠BAG，即可得到∠AGM=108°，則∠AGD=∠AGM-∠DGM=42°．【詳解】解：基礎(chǔ)問(wèn)題：過(guò)點(diǎn)G作直線MN∥AB，又∵AB∥CD，∴MN∥CD（平行于同一條直線的兩條直線平行），∵M(jìn)N∥AB，∴∠A＝∠AGM（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），∵M(jìn)N∥CD，∴∠D＝∠DGM（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），∴∠AGD＝∠AGM＋∠DGM＝∠A＋∠D．故答案為：平行于同一條直線的兩條直線平行；∠AGM；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；∠DGM，兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；類比探究：如圖所示，過(guò)點(diǎn)G作直線MN∥AB，又∵AB∥CD，∴MN∥CD，∵M(jìn)N∥AB，∴∠A＝∠AGM，∵M(jìn)N∥CD，∴∠D＝∠DGM，∴∠AGD＝∠AGM-∠DGM＝∠A-∠D．應(yīng)用拓展：如圖所示，過(guò)點(diǎn)G作直線MN∥AB，過(guò)點(diǎn)H作直線PQ∥AB，又∵AB∥CD，∴MN∥CD，PQ∥CD∵M(jìn)N∥AB，PQ∥AB，∴∠BAG＝∠AGM，∠BAH=∠AHP，∵M(jìn)N∥CD，PQ∥CD，∴∠CDG＝∠DGM，∠CDH=∠DHP，∵∠GDH＝2∠HDC，∠HDC＝22°，∠AHD＝32°，∴∠GDH=44°，∠DHP=22°，∴∠CDG=66°，∠AHP=54°，∴∠DGM=66°，∠BAH=54°，∵AH平分∠BAG，∴∠BAG=2∠BAH=108°，∴∠AGM=108°，∴∠AGD=∠AGM-∠DGM=42°．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，平行公理，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握平行線的性質(zhì)．13．如圖，，點(diǎn)E為兩直線之間的一點(diǎn)(1)如圖1，若，，則____________；(2)如圖2，試說(shuō)明，；(3)①如圖3，若的平分線與的平分線相交于點(diǎn)F，判斷與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；②如圖4，若設(shè)，，，請(qǐng)直接用含、的代數(shù)式表示的度數(shù)．【答案】(1)(2)見(jiàn)解析(3)①，理由見(jiàn)解析；②【解析】【分析】（1）如圖①，過(guò)點(diǎn)E作EFAB．利用平行線的性質(zhì)即可解決問(wèn)題；（2）如圖②中，作EGAB，利用平行線的性質(zhì)即可解決問(wèn)題；（3）結(jié)合（1）、（2）的結(jié)論，進(jìn)行等量代換即可求解．(1)解：過(guò)E點(diǎn)作EFAB，∵ABCD，∴EFCD，∵ABCD，∴∠BAE＝∠1，∵EFCD，∴∠2＝∠DCE，∴∠BAE＋∠DCE＝∠AEC．∵，，∴(2)過(guò)E點(diǎn)作ABEG．∵ABCD，∴EGCD，∵ABCD，∴∠BAE＋∠AEG＝180°，∵EGCD，∴∠CEG＋∠DCE＝180°，∴∠BAE＋∠AEC＋∠DCE＝360°．(3)①由（1）知，∵FA為∠BAE平分線，CF為平分線，∴，∴，即，由（2）知∠BAE＋∠AEC＋∠DCE＝360°，∴，②由①知，∵，，，∴即，∴，∵，∴．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加輔助線構(gòu)造平行線解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．14．如圖，AB//CD，定點(diǎn)E，F(xiàn)分別在直線AB，CD上，在平行線AB，CD之間有一動(dòng)點(diǎn)P，且滿足0°＜∠EPF＜180°，QE，QF分別平分∠PEB和∠PFD．在探究∠EPF與∠EQF之間的數(shù)量關(guān)系時(shí)，我們需要對(duì)點(diǎn)P的位置進(jìn)行分類討論：（1）如圖1，當(dāng)P點(diǎn)在EF的右側(cè)時(shí)，若∠EPF＝110°，則∠EQF＝；猜想∠EPF與∠EQF的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)直接寫出結(jié)果；（2）如圖2，當(dāng)P點(diǎn)在EF的左側(cè)時(shí)，探究∠EPF與∠EQF的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）若∠BEQ與∠DFQ的角平分線交于點(diǎn)Q1，∠BEQ1與∠DFQ1的角平分線交于點(diǎn)Q2，∠BEQ2與∠DFQ2的角平分線交于點(diǎn)Q3；…以此類推，則∠EPF與∠EQ2021F滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？【答案】（1）55°；∠EPF＝2∠EQF；（2）2∠EQF+∠EPF＝360°，理由見(jiàn)解析；（3）∠EPF+22022?∠EQ2021F＝360°或∠EPF＝22022∠EQ2021F【解析】【分析】（1）過(guò)P作PM//AB，過(guò)Q作QN//AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的定義便可解決問(wèn)題；（2）如圖2，過(guò)P作PM//AB，過(guò)Q作QN//AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的定義便可2∠EQF+∠EPF＝360°；（3）分兩種情況討論，根據(jù)（1）中的解題方法得∠Q1＝（∠BEP+∠DFP），∠Q2＝（∠BEP+∠DFP），∠（α+β）…由此得出規(guī)律∠Qn＝（）n（∠BEP+∠DFP），再由（2）的結(jié)論2∠EQF+∠EPF＝360°，∠BEP+∠DFP＝∠EQF，便可計(jì)算出∠EPF+2n+1?∠EQnF的結(jié)果，從而得出結(jié)論．【詳解】解：（1）過(guò)P作PM//AB，過(guò)Q作QN//AB，∵AB//CD，∴AB//CD//PM，AB//CD//QN，∴∠BEP＝∠MPE，∠DFP＝∠MPF，∠BEQ＝∠NQE，∠DFQ＝∠FQN，∴∠BEP+∠DFP＝∠MPE+∠MPF＝∠EPF＝110°，∠BEQ+∠DFQ＝∠NQE+∠NQF＝∠EQF，∵QE，QF分別平分∠PEB和∠PFD，∴∠BEQ+∠DFQ＝（∠BEP+∠DFP）＝×110°＝55°；猜想：∠EPF與∠EQF的數(shù)量關(guān)系為∠EPF＝2∠EQF．理由如下：∵AB//CD，∴AB//CD//PM，AB//CD//QN，∴∠BEP＝∠MPE，∠DFP＝∠MPF，∠BEQ＝∠NQE，∠DFQ＝∠FQN，∴∠BEP+∠DFP＝∠MPE+∠MPF＝∠EPF，∠BEQ+∠DFQ＝∠NQE+∠NQF＝∠EQF，∵QE，QF分別平分∠PEB和∠PFD，∴2（∠BEQ+∠DFQ）＝∠BEP+∠DFP＝∠EPF，即∠EPF＝2∠EQF；故答案為：55°；（2）2∠EQF+∠EPF＝360°．理由如下：如圖2，過(guò)P作PM//AB，過(guò)Q作QN//AB，∵AB//CD，∴AB//CD//PM，AB//CD//QN，∴∠BEP+∠MPE＝180°，∠DFP+∠MPF＝180°，∠BEQ＝∠NQE，∠DFQ＝∠FQN，∴∠BEP+∠DFP+∠MPE+∠MPF＝360°，即∠BEP+∠DFP+∠EPF＝360°，∠EQF∠BEQ+∠DFQ＝∠NQE+∠NQF＝∠EQF，∵QE，QF分別平分∠PEB和∠PFD，∴∠BEQ+∠DFQ＝（∠BEP+∠DFP）＝∠EQF，即∠BEP+∠DFP＝2∠EQF，∴2∠EQF+∠EPF＝360°；（3）當(dāng)點(diǎn)P在EF的左側(cè)，根據(jù)（1）的方法可得∠Q1＝（∠BEP+∠DFP）＝∠EQF，∠Q2＝（∠BEP+∠DFP）＝∠EQF，…則∠Qn＝（）n（∠BEP+∠DFP）＝（）n∠EQF，∵2∠EQF+∠EPF＝360°，∠BEP+∠DFP＝2∠EQF，∴∠EPF+2n+1?∠EQnF＝360°．當(dāng)點(diǎn)P在EF的右側(cè)，同理可求∠EPF＝2n+1∠EQnF．綜上，∠EPF+22022?∠EQ2021F＝360°或∠EPF＝22022∠EQ2021