北京市某校2024-2025學年高三年級上冊統(tǒng)測（一）數(shù)學試卷（含答案解析）

北京市回民學校2024-2025學年高三上學期統(tǒng)測（一）數(shù)學試

卷

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.已知集合”={0,1,2},N={#-3x<0},則MAN=（）

A.{0,1,2}B.{1,2}C.{x|0Vx<3}D.{x[0<x<3}

2.若i為虛數(shù)單位，復數(shù)z=5,則彳=（）

1

A.-1+iB.-1-iC.1-iD.1+i

3.函數(shù)/（尤）=ln（尤+1）+G萬的定義域為（）

A.（-a）,-l）B.（-1,1]

C.[l,+8）D.（-oo,-l）u[1,4-00）

4.在等差數(shù)列{%}中，%-%=2,a4=1,則@=（）

A.5B.4C.3D.2

5.已知函數(shù)了5卜6^^^指。：，則（）

A.為偶函數(shù)且周期為4兀B.〃尤）為奇函數(shù)且在上有最小值

C.〃尤）為偶函數(shù)且在[上單調遞減D.?。槠婧瘮?shù)且與為一個對稱中心

6.設q>0,6>0,則“l(fā)g（a+b）>0"是"蹴必）〉?！钡模ǎ?/p>

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

7.已知雙曲線C經過點（0』），離心率為2,則C的標準方程為（）

22

A.f_2L=iB.—-y2=l

33'

8.設M是拋物線y2=4x上的一點，尸是拋物線的焦點，。足坐標原點，若/ORW=120。,

則時1=()

A.5B.4C.3D.2

9.已知等差數(shù)列｛4｝的前〃項和為Sn,若邑=30,4=4,則$9=()

A.54B.63

C.72D.135

10.如圖，正方體ABCD-AB.C.D,中，點P為線段BQ上的動點,則下列結論正

確的個數(shù)是()

(1)三棱錐A-RPC的體積為定值；

(2)直線"與平面ACp所成的角的大小不變；

(3)直線"與4。所成的角的大小不變，

(4)\CLDP.

A.1B.2C.3D.4

二、填空題

11.在的展開式中，常數(shù)項為.(用數(shù)字作答)

2

12.已知函數(shù)y(x)=/+log2x,則〃8)=-----.

13.VABC為等邊三角形，且邊長為2,則也與第的夾角大小為,若

\BD\=l,CE=EA,則通.而的最小值為.

14.在VABC中，^A=n0°,a=4l9,b-c=l,則VABC的面積為.

15.設aeR,函數(shù)/(x)=：:,給出下列四個結論：

x—3ax+2a,x>1

試卷第2頁，共4頁

①當a=l時，的最小值為-:；

②存在a>0,使得〃x）只有一個零點；

③存在a>0,使得〃x）有三個不同零點；

④Wae（e,O）,在R上是單調遞增函數(shù).

其中所有正確結論的序號是.

三、解答題

16.VABC的內角A、B、C的對邊分別為a、b、c,已知acosB=JOsinA.

⑴求角B的大小；

（2）若。=3；從以下3個條件中選擇1個作為已知條件，使三角形存在且唯一確定，并求AABC

的面積.

條件①：6=20;

2

條件②：cosC=--;

條件③：c=2.

17.某中學組織全體學生開展了豐富多彩的體育實踐活動.為了解該校學生參與活動的情況，

隨機抽取100名學生作為樣本，統(tǒng)計他們參加體育實踐活動時間（單位：分鐘），得到下表：

時間人數(shù)類別[0,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]

男51213898

性別

女69101064

初中10

學段

高中41312754

（1）從該校隨機抽取1名學生，若已知抽到的是女生，估計該學生參加體育實踐活動時間在

［60,70）的概率；

⑵從該校參加體育實踐活動時間在［80,90）學生中隨機抽取2人，在［90,100）的學生中隨機

抽取1人，求其中至少有1名初中學生的概率；

（3）假設同組中每個數(shù)據用該組區(qū)間中點值代替，樣本中的100名學生參加體育實踐活動時

間的平均數(shù)記為〃。，初中、高中學生參加體育實踐活動時間的平均數(shù)分別記為從，兒，試比

較〃o與色受的大小關系.（結論不要求證明）

18.如圖在幾何體ABC。尸E中，底面A8CD為菱形，ZABC=60°,AE//DF,AEVAD,

AB=AE=2DF=4.

E

BC

（1）判斷A。是否平行于平面CEF,并證明；

⑵若面石18_1面48。；求：

（i）平面ABC。與平面CEE所成角的大??；

（ii）求點A到平面CEF的距離.

19.已知函數(shù)=-oxjlnx-:尤②+辦.

⑴求曲線y=〃尤）在點。"⑴）處的切線方程；

⑵求函數(shù)〃x）的極值點.

20.已知圓。經過橢圓C：/+%=l（a>b>0）的兩個焦點以及兩個頂點，且點/《J在

橢圓C上.

⑴求橢圓C的方程；

（2）若直線/與圓。相切，與橢圓C交于M、N兩點，且|MN|=g,求直線/的傾斜角.

21.已知函數(shù)〃x）=xln（2x+l）-依。

（1）求曲線y=/（X）在點（0,/（0））處的切線方程；

⑵當。<0時，求證：函數(shù)/（%）存在極小值.

試卷第4頁，共4頁

參考答案:

題號12345678910

答案BDCACBCBBC

1.B

【分析】化簡集合N,根據交集運算法則求McN.

【詳解】不等式/一3工＜0的解集為卜|0。＜3},

所以N={x|O＜尤＜3},又以={0,1,2},

所以A/nN={l,2},

故選：B.

2.D

【分析】首先化簡復數(shù)，再求共輾復數(shù).

1i1

【詳解】Z=l±i=(±)i=z±i=i.i,貝Ij2=l+i.

11-1

故選：D

3.C

及fx+1＞0

【分析】解不等式組［、八即得解.

fx+1＞0

【詳解】由題得八解得xNl;

［尤-120

所以函數(shù)的定義域為［1,”).

故選：C

4.A

【分析】求出等差數(shù)列{%}的公差，進而可求得久的值.

【詳解】由題意可知，等差數(shù)列{4}的公差為d=%管=g,因止匕，&=4+8d=1+8x：=5.

故選：A.

5.C

【分析】由二倍角公式得/(x)=cosx,再根據余弦函數(shù)性質判斷即可；

【詳解】解：因為/(x)=cos￡-sin2a=cosx,

答案第1頁，共15頁

所以，函數(shù)f(x)為偶函數(shù)且周期為2兀，在上單調遞減.

所以，ABD選項錯誤，C選項正確.

故選：C

6.B

【分析】將對數(shù)不等式進行等價變換，結合a>0,可判斷必的取值范圍，

從而判斷l(xiāng)g(〃+9與1g(助的關系.

【詳解】因為lg(〃+Z?)>Oolg(a+b)>lgloa+b>l,又

所以Q+0當且僅當〃=8時取等號，即〃?！担?，

又1g(曲)>0<=>lg(tzZ?)>lgl<=>tzZ?>l,

所以不能推出m>1,所以電(4+3>0是lg(")>0的不充分條件；

又ab>l=>ab>：,所以lg(a+b)>0是lg(")>0的必要條件，

所以lgS+b)>0是1g(必)>0的必要不充分條件.

故選：B.

7.C

【分析】根據題意設出雙曲線方程，在根據離心率公式，即可求出。

【詳解】由題意知，雙曲線的焦點在y軸上，

22

設雙曲線的方程為與一==1(。>。8>0),

ab

因為雙曲線C經過點(0,1),所以。=1,

因為e=￡=2,所以c=2,

a

所以〃=。2_儲=4_1=3,

所以雙曲線的標準方程為丫?一］=1.

故選：C

8.B

【分析】過點Af作拋物線準線/的垂線，垂足為點N,連接尸N,分析出AWM為等邊三

角形，求出|印|,即可得解.

答案第2頁，共15頁

【詳解】過點M作拋物線準線/的垂線，垂足為點N,連接印，如下圖所示:

因為/函/=120。，A/N〃x軸，則/FMN=60。，

由拋物線的定義可得|MN|=|RW],所以47?為等邊三角形，則/RVM=60。，

拋物線y2=4x的準線方程為x=-l,

設直線x=-l交x軸于點￡,則/硒F=30。，

易知|EF|=2,ZFEN=90°,則|府|=|印|=2怛耳=4.

故選：B.

9.B

【分析】根據給定條件，利用等差數(shù)列的性質求出出，再求出Sg.

【詳解】等差數(shù)列｛風｝中，由$3=30,得3%=4+g+%=30,解得的=10,而。8=4,

所以Sg=9（4；%）=9m2；%）=63.

故選：B

10.C

【分析】由己知可得BG〃面AC2,可得上任意一點到平面ARC的距離相等，即可判

斷（1）；點尸在直線BG上運動時，直線A3與平面ARC所成的角和直線AG與平面ARC所

成的角不相等，即可判斷（2）；根據線面垂直的判定定理可證得平面ABG2,再由

線面垂直的性質即可判斷（3）；由線面垂直的判定定理可證，平面即可判斷（4）

【詳解】

答案第3頁，共15頁

對于(1),因為BCJ/AR,2Gz面AC。AD,u面ACDlt所以BQ〃面ACDt,

所以BG上任意一點到平面ARC的距離相等，又VA-CPD,=Vp-CAD.,所以三棱錐A-D.PC的

體積不變，故正確；

對于(2),點尸在直線SC】上運動時，直線與平面ADQ所成的角和直線AC】與平面ARC

所成的角不相等，故錯誤；

對于(3),設ADJ=則又至，面AW),所以又

AB^ADl=A,所以AQ1平面ABGQ,

又APu平面ABG2,所以AQ^AP,所以點尸在直線BC上運動時，直線AP與直線4。

所成的角的大小不變，故正確；

對于(4),因為ABCD-AB。，為正方體，則44,_L平面ABC。，且BDu平面A3CZ),則

AA.1BD,又ACLBD,且A4]riAC=A,AA，ACu平面4AC,

所以即2平面AAC,且AC平面4AC,所以2。，AC,

又AA，平面BBCC，且BC|U平面BBCC，所以又4C_LBq,

且4百026=四，平面A4C,所以平面44C,

且ACU平面A4C,所以BG八AC,

又BCIC[BD=B,8G，BDu平面BOG，所以AC，平面BOG，

且。Pu平面BOG，所以ACDP,故正確；

故選：c

11.-8

答案第4頁，共15頁

【分析】先由二項式定理求出(2尤3一J)的展開式的通項公式，再求出常數(shù)項即可.

【詳解】因為12尤3一展開式的通項公式為：

Tr+,=C；(2/廣=(-1/-2-.=o,l,2,3,4,

令12-4r=0,解得r=3,

所以常數(shù)項為：7；=-2xC：=-8.

故答案為：-8

12.7

【分析】根據/(x)解析式代入即可求解.

【詳解】因為〃x)=?+log2x，所以48)=4+3=7.

故答案為：7

13.⑵。嚀-3-73

【分析】根據平面向量夾角的定義直接得出結果；根據題意可知E為AC的中點，利用平面

向量的線性運算和數(shù)量積的運算律計算可得ADBE=-3+cos<BD,BE>,結合平面向

量夾角的范圍即可得出結果.

【詳解】由題意知，如圖，

由VABC為等比三角形，得8=60°,

所以<而麻>=120°；

因為屈=麗，所以點E為AC的中點，

turn1mmiLOT

則8石=萬24+萬3(?,又通=通+而，

所以而.麗=(通+茄).(；麗+；前)

=--\AB^+-ABBC+-BDBA+-BDBC

VI222

11。1—.—.―.

=--x4+-x2x2cosl20+-BD(BA+BC)

=-3+BOB￡=-3+|BD||BE|COS<BD,B￡>,

答案第5頁，共15頁

=—3+6cos<BD,BE>,

又〈彷，麗>w[0,180°],所以cos<麗，詼>1111n=-1,

所以(蒞?函1nhi=-3-若.

故答案為：120°；-3-6.

2

【分析】根據給定條件，利用余弦定理求出牡，再利用三角形面積公式計算即得.

【詳解】在VABC中，由余弦定理得力="+由「力ccosA,貝！h9="+c2+bc,

BP19=(b-c)2+3bc,而6-c=l,解得6c=6,

所以VABC的面積為S=Lcsin120。=L6x苴=

2222

故答案為：—

2

15.②③

【分析】分析函數(shù)在(-41)上的取值范圍即可判斷①，對零點在(-8,1)、［1,也)討論，即

可判斷②，③，使得函數(shù)在各段單調性，且在斷點左側的函數(shù)值不大于斷點右側函數(shù)值，即

可判斷④.

2,—”,x<1

【詳解】因為"x)=

x2-3OX+2O1,x>l

當x<l時/(x)=2，-a,則函數(shù)在(-8,1)上單調遞增,

又函數(shù)y=f-3依+2a2的對稱軸為x=y,

答案第6頁，共15頁

對于①：當a=l時〃x）=]一;11

[x-3x+2,x>1

當x<l時0<2，<2,所以一1<2，一1<1，HP-1</（X）<1,故①錯誤；

對于②：當零點位于（-與1）時，則解得0<〃<2,

W0<—<3,

2

若0W1,即時/（元）在[1,+⑹上單調遞增，

此時只需/（1）=1一3.+2/>0,解得或a<g,所以0<a<；,

若科>1,即時，此時△=91-842=〃>0,則/（x）在口,+⑹上至少還有1個零點，

故不符合題意，

所以0<a<g；

當零點位于[L+s）,此時“X）在（-雙1）上無零點，則2-公0,解得此2,

此時△>（）且如■>：!,

2

要使函數(shù)“X）只有一個零點，貝職需〃l）=l-3a+2a2<0,解得;<。<1,

又a>2,顯然。無解，所以此種情況不符合題意；

綜上可得當0<。<；時/（尤）只有一個零點，故②正確；

對于③：使得了（“有三個不同零點，則必然是在（-8,1）上有一個零點，在[L+s）上有兩個

零點，

2】-〃〉0

-0

貝dV

j?,解得l<av2,

32a>1

〃

Il）=l-3^+2tz2>0

所以當14。<2時有三個不同零點，故③正確；

2'-QW1-3。+2Q2?—

對于④：若/（“在R上是單調遞增函數(shù)，則即<]，解得〃V三包

答案第7頁，共15頁

所以當與叵時/(x)在R上是單調遞增函數(shù)，故④錯誤.

故答案為：②③

【點睛】關鍵點點睛：第②問關鍵是分零點所在區(qū)間討論，結合二次函數(shù)的性質得到不等式

組，求出參數(shù)的取值范圍，第③問關鍵是分析得到在上有一個零點，在［1,+⑹上有

兩個零點.

7T

16.⑴3

O

(2)答案見解析

【分析】(1)利用正弦定理化邊為角并化簡可得tanB=1,再利用B的范圍可得答案；

3

(2)若選條件①，由余弦定理解得。，因不滿足唯一性，舍去；若選條件②，利用平方關

系得Sin。，再由兩角和的正弦公式可得sinA,由正弦定理解得再由三角形面積公式可

得答案；若選條件③，由面積公式可得答案.

【詳解】(1)設VABC的外接圓半徑為

由正弦定理可得。=2RsinA,b=2Rsin3,又qcosB=J§Z?sinA

所以sinAcosB=gsin3sinA,因為OvAv兀，所以sinAwO,

所以cosB=百sinB,故tanB=,

3

因為0<5<兀，所以5=

o

(2)若選條件①：由已知可得。=3,b=2五,B=J,

由余弦定理得倒=3?+c?-2x3cx咚，解得c=3幣即^,

因為答案不唯一，所以舍去.

2

若選條件②：因為cosC=—1,0<C<7l,

故=<C<兀，sinC=，

23

所以

sinA=sin(?i-B-C)=sinBcosC+cosBsinC=^x2V3V5_V15-2

H---------X--------=------------------

236

答案第8頁，共15頁

由正弦定理得二斤=JF-2,解得c=306+12石,

-------------11

36

則VABC的面積為S=-acsinB=必用超百

222

若選條件③：由已知可得a=3,c=2,由(1)3=?,

O

13

則VABC的面積為S=-acsinB=-.

22

*.⑴小

(2)巴

63

⑶4〉號.

【分析】(1)根據條件概率公式求解即可.

(2)根據相互獨立事件同時發(fā)生的概率公式求解即可.

(3)補全初中段的人數(shù)表格，再分別計算〃。,兒,〃2,即可得解.

【詳解】(1)女生共有6+9+10+10+6+4=45人，

記事件A為“從所有調查學生中隨機抽取1人，女生被抽到”，

事件8為“從所有調查學生中隨機抽取1人，參加體育活動時間在［60,70)”,

±

2

依題意,尸⑷嚏喙尸(明喂出則尸(則=黯=-

1209-

20

所以從該校隨機抽取1名學生，已知抽到的是女生，該學生參加體育活動時間在［60,70)的

2

概率約為

(2)時間在［80,90)的學生有10+5=15人，活動時間在［90,100］的初中學生有8+4-4=8人,

記事件C為“從參加體育活動時間在［80,90)的學生中隨機抽取2人，抽到初中學生”，

事件。為“從參加體育活動時間在［90,100］的學生中隨機抽取1人，抽到初中學生”，

依題意，事件C,〃相互獨立，且尸?=3=怖,尸(5)=5=］

V,一jv4J.JL

答案第9頁，共15頁

所以至少有1名初中學生的概率尸=1-尸(麗)=1-尸?尸(力)=1-不：=9

(3)根據男女生人數(shù)先補全初中學生各區(qū)間人數(shù):

時間人數(shù)類別[0,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]

男51213898

性別

女69101064

初中781111108

學段

高中41312754

初中生的總運動時間％=25x7+8x55+11x65+11x75+10x85+8x95=3765,

高中生的總運動時間,2=4x25+13x55+12x65+7x75+5x85+4x95=2925,

XAo=—(3765+2925)=66.9,4=王國。68.45,"乏=65,

顯然從+出＜24,所以外＞乂愛.

18.(1)AD與平面CEF不平行，證明見解析

⑵⑴]；5)2A/2

【分析】(1)取AE中點G,證明AD//Gb,假設AD//平面CEF,根據線面平行性質定

理證明AEV/EF,推出矛盾，可得結論；

(2)(i)證明線線垂直建立空間直角坐標系，利用空間向量的坐標運算求解平面與平面的

角，(ii)利用向量方法求點到平面距離.

【詳解】(1)AD不平行于平面CEF,理由如下：

取AE中點G,

答案第10頁，共15頁

因為AE〃。尸,AE=2。b，所以AG〃。rAG=。尸

則四邊形AGED為平行四邊形，所以AD//G產，

又GFcEF=F,所以AD不平行于￡F,

假設AD//平面CEF,

因為平面CEFc平面ADFE=EF,AOu平面ADFE

所以AD//EF,與AD不平行于所矛盾，

所以假設不成立，即AO不平行于平面CEF;

（2）取CD中點M,連接AM

因為菱形ABCD,/ABC=60。，

所以AACE>為正三角形，又M為CD中點，所以AMLCD,

由于AB//CD,所以A以_LAB,

又面石45_1_面鉆8,面EABc面ABCD=AB,AA/u面AB。

所以40_1面上45,因為AEu面E4B,所以AAf_LAE

又因為AE_LAD,AM^\AD=A,AMAD<^^ABCD,

所以隹_1面438,而A3,A"u面ABC。，所以

所以如圖，以A為原點，麗，麗7,正所在直線為龍，丁/軸的正方向建立空間直角坐標系,

則A(0,0,0),8(4,0,0),C(2,2百,0),E(0,0,4),P卜2,2g,2)

（i）因為他_1面438,所以荏=（0,0,4）為平面458的一個法向量

設平面CEF的法向量為n=(%y,z)，因為而=(-2,-2A/3,4),CF=(-4,0,2)

n-CE=-2x-2j3y+4z=0y=A/3X

所以令x=l為=(1,62)

n■CF=—4x+2z=0z=2x

設平面ABCD與平面CEF所成角為。,

答案第11頁，共15頁

I一.I勺8A/271

所以cose=|cos<",AE>|=1.__==—,貝I]e=:

1I|?|-|AE|2V2X424

7T

即平面ABCD與平面CEF所成角大小為了；

4

(ii)因為*=(2,260),由⑴知平面的一個法向量為萬=(1,62)

2+6

所以點A到平面CEF的距離為匕@=1+01=272.

\n\2V2

19.(l)y=a-1

(2)答案見解析

【分析】(1)求出函數(shù)的導函數(shù)，即可求出切線的斜率，從而求出切線方程；

(2)令/'。)=0,解得尤=1或工=1，再對。分4種情況討論，分別求出函數(shù)的單調區(qū)間與

極值點.

【詳解】(1)解：?.?函數(shù)/(%)=(爐-辦)lnx-9+◎的定義域為(0,+oo),

fr(x)=(2x—a)InXH-------x+a=(2x—a)]nx,

x

二曲線y=/(x)在點(i,7(i))處的切線方程為＞-(?-|)=0,即尸”：；

(2)解：令/'(x)=(2x-a)lnx=0,解得x=l或彳=■!，

①當0＜。＜2時，—＜1.

2

當x變化時，:(無)，/(x)變化情況如下表：

a

(0,1)(…1(1,+co)

2

+0—0+

/(X)單調遞增極大值單調遞減極小值單調遞增

???函數(shù)/(x)在(0弓)和(1,+8)上單調遞增，在c|,1)上單調遞減,

所以“X)的極大值點為X=(極小值點為X=l；

答案第12頁，共15頁

②當4=2時，ra）=2（x-l）lnxN0恒成立，

二函數(shù)/（X）在（0,+◎上單調遞增，函數(shù)無極值，即不存在極值點;

③當。＞2時，|＞1.

當X變化時，:（無），/（X）變化情況如下表：

（吟）a

(0,1)1(|，+8)

2

f,M+0—0+

f(x)單調遞增極大值單調遞減極小值單調遞增

二函數(shù)“X）在（0,1）和g,+8）上單調遞增，在（15）上單調遞減,

所以〃尤）的極大值點為尤=1,極小值點為X=￡;

④當4W0時，

當X變化時，:（尤），f（x）變化情況如下表：

(0,1)1(1,+8),

m—0+

/（尤）單調遞減極小值單調遞增

二函數(shù)/（X）在（0,1）上單調遞減，在。,收）上單調遞增，

所以/（X）的極小值點為尤=1,無極大值點.

綜上可得：當0＜。＜2時極大值點為尤=?,極小值點為無=1；

當a=2時不存在極值點；

當〃〉2時極大值點為x=l,極小值點為工="|；

當aW0時極小值點為尤=1,無極大值點.

20.（1）—+/=1;（2）工或任

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【分析】（1）先由題意得出6=c，可得出b與。的等量關系，然后將點的坐標代入橢圓C的方

程，可求出。與6的值，從而得出橢圓C的方程；（2）對直線/的斜率是否存在進行分類討論，

當直線/的斜率不存在時，可求出性必，然后進行檢驗；當直線/的斜率存在時，可設直線/

答案第13頁，共15頁

的方程為y=履+"設點"(石,%),N(%,%),先由直線/與圓。相切得出機與左之間的關系,

再將直線/的方程與橢圓C的方程聯(lián)立，由韋達定理，利用弦長公式并結合條件=g得

出％的值，從而求出直線/的傾斜角.

【詳解】(1)由題可知