線性代數(shù) 課件 趙建紅第8-10章 線性變換；位似變換和伸縮變換；旋轉(zhuǎn)變換、對稱變換和反射變換

第八章線性變換第八章

主要學(xué)習(xí)內(nèi)容變換線性變換變是絕對的，不變是相對的，數(shù)學(xué)就是在研究變與不變的客觀規(guī)律.變換是一個狀態(tài)到另一個狀態(tài)的轉(zhuǎn)化關(guān)系，這種關(guān)系可以用點的坐標(biāo)之間的函數(shù)關(guān)系來刻畫；剛好矩陣可以用來反映坐標(biāo)之間的變換關(guān)系，是研究變換的有力工具.本章主要介紹線性代數(shù)中變換和線性性的基本概念，以及線性變換的重要性和應(yīng)用.【導(dǎo)入】在日常生活中，如縮放、旋轉(zhuǎn)、投影等現(xiàn)象，都是線性代數(shù)中的變換用相機拍出的照片，可根據(jù)人們的需求進行適當(dāng)?shù)目s小或放大，見圖8-1.

圖8-1生活中常見的圖片放縮.第一節(jié)變換如果只考慮拍照，拍照前，現(xiàn)實世界中的事物是原像，拍照后，相機拍出的照片是像，所以也叫相片.如果考慮縮放變換，相機拍出的照片的每個點稱為原像，原像的集合就是定義域，而將其進行縮放后的圖片對應(yīng)的點稱為原像在這個縮放變換下的像，像的集合就是變換的值域.第一節(jié)變換地球每天都在圍繞其自轉(zhuǎn)軸和公轉(zhuǎn)軸進行旋轉(zhuǎn)，某個圖形繞一個具體的點按照一個具體方向轉(zhuǎn)動一個角度等，見圖8-2.圖8-2地球自轉(zhuǎn)可看成繞軸進行旋轉(zhuǎn)第一節(jié)變換

圖8-3地球表面的點可以看成隨自轉(zhuǎn)進行的旋轉(zhuǎn)第一節(jié)變換夏天大樹在陽光下的陰影可以看成大樹這個立體對地面的投影，同樣地將大樹上任意一點叫作原像，對應(yīng)到地面上的影子為該點在投影變換下的像，見圖8-4.當(dāng)然處理力學(xué)問題時討論力的分解，也可以看成合力在水平、垂直方向的兩個投影變換.圖8-4三維空間在平面上的投影“變”這一現(xiàn)象在宇宙中無時無刻都在進行著，不光上面介紹的例子.更一般的，斗轉(zhuǎn)星移、萬物生長、量子糾纏、測量物體等都物體前后對應(yīng)的關(guān)系都可以看成數(shù)學(xué)上的變換.數(shù)學(xué)上將這種對應(yīng)關(guān)系稱為映射，而在以往的學(xué)習(xí)中最常見的映射就是函數(shù).上面提到的變換就是一種映射，它將變化前后的對象以一種特殊但是確定的方式聯(lián)系在一起，這里的對象可以是數(shù)字、向量、函數(shù)、或是任何物體.第一節(jié)變換在8.1節(jié)中介紹到的所有變換在生活或是專業(yè)上經(jīng)常遇到的，如果想要了解到這些變換的更多的性質(zhì)，需要借助數(shù)學(xué)思維將這些含有實際背景的變換抽離出來.如果不考慮其他的因素，將現(xiàn)實世界中的景物拍成照片的過程就可以看作景物對底片做了一次投影變換。第二節(jié)線性變換僅考慮投影這一動作會發(fā)現(xiàn)還有許多這樣的例子，計算機斷層掃描（CT）同樣是將病人體內(nèi)的器官投影到影片上，繪制地圖的時候也可以看成將地球（曲面）投影到平面上.第二節(jié)線性變換

第二節(jié)線性變換在觀察某些星系的時候需要在特定的季節(jié)，特定的位置進行觀測，如何通過地球自、公轉(zhuǎn)的規(guī)律確定下一個觀測時間和地點？在進行CT掃描時，如何確定投影平面才能得到所需內(nèi)部器官的信息？這些問題都可以總結(jié)為變換是如何實現(xiàn)的？這樣的變換在工程應(yīng)用上又有怎樣的用途？為了弄清這些問題，線性代數(shù)發(fā)展出一系列的工具來研究說明這一主題.第二節(jié)線性變換

前面所提到的例子中，無論是投影變換、伸縮變換還是旋轉(zhuǎn)變換都有一個現(xiàn)象：在同一條直線上的原像經(jīng)過變換后得到的像仍舊在一條直線上.

例如，拍一張含有道路的照片，如果實際的道路是筆直的那么照片中呈現(xiàn)的像也將會是筆直的.可能照片上路的兩邊會相交在一點，但仍舊是直線，也就是說投影變換能夠保持直線的像仍是直線，或許角度會發(fā)生偏轉(zhuǎn)但不影響直線本身的形狀。即是在圖片上繼續(xù)進行擴大，線性代數(shù)上說所說的伸縮變換是將圖片的一邊或是兩邊同時進行拉伸，圖片上的景物可能會傾斜但筆直的公路仍然是筆直的.同樣在旋轉(zhuǎn)變換中也能清楚的看到這一性質(zhì)：地球表面筆直的公路不會因為旋轉(zhuǎn)變換而變得彎曲，無論自轉(zhuǎn)還是公轉(zhuǎn)也就是不管春夏秋冬、白天夜晚筆直的路都不會因為（單純的）旋轉(zhuǎn)變換而變得彎曲。這些變換有一些共同的特質(zhì)性質(zhì)：在處理兩個東西的時候會遵循向量的加法，而在處理一個東西被放大的時候會遵循數(shù)乘性.第二節(jié)線性變換這種規(guī)律不僅在數(shù)學(xué)中有用，在生活中也能幫助我們更好地理解變換的工作原理.數(shù)學(xué)上將這種性質(zhì)稱為變換的線性性，即可以將線段變?yōu)榫€段.有線性性的變換稱為線性變換，是線性代數(shù)中最重要的變換，也是現(xiàn)實世界中最常見的變換.第二節(jié)線性變換

第二節(jié)線性變換比如：旋轉(zhuǎn)變換不會改變向量之間的角度，因此它保持向量之間的線性關(guān)系.縮放變換會改變向量的大小，但不會改變它們之間的方向，因此它也保持向量之間的線性關(guān)系.可以簡單地說變換是將一個對象映射到另一個對象的函數(shù).

線性變換是一種特殊的變換，它保持向量加法和標(biāo)量乘法.在后面的介紹中，還將知道線性變換可以用矩陣表示，并具有許多重要的性質(zhì).第二節(jié)線性變換但是并不是所有的變換都具有線性性，就像8.1節(jié)中最后提到的動植物的生長就不具有線性性，因為生物在生長的過程中的變化并不一致，會在某一特殊時間段內(nèi)生長得快一些。同樣類似量子糾纏的雙星系統(tǒng)或者多體系統(tǒng)的軌道也不能由具有線性性的變換得到.生活中的變換大多都不具有嚴(yán)格的線性性，如果把煮面條看作一個變換，那這個變換也不具有線性性，因為原來看作線段的面條經(jīng)過“煮”變換后不都會呈現(xiàn)線段狀，這說明這個變換在作用的過程中不是“均勻的”.第二節(jié)線性變換事實上，這是數(shù)學(xué)物理中一個復(fù)雜的過程，但是在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中總是先簡單后復(fù)雜，先陌生后熟悉，就像微積分中的微分可以用來以直代曲，在實際應(yīng)用中也可以通過一些手段用比較簡單的線性變換去近似復(fù)雜的變換，這也是在大學(xué)的階段除了專業(yè)課程之外還需學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的原因.第二節(jié)線性變換后面將介紹在線性代數(shù)理論基礎(chǔ)上的線性變換，主要有位似變換、旋轉(zhuǎn)變換、投影變換和切變變換等幾類最常見的線性變換.

因此，線性變換是一類特殊的變換，最特殊的是線性變換可以保持變換前的直線依舊是直線，而變換僅僅是一種對應(yīng)關(guān)系，它不需要變換前后的物體一定要保持線性性，見圖8-5圖8-5線性代數(shù)上幾種重要的線性變換

圖8-6變換的定義域、取值空間和值域變換；線性變換?；仡櫯c小結(jié)思考題：課后習(xí)題A第一題的1、5。作業(yè)題：無復(fù)習(xí)思考題或作業(yè)題第九章位似變換與伸縮變換第九章

主要學(xué)習(xí)內(nèi)容矩陣位似變換及其矩陣表示

伸縮變換及其矩陣表示

伸縮變換的應(yīng)用：數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)圖形的伸縮在生活中被廣泛的應(yīng)用.比如，在查看不同比例尺的地圖時，就是在進行位似變換。地圖的縮放可以讓使用者在不同比例下觀察到相同區(qū)域的形狀和相對位置，而不改變它們的相似性.在數(shù)碼攝影中，拍攝者可以使用變焦鏡頭進行縮放。這是一種位似變換，因為它同時改變了場景的大小和形狀，但保持了物體之間的相對位置和幾何形狀，見圖9-1.【導(dǎo)入】圖9-1保持圖形相似的位似變換在幾何學(xué)中，如果兩個三角形的對應(yīng)角相等，它們被認為是相似的.通過位似變換，可以將一個相似三角形轉(zhuǎn)換為另一個，保持它們的形狀和角度關(guān)系.計算機圖形學(xué)中的圖像處理涉及到位似變換.通過縮放和旋轉(zhuǎn)，可以調(diào)整圖像的大小和方向，而仍然保持物體之間的幾何相似性.在三維建模和計算機輔助設(shè)計（CAD）中，位似變換用于調(diào)整和編輯三維模型的大小和形狀，同時保持模型內(nèi)部的比例關(guān)系.本章主要介紹一種特殊的線性變換：位似變換，主要闡述其標(biāo)準(zhǔn)矩陣通過矩陣乘法作用在向量上實現(xiàn)變換.緊接著介紹位似變換的一種更一般的形式：伸縮變換，它可以改變圖形的形狀和比例，常用于圖像編輯、地理信息系統(tǒng)、醫(yī)學(xué)圖像處理等領(lǐng)域.主要通過數(shù)學(xué)表達和幾何解釋介紹了位似變換和伸縮變換的概念和實現(xiàn)方式，包括它們的標(biāo)準(zhǔn)矩陣表示和幾何意義并得到一般性的結(jié)論。最后提到了一個有用的推論，即如果變換前后的坐標(biāo)之間的關(guān)系是一次式，那么這個變換一定是線性變換.另外在第三小節(jié)展現(xiàn)了伸縮變換在數(shù)據(jù)處理中的作用.

先考慮將某張圖片“擴大”3倍，將圖像的每個維度（寬度和高度）都增加到原始尺寸的3倍，見圖9-2，這是通過縮放操作來實現(xiàn)的.第一節(jié)位似變換及其矩陣表示圖9-2將原圖形“擴大”3倍觀察圖9-1可以發(fā)現(xiàn)除了落在坐標(biāo)原點的頂點坐標(biāo)未發(fā)生改變外，其余所有的坐標(biāo)均變原坐標(biāo)的3倍.在工程應(yīng)用上，建立線性變換的時候通常是觀察其表現(xiàn)即點與點之間的對應(yīng)關(guān)系得到其幾何表現(xiàn)或是語言描述.就像8.1節(jié)中，通過文字的描述可以得到一個給定的點經(jīng)過變換之后像的位置.思考：線性變換有沒有可以進行直接計算的顯式公式？第一節(jié)位似變換及其矩陣表示

第一節(jié)位似變換及其矩陣表示

第一節(jié)位似變換及其矩陣表示

第一節(jié)位似變換及其矩陣表示

第一節(jié)位似變換及其矩陣表示

第一節(jié)位似變換及其矩陣表示

第一節(jié)位似變換及其矩陣表示

圖9-3矩陣乘法作用在向量上的效果第一節(jié)位似變換及其矩陣表示

第一節(jié)位似變換及其矩陣表示

第一節(jié)位似變換及其矩陣表示注意到位似變換的效果是將圖形在各個方向上進行相同程度的伸縮，但是現(xiàn)實生活中可能遇到并不需要這種保持圖形一直相似的變化，像是在圖像編輯軟件中，將圖像縮小以適應(yīng)網(wǎng)頁布局或?qū)D像放大以用于打印。這類變換主要用于改變圖像中特定區(qū)域的大小，進行圖像修復(fù)或圖像合成等操作。將這種更一般的變換稱為伸縮變換，與位似變換不同的是在伸縮變換過程中可能會使圖形失去原來的比例，見圖9-4.第二節(jié)伸縮變換及其矩陣表示圖9-4伸縮變換可能會改變原圖形的形狀實際生活中，常常使用這樣的變換。在地理信息系統(tǒng)（GIS）中，伸縮變換用于調(diào)整地圖的比例尺。通過伸縮變換，可以將地圖的大小調(diào)整到適合特定的顯示尺寸，讓使用者能夠更清晰地觀察地圖上的細節(jié)或?qū)⑵渑c其他地圖進行比較.在生產(chǎn)過程中可能需要將零件的尺寸放大或縮小以滿足特定的要求。此外，伸縮變換也可以用于調(diào)整產(chǎn)品的比例，進行模型測試或設(shè)計優(yōu)化.伸縮變換還可用于調(diào)整醫(yī)學(xué)圖像的比例尺，使醫(yī)生能夠更準(zhǔn)確地測量和分析病變區(qū)域的大小。此外，伸縮變換還可以用于醫(yī)學(xué)圖像的增強和重建，以提供更清晰的圖像.在地震學(xué)和地質(zhì)學(xué)中，伸縮變換可用于處理地震數(shù)據(jù)和地質(zhì)數(shù)據(jù)，以研究地球內(nèi)部的結(jié)構(gòu)和特征。通過對地震波形數(shù)據(jù)進行伸縮變換，可以更準(zhǔn)確地分析地球內(nèi)部的地質(zhì)結(jié)構(gòu)和地震活動.第二節(jié)伸縮變換及其矩陣表示第二節(jié)伸縮變換及其矩陣表示思考：在已有位似變換的基礎(chǔ)上，怎么通過調(diào)整位似變換的標(biāo)準(zhǔn)矩陣得到拉伸或者收縮變換的標(biāo)準(zhǔn)矩陣？位似變換與伸縮變換的作用均是將圖形進行拉伸和伸縮.通過簡單的分析可以知道伸縮變換與位似變換的區(qū)別在于位似變換是在所有方向上均做同等程度的伸縮，一直保持物體的相似性.而伸縮變換僅在某些方向是進行伸縮并且伸縮的程度不一致.兩種變換均表現(xiàn)為“伸”或“縮”的變化，于是可以將位似變換看作特殊的伸縮變換.所以僅需在位似變換的標(biāo)準(zhǔn)矩陣中找到如何表現(xiàn)這種差異的部分就可以解決伸縮變換表達式的問題第二節(jié)伸縮變換及其矩陣表示思考：在已有位似變換的基礎(chǔ)上，怎么通過調(diào)整位似變換的標(biāo)準(zhǔn)矩陣得到拉伸或者收縮變換的標(biāo)準(zhǔn)矩陣？位似變換與伸縮變換的作用均是將圖形進行拉伸和伸縮.

第二節(jié)伸縮變換及其矩陣表示

第二節(jié)伸縮變換及其矩陣表示

第二節(jié)伸縮變換及其矩陣表示第二節(jié)伸縮變換及其矩陣表示

第二節(jié)伸縮變換及其矩陣表示

第二節(jié)伸縮變換及其矩陣表示

第二節(jié)伸縮變換及其矩陣表示

第二節(jié)伸縮變換及其矩陣表示

第二節(jié)伸縮變換及其矩陣表示

第二節(jié)伸縮變換及其矩陣表示

第二節(jié)伸縮變換及其矩陣表示

第二節(jié)伸縮變換及其矩陣表示

伸縮變換可以用來調(diào)整圖像的寬高比例，改變物體的形狀，或者進行透視效果的調(diào)整.例如，修復(fù)圖像中的畸變或調(diào)整圖像中的元素的形狀.位似變換作為伸縮變換的特例：每個方向都做伸縮因子相同的伸縮變換.觀察上述的例題還可以得到一個有用的事實.一般地，若變換前后的坐標(biāo)之間的關(guān)系是一次式，那這個變換一定是線性變換.這個結(jié)果在判斷一個變換是否為線性變換時簡單有效，但是在解釋變換的作用的時候卻不是很直接.第二節(jié)伸縮變換及其矩陣表示線性代數(shù)中的伸縮變換和位似變換是兩種重要的線性變換方法，它們在幾何學(xué)、計算機圖形學(xué)、物理學(xué)以及工程領(lǐng)域等方面發(fā)揮著關(guān)鍵作用.這一小節(jié)主要介紹位似變換在統(tǒng)計應(yīng)用中的作用.第三節(jié)伸縮變換的應(yīng)用：數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)化通常建立數(shù)學(xué)模型的過程包括：首先，確定建模的目標(biāo)和問題類型，明確需要解決的業(yè)務(wù)問題或科學(xué)問題.然后，再收集與問題相關(guān)的數(shù)據(jù)，并對收集到的數(shù)據(jù)進行預(yù)處理，進一步分析數(shù)據(jù)為后續(xù)建模提供參考。根據(jù)問題的性質(zhì)和數(shù)據(jù)的特點，選擇合適的統(tǒng)計模型或機器學(xué)習(xí)模型進行建模，例如線性回歸、邏輯回歸、決策樹、支持向量機等.之后，就是模型訓(xùn)練、模型評估、模型調(diào)優(yōu)、模型解釋和應(yīng)用、部署和監(jiān)控、反饋和迭代等步驟。但無論是用數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)模型還是機器學(xué)習(xí)模型進行建模，往往不能直接使用收集到的原始數(shù)據(jù)，因為原始數(shù)據(jù)可能有表示不同特征的量綱（單位），這會導(dǎo)致模型在訓(xùn)練過程中對于不同特征的權(quán)重分配不均勻，進而影響模型的性能。因此在得到數(shù)據(jù)一般會進行標(biāo)準(zhǔn)化，可以將不同單位的值變換到相同的范圍，消除量綱差異，使得模型更加穩(wěn)定和準(zhǔn)確.第三節(jié)伸縮變換的應(yīng)用：數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)化

第三節(jié)伸縮變換的應(yīng)用：數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)化

第三節(jié)伸縮變換的應(yīng)用：數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)化

第三節(jié)伸縮變換的應(yīng)用：數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)化通過線性變換實現(xiàn)數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化使得標(biāo)準(zhǔn)化的計算變得更加簡潔和直觀.通過縮放原始數(shù)據(jù)，可以將數(shù)據(jù)調(diào)整為具有零均值和單位方差的形式，消除特征間的量綱差異，從而更容易理解和解釋標(biāo)準(zhǔn)化的過程.同時使用線性變換進行數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化可以利用線性代數(shù)的性質(zhì)，通過矩陣運算來實現(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)化的計算，從而提高計算的效率和速度。尤其是在處理大規(guī)模數(shù)據(jù)集時，線性變換可以更快地完成標(biāo)準(zhǔn)化過程，節(jié)省計算資源和時間成本并且線性變換具有很好的可擴展性，可以輕松應(yīng)用于多維數(shù)據(jù)集和高維特征空間.通過構(gòu)建適當(dāng)?shù)木€性變換矩陣，可以同時對數(shù)據(jù)集中的所有數(shù)據(jù)進行標(biāo)準(zhǔn)化，而不需要分別處理每種特征，從而簡化了標(biāo)準(zhǔn)化的過程并提高了效率.第三節(jié)伸縮變換的應(yīng)用：數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)化

第三節(jié)伸縮變換的應(yīng)用：數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)化

第三節(jié)伸縮變換的應(yīng)用：數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)化

稱這種在每個數(shù)據(jù)進行加減運算的作用叫做平移變換，值得注意的平移變換作為生活中常見的簡單變換但是不屬于線性變換，一般將完整的標(biāo)準(zhǔn)化過程稱為一個仿射變換，見習(xí)題.最后進行本章介紹的兩種重要線性變換的總結(jié).伸縮變換（DilationTransformation）和位似變換（ScalingTransformation）都涉及到改變對象的大小，但它們之間存在一些關(guān)鍵的不同之處：第三節(jié)伸縮變換的應(yīng)用：數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)化（1）性質(zhì)不同：伸縮變換是一種線性變換，它沿著每個坐標(biāo)軸的方向分別縮放或拉伸對象，使得對象在每個方向上的尺寸都發(fā)生變化，但不一定保持角度或比例關(guān)系.位似變換是一種保持對象形狀和比例關(guān)系的線性變換，它包括縮放、旋轉(zhuǎn)和平移，保持對象的幾何相似性.（2）影響范圍不同：伸縮變換可以分別沿著每個坐標(biāo)軸的方向進行縮放，可以產(chǎn)生不同的縮放因子，使得對象在每個方向上的大小都可以單獨控制。位似變換通過統(tǒng)一的變換矩陣來同時影響對象的所有坐標(biāo)軸方向，以保持對象的形狀和比例關(guān)系.（3）保持性質(zhì)不同：伸縮變換在進行縮放時，不一定能保持對象的角度或比例關(guān)系，因為不同方向上的縮放因子可以是不同的。位似變換保持對象的幾何相似性，即保持對象的形狀和比例關(guān)系不變，因此角度和比例關(guān)系會得到保留.第三節(jié)伸縮變換的應(yīng)用：數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)化1.

位似變換及其矩陣表示

2.伸縮變換及其矩陣表示

3.伸縮變換的應(yīng)用：數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)化回顧與小結(jié)思考題：課后習(xí)題A第一題的4；第四題。作業(yè)題：課后習(xí)題A第八題的1、3、5。復(fù)習(xí)思考題或作業(yè)題第十章旋轉(zhuǎn)變換、對稱變換和反射變換第十章

主要學(xué)習(xí)內(nèi)容旋轉(zhuǎn)變換及其矩陣表示對稱變換及其矩陣表示旋轉(zhuǎn)變換、反射變換和對稱變換是描述和處理幾何對象的重要工具，它們在幾何學(xué)、線性代數(shù)、計算機圖形學(xué)等領(lǐng)域中都有廣泛的應(yīng)用.通過對這些變換的理解和運用，可以更好地描述和分析對象的形狀、方向和位置，從而為各種實際問題提供有效的解決方案.比如，通過旋轉(zhuǎn)變換，可以改變對象的方向和位置，而不改變其形狀和大小。旋轉(zhuǎn)變換在計算機圖形學(xué)、物理學(xué)、機器人學(xué)等領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用，例如在三維建模中調(diào)整物體的方向，或者在機器人控制中控制機器人的姿態(tài).【導(dǎo)入】通過反射變換，可以將對象的左右、上下或前后進行鏡像對稱，而保持其形狀和大小不變。反射變換常被用于鏡面對稱的幾何問題、光學(xué)中的反射現(xiàn)象以及計算機圖形學(xué)中的鏡像渲染等領(lǐng)域.通過對稱變換，可以實現(xiàn)對象的鏡像對稱、旋轉(zhuǎn)對稱或軸對稱等操作，從而產(chǎn)生具有對稱性的圖形。對稱變換在幾何學(xué)、藝術(shù)、生物學(xué)等領(lǐng)域都有重要的應(yīng)用，例如在結(jié)構(gòu)設(shè)計中考慮物體的對稱性，或者在生物學(xué)中研究生物體的對稱結(jié)構(gòu).本章主要介紹幾何對象的常見變換形式，包括旋轉(zhuǎn)變換、反射變換和對稱變換，并說明了它們在幾何學(xué)、線性代數(shù)、計算機圖形學(xué)等領(lǐng)域的重要性和廣泛應(yīng)用.第一節(jié)主要介紹旋轉(zhuǎn)變換，一種基本的幾何變換，通過指定旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)軸和旋轉(zhuǎn)角度來描述對象的旋轉(zhuǎn).第二部分介紹了對稱變換，是圍繞某個中心點、中心線或中心面進行的對稱操作，產(chǎn)生對稱效果。在這兩個部分中，還介紹了如何通過矩陣表示這些變換，以及如何利用基底向量的變換來確定線性變換的標(biāo)準(zhǔn)矩陣.最后，簡單說明反射變換作為一種特殊的對稱變換，用于描述物體圍繞平面進行鏡像翻轉(zhuǎn)的操作.旋轉(zhuǎn)變換是一種基本的幾何變換，它可以描述物體在空間中的旋轉(zhuǎn)運動.通過旋轉(zhuǎn)變換，可以改變對象的方向和位置，但不改變其形狀和大小，從而實現(xiàn)對物體的控制和調(diào)整.旋轉(zhuǎn)變換可以分為二維旋轉(zhuǎn)和三維旋轉(zhuǎn)兩種.第一節(jié)旋轉(zhuǎn)變換及其矩陣表示二維旋轉(zhuǎn)是指將二維平面上圖形繞著一個中心點進行旋轉(zhuǎn)的變換.二維旋轉(zhuǎn)的特點是，圖形的形狀不變，但位置和大小可能會發(fā)生變化.二維旋轉(zhuǎn)的實例，旋轉(zhuǎn)圖片：使用旋轉(zhuǎn)變換可以將圖片旋轉(zhuǎn)到任意角度。旋轉(zhuǎn)物體：使用旋轉(zhuǎn)變換可以將物體旋轉(zhuǎn)到任意角度.三維旋轉(zhuǎn)是指將三維空間中的物體繞著一個中心點進行旋轉(zhuǎn)的變換.三維旋轉(zhuǎn)的特點是，物體的形狀和大小不變，但位置和姿態(tài)可能會發(fā)生變化.三維旋轉(zhuǎn)的實例，地球自轉(zhuǎn)：地球自轉(zhuǎn)就是一種三維旋轉(zhuǎn)。地球繞著地軸進行旋轉(zhuǎn)，導(dǎo)致地球上不同地區(qū)出現(xiàn)了晝夜變化.第一節(jié)旋轉(zhuǎn)變換及其矩陣表示旋轉(zhuǎn)變換通常通過指定旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)軸和旋轉(zhuǎn)角度來進行描述，其中旋轉(zhuǎn)中心可以是任意點，旋轉(zhuǎn)軸可以是任意直線或向量，旋轉(zhuǎn)角度可以是任意實數(shù).自然界中有許多與旋轉(zhuǎn)變換相關(guān)的現(xiàn)象，在數(shù)學(xué)、物理、工程和計算機圖形學(xué)等領(lǐng)域也都有著廣泛的應(yīng)用。第一節(jié)旋轉(zhuǎn)變換及其矩陣表示旋轉(zhuǎn)變換被廣泛應(yīng)用于圖形處理、動畫制作和虛擬現(xiàn)實等方面.通過旋轉(zhuǎn)變換，可以實現(xiàn)對圖像和物體的旋轉(zhuǎn)效果，從而產(chǎn)生生動和逼真的視覺效果.旋轉(zhuǎn)變換還被用于飛行器的姿態(tài)控制和導(dǎo)航系統(tǒng)設(shè)計。通過旋轉(zhuǎn)變換，可以調(diào)整飛行器的姿態(tài)和方向，實現(xiàn)精確的航向控制和航行路徑規(guī)劃.行星圍繞自身的軸線進行自轉(zhuǎn)運動，產(chǎn)生了晝夜交替和地球自轉(zhuǎn)的現(xiàn)象。行星和星系圍繞中心點進行旋轉(zhuǎn)運動，產(chǎn)生了星空的變化和行星的季節(jié)變化。這種旋轉(zhuǎn)運動影響了天體的運行軌跡和星系的結(jié)構(gòu)，對宇宙中的各種現(xiàn)象產(chǎn)生了重要影響.第一節(jié)旋轉(zhuǎn)變換及其矩陣表示

第一節(jié)旋轉(zhuǎn)變換及其矩陣表示

第一節(jié)旋轉(zhuǎn)變換及其矩陣表示圖10-1反比例函數(shù)的圖像可經(jīng)旋轉(zhuǎn)得到標(biāo)準(zhǔn)的雙曲線

第一節(jié)旋轉(zhuǎn)變換及其矩陣表示圖10-2旋轉(zhuǎn)變換作用在單位正方形例10.1.1在現(xiàn)實世界中普遍存在的剛體運動，比如行駛中的車輪，自轉(zhuǎn)中的地球。在剛體運動中，物體剛體的每一點都按照相同的方式運動，因此其物體形狀和大小在運動過程中不發(fā)生改變。因此車輪上的點可以看作以軸所在直線為圓心的圓周，研究這樣的圓周運動就可以看成一點繞圓心旋轉(zhuǎn)的運動。因為圓周上的點到圓心的距離相同，一旦確定某一點后圓周上的任意一點都可由這一點旋轉(zhuǎn)得到，見圖10-3第一節(jié)旋轉(zhuǎn)變換及其矩陣表示圖10-3圓周可以看成由一點旋轉(zhuǎn)而得通過圓的定義可以知道，通過旋轉(zhuǎn)之后像和原像均落在同一圓周上，因此它們到圓心的距離均為半徑.事實上如果一開始確定圓周上的兩點（兩個原像），在經(jīng)過同一個旋轉(zhuǎn)變換（Rotation）（比如都沿逆時針旋轉(zhuǎn)60°）后得到圓周上的另外兩個點（兩個像）。通過簡單的計算可以得到兩個原像之間的距離和兩個像之間的距離是一樣，也就是說旋轉(zhuǎn)變換不會改變兩點之間的距離，因此稱旋轉(zhuǎn)變換是保長的.

第一節(jié)旋轉(zhuǎn)變換及其矩陣表示需要注意的是并不是所有的變換都是保長的，像上面圖像伸縮的例子中原點到各頂點之間的距離均發(fā)生改變，因此伸縮變換不是保長的.但是可以發(fā)現(xiàn)定義域中在同一條直線上的原像經(jīng)變換的像仍舊可以連成一條直線，稱這樣的性質(zhì)是線性性（Linearity），滿足線性性的變換稱為線性變換（LinearTransformation）.第一節(jié)旋轉(zhuǎn)變換及其矩陣表示

第一節(jié)旋轉(zhuǎn)變換及其矩陣表示

第一節(jié)旋轉(zhuǎn)變換及其矩陣表示

第一節(jié)旋轉(zhuǎn)變換及其矩陣表示例10.1.2

試確定變換使得圖10-4中的圖形做從左到右的變化，并求出其標(biāo)準(zhǔn)矩陣.第一節(jié)旋轉(zhuǎn)變換及其矩陣表示圖10-4字符“L”在某個旋轉(zhuǎn)變換下的作用

第一節(jié)旋轉(zhuǎn)變換及其矩陣表示

第一節(jié)旋轉(zhuǎn)變換及其矩陣表示對稱變換是一種幾何變換，一般是將圖形相對于某個軸或點進行變換，使其與原圖形具有對稱關(guān)系的一種變換.常見的對稱變換可以分為以下幾種：（1）軸（關(guān)于直線）對稱：使像與原像具有關(guān)于該直線的對稱關(guān)系.（2）中心對稱：圖形相對于某個點進行對稱變換，使其與原圖形具有中心對稱關(guān)系.第二節(jié)對稱變換及其矩陣表示對稱變換在自然界和生活中許多領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用.通過對稱變換，可以觀察到自然界中形形色色的對稱現(xiàn)象，也可以在人類設(shè)計和藝術(shù)創(chuàng)作中看到對稱的美學(xué)價值.同時，對稱變換也在科學(xué)研究、工程技術(shù)和日常生活中發(fā)揮著重要作用.自然界中存在許多對稱現(xiàn)象。例如許多植物的花瓣排列具有對稱性，例如玫瑰花的五瓣對稱或向日葵的對稱排列。這種花瓣的對稱排列不僅美觀，還有助于吸引傳粉昆蟲，促進植物的繁殖和生長；許多動物的身體都具有左右對稱的特點，例如人類、大多數(shù)哺乳動物和昆蟲。這種身體對稱性有助于動物在環(huán)境中的移動和捕食，同時也為生物進化提供了重要的適應(yīng)優(yōu)勢；第二節(jié)對稱變換及其矩陣表示在化學(xué)和材料科學(xué)中，對稱變換被用于研究分子結(jié)構(gòu)、晶體結(jié)構(gòu)和材料性質(zhì)。晶體具有各種不同的對稱結(jié)構(gòu)，例如立方體、正六角柱等.這些對稱結(jié)構(gòu)反映了晶體內(nèi)部原子或分子的排列規(guī)律，對晶體的物理性質(zhì)和化學(xué)性質(zhì)有著重要的影響。通過對稱性分析，可以揭示分子和晶體的對稱性和穩(wěn)定性，為材料設(shè)計和性能優(yōu)化提供理論指導(dǎo)等.這些對稱現(xiàn)象反映了自然界的秩序和美學(xué)，也為科學(xué)研究提供了重要的線索和啟示.第二節(jié)對稱變換及其矩陣表示在建筑設(shè)計和城市規(guī)劃中，對稱常被用于設(shè)計建筑物的立面、景觀和城市布局.通過對稱設(shè)計，可以提高建筑物和城市的整體美感和視覺效果，增強人們的舒適感和歸屬感，比如故宮幾乎成軸對稱圖形。在藝術(shù)和設(shè)計領(lǐng)域，對稱變換被廣泛應(yīng)用于繪畫、雕塑、建筑和裝飾品設(shè)計等方面。通過對稱設(shè)計，可以創(chuàng)造出具有和諧美感和視覺吸引力的藝術(shù)作品，激發(fā)人們的情感和想象力.第二節(jié)對稱變換及其矩陣表示線性代數(shù)中的對稱變換（SymmetryTransformation）是一種幾何變換，它通過圍繞某個中心點、中心線或中心面進行對稱操作，產(chǎn)生對稱的效果。對稱變換可以包括鏡像對稱、旋轉(zhuǎn)對稱和軸對稱等操作，它們都是圍繞某個中心進行的對稱操作。對稱變換和旋轉(zhuǎn)變換之間存在一定的聯(lián)系，但它們是兩種不同的幾何變換.第二節(jié)對稱變換及其矩陣表示旋轉(zhuǎn)變換（RotationTransformation）也是一種幾何變換，它將對象圍繞一個中心點或坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)一定角度。通過旋轉(zhuǎn)變換，可以改變對象的方向和位置，而不改變其形狀和大小.兩者的關(guān)系在于，旋轉(zhuǎn)變換可以被視為一種特殊的對稱變換。當(dāng)旋轉(zhuǎn)的角度是180°時，旋轉(zhuǎn)變換就等價于鏡像對稱；當(dāng)旋轉(zhuǎn)的角度是360°的整數(shù)倍時，旋轉(zhuǎn)變換就等價于恒等變換，即保持不變.