2024年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：函數(shù)及其應(yīng)用章末檢測+解析版

第三章函數(shù)及其應(yīng)用章末檢測

(考試時間：120分鐘試卷滿分：150分)

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑。

如

需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。

寫

在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第I卷

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求.

1.已知集合/=卜口082X43},).

A.[1,8]B.(0,8]C.(0,3]D.[3,8]

【答案】C

【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)分別解得集合45,再由交集定義寫出/c瓦

【詳解】解皿2出3,得0<x48,所以/={x|0<xV8},

解出>1,得「43,所以5={x|xV3},

所以/C8=3()<X43}=(0,3].

故選：C.

3

2.已知函數(shù)/■(尤)=lnx——,在下列區(qū)間中包含零點的區(qū)間是()

x

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

【答案】C

【解析】可判斷函數(shù)單調(diào)性，將區(qū)間端點代入解析式，函數(shù)值為一正一負，該區(qū)間就必有

零點.

【詳解】〃》)=111》-：為(0,+￥)上增函數(shù)

3

/(2)=ln2--<0

1

/(3)=ln3-l>0

由零點存在定理可知，在區(qū)間Q,3)存在零點.

故選：C

3.下列函數(shù)在(0,+")上為增函數(shù)的是()

x

A./(x)=JB.f(x)=2-C.=D./(x)=|x|

【答案】D

【分析】根據(jù)塞函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)逐一判斷即可.

【詳解】因為函數(shù)在(0,+”)上為增函數(shù)，所以函數(shù)/(%)=—/在上為減函數(shù)，

因此選項A不正確；

因為在(0,+。)上為減函數(shù)，

所以選項B不正確；

因為/(無)=+在(0，+。)上為減函數(shù)，

所以選項C不正確；

當xe(0,+8)時，f(x)=\x\=x,顯然函數(shù)在(0,+句上為增函數(shù)，

所以選項D正確，

故選：D

4.已知。=2。2,b=log050.2,c=log020.4,則()

A.b>a>cB.b>c>aC.a>b>cD.a>c>b

【答案】A

【分析】分別利用函數(shù)單調(diào)性判斷出a、b、c的范圍，即可得到答案.

【詳解］；1<。=2°2〈2,Z>=log050.2)log050.25=2,c=log020.4<log020.2=1,

J.b>a>c.

故選：A.

5.函數(shù)〃x)=ln(-/-x+2)的單調(diào)遞減區(qū)間為()

A.(―℃,—2)u(l,+co)B.(-2,--)C.(--,1)D.(1,+oo)

【答案】C

【詳解】分析：求出函數(shù)的定義域，利用二次函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解即

可.

詳解：由--一》+2>0可得-2<尤<1,設(shè)t=f2-x+2,

2

因為函數(shù)t=---x+2在（，,1）上遞減，y=lnt遞增，

2

所以函數(shù)/（X）的單調(diào)遞減區(qū)間為故選C.

點睛：本題主要考查對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)、復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題.復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性

的判斷可以綜合考查兩個函數(shù)的單調(diào)性，因此也是命題的熱點，判斷復(fù)合函數(shù)單調(diào)性要注

意把握兩點：一是要同時考慮兩個函數(shù)的的定義域；二是同時考慮兩個函數(shù)的單調(diào)性，正

確理解，，同增異減，，的含義（增增“增，減減f增，增減—減，減增f減）.

【分析】利用奇偶性判斷/（刈對稱性，結(jié)合/,/（萬）大小確定函數(shù)圖像.

【詳解】由題設(shè)知/（-工）=-泥。。'（-，）=-泥。。'，=-/（%）,且定義域關(guān)于原點對稱,

所以函數(shù)/（》）=猶5是奇函數(shù)，排除A、C,

由于/日=+/⑺=：,即4m>〃%），排除D.

故選：B

7.右a=6,b=/,c=灰，則（）

A.a<c<bB.a<b<c

C.c<b<aD.c<a<b

【答案】B

【分析】構(gòu)造函數(shù)/（x）=（,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，由lnb>lna,可得人>〃，再由

1]_6,再作商蜷,

b=ee<e^<得?！?,從而得解.

3

【詳解】令〃X)=則，則/'(尤)=匕”

當x>e時,r(x)<0,函數(shù)>(X)單調(diào)遞減;

當0<x<e時，H(x)>0,函數(shù)/(X)單調(diào)遞增，

因為°=拒，所以lna=gln2=^=/(4),

又9蘭"(e),e<4,所以/?>/(4),所以lnb>lna,故石,

_3

6323x332346

故°=布>6，從而有c>b,綜上所述：a<b<c.

故選：B.

8.已知函數(shù)/(x),g(x)的定義域均為R,且g(x)=2/(x+l)-2,2/(x)+g(x-3)=2.若

V=/(x)的圖象關(guān)于直線x=l對稱，且/⑴=3,現(xiàn)有四個結(jié)論：①g(0)=4；②4為g(x)的

周期；③g(x)的圖象關(guān)于點(2,0)對稱；④g⑶=0.其中結(jié)論正確的編號為()

A.②③④B.①③④C.①②④D.①②③

【答案】C

【分析】對g(x)=2/(x+l)-2,2/(x)+g(x-3)=2中的x合理的賦值,消去析x)到得

g(x-l)+g(x-3)=0,從而得到g(x)的周期；根據(jù)y=/(x)的圖象關(guān)于直線x=l對稱及平

移得g(x)的圖象關(guān)于直線x=0,x=2對稱；由/⑴=3及對稱性求得g⑶=0.

【詳解】由g(x)=2/(x+l)-2,可得g(x-l)=2〃x)-2,

又因為2/(x)+g(x-3)=2,所以g(xT)+g(x一3)=0,

可得g(x+2)=-g(x),g(x+4)=g(x),所以4為g(無)的周期，

因為>=/(x)的圖象關(guān)于直線x=l對稱，由“l(fā))=3,g(x)=2/(x+l)-2,

可知g(x)的圖象關(guān)于直線x=0對稱，g(O)=4,

則g(x+4)=g(-x),g(x)的圖象關(guān)于直線x=2對稱，所以g6=g(3),

又因為g(x+2)=-g(x),即-g(l)=g⑶，所以g(3)=0.

故結(jié)論正確的編號為①②④.

故選：C

【點睛】關(guān)鍵點點睛：對含有/(x),g(x)混合關(guān)系的抽象函數(shù)，要探求/(x),g(x)性質(zhì)首先

要消去一個函數(shù)只剩下另一下函數(shù)，消去其中一個函數(shù)的方法就是對x進行合理的賦值，組

4

成方程組消去一個函數(shù)，再考查剩余函數(shù)的性質(zhì).如在本題中

g(x)=2/(x+l)-2,2/(x)+g(x-3)=2,將g(x)=2〃x+l)-2中的x代換為一1可得

g(x-l)=2/(x)-2,與”(x)+g(x-3)=2聯(lián)立消去可得g(l)+g(x-3)=0,再進

一步推斷g(x)的性質(zhì).

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符

合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.已知10"=2,102〃=5則下列結(jié)論正確的是()

A.a+2b=lB.ab<-

8

C.ab>1g22D.a>b

【答案】ABC

【分析】由題意可知。=lg2,6=lg。，根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知D錯誤；10".10叫=10,

可知A正確；利用基本不等式可知a+2622"石，化簡整理可知B正確；在根據(jù)

Z>=lgV5>lg2,利用不等式的性質(zhì)，即可判斷C正確.

【詳解】由題可知。=坨2,Z,=1lg5=lgV5,又后>2,所以a<b,D錯誤；

因為10"/03=10"+2&=10,有4+26=1.所以A正確；

由基本不等式得a+2622屈，所以"4：,當且僅當。=26時，取等號；

O

又因為a=lg2,26=lg5,所以故B正確；

8

由于。=lg2>0,Z>=lgV5>lg2,所以ab>lg22,C正確.

故選：ABC.

10.下列命題為真命題的是()

A.幕函數(shù)/(x)的圖像過點A(2,￡|,則/(司=廣3

B.函數(shù)/(x+1)的定義域為［05，則/(2。的定義域為［2,4］

C.VxeR,是奇函數(shù)，/(尤-1)是偶函數(shù)，則/(2024)=0

D.關(guān)于x的方程X+log5X=4與x+5*=4的根分別為加，",則加+〃=4

【答案】ACD

【分析】對于A,用待定系數(shù)法求解即可；對于B,根據(jù)復(fù)合函數(shù)定義域的求法求解即可；

對于C,利用奇偶性推出周期，根據(jù)周期求解即可；對于D,利用昨log5x、y=5，、V=4-x

的圖象的對稱性即可.

5

【詳解】對于A,設(shè)/(x)=/,則：=2。，得&=-3,所以/(x)=xL故A正確；

O

對于B,因為函數(shù)/(X+1)的定義域為[0』，即04x41,所以14X+142,

由142y2,得OWxWl,即/(2、)的定義域為[0,1],故B不正確；

對于C,因為/(x)是奇函數(shù)，所以/(尤)=-7(-尤)，因為/卜-1)是偶函數(shù)，所以

/(x-l)=/(-x-l),所以〃(-x+1)-1)=/(_(-+1)-1),即/(-x)=/(x-2),

所以f(x)=-f(x-2),所以“x-2)=--2-2),

所以“x)=/(x-4),/(x+4)=/(x),則以x)的一個周期為4,

所以/(2024)=/(506x4+0)=/(0)=0,故C正確;

對于D,依題意得logsm=4-加，5"=4-?＞

所以心，〃分別為函數(shù)y=log5x、＞=5,的圖象與函數(shù)y=4-x的圖象的交點48的橫坐標,

又因為y=iog5x、了=5,的圖象都關(guān)于直線＞=x對稱，y=4-x自身關(guān)于直線y=x對稱,

所以函數(shù)y=log5X、了=5"的圖象與函數(shù)y=4-x的圖象的交點43也關(guān)于＞=x對稱，

因為48的中點為P,所以加+〃=2x2=4,故D正確.

故選：ACD

/.ln(-x),x＜0,

11.己知函數(shù)/J若函數(shù)8(/尤、)=[73/]、2°-(/切-1、)/(/力、_機有4個零點,

2%—3x—1,x-0,

則W的取值可能是()

3

A.——B.-1C.0D.2

2

【答案】AC

【分析】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)〃無)的圖像，尋找了=/(x)與＞=加有兩個交點的加的取值范圍,

即可解答.

【詳解】令g(x)=[/(x)r-(m-l)/(x)-機=0,即[〃司+1][〃可一問=0,解得/(力=-1

6

或y(x)=/n.當XNO時，/'(x)=6x2-6尤=6尤(尤-1).由/，(尤)>0,得x>l,由/'(x)<0,

得0Wx<l,則在［0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增,且/(O)=-1J⑴=-2.畫

出了⑺的圖象，如圖所示.由圖可知/'(x)=T有2個不同的實根，則g(x)有4個零點等價

于="有2個不同的實根,且加*—1,故機e(-2,-l)u{0}.

故選：AC

12.已知函數(shù)〃x)和/(x+1)都是偶函數(shù)，當xe［0,l］時,/(X)=-(X-1)2+2,則下列正

確的結(jié)論是()

A.當尤?-2,0］時，/(X)=-(X+1)2+2

B.若函數(shù)g(x)=〃x)-2-工-1在區(qū)間(0,2)上有兩個零點1、%，則有占+無2<2

C.函數(shù)“X”?在［4,6］上的最小值為《

D./(log34)</|^log4

【答案】ACD

【分析】推導(dǎo)出函數(shù)/(x)是周期為2的周期函數(shù)，求出函數(shù)/(x)在［-2,0］上的解析式，可

判斷A選項；利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合作差法可判斷B選項；利用函數(shù)的最值與函數(shù)單

調(diào)性的關(guān)系可判斷C選項；利用函數(shù)/(x)的周期性和/(x)在［1,2］上的單調(diào)性可判斷D選

項.

【詳解】因為函數(shù)“X)和/(x+1)都是偶函數(shù)，則/'(^)=/(尤)，/(l-x)=/(l+x),

所以，/(x+l)=/(l-x)=/(x-l),即/(x+2)=/(x),

因此/(x)是周期為2的周期函數(shù).

對于A,當x?T0］時，-xe［0,l］,貝！J［⑺=/(一力=—(一工一丁十？=乂升十+?，

當xe［―2,—1］時，貝1］x+2e［0,1］,貝!J=/(x+2)=—(x+2—1)?+2=乂x+曠+2,

綜上所述，當xe［-2,0］時，/(X)=-(X+1)2+2,A對；

對于B選項，當xe(O,2)時，-xe(-2,0),貝?。?("==一(_》+爐+2=_(十2，

7

不妨設(shè)無1<%2，因為函數(shù)y=2r+1在(0,2)上單調(diào)遞減，貝!+1>2丑+1，

/(^)=2-(^-1)2=2-^+1

由g(xJ=g(X2)=0可得<

2

/(x2)=2-(x2-l)=2^+1

所以，2-卜;-2X］+1)>2-(x；—lx2+1),

即(西-工2)(玉+%-2)<0,則再+了2-2>0,B錯；

對于C,因為函數(shù)/(x)在12,-1］上單調(diào)遞增，在11,0］上單調(diào)遞減,

由于函數(shù)/(x)是周期為2的周期函數(shù)，

故函數(shù)〃x)在［4,5］上單調(diào)遞增，在［5,6］上單調(diào)遞減，

故當44x46時，l=/(0)=/(4)=/(6)W/(x)W/(5),

而函數(shù)了=2工在［4,6］上單調(diào)遞增，所以，24<2^<2%則吳吳郎,

所以，當4VxV6時，2l^)>ZB=±,

2X2664

所以，函數(shù)可力=手在［4,6］上的最小值為，，C對；

對于D選項，小og&總=/(log45-2)=/(log45),

5

log34-log45=妲-姮=-4Tg3」g5>中-［^［心-")；。,

1g3lg4lg34g4lg34g4Ig34g4

???2>log34>log45>1,

又函數(shù)/(X)在［1,2］上單調(diào)遞減，/(g5)>/(10g34).-./(loga4)<410g4總，D對.

故選：ACD.

第n卷

三'填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分

13.已知函數(shù)/(》)=』JglTiTF+G)圖象關(guān)于原點對稱，則實數(shù)。的值為.

【答案】±2

【分析】由題意可知/(X)是奇函數(shù)，從而有/(-x)+/(x)=0,由X的任意性即可求得實數(shù)

。的值.

【詳解】依題意，可知〃x)是其定義域內(nèi)的奇函數(shù)，則/■(r)+/(尤)=0,

因為/(x)=*?lg(Jl+4x2+ax),所以

8

-1

f(-x)=e''+4(-x)?-axj=妙1+4i-a^,

故/(-x)+/(x)=/虹1+4--。)1=0,

由x的任意性可得lg[l+4——//]=0,Bpi+(4-a2)x2=l,

故/=4,貝!Ja=±2.

經(jīng)檢驗：。=±2滿足題意，故。=±2.

故答案為：±2.

14.若函數(shù)/Q)是在R上的減函數(shù)，則0的取值范圍是

[-5-2/gx,x>1

【答案】[-6,1)

【分析】根據(jù)一次函數(shù)以及對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得到關(guān)于a的不等式組，解出即可.

f6Z-1<0

【詳解】由題意得：I.、<,

[a-l+2>-5

解得：-6WaVl,

故答案為卜6,1).

【點睛】本題考查了一次函數(shù)以及對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化思想，是一道基礎(chǔ)題.

15.已知是定義在R上的偶函數(shù)，且當xWO時，f(x)=e\則滿足〃x+l)2/(無)的

x的取值范圍是.

【答案】-g,l

【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的性質(zhì)將不等式等價轉(zhuǎn)化為f(|x+1|)>/(|2尤I),利用函

數(shù)的單調(diào)性建立條件關(guān)系即可

【詳解】由函數(shù)性質(zhì)知尸(x)=〃2x),

,."(X+1)42(X)=/(2X),

即(x+1)2(2x),解得一："41,Axe--,1,

故答案為：一§」.

16.已知〃x)為偶函數(shù)，g(x)為奇函數(shù)，且滿足：f(x)-g(x)=2x.若對任意的尤e-1,1

都有不等式切'(x)+g(x)W0成立，則實數(shù)加的最大值為.

3

【答案】-]/-().6

9

【分析】由/(X)為偶函數(shù)，g(x)為奇函數(shù)，構(gòu)造方程組，分別解出〃X)和g(x)的解析式,

代入不等式中，利用換元法求出函數(shù)的最值，可得實數(shù)加的范圍.

【詳解】??"(X)為偶函數(shù),g(x)為奇函數(shù)，.??/(f)-g(-x)=2-即〃x)+g(x)=2T

又「(X)-g(x)=2)解得/(無)=三二，g(x)=—_

1Q-XQX

xe-1,-時，〃礦(x)+g(x)40等價于加x---+——<0,

化簡得??2I+2->0,.-.m<

v/min

1

-1-_y-xt2_i)-i

令f=2'e-,V2,則h^=T===l-kT，在-,V2上單調(diào)遞增,

22+2r+1/+12

"2X-TXy

當小，/.m<

x2X+2-X/I\

則實數(shù)比的最大值為一￡3

3

故答案為：

四、解答題：本小題共6小題，共70分，其中第17題10分，18~22題12分。解答應(yīng)寫出

文字說明、證明過程或演算步驟.

17.已知二次函數(shù)/(力=辦2+6x+c("0)的圖像過點(-2,0)和原點，對于任意xeR,都

有〃x)》2x.

(1)求函數(shù)/(x)的表達式；

⑵設(shè)g(x)=/(》)+2"7X,求函數(shù)g(x)在區(qū)間[0,1]上的最小值.

【答案】(l)〃x)=，+2x

3+2m,m<-2

⑵g(X)min='-(加+1)2，-2<?<-1

0,m>-\

\c=0

【分析】(1)由題意得L?八，得/(%)=辦2+2辦，從而。/+2(。—1)x20恒成立,

[4〃-2匕+。=0

fa>0

得A“2-，即可求解；

[A=4(tz-l)2<0

10

(2)依題意可得g(x)=/(x)+2加x=%2+(2+2加)x,即可得到對稱軸，再對對稱軸所在位置

分類討論，即可求出函數(shù)的最小值.

【詳解】(1)由題意得Lci八，所以6=2〃,°=0,/0)=辦+2辦，

［4a-2b+c=0

因為對于任意XER,都有即辦2+2(〃_I)%之0恒成立,

,［a>0八，

故｛A.n解得。=1，,6=2.

［A=4(a-1)<0

所以f(x)=x2+2x；

(2)g(x)=/(x)+2mx=x2+(2+2m)x,

則g(x)的對稱軸為x=-m-l,

當-加-140,即mNT,函數(shù)在［0』上單調(diào)遞增，

故g(x)在［0,1］上的最小值為g(0)=0；

當-加-121,即機4-2時，函數(shù)在［0』上單調(diào)遞減，

故g(x)在［0』的最小值為g⑴=3+2m；

0<-m-l<1,即一2</n<-l時,

函數(shù)在上單調(diào)遞減，在(-加-1/上單調(diào)遞增，

故g(x)在［0』上的最小值為g(-加-1)=-(加+1)2.

3+2m,m<-2

綜上，g(x)血n=<-(加+1)2,-2<m<-1.

0,m>-\

18.在中國很多鄉(xiāng)村，燃放煙花爆竹仍然是慶祝新年來臨的一種方式，煙花爆竹帶來的空氣

污染非常嚴重，可噴灑一定量的去污劑進行處理.據(jù)測算，每噴灑一個單位的去污劑，空氣

中釋放的去污劑濃度y(單位：毫克/立方米)隨著時間x(單位：天)變化的函數(shù)關(guān)系式近

X

l+-,0<x<4

8

似為了=9,若多次噴灑，則某一時刻空氣中的去污劑濃度為每次投放的去污

劑在相應(yīng)時刻所釋放的濃度之和，由試驗知，當空氣中去污劑的濃度不低于4(毫克/立方米)

時，它才能起到去污作用.

(1)若一次噴灑4個單位的去污劑，則去污時間可達幾天？

(2)若第一次噴灑2個單位的去污劑，6天后再噴灑。(14。44)個單位的去污劑，要使接下來

的3天能夠持續(xù)有效去污，求。的最小值.

【答案】⑴7天

11

【分析】(D根據(jù)空氣中去污劑的濃度不低于4,直接列出不等式，然后解出不等式即可

(2)根據(jù)題意，列出空氣中去污劑的濃度關(guān)于時間的關(guān)系式，然后利用基本不等式放縮,

并解出不等式即可

,0<x<4

【詳解】(D釋放的去污劑濃度為/(》)=，

,4<x<10

當0CV4時，4>4,解得xNO,所以0<xV4；

當4<E0時，4-^-1>4,解得x47,即4<x47；

故一次投放4個單位的去污劑，有效去污時間可達7天.

(2)設(shè)從第一次噴灑起，經(jīng)x(6<xW9)天，則濃度

:.a>—,當且僅當上=空±2即x=7等號成立.

9x+29

所以。的最小值為印

19.已知函數(shù)八>)=2工+[.

(1)若"0)=7,解關(guān)于x的方程解x)=5.

⑵若/(x)<3在xe[1,3]上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.

【答案】⑴x=l或x=log23

(2)a<-40

【分析】(D根據(jù)/(。)=7代入求出。的值，即可得到函數(shù)解析式，再解方程即可；

(2)依題意可得2'+(<3在xe[1,3]上恒成立，參變分離可得a<-(2、丫+3x2”在xe[1,3]

上恒成立，再利用換元法及二次函數(shù)的性質(zhì)計算可得.

【詳解】⑴由題意〃0)=1+。=7,;.a=6,則”X)=2，+￡,

67

由2'+3=5可整理得(2?-5x2*+6=0,貝何得2、=2或2、=3，

,X=1或X=log23;

12

⑵若/(x)<3在xe[l,3]上恒成立，則2，+=<3在xe[l,3]上恒成立，整理得

2工

a<-(2*丫+3x2，在xe口,3]上恒成立，

令1=2”,由xe[l,3],則fe[2,8],

又令〃⑺=-嚴+比=-1-畿[2,8],所以〃⑺是fe[2,8]上的減函數(shù)，

所以碎)1m”="8)=-82+3x8=-40,

故實數(shù)。的取值范圍為a<TO.

20.已知函數(shù)/(x)=log4(4'+1)-加x是偶函數(shù).

(1)求加的值；

(2)若g(x)=4，(*),a>0,beR,不等式6名?(x)-Wg(x)-b|+a20對任意xe-;,1恒

成立，求的取值范圍.

a

【答案】(1)加4

PV2-1〕

(2)——收

.7

【分析】(1)利用偶函數(shù)的定義結(jié)合對數(shù)運算可求得實數(shù)加的值；

(2)分析函數(shù)g(x)在-;』上的單調(diào)性，令f=g(x)e2,1,*,則僅/+1“_同對

2,!恒成立，對實數(shù)加的取值進行分類討論，驗證3?+i“_可對此2,|能否恒成

立，綜合可得出2的取值范圍.

a

【詳解】⑴因為解力=1嗎(4，+1)-皿,

4

所以，/(-x)=log4+1)+mx=log4\^\+mx=log41mx

=log4(4*+l)+(m-l)x,

J

因為函數(shù)〃x)為偶函數(shù)，則/(f)=/(x),gplog4(4^+1)+(m-l)x=log4(4+-mx,

所以，=,解得沉=g.

(2)由⑴可得/(x)=log4(4x+l)-$=log4(4"+l卜log,ZJlog,4^

=1%(2”工)，

13

/WI

g(x)=4=2+^r,

任取X]、x2e-pl,且王</，則2七>2',>0,

2

g(玉)-g(%)=H-=a-2?)-ri+j

當-；VX]<X2<0時，X[+X2<0,則0<2*,+*2<1,

所以，g(xj-g(x2)=->0，即g(xi)>g(%),

當0<玉<工241時，網(wǎng)+工2>0,則ZXG，〉］,

所以,0，即g(xJ<g(X2)，

g(x1)-g(x2)=

所以，函數(shù)g(x)在――］上遞減，在［0,1］上遞增,

令％=g(x)￡2,—,問題轉(zhuǎn)化為：bt2+<7>—Z?|,即一產(chǎn)+12%--

2cici

再令所以，而+12-可對fe2,|恒成立.

(i)當機W0時，左邊VI,右邊22,不符合題意

(ii)當加>0時，

2

①當加2"I時，貝!)mt+l>4m+l,\t-m\=m-t<m-29

當，=2時，上述兩個不等式等號同時成立，滿足題意，貝!|4加+12加-2,解得冽1,此

時加之g；

②當0<加〈2時，Wmt2+l>t-mf

vyi>、_t_-_1_—____t_-_\___—_____1____—______1_____

所以，一人2一(~)+2；-，

t-\t-\

53

當2W—,則1WK—,

22

由基本不等式可得—+六+222?I)告+2=2(72+j,

_1「

當且僅當"3+1時，等號成立，故了一,2丁工。在劣彳上的最大值為

r-n-----rzz

14

1y/2-1

2(V2+1)2，

所以，m>-^~,此時，~m<2;

22

③當2cm<|時，加產(chǎn)+1>1>”可恒成立,符合題意.

綜上所述，機的取值范圍是與L的取值范圍是

【點睛】結(jié)論點睛：利用參變量分離法求解函數(shù)不等式恒(能)成立，可根據(jù)以下原則進

行求解：

(1)Vxe。，m<

(2)VxeD,(尤)max；

(3)BxeD,/M^/(x)-?rn</(x)max；

(4)BxeD,m>/(x)<=>m>/(x)min.

21.已知二次函數(shù)/(x)為偶函數(shù)且圖象經(jīng)過原點，其導(dǎo)函數(shù)尸(x)的圖象過點Q,2).

(1)求函數(shù)“X)的解析式；

(2)設(shè)函數(shù)g(x)=/(x)+，'(x)-〃d，其中僅為常數(shù)，求函數(shù)g(x)的最小值.

【答案】(1)/(X)=x2；(2)m-l

【詳解】試題分析：(1)利用待定系數(shù)法依題意可設(shè)/'(x)="2+6x(awo),根據(jù)該函數(shù)為

偶函數(shù)可得6=0,根據(jù)導(dǎo)函數(shù)r(x)的圖象過點(1，2),可得/(x)=V；(2)由(1)可得:

2rf>i

x-2x-st-m,x<一,

g(x)=2根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)分為:<-1,-iwgwl和9>1三種情形判

x^+2x-m,x>^,222

I2

斷其單調(diào)性得其最值.

試題解析：(1)因為二次函數(shù)/(x)經(jīng)過原點，可設(shè)/'(x)=ax2+6x(aw0),又因為/(x)為

偶函數(shù)，所以對任意實數(shù)xeR,都有/(f)=/(x),即a(_x)2+6(_x)=a/+6x,所以

2bx=0對任意實數(shù)xe火都成立，故6=0.所以/(x)=?%2,廠(力=2"，又因為導(dǎo)函數(shù)

廣(x)的圖象過點(1,2),所以2axi=2,解得a=l.所以/(力=尤2.

m

x2-2cx+mx<一,

f2

(2)據(jù)題意，g(x)=/(x)+|/,(x)-m|=x2+|2x-m|,即g(x)=<

2c、m

x+2x-m,x>一,

2