《線性代數(shù)》課件 第10章 旋轉變換、對稱變換和反射變換

第十章旋轉變換、對稱變換和反射變換第十章

主要學習內(nèi)容旋轉變換及其矩陣表示對稱變換及其矩陣表示旋轉變換、反射變換和對稱變換是描述和處理幾何對象的重要工具，它們在幾何學、線性代數(shù)、計算機圖形學等領域中都有廣泛的應用.通過對這些變換的理解和運用，可以更好地描述和分析對象的形狀、方向和位置，從而為各種實際問題提供有效的解決方案.比如，通過旋轉變換，可以改變對象的方向和位置，而不改變其形狀和大小。旋轉變換在計算機圖形學、物理學、機器人學等領域有廣泛的應用，例如在三維建模中調(diào)整物體的方向，或者在機器人控制中控制機器人的姿態(tài).【導入】通過反射變換，可以將對象的左右、上下或前后進行鏡像對稱，而保持其形狀和大小不變。反射變換常被用于鏡面對稱的幾何問題、光學中的反射現(xiàn)象以及計算機圖形學中的鏡像渲染等領域.通過對稱變換，可以實現(xiàn)對象的鏡像對稱、旋轉對稱或軸對稱等操作，從而產(chǎn)生具有對稱性的圖形。對稱變換在幾何學、藝術、生物學等領域都有重要的應用，例如在結構設計中考慮物體的對稱性，或者在生物學中研究生物體的對稱結構.本章主要介紹幾何對象的常見變換形式，包括旋轉變換、反射變換和對稱變換，并說明了它們在幾何學、線性代數(shù)、計算機圖形學等領域的重要性和廣泛應用.第一節(jié)主要介紹旋轉變換，一種基本的幾何變換，通過指定旋轉中心、旋轉軸和旋轉角度來描述對象的旋轉.第二部分介紹了對稱變換，是圍繞某個中心點、中心線或中心面進行的對稱操作，產(chǎn)生對稱效果。在這兩個部分中，還介紹了如何通過矩陣表示這些變換，以及如何利用基底向量的變換來確定線性變換的標準矩陣.最后，簡單說明反射變換作為一種特殊的對稱變換，用于描述物體圍繞平面進行鏡像翻轉的操作.旋轉變換是一種基本的幾何變換，它可以描述物體在空間中的旋轉運動.通過旋轉變換，可以改變對象的方向和位置，但不改變其形狀和大小，從而實現(xiàn)對物體的控制和調(diào)整.旋轉變換可以分為二維旋轉和三維旋轉兩種.第一節(jié)旋轉變換及其矩陣表示二維旋轉是指將二維平面上圖形繞著一個中心點進行旋轉的變換.二維旋轉的特點是，圖形的形狀不變，但位置和大小可能會發(fā)生變化.二維旋轉的實例，旋轉圖片：使用旋轉變換可以將圖片旋轉到任意角度。旋轉物體：使用旋轉變換可以將物體旋轉到任意角度.三維旋轉是指將三維空間中的物體繞著一個中心點進行旋轉的變換.三維旋轉的特點是，物體的形狀和大小不變，但位置和姿態(tài)可能會發(fā)生變化.三維旋轉的實例，地球自轉：地球自轉就是一種三維旋轉。地球繞著地軸進行旋轉，導致地球上不同地區(qū)出現(xiàn)了晝夜變化.第一節(jié)旋轉變換及其矩陣表示旋轉變換通常通過指定旋轉中心、旋轉軸和旋轉角度來進行描述，其中旋轉中心可以是任意點，旋轉軸可以是任意直線或向量，旋轉角度可以是任意實數(shù).自然界中有許多與旋轉變換相關的現(xiàn)象，在數(shù)學、物理、工程和計算機圖形學等領域也都有著廣泛的應用。第一節(jié)旋轉變換及其矩陣表示旋轉變換被廣泛應用于圖形處理、動畫制作和虛擬現(xiàn)實等方面.通過旋轉變換，可以實現(xiàn)對圖像和物體的旋轉效果，從而產(chǎn)生生動和逼真的視覺效果.旋轉變換還被用于飛行器的姿態(tài)控制和導航系統(tǒng)設計。通過旋轉變換，可以調(diào)整飛行器的姿態(tài)和方向，實現(xiàn)精確的航向控制和航行路徑規(guī)劃.行星圍繞自身的軸線進行自轉運動，產(chǎn)生了晝夜交替和地球自轉的現(xiàn)象。行星和星系圍繞中心點進行旋轉運動，產(chǎn)生了星空的變化和行星的季節(jié)變化。這種旋轉運動影響了天體的運行軌跡和星系的結構，對宇宙中的各種現(xiàn)象產(chǎn)生了重要影響.第一節(jié)旋轉變換及其矩陣表示

第一節(jié)旋轉變換及其矩陣表示

第一節(jié)旋轉變換及其矩陣表示圖10-1反比例函數(shù)的圖像可經(jīng)旋轉得到標準的雙曲線

第一節(jié)旋轉變換及其矩陣表示圖10-2旋轉變換作用在單位正方形例10.1.1在現(xiàn)實世界中普遍存在的剛體運動，比如行駛中的車輪，自轉中的地球。在剛體運動中，物體剛體的每一點都按照相同的方式運動，因此其物體形狀和大小在運動過程中不發(fā)生改變。因此車輪上的點可以看作以軸所在直線為圓心的圓周，研究這樣的圓周運動就可以看成一點繞圓心旋轉的運動。因為圓周上的點到圓心的距離相同，一旦確定某一點后圓周上的任意一點都可由這一點旋轉得到，見圖10-3第一節(jié)旋轉變換及其矩陣表示圖10-3圓周可以看成由一點旋轉而得通過圓的定義可以知道，通過旋轉之后像和原像均落在同一圓周上，因此它們到圓心的距離均為半徑.事實上如果一開始確定圓周上的兩點（兩個原像），在經(jīng)過同一個旋轉變換（Rotation）（比如都沿逆時針旋轉60°）后得到圓周上的另外兩個點（兩個像）。通過簡單的計算可以得到兩個原像之間的距離和兩個像之間的距離是一樣，也就是說旋轉變換不會改變兩點之間的距離，因此稱旋轉變換是保長的.

第一節(jié)旋轉變換及其矩陣表示需要注意的是并不是所有的變換都是保長的，像上面圖像伸縮的例子中原點到各頂點之間的距離均發(fā)生改變，因此伸縮變換不是保長的.但是可以發(fā)現(xiàn)定義域中在同一條直線上的原像經(jīng)變換的像仍舊可以連成一條直線，稱這樣的性質是線性性（Linearity），滿足線性性的變換稱為線性變換（LinearTransformation）.第一節(jié)旋轉變換及其矩陣表示

第一節(jié)旋轉變換及其矩陣表示

第一節(jié)旋轉變換及其矩陣表示

第一節(jié)旋轉變換及其矩陣表示例10.1.2

試確定變換使得圖10-4中的圖形做從左到右的變化，并求出其標準矩陣.第一節(jié)旋轉變換及其矩陣表示圖10-4字符“L”在某個旋轉變換下的作用

第一節(jié)旋轉變換及其矩陣表示

第一節(jié)旋轉變換及其矩陣表示對稱變換是一種幾何變換，一般是將圖形相對于某個軸或點進行變換，使其與原圖形具有對稱關系的一種變換.常見的對稱變換可以分為以下幾種：（1）軸（關于直線）對稱：使像與原像具有關于該直線的對稱關系.（2）中心對稱：圖形相對于某個點進行對稱變換，使其與原圖形具有中心對稱關系.第二節(jié)對稱變換及其矩陣表示對稱變換在自然界和生活中許多領域都有著廣泛的應用.通過對稱變換，可以觀察到自然界中形形色色的對稱現(xiàn)象，也可以在人類設計和藝術創(chuàng)作中看到對稱的美學價值.同時，對稱變換也在科學研究、工程技術和日常生活中發(fā)揮著重要作用.自然界中存在許多對稱現(xiàn)象。例如許多植物的花瓣排列具有對稱性，例如玫瑰花的五瓣對稱或向日葵的對稱排列。這種花瓣的對稱排列不僅美觀，還有助于吸引傳粉昆蟲，促進植物的繁殖和生長；許多動物的身體都具有左右對稱的特點，例如人類、大多數(shù)哺乳動物和昆蟲。這種身體對稱性有助于動物在環(huán)境中的移動和捕食，同時也為生物進化提供了重要的適應優(yōu)勢；第二節(jié)對稱變換及其矩陣表示在化學和材料科學中，對稱變換被用于研究分子結構、晶體結構和材料性質。晶體具有各種不同的對稱結構，例如立方體、正六角柱等.這些對稱結構反映了晶體內(nèi)部原子或分子的排列規(guī)律，對晶體的物理性質和化學性質有著重要的影響。通過對稱性分析，可以揭示分子和晶體的對稱性和穩(wěn)定性，為材料設計和性能優(yōu)化提供理論指導等.這些對稱現(xiàn)象反映了自然界的秩序和美學，也為科學研究提供了重要的線索和啟示.第二節(jié)對稱變換及其矩陣表示在建筑設計和城市規(guī)劃中，對稱常被用于設計建筑物的立面、景觀和城市布局.通過對稱設計，可以提高建筑物和城市的整體美感和視覺效果，增強人們的舒適感和歸屬感，比如故宮幾乎成軸對稱圖形。在藝術和設計領域，對稱變換被廣泛應用于繪畫、雕塑、建筑和裝飾品設計等方面。通過對稱設計，可以創(chuàng)造出具有和諧美感和視覺吸引力的藝術作品，激發(fā)人們的情感和想象力.第二節(jié)對稱變換及其矩陣表示線性代數(shù)中的對稱變換（SymmetryTransformation）是一種幾何變換，它通過圍繞某個中心點、中心線或中心面進行對稱操作，產(chǎn)生對稱的效果。對稱變換可以包括鏡像對稱、旋轉對稱和軸對稱等操作，它們都是圍繞某個中心進行的對稱操作。對稱變換和旋轉變換之間存在一定的聯(lián)系，但它們是兩種不同的幾何變換.第二節(jié)對稱變換及其矩陣表示旋轉變換（RotationTransformation）也是一種幾何變換，它將對象圍繞一個中心點或坐標軸旋轉一定角度。通過旋轉變換，可以改變對象的方向和位置，而不改變其形狀和大小.兩者的關系在于，旋轉變換可以被視為一種特殊的對稱變換。當旋轉的角度是180°時，旋轉變換就等價于鏡像對稱；當旋轉的角度是360°的整數(shù)倍時，旋轉變換就等價于恒等變換，即保持不變.從計算伸縮變換和旋轉變換的過程可以看出，用10.1節(jié)中的方法計算線性變換標準矩陣的前提是知道每個原像到像是如何變化的，總結規(guī)律，建立坐標系得出等價關系進而可以把標準矩陣計算出來.但是在一些變換中點的變換規(guī)律不是一致的或是不方便寫出一般點的坐標表達式，例如計算旋轉變換時，若旋轉角不是特殊角所推導出的標準矩陣將會十分復雜.為解決這一難題，必須找到計算線性變換標準矩陣更一般的方法.第二節(jié)對稱變換及其矩陣表示

第二節(jié)對稱變換及其矩陣表示

第二節(jié)對稱變換及其矩陣表示

第二節(jié)對稱變換及其矩陣表示

第二節(jié)對稱變換及其矩陣表示

第二節(jié)對稱變換及其矩陣表示

第二節(jié)對稱變換及其矩陣表示

第二節(jié)對稱變換及其矩陣表示

第二節(jié)對稱變換及其矩陣表示

第二節(jié)對稱變換及其矩陣表示

第二節(jié)對稱變換及其矩陣表示

第二節(jié)對稱變換及其矩陣表示

通過上述的例題可以得到一個重要的事實：一個線性變換完全由它作用在空間基底的作用所決定，這里選用的基底并不一定必須是自然基底，只是通常在自然基底下的計算會比較簡單.因而對于任一線性變換，一旦知道基底向量的像，那么任意向量的像就可以借助基底向量的像表示出來.第二節(jié)對稱變換及其矩陣表示對稱變換和旋轉變換都是幾何學中常見的重要變換形式，它們都可以改變對象的方向和位置，但對稱變換強調(diào)的是對稱性，而旋轉變換強調(diào)的是旋轉操作.兩者之間的關系在于旋轉變換可以被視為對稱變換的一種特例.它們都是圍繞某個中心點進行的對稱操作之一.在本章結尾，最后簡單介紹一類特殊的對稱變換：反射變換.當涉及到物體圍繞一個中心進行鏡像翻轉時，常常用反射變換對這個過程進行描述：想象一面鏡子，當把一個物體放在鏡子前時，鏡子會將物體沿著鏡面進行鏡像翻轉，即得到物體的鏡像.這種鏡像翻轉的操作就是反射變換.第二節(jié)對稱變換及其矩陣表示反射變換是指將圖形相對于某個軸或點進行變換，使其與原圖形具有鏡像關系的一種變換.自然界中的反射水中的倒影：水中的倒影是物體相對于水面進行反射的結果.許多光學儀器利用反射原理工作，例如望遠鏡、顯微鏡